专题03圆的方程（期末真题汇编，江苏专用）高二数学上学期苏教版

专题03 圆的方程 4大高频考点概览 考点01 轨迹方程问题 考点02 圆的标准方程与一般方程 考点03 直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 轨迹方程问题 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知点到两个定点的距离之比为2，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合两点间距离公式列出方程，再化简可得答案. 【详解】由得， 整理得. 故选：C. 2．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求出点的轨迹方程为，由题意，说明直线与圆有公共点，借助于直线与圆的位置关系判断方法，得到不等式，求解即得. 【详解】设点，因， 由可得：， 化简得，即， 依题意，直线与圆有公共点， 故圆心到直线的距离， 即，化简得，解得：. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查动点的轨迹方程的求法与应用，属于较难题.解题的关键有二：其一，要会利用所给等式通过设点，求出其轨迹方程；其二，正确理解轨迹方程表示的几何意义，学会等价转化解题. 3．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，半径为1，点.若圆上存在点，满足，则点的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据得到点的轨迹方程，利用圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】设，则，， 由，可得，整理得， 即点在以为圆心，2为半径的圆上. 又在圆上，所以圆与圆有公共点，则， 设，则，解得. 所以点的横坐标的取值范围是. 故选：B. 4．已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标表示求得点的轨迹方程为圆，再利用两圆相交得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】设点，则，， 所以，则， 所以点的轨迹方程为，圆心为，半径为3， 由此可知圆与有公共点， 又圆的圆心为，半径为2， 所以，解得，即的取值范围是， 故选：A. 5．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出点的坐标，根据得出点的轨迹方程，再根据圆与圆的位置关系求出实数的取值范围. 【详解】设点，因为为坐标原点，，且. 根据两点间距离公式，则，. 所以，展开整理可得：. 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆. 已知圆，其圆心为，半径. 因为圆上存在点满足条件，所以两圆有公共点. 根据两圆位置关系，两圆的圆心距. 两圆有公共点，则，即. 对于，两边平方得，展开整理得，， ，函数图象开口向上，所以恒成立. 对于，两边平方得，展开得，即，，解得.   综上所得，. 故选：B. 6．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出动点轨迹方程（圆），再根据两圆位置关系确定的最大值取法，计算即可得结果. 【详解】设，因为，所以 因此最大值为两圆心距离加上两圆半径，即为 故选：B 【点睛】本题考查动点轨迹方程、根据两圆位置关系求最值，考查数形结合思想方法以及基本化简能力，属中档题. 二、非选择题 7．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据题干条件先求出点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，再利用直线与圆的位置关系即可求得结果. 【详解】设点，由，则， 整理得，即点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上， 若直线上存在点M，使，则直线与圆有交点， 故圆心到直线的距离小于等于半径；即， 解得：或， 故答案为：或 8．(24-25高二上·江苏常州·期末)动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 【答案】 【分析】首先根据，转化，再根据三角形的面积公式，转化为 动点与定点距离的最值问题，再根据两直线的位置关系与定点，确定点的轨迹方程，即可求解. 【详解】圆的几何性质可知，， 四边形的面积为，， 所以 直线，过定点，直线过定点， 且两直线的系数满足，所以， 所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为， 所以的最大值为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分析出两条直线所过定点，以及互相垂直，从而确定点P的轨迹. 9．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由动点P满足的条件得点P的轨迹为圆，根据抛物线的定义，将转化为，观察图形得的最小值. 【详解】 设，已知，， 则， 化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆， 抛物线E：的焦点，准线方程为， ， 当且仅当A，P，M，F（P，M两点在A，F两点之间）四点共线时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】动点P满足为“阿波罗尼斯圆”的定义，可知点的轨迹为圆. 10．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分直线斜率是否存在两种情况讨论可求切线的方程； （2）设点，可得，利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程. 【详解】（1）已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意; 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得，故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. （2）设点，则由点M是线段AB的中点得，所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. 11．(24-25高二上·江苏连云港新海高级中学·期末)在平面直角坐标系中，两点，，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线：，，点，求满足条件的所有点构成的图形的面积； (3)过点作直线交曲线于，两点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由两点间距离公式计算可得； （2）结合辅助角公式将直线变形，再结合圆的面积公式求解； （3）设直线方程为，联立曲线得到韦达定理，由弦长公式求出，再由点到直线的距离公式求出，表示出三角形面积，然后设，结合基本不等式求出结果即可； 【详解】（1）设，由可得， 化简可得， 所以点的轨迹的方程为. （2）由题意可得有解， 因为， 所以点的集合为，即，即以为圆心，4为半径的圆， 所以面积为 （3）    设直线方程为， 联立消去并整理可得， ， 设， 则， 由弦长公式可得， 又到直线的距离， 所以， 令，则， 所以，当且仅当即时取等号， 所以面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是利用辅助角公式将问题变形为；第三问再求解面积时，设，利用基本不等式求解. 地 城 考点02 圆的标准方程与一般方程 一、单选题 12．(24-25高二上·江苏泰州·期末)圆的圆心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得圆心. 【详解】由的标准式为，故圆心为. 故选：A 13．(24-25高二上·江苏扬州·期末)设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（   ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系得到方程，求出，确定点与圆的位置关系. 【详解】由圆，圆心为，半径为2， 因为直线与圆相切， 故，故，所以点在圆内. 故选：C 14．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．11 【答案】A 【分析】根据“两点之间，线段最短”可求得的最小值. 【详解】由椭圆，得，∴， 由得，所以圆心，半径为. 设分别与椭圆、圆交于点 则，, 所以， 当且仅当四点共线时取等号 的最小值为. 故选：A. 15．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】D 【分析】先求出点关于直线对称的点，再数形结合有求最小值. 【详解】设点关于直线对称的点为 ， 则，解得，即 ， 圆的圆心为，半径为1， 则， 当且仅当P、、B、C四点共线，且B在线段上时取得最小值，为 故选：D 16．(23-24高二上·福建福州八县（、区）一中·期末)直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 【答案】B 【分析】求出直线定点坐标、圆心坐标、半径，再由点与圆的圆心之间的距离加半径求解 【详解】由，得， 所以直线过定点， 由，知圆心坐标，半径为2， 所以到圆心的距离为，则在圆内， 则的最大值为， 故选：B 17．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行直线间距离公式可求得圆的半径，由圆心和半径可得圆的方程. 【详解】直线方程可化为， 则两条平行线之间距离，即圆的半径， 所求圆的方程为：. 故选：B. 18．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)已知圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心坐标为，利用圆过两点的坐标求出及半径，从而得圆标准方程． 【详解】由题意，设圆心坐标为，∵圆过，两点，∴，解得，则圆半径为． ∴圆方程为． 故选：C． 【点睛】本题考查圆的标准方程，解题关键是求出圆心坐标和半径． 二、多选题 19．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)若两定点， 动点满足， 则下列说法正确的是（   ） A．点 的轨迹所围成区域的面积为 B．面积的最大值为24 C．点到直线距离的最大值为9 D．若圆上存在满足条件的点 ，则的取值范围为 【答案】ACD 【分析】由可整理得到点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆；根据圆的面积公式可知A正确；根据点到直线的距离的最大值为可求得B正确；由圆上点到直线距离最大值为圆心到直线距离加上半径可求得C错误；根据两圆有公共点可得两圆位置关系，从而得到圆心距和两圆半径之间的关系，解不等式可求得D正确. 【详解】设，由得：， ，整理可得：， 点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 对于A，点轨迹围成的区域面积为，A正确； 对于B，，若的面积取得最大值，则点到直线的距离最大，即到轴的距离最大， 点到直线的距离的最大值为， 面积的最大值为，B错； 对于C，圆心到直线的距离， 即直线和圆相离， 点到直线距离的最大值为，C正确； 对于D，由题意知：点的轨迹与圆有公共点，即两圆有公共点， 圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距为，， 解得：，即的取值范围为，D正确. 故选：ACD. 20．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知实数x，y满足，则（   ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用已知条件可以得出点P在半圆C：上，数形结合，可知的取值范围，从而判断A选项；可看作点到半圆上的点P的距离的平方，从而判断B选项；对于C，D，可以看作直线的斜率进行判断. 【详解】 设， 由得，点P在半圆C：上， 对于A，因为，所以当时，的最小值为-5，故A正确； 对于B，设，因为， 所以的最大值为9，故B正确； 对于C，D，设，当过圆心时，， 当与半圆相切时，，故C错误，D正确. 故选：ABD. 21．(23-24高二上·吉林辽源田家炳高中友好学校（第七十六届）·期末)已知圆和圆交于两点,则（    ） A．两圆的圆心距 B．两圆有3条公切线 C．直线的方程为 D．圆上的点到直线的最大距离为 【答案】CD 【分析】根据圆的一般方程求出圆心与半径,利用两点间的距离公式求解圆心距判断；根据两圆的位置关系,判断；将两圆的方程作差,得公共弦所在直线方程,即可判断C；通过圆上的点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径,即可判断. 【详解】圆的圆心,半径；圆的圆心,半径. 对于,两圆的圆心距,错误; 对于,两圆相交于两点,有2条公切线,错误; 对于,将两个圆的方程作差,得即直线的方程为,正确; 对于,圆心到直线的距离 圆上的点到直线的最大距离为 正确. 故选:CD. 22．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（    ） A．直线l过定点 B．圆C的半径为3 C．当时， D．圆心C到直线l的最大距离是2 【答案】BCD 【分析】根据直线方程求恒过的定点求解选项A；根据圆的一般方程求圆的半径求解选项B；根据直线截圆所得的弦长公式求解选项C；根据垂直关系确定时，圆心C到直线l的距离最大，即可求解选项D. 【详解】 对A，由可得，， 所以直线l过定点，A错误； 对B，圆C：的圆心为 半径，B正确； 对C，时，直线l：， 圆心到直线的距离为2， 所以，C正确； 对D，设l过定点，则, 当时，圆心C到直线l的距离最大，最大为，D正确； 故选:BCD. 三、非选择题 23．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·期末)已知实数满足关系：，则的最小值 ． 【答案】 【分析】转化为圆上的点到原点的距离的最值，将圆的方程化为标准方程，求出圆心坐标与半径，数形结合可得答案. 【详解】把圆的方程化为标准方程得： ， 则圆心 坐标为，圆的半径 ， 设圆上一点的坐标为，为圆上的点到原点的距离； 如图 ， ， 所以 的最小值为 . 故答案为： . 24．(24-25高二上·江苏扬州·期末)某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】    以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65 25．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知圆C的圆心在直线上，且过两点、. (1)求圆C的方程； (2)直线l过点，且与圆C相交于M，N两点，若求直线l方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的方程为，再结合圆心特点以及圆所过点即可解出圆的方程； （2）首先求出到的距离为，再分直线斜率不存在和存在讨论即可. 【详解】（1）设圆的方程为， 因为圆的圆心在直线上，所以． 因为圆过， 代入圆C方程 解得 故圆的标准方程为． （2）设到的距离为，由，解得 当直线斜率不存在时，，满足题意． 当直线斜率存在时，设直线方程为，即 则圆心到直线的距离为，解得， 直线方程为 综上，直线方程为或 26．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据题意和直线与圆相切求出方程； （2）根据题意，可知点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，与直线方程联立可求点的坐标． 【详解】（1）设圆的标准方程为， 因为圆心在直线上，所以，           因为圆经过点，所以，   因为圆与直线相切，所以，    联列方程组，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，由对称性可知， 所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，其轨迹方程为，    又因为在直线上， 联列方程组，解得或 所以点的坐标为或. 27．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知圆C关于直线对称，且两点，在圆C上. (1)求圆C的标准方程; (2)直线l经过点，且与圆C交于A，B两点.若的面积为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由圆的性质先求出圆心坐标，再求出圆的半径即可求解； （2）先求出圆心C到直线l的距离为，再由点到直线的距离公式求解即可． 【详解】（1）因为，点和点的中点为， 所以以两点，为端点的线段的中垂线方程为， 整理得， 由，解得， 所以圆心，所以半径， 所以圆C的标准方程为． （2）因为的面积， 所以， 因为，所以，所以圆心C到直线l的距离为 若直线l的斜率不存在，则l的方程为， 此时圆心C到直线l的距离为2，不符合题意，舍去. 设直线l的方程为，即， 则圆心C到直线l的距离，解得，或， 所以直线l的方程为或． 28．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知圆C经过点 (1)求圆C的方程； (2)求过点A且与圆C相切的直线的方程； (3)过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出AO、OB的中垂线方程可得圆心坐标、半径可得答案； （2）根据切线与直线AC垂直，求出直线AC的斜率可得答案； （3）设l的方程为利用弦长公式可得答案. 【详解】（1）因为A、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以直线AO的中垂线方程为 ，即， 因为B、O的中点坐标为，直线的斜率为， 所以直线的垂线的斜率为，所以BO的中垂线方程为 ，即为 联立，解得 所以圆心所以圆的半径 所以圆C的标准方程为； （2）由（1）得圆C的圆心为半径为5， 因为A在圆C上，所以切线与直线AC垂直， 因为直线AC的斜率为 所以切线的方程为即； （3）的斜率一定存在，设为 ，所以l的方程为 设圆心C到l的距离为d，因为所以即 所以化简得即 所以l的斜率为 29．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知圆过点，且与圆：相切于点. (1)求圆的方程； (2)设直线过点，且与圆交于，两点，若，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）方法一：利用的方程为与的中垂线方程联立，求出圆心坐标，再求出圆的半径，即可求圆的方程；方法二：设圆心，根据以及列方程组求解即可； （2）先由，可得到直线的距离，验证斜率不存在时符合题意，斜率存在时，利用点到直线距离公式求出斜率，从而可得答案. 【详解】（1）（方法一）因为圆与圆相切于点，所以，，三点共线， 因为，所以的方程为. 因为，所以的中垂线斜率为-1， 又的中点为，所以的中垂线方程为，即. 由解得即圆心， 所以半径， 所以圆的方程为. （方法二）设圆心，由题意得，， 所以，且， 解得，，即圆心， 所以半径， 所以圆的方程为. （2）因为，又半径为5，所以圆心到直线的距离. ①当的斜率不存在时，的方程为，此时，符合题意. ②当的斜率存在时，设的方程为，即， 所以，解得， 所以的方程为，即. 综上，的方程为或. 30．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分析可知圆心在直线上，结合已知条件可得出圆心的坐标以及圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线垂直于轴时，直接验证即可；在直线不垂直于轴时，设出直线的方程，利用勾股定理计算出圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式求出参数值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）因为圆与轴相切于点，所以圆心在直线上， 又圆心在直线上，所以圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. （2）设圆心到直线的距离为，因为直线被圆截得的弦长为， 所以，解得， 当直线垂直于轴时，则圆心到直线的距离为， 此时，直线与圆相切，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，设直线的方程为，即， 所以，整理得，解得或. 所以直线的方程为或. 地 城 考点03 直线与圆的位置关系 一、单选题 31．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可． 【详解】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D 32．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心到直线的距离等1求解即可； 【详解】因为圆的半径为2， 由题意可知：圆心到直线的距离为1， 即，解得：， 故选：C 33．(24-25高二上·江苏南通·期末)直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【详解】圆圆心坐标为，半径为， 所以点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 故选：B. 34．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】由圆的方程求得圆心和半径，由直线过定点，易得弦心距的最大值，可得的最小值. 【详解】由圆，可得圆心、半径为， 直线过定点，要使弦长最小，只有弦心距最大， 弦心距的最大值为， 所以弦的的最小值为. 故选：C. 35．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心到直线距离以及弦长公式，解方程可得结果. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 圆心到直线距离为，弦长， 所以， 解得. 故选：C 36．(24-25高二上·江苏南京中华中学·调研)已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 37．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【答案】B 【分析】根据点在圆外可得，即可利用点到直线的距离公式求解. 【详解】点在圆上，故， 圆心到直线的距离为，故直线与圆相切. 故选：B 38．(23-24高二上·江苏南京六校·期末)若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意画出图形可得，由两点坐标得，结合直线与半圆相切得，，由此即可得解. 【详解】如图所示： 直线过定点，曲线与轴负半轴交于点， 设直线与曲线（半圆）相切于点， 若直线与曲线有两个交点， 则， 而， 若与半圆（圆心，半径）相切， 则圆心到直线的距离满足，解得，即， 综上所述，实数k的取值范围为. 故选：D. 二、多选题 39．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)已知，则（   ） A．存在唯一的，使得与轴相切 B．存在2不同的，使得在轴和轴上截得的线段相等 C．存在2个不同的，使得过坐标原点 D．存在唯一的，使得的面积被直线平分 【答案】CD 【分析】由方程的解，可判定A错误；由圆在两坐标轴上的截的弦长度相等，求得， 结合弦长公式，得到，令，利用导数求得函数的零点，可判定B错误； 由，结合与有两个交点，可判定C正确； 根据圆心满足直线方程，令，利用导数求得函数的单调性，结合，可判定D正确. 【详解】由圆，可得圆心为，半径为， 即圆心在曲线上运动， 对于A中，若与轴相切，则，解得或，所以A错误； 对于B中，若在两坐标轴上的截的线段长度相等，则，解得， 截轴所得弦长为，截轴所得弦长为， 可得，可得， 令，其中， 则， 所以函数在上单调递减，在上单递增， 所以，当时，， 所以函数在上无零点，函数在上只有一个零点，所以B错误； 对于C中，若过原点，则， 由图象知，与有两个交点，所以满足要求的有2个，所以C正确；    对于D中，若圆的面积被直线 平分，则圆心满足直线方程， 因为圆心，代入直线方程可得，其中， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又因为，所以方程只有一个解， 所以存在唯一的，使得的面积被直线 平分，所以D正确. 故选：CD. 40．(24-25高二上·江苏句容·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 【答案】ACD 【分析】设点，由，得，即曲线为圆心为，半径为2的圆，再结合选项依次判断即可． 【详解】设点，因为，所以， 整理得，， 即曲线为圆心为，半径为2的圆， 对于A，圆，即， 该圆的圆心为，半径为3， 两圆的圆心距为：， 所以两圆外切，故两圆有且仅有三条公切线，故A正确； 对于B，曲线C的圆心关于直线对称的点为， 所以曲线C关于直线对称的曲线方程为：，故B错误； 对于C，设，即， 由图知当直线与圆相切时，t取得最大值或最小值， 此时圆心到直线的距离为2， 由，解得或， 所以的取值范围是：，故C正确； 对于D，设， 则， 化简得，， 依题意，需使， 解得，或（因点E，F异于A，B，应舍去） 所在存在满足题意，故D正确． 故选：ACD. 三、非选择题 41．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用平行线间距离公式根据圆上满足题意的点的个数即可求得结果. 【详解】如图所示： 设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为， 则，解得或， 圆心到直线的距离为， 圆到直线的距离为， 由图可知，圆与直线相交，与直线相离， 所以，即. 因此，的取值范围是. 故答案为：. 42．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)若圆上恰有两个点到直线：的距离为1，则正实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离大于且小于，利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆上恰有两个点到直线的距离为， 则使得圆心到直线的距离大于且小于，即， 解得或， 又，所以， 即正实数的取值范围为. 故答案为： 43．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)若直线被圆截得的弦长为，则的值为 . 【答案】 【分析】应用点线距离公式、圆中弦长的几何求法列方程求参数值. 【详解】由题设，圆心到直线的距离 ， 又圆的半径，则弦长为，可得， 所以. 故答案为： 44．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意，将问题转化为直线与半圆上点与点连接的直线的斜率.，数形结合分析即可. 【详解】因为， 所以，其表示为圆的上半部分. 设半圆上一动点， 表示的几何意义为点与点连接的直线的斜率， 当直线和半圆相切时，直线的斜率取最大值， 设直线的方程为，即， 所以，解得或（舍去）， 则直线的斜率的最大值为； 当点为时，则直线的斜率取最小值，为， 综上，的取值范围为. 故答案为：.    45．(17-18高一下·江苏如东高级中学·)在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设的中点为，由已知，因此可设，求出点的轨迹方程知点轨迹是圆，从而易得的取值范围． 【详解】设的中点为，因为 ， 所以，化简得， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以的取值范围是， 从而的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查动点的轨迹的求法以及点与圆的位置关系中的最值问题，对于圆中的弦长问题，注意通过弦心距进行转化，本题属于中档题. 46．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)在平面直角坐标系中，存在四点． (1)求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 【答案】(1)，D在圆M内 (2)或. 【分析】（1）设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程，把D坐标代入圆的方程判定位置关系即可； （2）对直线分类讨论，设出直线方程，利用直线与圆相交，已知弦长求直线方程. 【详解】（1）设圆M方程为， 把A，B，C三点坐标代入可得： 解得，，， 所以圆M方程是, 把D点坐标代入可得：，故D在圆M内； （2）由（1）可知圆M：，则圆心，半径， 由题意可知圆心到直线l的距离是， 当直线l斜率存在时，设直线l方程为：， 所以由点到直线的距离公式得，解得，故直线l的方程为； 当直线l斜率不存在时，则直线l方程为：， 此时圆心到直线l的距离是3，符合题意. 综上所述，直线l的方程为或. 47．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】根据圆心在弦的中垂线上，也在直线上求解可得圆心，进而求得半径即可得圆的方程； 先讨论直线l斜率不存在时，再设直线l的点斜式，根据垂径定理求解即可. 【详解】（1）由题意圆心在弦的中垂线上， 又中点，， 则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即， 联立可得，，即， 故圆的半径. 故圆的方程： （2）当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交； 当直线斜率存在时，设方程， 因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离. 则到的距离， 则，即，解得或. 故方程，即或. 48．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知点的坐标为，且以点为圆心的圆与y轴相切． (1)过点作圆的切线l，求l的方程； (2)圆上是否存在点P，使得点P到距离之比为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)不存在点P，理由见解析. 【分析】（1）由题设圆的方程为、，讨论直线斜率的存在性，结合点线距离公式求直线方程； （2）根据已知及两点距离公式得点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆N，进而得到圆内含于圆N，即可得结论. 【详解】（1）因为，且以点为圆心的圆与y轴相切， 所以圆的方程为． 因为， 当直线l的斜率不存在时，l的方程为， 设l的方程为，则到l的距离为， 所以，故，所以l的方程为， 综上，l的方程为或． （2）设，由点P到距离之比为， 得，即， 所以点P的轨迹为以为圆心，为半径的圆N， 由，则圆内含于圆N， 所以不存在点P，使得点P到距离之比为. 49．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用点与圆的位置关系列式求解. （2）求出直线的方程，利用切线性质，结合点到直线距离公式计算得解. 【详解】（1）圆，则， 由在圆内，得，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，圆的圆心，半径， 直线方程为：，即，由直线与圆相切，得，解得， 所以实数的值为. 50．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知直线与圆相切.直线过点，且与C相交于两点. (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线与圆相切，转化为圆心到直线的距离等于半径，即可列式求解； （2）首先根据三角形的面积公式求，再根据圆心到直线的距离，即可求解直线方程. 【详解】（1）由已知得圆， 所以，圆心，半径. 因为圆与直线相切， 知圆心到直线的距离，解得， 所以圆的方程为. （2）由题， 又，得 所以圆心C到直线的距离为. 直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，满足题意； 直线斜率存在时，设直线的方程为，即， 由圆心C到直线的距离为，解得， 所以直线的方程为，即.   综上，直线的方程为或. 51．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知以为端点的弦的长度为，求该弦所在直线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出的中垂线方程，与圆心所在直线方程联立求得，利用距离公式求出半径，即可得解； （2）按照弦所在直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，结合点到直线距离公式，根据弦长公式列式求解即可. 【详解】（1）因为，所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线方程为即， 由，解得，又半径， 所以圆的方程为.（或） （2）若弦所在直线斜率不存在，则弦长为8，不合题意，故所求弦的斜率存在. 设弦所在直线方程为，即，设圆心到弦的距离为， 由所以， 即，解得或. 所以弦所在的直线方程为或. 52．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线经过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，再按直线的斜率存在与否分类求出方程. （2）利用三角形面积公式求出面积最大时圆心到直线的距离，再利用点到直线距离 公式求出直线方程. 【详解】（1）线段的中点为，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，则圆心，， 圆的方程为，点到直线的距离为2， 因此直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. （2）由（1）知的面积，当且仅当时取等号， 此时点到直线的距离， 显然直线的斜率存在，设其方程为，即， 由，解得或， 所以直线的方程为或. 53．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知的三个顶点为，，，记外接圆为圆M. (1)求圆M的方程； (2)过点C且斜率为k的直线l与圆M交于另一点D，且，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】（1）设圆M的方程为， 把的三个顶点的坐标代入方程中， 得 （2）由圆M的方程， 因此有，过M作直线l的垂线，垂足为， 设直线l的方程为， 因此， 由圆的垂径定理可知： 化简，得，或， 分别代入直线l的方程，得，或 所以直线l的方程为或. 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 一、单选题 54．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 55．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 【答案】A 【分析】求出两圆半径及圆心距，再判断两圆的位置. 【详解】圆：的圆心，半径，圆：圆心，半径， 而，所以两圆相交. 故选：A 56．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 57．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（    ） A． B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】求出两圆的相交弦所在直线的方程，将圆的圆心坐标代入相交弦所在直线的方程，可判断结果. 【详解】根据题意，圆，圆， 联立可得：，即两圆的公共弦所在的直线为， 圆，即，其圆心为， 若圆 平分圆 的周长，则圆心 在直线上， 代入解得 故选：D. 58．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)若圆C：与圆E：只有一个公共点，则r的值（    ） A．3或6 B．1或7 C．1或9 D．4或8 【答案】C 【分析】由两圆的位置关系计算即可； 【详解】由题意可得，半径为；，半径为4， 因为两圆只有一个公共点， 所以当两圆外切时，，解得； 当两圆内切时，，解得； 所以r的值为1或9， 故选：C 59．(24-25高二上·江苏镇江中学·期末)已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案. 【详解】由题意知圆，即圆， 圆心为，半径， 圆，即圆， 圆心为，半径， 则，即两圆相交， 将圆和圆的方程相减， 可得直线的方程为， 则到直线的距离为， 故弦的长为， 故选：A 60．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两圆方程作差即可. 【详解】由圆，圆， 两式作差得，，即， 所以两圆的公共弦所在直线方程是. 故选：B. 61．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 62．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 【答案】A 【分析】求出两圆的圆心及半径，求出圆心距，从而可得出结论. 【详解】解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 则两圆圆心距， 因为， 所以两圆相交. 故选：A. 二、多选题 63．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知圆与圆，下列选项正确的有（   ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 【答案】ABD 【分析】根据两圆外切的条件可判断A，根据切线定义判断B，根据两圆的公共弦的求法判断C，求得公共弦长判断D. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 由圆，可得圆心为， 若，两圆心间距离为，即两圆心间距离等于两圆半径之和，故A正确； 若，则两圆心到距离分别为，，即两圆心到距离分别为圆的半径，故B正确； 若，则，又， 两圆的方程相减得两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； ，由选项C可知两圆的公共弦所在直线方程为， 所以到直线的距离为， 所以弦长为，故D正确. 故选：ABD. 64．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A．若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B．若两圆有四条公切线，则 C．当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D．Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 【答案】BD 【分析】求出相交两圆公共弦所在直线方程判断AD；由两圆相离求出范围判断B；利用圆的性质求出最值判断C. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆的圆心，半径，， 对于A，当时，，圆与相交， 两圆方程相减得公共弦所在的直线方程，A错误； 对于B，由两圆有四条公切线，得圆与外离，则， 解得，B正确； 对于C，当时，圆与外离，则，C错误； 对于D，设，依题意，点在以线段为直径的圆上， 线段为直径的圆方程为，与圆的方程相减， 得直线方程：，即， 由，解得，因此直线过定点，D正确. 故选：BD 三、非选择题 65．(24-25高二上·江苏南通·期末)圆与圆的位置关系 . 【答案】相交 【分析】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【详解】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 66．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦的方程，再利用直线的倾斜角求出斜率即可求解. 【详解】因为圆，即与圆相交于两点， 所以两圆方程相减可得公共弦的方程，即， 因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率，解得， 故答案为： 67．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知圆和圆，则的公切线共有 条. 【答案】2 【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可． 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为1， 的圆心坐标为，半径为2， 则圆心距为， 故两圆相交，则两圆的公切线的条数是2条. 故答案为：2 68．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）需要先求出圆心坐标和半径.可通过设圆心坐标，利用圆上点到圆心距离等于半径列方程求解. （2）判断两圆的位置关系，求出两圆的公切线，结合图形，得到满足条件的切线斜率. 【详解】（1）设圆的圆心坐标为，半径为. 因为圆过点和，根据圆的标准方程. 对于点有，即 ①. 对于点有，即 ②. 将②代入①可得：. 展开得. 移项化简得，即，解得. 把代入②得. 所以圆的标准方程为. （2）如图所示，两圆外离，公切线有四条，由于第二象限内的点在圆上显然满足题意的是.下面求公切线斜率.显然斜率存在，设切线. 圆心到切线（即）的距离（∗）， 圆心到切线（即）的距离（∗∗）， 两个式子比，得到由 .化简得到， 则或者.即或者. 当时，代入方程（∗），得到，两边平方整理得，解得或. 当时，代入方程（∗），同样得到，解得. 由于且由图知道，因此，. 故满足题意的的斜率为.    试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的方程 4大高频考点概览 考点01 轨迹方程问题 考点02 圆的标准方程与一般方程 考点03 直线与圆的位置关系 考点04 圆与圆的位置关系 地 城 考点01 轨迹方程问题 一、单选题 1．(24-25高二上·江苏连云港·期末)已知点到两个定点的距离之比为2，则满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知，若在直线上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，半径为1，点.若圆上存在点，满足，则点的横坐标的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知点，若圆上存在点，使得（为坐标原点），则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)已知两定点，，如果动点满足，点是圆上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、非选择题 7．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知点，若直线上存在点M，使则实数k的取值范围是 . 8．(24-25高二上·江苏常州·期末)动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 . 9．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为 . 10．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)已知圆，直线l过点. (1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程; (2)设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 11．(24-25高二上·江苏连云港新海高级中学·期末)在平面直角坐标系中，两点，，点满足． (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线：，，点，求满足条件的所有点构成的图形的面积； (3)过点作直线交曲线于，两点，求面积的最大值． 地 城 考点02 圆的标准方程与一般方程 一、单选题 12．(24-25高二上·江苏泰州·期末)圆的圆心为（   ） A． B． C． D． 13．(24-25高二上·江苏扬州·期末)设，为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（   ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 14．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知椭圆的左焦点为，点在上，点在圆上，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．11 15．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．2 16．(23-24高二上·福建福州八县（、区）一中·期末)直线过定点Q，若为圆上任意一点，则的最大值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．2 17．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)以点为圆心，两平行线与之间的距离为半径的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高二上·江苏南京第十三中学·期末)已知圆的圆心在轴上，且经过，两点，则圆的方程是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 19．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)若两定点， 动点满足， 则下列说法正确的是（   ） A．点 的轨迹所围成区域的面积为 B．面积的最大值为24 C．点到直线距离的最大值为9 D．若圆上存在满足条件的点 ，则的取值范围为 20．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知实数x，y满足，则（   ） A．的最小值为-5 B．的最大值为9 C．的最大值为 D．的最小值为 21．(23-24高二上·吉林辽源田家炳高中友好学校（第七十六届）·期末)已知圆和圆交于两点,则（    ） A．两圆的圆心距 B．两圆有3条公切线 C．直线的方程为 D．圆上的点到直线的最大距离为 22．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则（    ） A．直线l过定点 B．圆C的半径为3 C．当时， D．圆心C到直线l的最大距离是2 三、非选择题 23．(24-25高二上·江苏南京文枢高级中学·期末)已知实数满足关系：，则的最小值 ． 24．(24-25高二上·江苏扬州·期末)某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    25．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)已知圆C的圆心在直线上，且过两点、. (1)求圆C的方程； (2)直线l过点，且与圆C相交于M，N两点，若求直线l方程. 26．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知圆心在直线上的圆经过点，且与直线相切． (1)求圆的标准方程； (2)设为直线上的点，满足：过点引圆的切线，切点分别为和，，试求所有满足条件的点的坐标． 27．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知圆C关于直线对称，且两点，在圆C上. (1)求圆C的标准方程; (2)直线l经过点，且与圆C交于A，B两点.若的面积为，求直线l的方程. 28．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知圆C经过点 (1)求圆C的方程； (2)求过点A且与圆C相切的直线的方程； (3)过B引直线l与圆C交于另一点D，若求l的斜率. 29．(24-25高二上·江苏南京第一中学·期末)已知圆过点，且与圆：相切于点. (1)求圆的方程； (2)设直线过点，且与圆交于，两点，若，求的方程. 30．(24-25高二上·江苏徐州·期末)已知圆的圆心在直线上，且圆与轴相切于点. (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程. 地 城 考点03 直线与圆的位置关系 一、单选题 31．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 32．(24-25高二上·江苏宿迁沭阳县建陵高级中学·期末)圆上恰有3个点到直线的距离等于1，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 33．(24-25高二上·江苏南通·期末)直线被圆截得的弦长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 34．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 35．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)若直线与圆相交于A、B两点，且(其中是原点)，则的值为（ ） A． B． C． D． 36．(24-25高二上·江苏南京中华中学·调研)已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)设m，n为实数，若点是圆上的任意一点，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 38．(23-24高二上·江苏南京六校·期末)若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 39．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)已知，则（   ） A．存在唯一的，使得与轴相切 B．存在2不同的，使得在轴和轴上截得的线段相等 C．存在2个不同的，使得过坐标原点 D．存在唯一的，使得的面积被直线平分 40．(24-25高二上·江苏句容·期末)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为曲线C，则下列结论正确的是（   ） A．曲线C与圆有且仅有三条公切线 B．曲线C关于直线对称的曲线方程为 C．若点在曲线C上，则的取值范围是 D．在x轴上存在异于A，B的两点E，F，使得 三、非选择题 41．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)若上恰有个点到直线的距离为．则实数的取值范围为 ． 42．(24-25高二上·江苏南京五校联盟·期末)若圆上恰有两个点到直线：的距离为1，则正实数的取值范围为 . 43．(24-25高二上·江苏盐城八校·期末)若直线被圆截得的弦长为，则的值为 . 44．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)已知实数x，y满足，则的取值范围为 . 45．(17-18高一下·江苏如东高级中学·)在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，则线段的长的取值范围是 ． 46．(24-25高二上·江苏宿迁中学·期末)在平面直角坐标系中，存在四点． (1)求过三点的圆的方程，并判断点与圆的位置关系； (2)若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程． 47．(24-25高二上·江苏句容·期末)已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 48．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知点的坐标为，且以点为圆心的圆与y轴相切． (1)过点作圆的切线l，求l的方程； (2)圆上是否存在点P，使得点P到距离之比为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 49．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)已知圆，，为坐标原点. (1)若在圆内，求实数的取值范围； (2)若直线与圆相切，求实数的值， 50．(24-25高二上·江苏常州·期末)已知直线与圆相切.直线过点，且与C相交于两点. (1)求的方程； (2)若的面积为，求的方程. 51．(24-25高二上·江苏南京六校联合体·期末)已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知以为端点的弦的长度为，求该弦所在直线方程. 52．(24-25高二上·江苏南京金陵中学·期末)已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线经过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于，两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程. 53．(24-25高二上·江苏淮安淮阴中学·调研)已知的三个顶点为，，，记外接圆为圆M. (1)求圆M的方程； (2)过点C且斜率为k的直线l与圆M交于另一点D，且，求直线l的方程. 地 城 考点04 圆与圆的位置关系 一、单选题 54．(24-25高二上·江苏苏州部分校·期末)若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 55．(24-25高二上·江苏南京第九中学·期末)已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 56．(24-25高二上·江苏镇江第一中学·期末)已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 57．(24-25高二上·江苏南通通州区、启东、如东县等·期末)已知圆，圆，若圆平分圆的周长，则（    ） A． B．6 C．8 D． 58．(24-25高二上·江苏天一中学·期末)若圆C：与圆E：只有一个公共点，则r的值（    ） A．3或6 B．1或7 C．1或9 D．4或8 59．(24-25高二上·江苏镇江中学·期末)已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（    ）． A． B． C．4 D．2 60．(24-25高二上·江苏无锡锡山高级中学·期末)已知圆，圆，两圆的公共弦所在直线方程是（  ） A． B． C． D． 61．(24-25高二上·江苏南京田家炳高级中学·期末)若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 62．(24-25高二上·江苏常州溧阳·期末)圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相离 C．内切 D．外切 二、多选题 63．(24-25高二上·江苏扬州·期末)已知圆与圆，下列选项正确的有（   ） A．若，则两圆外切 B．若，则直线为两圆的一条公切线 C．若，则两圆公共弦所在直线的方程为 D．若，则两圆公共弦的长度为 64．(24-25高二上·江苏常州北郊高级中学·期末)已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ） A．若，则圆，的公共弦所在的直线方程为 B．若两圆有四条公切线，则 C．当时，，分别是圆、圆上的动点，则的最小值为 D．Q为直线上的动点，过点向圆引两条切线，切点分别为，，则直线过定点 三、非选择题 65．(24-25高二上·江苏南通·期末)圆与圆的位置关系 . 66．(24-25高二上·江苏泰州·期末)已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 67．(24-25高二上·江苏南通海门·期末)已知圆和圆，则的公切线共有 条. 68．(24-25高二上·江苏南京南京师范大学附属中学·期末)已知圆，圆的圆心在直线上，且过点． (1)求圆的标准方程； (2)已知第二象限内的点在圆上，过点作圆的切线恰好与圆相切，求的斜率． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $