第3章 重难专题5 列二元一次方程（组）解决分段计费和方案问题-【初中必刷题】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步课件（沪科版2024）

该初中数学课件聚焦七年级上册“列二元一次方程（组）解决分段计费和方案问题”，通过网约车计费、电费阶梯等现实情境导入，衔接方程基础知识，为学生搭建从实际问题抽象数学模型的学习支架。 其亮点是以真实生活案例（如2024福建泉州质检网约车题、租车方案设计）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，通过规范的设元、推理过程发展运算能力和推理意识（数学思维），用表格和方程模型清晰表达数量关系（数学语言）。方法技巧总结助学生归纳思路，教师可直接用于教学，提升学生解决实际问题的能力。

数 学 七年级上册 HK 1 2 3 第3章 一次方程与方程组 4 重难专 题5 列二元一次方程（组）解 决分段计费和方案问题 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 列二元一次方程（组）解决分段计费问题 1.［2024福建泉州质检，中］某网约车平台推出的快车是一种便捷的出行工具， 计价规则如下表： 计费项目 里程费 时长费 远途费 单价 1.8元/千米 0.3元/分 0.8元/千米 注：车费由里程费、时长费、远途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程 计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为行车里程7千米以内 （含7千米）不收远途费，超过7千米的，超出部分每千米收0.8元 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 小王与小张各自乘坐该快车，在同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际 行车里程分别为6千米与8.5千米，两人付给各自快车的乘车费相同. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （1）求小王与小张实际乘车时间相差多少分钟； 【解】设小王与小张实际乘车时间分别为分钟和 分钟. 根据题意，得 ，整理得 . 答：小王与小张实际乘车的时间相差19分钟. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 （2）实际乘车时间较短的人，由于出发时间比另一人早，所以提前到达约见地点 等候．已知他等候另一人的时间是他自己实际乘车时间的2倍，且比另一人的实际 乘车时间的一半多7分钟，计算两人各自的实际乘车时间. 【解】由知，小张乘车时间较短.根据题意得 解得 答：小王与小张实际乘车时间分别为30分钟和11分钟． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 2.［中］为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了 “阶梯价格”制度，下表中是某市的电价标准. 阶梯 用电量 （单位：千瓦时） 价格 一档 元/千瓦时 二档 元/千瓦时 三档 0.9元/千瓦时 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 （1）已知小明家5月份用电252千瓦时，缴纳电费158.4元，6月份用电340千瓦时， 缴纳电费220元，请你根据以上数据，求出表格中， 的值. 【解】依题意得 解得 答：的值为， 的值为0.7. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （2）小明家7月份缴纳电费285.5元，求小明家7月份的用电量. 【解】若一个月用电量为350千瓦时，则电费为 （元）. 因为 ， 所以小明家7月份用电量超过350千瓦时. 依题意得 ， 解得 . 答：小明家7月份的用电量为415千瓦时. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 方法技巧 分段收费在现实生活中的应用非常广泛，出租车收费、电费、水费等大多都是分 段收费，这类问题最易出错的地方就是超出部分收费的计算方式，超出部分应等 于全部减去基础部分. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 类型2 列二元一次方程（组）解决方案问题 3.［中］某物流公司计划用两种车型运输物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资 一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运11吨．某物流公司现有 31吨物资，计划同时租用A型车辆，B型车 辆，一次运完，且恰好每辆车都装满． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 （1）1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？ 【解】设1辆A型车装满物资一次可运吨，1辆B型车装满物资一次可运 吨. 依题意，得解得 答：1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨． 方法技巧 求解方案问题的思路: 运用分类讨论思想列举出所有可能的方案，分情况求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 （2）请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来. 【解】依题意，得 ， 所以 ． 又因为， 均为正整数， 所以或或 所以该物流公司共有3种租车方案， 即方案1：租用9辆A型车，1辆B型车； 方案2：租用5辆A型车，4辆B型车； 方案3：租用1辆A型车，7辆B型车． 根据实际情况选择最优方案. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 （3）若A型车每辆每次需租金100元，B型车每辆每次需租金120元，请从（2）中 的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费. 【解】方案1所需租金为 （元）； 方案2所需租金为 （元）； 方案3所需租金为 （元）． 因为 ， 所以最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 4.［2025安徽合肥期末，较难］某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两 次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时， 两种台灯每台进价分别上涨， ． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3 000 第二次 15 10 4 500 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 19 （1）求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元. 【解】设第一次购进A型台灯每台进价为元，B型台灯每台进价为 元. 由题意得 解得 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 （2）A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润 为2 800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1 800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元. 【解】设A型台灯每台售价为元，B型台灯每台售价为 元.由题意得 解得 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 ②若按照第二次购进A，B型两种台灯每台的价格再购进一次，将再次购进的台灯 全部售出后，要想使获得的利润为1 000元，求有哪几种购进方案. 【解】第二次购进的A型台灯每台的价格为 （元），B型台 灯每台的价格为（元）.设购进A型台灯台，B型台灯 台.由题 意得，整理得.因为, 为自然 数，所以或或或 所以有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型 台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 5.［2025陕西西安期末，较难］如图（1）是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁 架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为 ，靠背由两块相同的靠 背板组成，其尺寸均为 .因学校需要，某工厂配合制作该款学生椅， 清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某板材 加工制作该款学生椅的靠背板与座板.如图（2），购进的板材长为 ，宽为 .（裁切时不计损耗） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 【任务一】 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁 切靠背板____块. 30 【解】在不造成板材浪费的前提下，将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁 切靠背板 （块）.故答案为30. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （2）在不造成板材浪费的前提下，要求一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请 你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板____块和座板___块. 方案二：裁切靠背板____块和座板___块. 方案三：裁切靠背板___块和座板___块. 23 2 16 4 9 6 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 【解析】先在该板材上裁切靠背板6块，设余下的板材可裁切靠背板块，座板 块.根据题意得，所以.因为， 为正整数，所以 或或 故方案一：裁切靠背板23块和座板2块. 方案二：裁切靠背板16块和座板4块. 方案三：裁切靠背板9块和座板6块. 故答案为23，2；16，4；9，6. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 【任务二】 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请你在 （2）的方案中选定两种组合制作这700张学生椅，并说出你选定的两种方案分别 需要多少块板材（恰好全部用完）. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 【解】设用张板材裁切靠背板16块和座板4块，用 张板材裁切靠背板9块和座板6 块.根据题意得 解得 因为 （张），所以需要购买该型号板材128张，用34张板材裁切靠背板16块和座板4块， 用94张板材裁切靠背板9块和座板6块. 设用张板材裁切靠背板23块和座板2块，用 张板材裁切靠背板9块和座板6块.根 据题意得 解得 因为 （张）， 所以需要购买该型号板材128张，用17张板材裁切靠背板23块和座板2块，用111张 板材裁切靠背板9块和座板6块. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 设用张板材裁切靠背板23块和座板2块，用 张板材裁切靠背板16块和座板4块.根 据题意得 解得 （不合题意，舍去）. 综上，选方案二和方案三时，需要购买该型号板材128张，用34张板材裁切靠背板 16块和座板4块，用94张板材裁切靠背板9块和座板6块；选方案一和方案三时，需 要购买该型号板材128张，用17张板材裁切靠背板23块和座板2块，用111张板材裁 切靠背板9块和座板6块.（在两种符合题意的方案组合中选择一种回答即可） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 $$