专题 2.5 逆命题和逆定理（知识梳理 + 题型精析 +同步练习） 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 2.5 逆命题和逆定理 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点引入1： 1 知识点（一）原命题和逆命题 1 【题型1】写出命题的逆命题 2 【题型2】判断是否互为互逆命题 3 知识点（二）逆定理 5 【题型3】互逆定理 5 知识点引入2： 7 知识点（三）线段垂直平分线的判定 8 【题型4】利用线段垂直平分线的判定求值证明 8 【题型5】利用线段垂直平分线性质与判定综合求值证明 11 二．同步练习 14 【基础巩固（12题）】 14 【能力提升（14题）】 20 【中考真题5题】 31 一．知识梳理与题型分类精析 知识点引入1： 【例1】完成下面表格的空格填空 命题 条件 结论 命题真假 （1）两直线平行，内错角相等。 两直线平行 内错角相等 真命题 （2）内错角相等，两直线平行。 内错角相等 两直线平行 真命题 （3）邻补角互补。 如果两个是邻补角 这两个角互补 真命题 （4）互补的角是邻补角。 如果两个角互补 这两个角是邻补角 假命题 知识点（一）原命题和逆命题 对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。如表格中的，命题（1）与命题（2），命题（3）与命题（4），它们都是互逆命题。 【题型1】写出命题的逆命题 【例题2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． （1）请写出该命题的逆命题； （2）判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． 【答案】（1）如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行；（2）真命题，过程见分析． 【分析】本题主要考查逆命题，平行线的判定，三角形内角和定理，掌握平行线的判定是关键． （1）根据逆命题的书写方法即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和定理得到，结合平行线的判定方法即可求解． 解：（1）解：逆命题：如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行． （2）解：已知：如图，直线、被直线所截，平分，平分，． 求证：， 证明：∵平分，平分， ∴， （角平分线的定义）， ∵， ∴， ∵（ 三角形内角和定理 ）， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【变式】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．两条直线平行，内错角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查真假命题的判定，逆命题的真假，解题的关键是将命题改成逆命题． 判断各选项的逆命题是否为真．逆命题是将原命题的条件和结论互换，需逐一验证其正确性． 解：A． 原命题：“两直线平行，内错角相等”．逆命题：“内错角相等，两直线平行”．根据平行线判定定理，内错角相等则两直线平行，逆命题成立，故本题符合题意； B． 原命题：“ 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．逆命题：“绝对值相等的两个实数相等”．反例：但，逆命题不成立，故本题不符合题意； C． 原命题：“全等三角形的对应角相等”．逆命题：“对应角相等的两个三角形全等”．对应角相等仅说明相似，不全等，逆命题不成立，故本题不符合题意； D． 原命题：“等边三角形是锐角三角形”．逆命题：“锐角三角形是等边三角形”．锐角三角形只需三个角均小于90°，未必等边，逆命题不成立，故本题不符合题意； 故选：A． 【题型2】判断是否互为互逆命题 【例题3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）；；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行；（2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． （1）根据平行线的性质，可得 ，根据角平分线的定义，可得 ，再根据平行线的判定，即可得出 ； （2）在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题． 解：（1）∵ 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）， （等式的性质）， （内错角相等，两直线平行）， 故答案为： ；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行； （2）两个互逆的真命题为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行． 【变式】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 【答案】（1）见分析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． （1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断，则利用平行线的传递性得到，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 知识点（二）逆定理 每个命题都有它的逆命题，但真命题的逆命题不一定是真命题。如表格命题（3）是真命题，而它的逆命题（4）是假命题。如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。 【题型3】互逆定理 【例题4】（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 【变式1】判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  （ ） A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课后作业）写出定理“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆定理，并给予证明． 【答案】等边三角形的三个角都相等，见分析 【分析】本题考查了逆命题，等边三角形的性质等知识．熟练掌握逆命题，等边三角形的性质是解题的关键． 先写出逆命题，然后根据等边三角形的性质证明即可． 解：逆定理为“等边三角形的三个角都相等”． 已知：是等边三角形． 求证：． 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 知识点引入2： 【例题5】（21-22八年级上·重庆·期中）已知命题“与一条线段两个端点相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． （1）这个命题的条件是：____________________．这个命题的结论是：__________________． （2）请你根据命题的条件，画出相应的图形，并根据图形用数学符号表示已知和求证． （3）完成证明过程． 【答案】（1）如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上；（2）图见分析，已知和求证见分析；（3）证明见分析． 【分析】（1）根据命题的定义（一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题）即可得； （2）先画出相应的图形，再根据命题的条件写成已知，根据结论写出求证； （3）分点在线段上和点在线段外，根据等腰三角形的三线合一可得，再根据线段垂直平分线的判定即可得证． 解：（1）这个命题的条件是：如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，这个命题的结论是：那么这个点在这条线段的垂直平分线上． 故答案为：如果一个点到一条线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上； （2）画出图形如下： 已知：如图1和图2，是一条线段，点是平面内任意一点，且； 求证：点在线段的垂直平分线上． （3）证明：①如图1，点在线段上， ， 点是线段的中点， 点在线段的垂直平分线上； ②如图2，点在线段外， 取线段的中点，连接， 是的边上的中线， ， （等腰三角形的三线合一）， 垂直平分， 点在线段的垂直平分线上． 【点拨】本题考查了命题、等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的判定，熟练掌握命题的定义和线段垂直平分线的判定是解题关键． 知识点（三）线段垂直平分线的判定 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图1 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 【题型4】利用线段垂直平分线的判定求值证明 【例题6】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图1，是射线上的一动点． （1）若，，则是__________三角形． （2）若为直角三角形，且，则的度数为__________． （3）如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】（1）等腰；（2）或；（3）真命题 【分析】本题考线段垂直平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理和外角性质，关键是掌握等腰三角形“三线合一”的性质，分两种情况讨论． （1）由三角形的外角性质求出，由邻补角的性质得到，因此，推出，得到是等腰三角形； （2）或都有可能是，再求的度数； （3）由等腰三角形的性质推出，即可证明问题． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． （2）解：若， ∴； 若， ∴， ∴的度数为或． 故答案为：或． （3）解：命题“当时，为线段的垂直平分线”是真命题，理由如下： ∵，为的中点， ∴， ∴为线段的垂直平分线． 故答案为：真命题． 【变式1】（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 【变式2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知线段，以点，点为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为．作直线，连接．则下列说法：①四边形是轴对称图形；②平分；③直线垂直平分线段；④是等边三角形；其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，轴对称图形的识别，根据题意可得，据此可判断①；可证明，得到四边形是轴对称图形，，据此可判断②③；根据现有条件无法证明是等边三角形，据此可判断④． 解：由题意得，， ∴直线垂直平分线段，故③正确； 又∵， ∴， ∴四边形是轴对称图形，，故①正确； ∴平分，故②正确； 根据现有条件无法证明是等边三角形，故④错误， 故答案为：①②③． 【题型5】利用线段垂直平分线性质与判定综合求值证明 【例题7】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． （1）若的周长是14，的长是3，求的周长； （2）若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【答案】（1）；（2）证明见分析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握三角形全等的判定及性质，利用转换的思想进行求解． （1）根据题意得出，根据△ABC的周长是14，可得，通过等量代换可知，即可得出答案； （2）通过证明出，得出，即可证明． 解：（1）解：是的垂直平分线， ， ， ， 的周长为14， ， ， ， 的周长为8； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 即点E在线段的垂直平分线上． 【变式1】（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，点D是边的中点，连接，．E是边上任意一点（不与点A、C重合），连接并延长至点F，连接，，． 【问题提出】（1）求的度数； 【问题探究】（2）连接，若，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），见分析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据线段中点的定义和已知条件可得，则，，再由三角形内角和定理可得，即． （2）由平行线的性质得到，，证明，得到，，证明垂直平分，可得，据此可得结论． 解：（1）∵点D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即． （2），理由： ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握是解题的关键． 先证明垂直平分，得，再根据垂直平分，得，根据，即得． 解：∵，且点为线段的中点， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 二．同步练习 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东惠州·期末）下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．三边对应相等的两个三角形全等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查逆命题和命题真假判断，先求出逆命题，再根据平行线的性质，全等三角形的判定，直角三角形锐角互余判断即可． 解：A：原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”．根据平行线判定定理，逆命题成立． B：原命题“三边对应相等的两个三角形全等”的逆命题为“全等的两个三角形三边对应相等”．由全等三角形的定义，逆命题成立． C：原命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题为“两个锐角互余的三角形是直角三角形”．若两锐角之和为，则第三个角为，故逆命题成立． D：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”．当时，成立但，逆命题不成立． 故选：D． 2．（24-25八年级下·河北邢台·期中）下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 【答案】D 【分析】本题考查了原命题与逆命题，判断逆命题的真假，解题的关键是熟练掌握命题的结构． 根据原命题，写出逆命题，判断逆命题的真假即可． 解：∵命题“对顶角相等”可以写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”， ∴①正确， ∵如果两个角相等，这两个角不一定是对顶角，比如，等腰三角形的两个底角相等，但这两个角不是对顶角， ∴②不正确， ∴只有②不正确， 故选：． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．全等三角形的周长相等 C．任何一个直角三角形中，都没有钝角 D．对应角相等的三角形是全等三角形 【答案】D 【分析】本题考查了判断逆命题的真假，全等三角形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是根据相应的概念判断选项． 分别写出各选项的逆命题，并判断其真假即可． 解：选项A：逆命题为“若，则”， 当时，但，故逆命题为假； 选项B：逆命题为“周长相等的三角形是全等三角形”， 反例：边长为3、4、5的三角形与边长为4、4、4的三角形周长均为，但二者不全等，故逆命题为假； 选项C：逆命题为“没有钝角的三角形是直角三角形”， 反例：三个角均为的等边三角形无钝角，但不是直角三角形，故逆命题为假； 选项D：逆命题为“全等三角形的对应角相等”， 根据全等三角形的性质，全等三角形对应角相等，故逆命题为真． 故选：D． 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，要构造以C为直角顶点的等腰直角三角形，需满足且，则点C在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 6．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定定理． 到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，据此解答即可求解． 解：∵到三角形的一边的两端点距离相等的点在这边的垂直平分线上， ∴现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的三条边的垂直平分线的交点， 故选：C． 二、填空题 7．（24-25八年级下·河南郑州·期末）“若，则”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】假 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握逆命题的概念、真假命题的判断是解题的关键． 把命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再根据绝对值的性质判断真假． 解：命题“若，则”的逆命题是“若，则”, ， , 若，则是假命题， 故答案为：假． 8．（24-25七年级下·上海长宁·期末）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ． 【答案】两个三角形面积相等则这两个三角形全等 【分析】本题考查了命题的逆命题，掌握逆命题的书写方法是关键． 对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，确定条件和结论，根据逆命题的书写方法即可求解． 解：“两个全等三角形的面积相等”的条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”， ∴逆命题为：两个三角形面积相等则这两个三角形全等， 故答案为：两个三角形面积相等则这两个三角形全等 ． 9．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是 ，此逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】 在同一个三角形中，等边对等角 真 【分析】本题考查了命题，根据互逆命题的定义即可求解，掌握互逆命题的定义是解题的关键． 解：“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是“在同一个三角形中，等边对等角”，逆命题是真命题， 故答案为：在同一个三角形中，等边对等角，真． 10．（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 解：定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”， 故答案为：内错角相等，两直线平行 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，已知中，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的判定定理．先根据等腰三角形的性质得出，根据，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据线段垂直平分线的判定得出垂直平分，即可得出答案． 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线． 【答案】证明见分析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，先证明为等边三角形，可得，进一步解答即可. 解：证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴在的垂直平分线上， ∵， ∴在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． 【能力提升（14题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．全等三角形的周长相等 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了逆命题及命题的真假，先写出命题的逆命题，再逐一判断即可求解，正确写出命题的逆命题是解题的关键． 解：、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，该选项不合题意； 、两直线平行，同旁内角互补的逆命题是同旁内角互补，两直线平行，逆命题是真命题，该选项符合题意； 、全等三角形的周长相等的逆命题是周长相等的两个三角形全等，逆命题是假命题，该选项不合题意； 、若，则 的逆命题是若，则，逆命题是假命题，该选项不合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·河南·阶段练习）下列命题中，逆命题是真命题的有（　　） （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）对顶角相等； （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （4）有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （5）如果，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假，将原命题的条件和结论互换，写出各项的逆命题，再判断真假即可． 解：①逆命题为：同旁内角互补，两直线平行，是真命题，符合题意； ②逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，不符合题意； ③逆命题为：同一平面内，两条直线平行，则两条直线垂直于同一条直线，是真命题，符合题意； ④逆命题为：等边三角形是有一个角为60度的等腰三角形，是真命题，符合题意； ⑤逆命题为：如果，那么，是真命题，符合题意； 故选D． 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）给出下列命题：①如果，那么；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④全等三角形的对应角相等；它们的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】该题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 分别写出原命题的逆命题后判断真假即可． 解：①逆命题为如果，那么，成立，是真命题，不符合题意； ②逆命题为同位角相等，两直线平行，成立，是真命题，不符合题意； ③逆命题为如果两个角相等，那么他们是对顶角，是假命题，符合题意； ④逆命题为对应角相等的三角形全等，是假命题，符合题意； 故选：B． 4．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，余角与补角，先写出原命题的逆命题，再找到满足且的反例即可． 解：对于命题“如果，那么与互补”的逆命题为“如果与互补，那么”，能说明这个命题为假命题的反例可以为：，， 故选：C． 5．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，可利用证明得到，据此可判断①②③；根据现有条件无法证明垂直平分，据此可判断④． 解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故①②正确； ∴垂直平分，故③正确； 根据现有条件无法证明垂直平分，故④错误； 故选：C． 6．（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，在等边中，点D为线段上一点，连接，平分交于点E，连接与的延长线交于点F，连接，且，则以下结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C．是等腰三角形 D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判断，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，先根据对顶角的性质，补角的性质并结合已知可得出，然后根据证明，得出，，然后根据等边对等角和线段垂直平分线的判定即可判断选项A、B，根据等腰三角形的定义即可判断选项C，根据已知条件无法证明选项D． 解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴，垂直平分，即垂直平分故选项A、B正确； ∵，， ∴， ∴是等腰三角形，故选项C正确； 根据已知条件，只能找到，故不能证明，故选项D错误， 故选：D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·江苏南京·期中）“偶数能被整除”的逆命题是 ． 【答案】如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为모一个命题的逆命题，根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题即可． 解：“偶数能被整除”的逆命题是：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数， 故答案为：如果一个数能被整除，那么这个数是偶数． 8．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）写出命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题 . 【答案】等腰三角形是等边三角形 【分析】把命题“等边三角形是等腰三角形”的题设和结论互换即可得到逆命题解答． 解：命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题为： 等腰是三角形是等边三角形， 故答案为：等腰三角形是等边三角形． 【点拨】本题考查逆命题的写法，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 9．（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知，，若平面上存在点使，当时，则 ． 【答案】或/或 【分析】如图所示，分别以为x轴，y轴建立坐标系，取的中点E、F，连接，则，，根据可知点D在直线上，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，由此利用两点距离公式求出点D的坐标即可得到答案． 解：如图所示，分别以为x轴，y轴建立坐标系，取的中点E、F，连接， ∵ ，， ∴， ∴， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴点D在直线上， ∵， ∴， 设， ∴， 解得或， 当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 【点拨】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，线段垂直平分线的判定，直角三角形斜边上的中线，正确建立坐标系灵活运用所学知识是解题的关键． 10．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC的度数为 ． 【答案】76 ° 【分析】如图，利用线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到，再利用垂直的定义结合三角形外角性质得到，，利用平角的定义得到，计算即可求解． 解：如图，连接BO并延长， ∵、分别是线段AB、BC的垂直平分线， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， 而， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，平角的定义，注意掌握辅助线的作法，掌握整体思想与数形结合思想的应用是解题关键． 三、解答题 11．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，面积公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明垂直平分即可； （）先证明是等边三角形，由垂直平分，则有，然后根据即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵，是不同的两点， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵， ∴是等边三角形， ∵垂直平分， ∴是的中点， ∴， ∵ ∴ ， ∴四边形的面积为． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】（1）；（2）见分析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、垂直的定义、全等三角形的判定与性质． 根据角平分线的定义可知，根据垂直的定义可知，根据直角三角形的两个锐角互余可求； 利用可证，根据全等三角形的性质可知，又因为平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证：直线是线段的垂直平分线． 解：（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 平分， ，平分线段， 直线是线段的垂直平分线． 13．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）根据证明，得出，，然后根据线段垂直平分线的判定即可得证； （2）根据求解即可． 解：（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴A、D都在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； （2）解：∵，，， ∴ ． 14．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，点分别为垂足，，． （1）证明：； （2）试说明平分 （3）延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）证明即可得证； （2）根据到角两边距离相等的点，在角的角平分线上，进行判断即可； （3）根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，进行判断即可． 解：（1）证明： ， ， 又 ， ； （2）， 平分； （3）证明： （）， ， ，即， 又， 垂直平分线． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案． 解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意； C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意； D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点拨】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题． 二、填空题 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了逆定理的改写，根据题意，将题设与结论交换位置即可． 解：定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行 ． 3．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 【答案】如果，那么 【分析】根据逆命题的概念解答即可． 解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”， 故答案为：如果，那么． 【点拨】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 4．（2022·浙江湖州·中考真题）“如果，那么”的逆命题是 ． 【答案】如果，那么 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案． 解：“如果，那么”的逆命题是： “如果，那么”， 故答案为：如果，那么． 【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义． 三、解答题 5．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、平移的基本性质、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等基础知识，考查空间观念、几何直观与推理能力，考查化归与转化思想等，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）等边三角形的性质推出，垂直，得到，角的和差关系求出的大小即可； （2）平移得到，进而得到，角的和差关系推出，进而得到，根据，推出垂直平分，进而得到，推出，进而得到是等边三角形即可． 解：（1）解：是等边三角形， ． D是的中点， ． ， ， ． （2）由平移可知：， ， 又， ， ∴， 又， 垂直平分， ， 由（1）知，， ， ， 是等边三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2.5 逆命题和逆定理 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 知识点引入1： 1 知识点（一）原命题和逆命题 1 【题型1】写出命题的逆命题 2 【题型2】判断是否互为互逆命题 2 知识点（二）逆定理 3 【题型3】互逆定理 3 知识点引入2： 3 知识点（三）线段垂直平分线的判定 3 【题型4】利用线段垂直平分线的判定求值证明 4 【题型5】利用线段垂直平分线性质与判定综合求值证明 5 二．同步练习 6 【基础巩固（12题）】 6 【能力提升（14题）】 7 【中考真题5题】 11 一．知识梳理与题型分类精析 知识点引入1： 【例1】完成下面表格空格部分 命题 条件 结论 命题真假 （1）两直线平行，内错角相等。 （2）内错角相等，两直线平行。 （3）如果，那么。 （4）如果，那么。 知识点（一）原命题和逆命题 对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题叫作它的逆命题。如表格中的，命题（1）与命题（2），命题（3）与命题（4），它们都是互逆命题。 【题型1】写出命题的逆命题 【例题2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． （1）请写出该命题的逆命题； （2）判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． 【变式】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）下列命题的逆命题成立的是（    ） A．两条直线平行，内错角相等 B．如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等 C．全等三角形的对应角相等 D．等边三角形是锐角三角形 【题型2】判断是否互为互逆命题 【例题3】（24-25八年级上·安徽六安·期中）（1）完成下面的推理说明： 已知：如图，，，分别平分和． 求证：． 证明：，分别平分和（已知）， _____，_____（_____________）． （已知）， （_______________）， （___________）， （等式的性质）， （_____________）． （2）指出（1）的推理中运用了哪两个互逆的真命题． 【变式】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）（1）已知：如图，直线被直线所截，． 求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？请把这两个真命题写出来． 知识点（二）逆定理 每个命题都有它的逆命题，但真命题的逆命题不一定是真命题。如表格命题（3）是真命题，而它的逆命题（4）是假命题。如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。 【题型3】互逆定理 【例题4】（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 【变式1】判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  （ ） A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 知识点引入2： 【例题5】（23-24八年级上·重庆·期中）已知命题“与一条线段两个端点相等的点，在这条线段的垂直平分线上”． （1）这个命题的条件是：____________________．这个命题的结论是：__________________． （2）请你根据命题的条件，画出相应的图形，并根据图形用数学符号表示已知和求证． （3）完成证明过程． 知识点（三）线段垂直平分线的判定 3.判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 图1 数学语言：（如图3）， 点是线段的垂直平分线上一点（到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 【题型4】利用线段垂直平分线的判定求值证明 【例题6】（24-25八年级下·河北保定·期末）如图1，是射线上的一动点． （1）若，，则是__________三角形． （2）若为直角三角形，且，则的度数为__________． （3）如图2，若为的中点，则命题“当时，为线段的垂直平分线”是__________．（填“真命题”或“假命题”） 【变式1】（24-25八年级下·福建三明·期末）如图，，，下列结论一定正确的是（    ） A．平分 B．垂直平分 C．垂直平分 D．与互相垂直平分 【变式2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，已知线段，以点，点为圆心，取大于长为半径，作两条相交的弧，交点记为．作直线，连接．则下列说法：①四边形是轴对称图形；②平分；③直线垂直平分线段；④是等边三角形；其中正确的有 ．（填序号） 【题型5】利用线段垂直平分线性质与判定综合求值证明 【例题7】（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、． （1）若的周长是14，的长是3，求的周长； （2）若，求证：点E在线段的垂直平分线上． 【变式1】（24-25七年级下·陕西·期末）如图，在中，点D是边的中点，连接，．E是边上任意一点（不与点A、C重合），连接并延长至点F，连接，，． 【问题提出】（1）求的度数； 【问题探究】（2）连接，若，请探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古包头·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边，于点，，过点A作，垂足为点，且点为线段的中点，连接．若，，则的长为（  ） A．8 B．10 C．12 D．14 二．同步练习 【基础巩固（12题）】 一、单选题 1．（24-25八年级下·广东惠州·期末）下列命题的逆命题不成立的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．三边对应相等的两个三角形全等 C．直角三角形的两个锐角互余 D．若，则 2．（24-25八年级下·河北邢台·期中）下列关于命题“对顶角相等”的判断正确的是（   ） ①其逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角；②其逆命题成立 A．①和②都正确 B．①和②都不正确 C．只有①不正确 D．只有②不正确 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．全等三角形的周长相等 C．任何一个直角三角形中，都没有钝角 D．对应角相等的三角形是全等三角形 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 6．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，学校、体育馆、邮局三个地方的位置可以近似看成是在三角形的三个顶点上，现若要修建一所医院，并使得到这三个地方的距离相等，那么应该修在这个三角形的（    ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 二、填空题 7．（24-25八年级下·河南郑州·期末）“若，则”的逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 8．（24-25七年级下·上海长宁·期末）写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题 ． 9．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）命题“在同一个三角形中，等角对等边”的逆命题是 ，此逆命题是 命题（填“真”或“假”）． 10．（24-25七年级下·山东济宁·期末）请写出定理“两直线平行，内错角相等”的逆定理： ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）已知：如图，已知中，．求证：． 12．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线． 【能力提升（14题）】 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．对顶角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．全等三角形的周长相等 D．若，则 2．（24-25八年级下·河南·阶段练习）下列命题中，逆命题是真命题的有（　　） （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）对顶角相等； （3）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； （4）有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （5）如果，那么． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）给出下列命题：①如果，那么；②两直线平行，同位角相等；③对顶角相等；④全等三角形的对应角相等；它们的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 5．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，是的角平分线，，，垂足分别为E，F，连接．与相交于点G．则下列结论：①；②；③垂直平分；④垂直平分，正确的是（    ） A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 6．（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，在等边中，点D为线段上一点，连接，平分交于点E，连接与的延长线交于点F，连接，且，则以下结论错误的是（   ） A． B．垂直平分 C．是等腰三角形 D． 二、填空题 7．（23-24七年级下·江苏南京·期中）“偶数能被整除”的逆命题是 ． 8．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）写出命题“等边三角形是等腰三角形”的逆命题 . 9．（2022·贵州铜仁·模拟预测）已知，，若平面上存在点使，当时，则 ． 10．（21-22八年级上·江苏无锡·期中）如图，线段AB、BC的垂直平分线、相交于点O，若∠1＝38°，则∠AOC的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，． （1）求证：． （2）若，，求四边形的面积． 12．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，平分，于． （1）若，求的度数； （2）求证：直线是线段的垂直平分线． 13．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，连接，与交于点． （1）求证：是的垂直平分线； （2）若，，，求的面积． 14．（24-25八年级下·江西吉安·期末）已知，如图，，点分别为垂足，，． （1）证明：； （2）试说明平分 （3）延长相交于点，连结．证明：垂直平分线段． 【中考真题5题】 一、单选题 1．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（   ） A．命题一定有逆命题 B．所有的定理一定有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 二、填空题 2．（2024·江苏宿迁·中考真题）请写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理 ． 3．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果，那么”的逆命题： ． 4．（2022·浙江湖州·中考真题）“如果，那么”的逆命题是 ． 三、解答题 5．（2025·福建·中考真题）如图，是等边三角形，D是的中点，，垂足为C，是由沿方向平移得到的．已知过点A，交于点G． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$