精品解析：江苏省启东中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题

江苏省启东中学2024-2025学年度第二学期第一次月考 高二数学 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由组合的概念和分步乘法计数原理可得结果. 【详解】从集合A中取1个元素有种方法，从集合B中取1个元素有种方法， 所以从两个集合中各取1个元素有种方法. 故选：B. 2. 两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】由捆绑法即可求解； 【详解】解：两男两女站成一排照相，女生相邻， 则可将两个女生捆绑，则有种方法， 再与两个男生进行全排列，有种方法， 则女生相邻的所有排列种数为种． 故选：C 3. 记函数的导函数为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再求得导函数在处的函数值. 【详解】因为，则， 所以， 故选：A. 4. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“你和乙都不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你的名次比甲差点.”从这两个回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（    ） A. 54种 B. 60种 C. 36种 D. 120种 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列组合，结合分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由于甲乙都不是最差的，且乙的名次比甲差，所以甲乙均在前4名中，且甲在乙的前面， 故从前4名中选择两个名次安排甲乙的名次，共有种方法，接下来将剩下3个人全排列得种方法， 故总的安排方法有. 故选：C 5. 已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为： 甲产业收益分布列 收益/亿元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙产业收益分布列 收益/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 则下列说法正确的是（ ） A. 甲产业收益的期望大，风险高 B. 甲产业收益的期望小，风险小 C. 乙产业收益的期望大，风险小 D. 乙产业收益的期望小，风险高 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算出甲、乙产业的期望和方差，比较大小，即可判断答案. 【详解】由题意可得， ； ， ， 故, 即甲产业收益的期望大，风险高， 故选：A 6. 已知，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】C 【解析】 【分析】由条件概率公式计算可得结果. 【详解】由，可得，则. 故选：C. 7. 已知 的展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设，若，则（ ） A. 63 B. 64 C. 247 D. 255 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质求出，根据求出，再由赋值法求解即可. 【详解】因为展开式只有第 5 项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以，，∴， ∴，令，得，令，得， ∴． 故选：C． 8. 某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（    ） A. 90种 B. 150种 C. 300种 D. 360种 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解. 【详解】若3所学校分配1名师范生的人数为时，先取3人看成一个整体，再进行排列， 所以不同的跟岗分配方案有种； 若3所学校分配1名师范生的人数为时，注意到有2个学校均分配2名师范生， 所以不同的跟岗分配方案有种； 综上所述：不同的跟岗分配方案共有种. 故选：B 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从含有3件次品的20件产品中，任意抽出5件进行检验（ ） A. 抽出的产品都是合格品的抽法种数为 B. 抽出的产品中恰好有2件是次品的抽法种数为 C. 抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为 D. 抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，易得抽出的产品都是合格品的抽法有种；B选项，可得需从17件合格品抽3件，3件次品抽2件；C选项，由抽出的产品中至少有2件次品包括2件次品和3件次品，分别计算方法数再相加即可；D选项，抽出的产品中至多有2件次品可由总的抽法减去不满足条件的抽法计算. 【详解】对于A，20件产品中合格品有17件，则抽出的产品都是合格品的抽法种数为，A正确； 对于B，抽出产品中恰好有2件是次品的抽法种数为，B错误； 对于C，抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为，C错误； 对于D，抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为，D正确. 故选：AD. 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“二阶导函数”的概念，结合导数运算公式求解即可. 【详解】对于A，， 当时，，，故A错误； 对于B，在恒成立，故B正确； 对于C，在恒成立，故C正确； 对于D，， 因为，所以，所以恒成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知高二（1）（2）（3）班三个班的学生人数之比为3∶3∶4.在某次数学考试中，高二（1）班的不及格率为10%，高二（2）班的不及格率为20%，高二（3）班的不及格率为15%，从三个班随机抽取一名学生.记事件“该学生本次数学考试不及格”，事件“该学生在高二（）班”（，2，3），则（ ） A. B. C. 与相互独立 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用古典概型的概率计算公式可判断A；根据全概率公式可判断B；根据独立事件的概率乘法公式可判断C；根据条件概率公式计算结论可判断D. 【详解】对于A，，，，故A错误； 对于B，由题意，，，， ，故B正确； 对于C，由，则， 即与相互独立，故C正确； 对于D，，， ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 12. 在的展开式中，含的项的系数是___________． 【答案】 【解析】 【分析】从的6个因式中，其中5个选x，余下的一个选常数相乘，即可得到项，由此可求得答案． 【详解】由题意可知从题中的6个因式中， 其中5个选x，余下的一个选常数相乘，即可得到项， 比如都选x，此时系数为， 都选x，此时系数为， 依此类推，直到都选x，此时系数为， 共6种情况，将这6项合并， 即可得，故含的项的系数是. 故答案为：. 13. 曲线在点处的切线方程为，则的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可列方程求解. 【详解】， 故处的切线方程为， 又切线方程， 故，解得， 故答案为： 14. 某校高三1班10名同学、高三2班20名同学、高三3班10名同学参加“强国有我”演讲比赛，采用随机抽签的方式确定出场顺序，每位同学依次出场，记“高三1班全部学生完成比赛后，高三2班和高三3班都有学生尚未完成比赛”为事件A，则事件A发生的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】本题需要对题目进行转化，将高三1班10名同学、高三2班20名同学、高三3班10名同学转化为，1班1名学生，2班2名学生，3班1名学生，再进行全排列，利用概率公式求解答案. 【详解】根据题目本题主要关注的问题是最后一名参赛学生是哪个班级的学生. 问题1：如果最后一位参赛学生为1班学生，即1班完成比赛时，2班、3班已经全部完成， 此时概率为，表示1班10位学生选取1位作为最后一位参赛学生， 表示去除最后一名参赛学生后剩余学生全排列，作为分母表示40位学生的全排列， 同理可得，最后一名参赛学生是2班的概率为，最后一名参赛学生是3班的概率为； 将以上高二（1）班10名学生、高二（2）班10名学生、高二（3）班20名学生，按照比例转化为，1班1名学生，2班2名学生，3班1名学生，进行考察. 问题2：发现最后一名参赛学生是1班的概率为，最后一名参赛学生是2班的概率为，最后一名参赛学生是3班的概率为， 所以问题1与问题2等价，不妨令1班学生为a，2班学生为b，c，三班学生为d，则全排列作为概率公式分母，即. 记“高三1班全部学生完成比赛后，高三2班和高三3班都有学生尚未完成比赛”为事件A，现在对事件A进行分析： 第一类：a在首位时，b，c，d全排列，有种可能； 第二类：a在第二位时，d必须在第三或第四位，b，c全排列，有种可能； 综上，共种可能， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：将问题简化为1班1名学生，2班2名学生，3班1名学生为关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步. 15. 已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. （1）求救援小组中医生和护士的人数； （2）若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 【答案】（1）医生人数为2，护士人数为3； （2） 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样的特征进行求解，得到答案； （2）2名医生，记为A，B；3名护士，记为a，b，c，利用列举法进行求解 【小问1详解】 由题可知救援小组中医生的人数为，护士的人数为. 小问2详解】 由（1）可知救援小组中有2名医生，记为A，B；有3名护士，记为a，b，c. 从中随机选取2人担任组长，所有的结果为，，，，， ，，，，，共有10种可能的结果. 记事件M为“医生和护士各有1人被选中担任组长”，依题意可知事件M包含的样本点 有，，，，，，共有6种可能的结果. 故. 16. 已知函数的导函数为，且满足． （1）求及的值； （2）求在点处的切线方程． 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可得，进而可得，然后可得，即得； （2）由题可求，，再利用点斜式即得 【小问1详解】 ∵， ∴，， ∴，， ∴. 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴在点处的切线方程为，即. 17. 已知的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）二项式系数最大的项为第三、四两项，，； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据展开式中各项系数和（令）二项式系数和（）的比例列出方程求得，由二项式的性质知，二项式系数最大的项为第三、四两项； （2）设展开式中第项的系数最大，由通项，列不等式组得，继而求得的值，即得最大项． 【详解】（1）令，得展开式中的各项系数和为 又展开式中二项式系数和为 所以，解得 因为，所以展开式共有项 所以二项式系数最大的项为第三、四两项 所以， （2）设展开式中第项的系数最大 得， 解得 所以， 即展开式中系数最大的项为 18. 某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额. （1）若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求 ①员工所获得的奖励为1000元的概率； ②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望； （2）公司对奖励额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【答案】（1）①；②分布列答案见解析，数学期望：元 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）①根据古典概型公式计算即可； ②写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式计算期望即可； （2）先根据题意可确定方案（800，800，200，200）和方案（400，400，600，600），分别求出两种方案的期望与方差，比较两者即可得出结论. 【小问1详解】 设员工所获得的奖励额为X， ①， ∴员工所获得的奖励额为1000元的概率为； ②X所有可能的取值为400，1000， ，， ∴X的分布列为 X 400 1000 P ∴员工所获得的奖励额的期望为元； 【小问2详解】 根据公司预算，每个员工的平均奖励额为1000元， 所以先寻找期望为1000元的可能方案， 对于面值由800元和200元组成的情况， 如果选择（200，200，200，800）的方案，因为1000元是面值之和的最大值， 所以期望不可能为1000元， 如果选择（800，800，800，200）的方案， 因为1000元是面值之和的最小值，所以期望不可能为1000元， 因此可能的方案是（800，800，200，200）记为方案1， 对于面值600元和400元的情况， 同理排除（600，600，600，400）和（400，400，400，600）的方案， 所以可能的方案是（400，400，600，600）记为方案2， 对于方案1，设员工所获得的奖励额为，可取， ，，， ∴的期望为， 方差， 对于方案2，设员工所获得的奖励额为，可取， ，，， ∴的期望为， 方差， 由于两种方案的奖励额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，所以应选择方案2. 19. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. （Ⅰ）求证：AC⊥SD； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）；（Ⅲ）2:1 【解析】 【分析】（I）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（II）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（III）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC 【详解】（I）证明：连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD （II）设正方形边长a，则． 又，所以∠SDO＝60°． 连OP，由（I）知AC⊥平面SBD，所以AC⊥OP，且AC⊥OD．所以∠POD是二面角P－AC－D的平面角． 由SD⊥平面PAC，知SD⊥OP，所以∠POD＝30°， 即二面角P－AC－D的大小为30° （III）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC． 由（II）可得，故可在SP上取一点N，使PN＝PD．过N作PC的平行线与SC的交点即为E．连BN，在△BDN中知BN∥PO． 又由于NE∥PC，故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC． 由于SN∶NP＝2∶1，故SE∶EC＝2∶1 考点：1．直线与平面垂直的判定；2．二面角求解；3．线面平行的判定 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省启东中学2024-2025学年度第二学期第一次月考 高二数学 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，从两个集合中各取1个元素，不同方法的种数是（ ） A. B. C. D. 2. 两男两女站成一排照相，女生相邻的所有排列种数为（ ） A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 3. 记函数的导函数为.若，则（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名名次．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“你和乙都不是最差的．”对乙说：“很遗憾，你的名次比甲差点.”从这两个回答分析，5人的名次排列的不同情况可能有（    ） A. 54种 B. 60种 C. 36种 D. 120种 5. 已知甲、乙两种产业收益的分布列分别为： 甲产业收益分布列 收益/亿元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 乙产业收益分布列 收益/亿元 0 1 2 概率 0.3 0.4 03 则下列说法正确的是（ ） A. 甲产业收益的期望大，风险高 B. 甲产业收益的期望小，风险小 C. 乙产业收益的期望大，风险小 D. 乙产业收益的期望小，风险高 6. 已知，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 7. 已知 展开式只有第 5 项的二项式系数最大，设，若，则（ ） A. 63 B. 64 C. 247 D. 255 8. 某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，则不同的跟岗分配方案共有（    ） A. 90种 B. 150种 C. 300种 D. 360种 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 从含有3件次品的20件产品中，任意抽出5件进行检验（ ） A. 抽出的产品都是合格品的抽法种数为 B. 抽出产品中恰好有2件是次品的抽法种数为 C. 抽出的产品中至少有2件是次品的抽法种数为 D. 抽出的产品中至多有2件是次品的抽法种数为 10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记，若在上恒成立，则称在上为凸函数，以下四个函数在上是凸函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知高二（1）（2）（3）班三个班的学生人数之比为3∶3∶4.在某次数学考试中，高二（1）班的不及格率为10%，高二（2）班的不及格率为20%，高二（3）班的不及格率为15%，从三个班随机抽取一名学生.记事件“该学生本次数学考试不及格”，事件“该学生在高二（）班”（，2，3），则（ ） A B. C. 与相互独立 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上 12. 在的展开式中，含的项的系数是___________． 13. 曲线在点处的切线方程为，则的值为_____________. 14. 某校高三1班10名同学、高三2班20名同学、高三3班10名同学参加“强国有我”演讲比赛，采用随机抽签的方式确定出场顺序，每位同学依次出场，记“高三1班全部学生完成比赛后，高三2班和高三3班都有学生尚未完成比赛”为事件A，则事件A发生的概率为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步. 15. 已知某医疗队共有医生20人，护士30人，现在要用分层随机抽样的方法从中选取5人组建一个救援小组. （1）求救援小组中医生和护士的人数； （2）若从救援小组中随机选取2人担任组长，求医生和护士各有1人被选中的概率. 16. 已知函数的导函数为，且满足． （1）求及的值； （2）求在点处的切线方程． 17. 已知的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32． （1）求展开式中二项式系数最大的项； （2）求展开式中系数最大的项． 18. 某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励.规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额. （1）若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求 ①员工所获得的奖励为1000元的概率； ②员工所获得的奖励额的分布列及数学期望； （2）公司对奖励额的预算是人均1000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成.为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 19. 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点. （Ⅰ）求证：AC⊥SD； （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$