第14讲 数列（知识清单+9题型讲解练+好题必刷）讲义--2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册考试满分全攻略同步备考系列

第14讲 数列 内容预览 知识清单 知识点01 数列的相关概念 知识点02数列的通项公式 知识点03求数列的通项公式  知识点04数列的递推公式 知识点05直利用数列的递推关系解决问题 知识点06数列与函数的关系 题型讲解 题型一：判断或写出数列中的项 题型二：求数列通项 题型三：利用an与sn关系求通项或项 题型四：根据数列递推公式写出数列的项 题型五：由递推关系式求通项公式 题型六：判断数列的增减性 题型七：确定数列中的最大（小）项 题型八：数列周期性的应用 题型九：根据数列的单调性求参数 好题必刷 知识清单 知识点01 数列的相关概念 1. 数列的概念 　　按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项. 2. 数列的表示 　　数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项或首项，a2称为第2项……an称为第n项. 3. 数列的分类 (1)按项数可分为有穷数列、无穷数列. (2)按项的变化趋势可分为递增数列(an+1>an)、递减数列(an+1<an)、常数列(an+1=an)、摆动数列(有些项满足an+1>an，有些项满足 an+1<an)，其中n∈N*. 知识点02数列的通项公式 一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式. 知识点03求数列的通项公式  据数列的前几项写出它的一个通项公式的步骤 1.观察数列的前几项，一般从下面4个角度出发： ①各项的符号特征； ②各项能否拆分，以及拆分后的特征； ③分式的分子、分母的特征； ④相邻项的变化规律. 2.寻找项与对应的项的序号之间的规律，一般方法如下： ①统一项的结构，将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如都化成分式、根式等； ②分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分与对应序号间的函数解析式； ③当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时，应把符号分离出来，可用(-1)n或(-1)n+1来表示； ④当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时，一般考虑用分段的形式给出，有时也可以将给出的各项统一化成某种形式. 知识点04数列的递推公式 一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式. 递推公式也是给定数列的一种方法. 知识点05直利用数列的递推关系解决问题 1.形如an+1-an=f(n)的递推公式，可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2，n∈N*)求出通项公式，这种方法叫累加法； 2.形如=f(n)(an≠0)的递推公式，可以利用a1···…·=an(n≥2，n∈N*)求出通项公式，这种方法叫累乘法. 知识点06数列与函数的关系 1.数列的单调性 数列{an}的单调性一般是通过比较an和an+1的大小来判断，有时还用图象法或函数法. 数列{an}递增⇔an+1>an(n∈N*)；数列{an}递减⇔an+1<an(n∈N*)；数列{an}为常数列⇔an+1=an(n∈N*). 2.数列{an}的最大(小)项的常用方法 ①当 (n≥2，n∈N*)时，an是数列中的最大项；当 (n≥2，n∈N*)时，an是数列中的最小项. ②利用函数的单调性求最大(小)项. 3.数列的周期性 数列的周期性可由函数的周期性得到，也可通过数列的前几项归纳出数列的周期. 题型方法 【题型一】 判断或写出数列中的项 【例1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【答案】D 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】令通项公式等于项的值，解出的值即可. 【详解】令，则. 则146是该数列的第12项, 故选：D. 【变式1】（22-23高二上·江苏南通·期末）在数列中，若，则的值为（    ） A．17 B．23 C．25 D．41 【答案】A 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】根据给定的通项公式，直接计算即可. 【详解】依题意，. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】令，解出即可得. 【详解】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 【变式3】（23-24高二上·江苏·课前预习）已知数列{an}的通项公式，. (1)写出它的第10项； (2)判断是不是该数列中的项； (3)求及. 【答案】(1) (2)不是 (3)， 【知识点】判断或写出数列中的项 【分析】（1）将代入直接计算即； （2）由方程解集来即可判断； （3）利用通项公式直接得到及. 【详解】（1）. （2）令， 当为偶数时，，整理得， 解得或，因为且为偶数，所以原方程无解； 当为奇数时，，整理得， 因为，又，所以原方程无解. 综上所述，不是该数列中的项. （3）； . 【题型二】 求数列通项 【例2】（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】累加法求数列通项 【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 【变式1】（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】累乘法求数列通项 【分析】利用累乘法计算可得. 【详解】解：因为， 所以，，，，，， 所以， 即，又，所以； 故选：A 【变式2】已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】构造法求数列通项 【分析】构造常数数列即可解得. 【详解】由题意，，因为， 所以. 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】观察法求数列通项 【分析】依次求出各个选项中数列的前几项即可判断. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，不合题意；对于D，，不合题意． 故选：B 【题型三】 利用an与sn关系求通项或项 【例3】（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用即可求解判断. 【详解】数列中，，当时，， ，两式相减得，满足， 所以，，AC正确；BD错误. 故选：AC 【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知数列前项和为，，且，则 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定的递推公式，结合前项和的意义，求出即可得解. 【详解】在数列中，由，得，则， 由，得， ，所以. 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知为数列的前项和，且满足，则的通项公式为 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据给定条件，利用求出通项公式. 【详解】数列的前项和， 当时，， 而不满足上式， 所以的通项公式为. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏镇江·期中）设是数列的前项和，且，则的通项公式为 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用，可求数列的通项公式． 【详解】由题意时，， 又也满足上式，所以． 故答案为：. 【题型四】 根据数列递推公式写出数列的项 【例4】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的首项，且（），则这个数列的第4项是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】可根据数列的递推公式，由首项逐步求出、，进而求出 【详解】已知，将代入递推公式中， 可得： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 这个数列的第项是. 故选：A. 【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期末）数列中，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】探索数列奇数项的特点，可求的值. 【详解】令，则. 令，则， 所以. 又，所以，所以. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·江苏·期末）已知数列满足，，则的前20项和为 . 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推公式分别计算各项求解前20项和即可. 【详解】数列满足，， 则 . 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，若，则 . 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项 【分析】根据递推公式代入求，再代入求. 【详解】因为，所以，，所以，． 故答案为： 【题型五】 由递推关系式求通项公式 【例5】（24-25高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式 . 【答案】（答案不唯一） 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】由题中条件，得到数列递减，且前项的和最大，直接写出适当的数列即可. 【详解】由，知，数列单调递减， 又，即最大，所以可取； 故答案为：(答案不唯一) 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列满足…，则 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】令求出的值，再利用…，…，相减求出，验证首项即可． 【详解】当时，， 由，① ，②， 由①-②得，， ，显然时不满足上式， ， 故答案为： 【变式2】已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝ ； 【答案】an＝2＋ln n 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】应用累加求和的方法解决问题. 【详解】∵an＋1＝an＋ln（1＋）， ∴an－an－1＝ln（1＋）＝ln（n2）， ∴an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1 ＝ln＋ln＋…＋ln ＋ln 2＋2 ＝2＋ln（··…··2） ＝2＋ln n（n2）． 显然满足上式 ∴an＝2＋ln n. 故答案是：an＝2＋ln n. 【变式3】在数列中，，且，则 ． 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式 【分析】由题知，，然后两式相除，可得答案. 【详解】由题知  ① ∴有  ② 由①÷②，可得， ∴. 故答案为：. 【题型六】 判断数列的增减性 【例6】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断数列的增减性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】先根据题意将两个命题分别求出参数的范围，然后判断充分性和必要性即可. 【详解】命题若是上的减函数，得 ，解得， 命题对于任意的正整数，，都有， 不妨令，可得，有 ， 由题，知，解得， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）已知数列的通项公式（），试判断该数列的增减性，并说明理由． 【答案】递减数列，理由见解析 【知识点】判断数列的增减性 【分析】计算，化简判断符号，得数列的单调性. 【详解】数列为递减数列．理由如下： ， 因为在上是递减的， 所以当时，， 又，，所以，数列是递减数列． 【点睛】可以用作差法比较和的大小来判断数列的单调性. 【变式2】（多选）（23-24高二上·江苏·阶段练习）设是无穷数列，若存在正整数，使待对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，是数列的“间隔数”，下列选项正确的是（    ） A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B．已知，则数列是间隔递增数列 C．已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是2 D．已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 【答案】BCD 【知识点】判断数列的增减性、数列新定义 【分析】根据间隔递增数列的定义，通过计算，根据其正负取值情况来判断各个选项. 【详解】对于A：设等比数列的公比为， 则， 因为，所以当时，，故A错误； 对于B：， 对于函数，明显其在上单调递增， 则， 当，即时，，B正确； 对于C：， 当为奇数时，，存在，使成立， 当为偶数时，，存在，使成立， 综上，数列是间隔递增数列且最小间隔数是2，故C正确； 对于D：若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3， 则对恒成立， 即， 解得，又该不等式的解为 所以，解得，可以得到，D正确； 故选：BCD. 【题型七】 确定数列中的最大（小）项 【例7】（多选）（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 【答案】ABD 【知识点】确定数列中的最大（小）项、判断或写出数列中的项 【分析】根据题意，利用数列的通项公式可逐项分析判断各个选项. 【详解】对于选项A，B，令，解得， 所以数列前6项为正数项，从第7项开始后面的项均为负数项，故A，B正确； 对于C，由，当时，数列取到最大值， 而对函数，当时，取到最大值，故C错误； 对于D，令，解得或（舍去），即是该数列的第10项，故D正确. 故选：ABD. 【变式1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知为数列的前项和，为数列的前项积（，，），且，则的最大值为 . 【答案】108 【知识点】确定数列中的最大（小）项、判断或写出数列中的项 【分析】根据不等式的性质即可利用列举法求解. 【详解】，且， ，故， 当且仅当取等号， 不妨设为单调递增的数列，则分别为中最小值和最大值，则故， 由于，当时，时，此时最大为42， 当时，时，此时最大为80， 当时，时，此时最大为108， 当时，时，此时最大为108， 当时，时，此时最大为96， 当时，时，此时最大为64， 当时，时，此时最大为32， 故当越来越大时，数列中出现的1的项越来越多，而最大的两项值不超过2，故此时的值不可能超过108， 故最大值为108， 故答案为：108 【变式2】（多选）（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）某地年月日至年月日的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如下图所示． 若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列，的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列不是递增数列 C．数列的最大项为 D．数列的最大项为 【答案】BC 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【分析】由每日确诊病例变化曲线可判断每日病例的增减情况，可知的项的变化情况，判断A，C；由变化曲线可知月日没有确诊病例，可知，判断B；根据病例的增加情况判断D. 【详解】解：由每日确诊病例变化曲线图可知：数列一开始是先递增到，再递减至， 即数列不是递增数列，故A选项错误， 因为年月日没有确诊病例，所以，数列不是递增数列，B选项正确． 由每日确诊病例变化曲线图可知：数列的最大项是第项，即是最大项，故C选项正确． 由每日确诊病例变化曲线图可知：第天以后，每天还是有确诊病例，故数列的最大项不是． 故选：BC． 【题型八】 数列周期性的应用 【例8】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列满足：，，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【知识点】数列周期性的应用 【分析】根据数列的周期性来求得正确答案. 【详解】因为，且， 所以，，，，，…… 所以数列为周期数列，周期为2， 所以 故选：B 【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期中）若数列满足，若，则的值为 【答案】 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、数列周期性的应用 【分析】根据数列的递推公式，利用代数法可得数列的周期为，即，，即可得解. 【详解】由已知，则，， 可得，进而可得，，， 即，， 所以， 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】数列周期性的应用 【分析】根据给定条件，求出数列的周期，再求出的值. 【详解】数列中，由，得， 因此数列是周期数列，周期为4，. 故选：C 【变式3】（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知数列满足，，则的2024项的和为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】D 【知识点】数列周期性的应用 【分析】求出数列的周期，利用数列的周期性求和. 【详解】由已知得，，， 由此可知数列是周期为的周期数列， 由于，则， 故选：. 【变式4】（24-25高二上·江苏南通·期中）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为 . 【答案】7 【知识点】数列周期性的应用、数列新定义 【分析】根据题意分析可知数列是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解. 【详解】由题意可知：（公和），则， 可得，可知数列是以2为周期的周期数列， 可得，，所以公和. 故答案为：7. 【题型九】 根据数列的单调性求参数 【例9】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】利用二次函数的单调性，结合可得. 【详解】因为，且数列是递增数列， 所以，即. 故选：C 【变式1】（多选）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、根据数列的单调性求参数 【分析】利用数列的单调性结合函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】数列满足，且是递增数列， 则分段函数为增函数，则， 所以，解得， 所以实数a的取值范围是， 则选项中和在内， 故选： 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】由数列的单调性求解． 【详解】由题意，解得. 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数 【分析】（1）利用的关系式，由可求得数列的通项公式； （2）判断得出的单调性，求出其最大值即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）当时， ； 当时，满足上式， 所以 （2）令，； 当时，，即 当时，，即 所以当时， 所以 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列满足，且，则（    ） A．-2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】判断出数列的周期为4，即可求解. 【详解】因为，， 所以，，，， 显然数列的周期为4，而，因此. 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列，，，，，，按此规律，是该数列的（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【分析】将已知数列改写为：，可得到该数列的通项公式，即可求得答案． 【详解】此数列可写为：，所以该数列的通项公式为：， 令，解之得：. 故选：C． 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）若，则称表达式为n阶有限连分数，通常记为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设有限连分数定义求对应值即可. 【详解】由题设. 故选：B 4．（24-25高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据递推公式推导出，从而求出，再推导出即可得解.. 【详解】因为，，…，，， 以上各式相加得，， 化简得， 由，即， 所以，解得； 因为， 所以，，，， 所以 . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出. 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）小明同学在研究数列时，发现其递推公式可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则等于 ． 【答案】 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据，得，将中每一项逐一拆解，即可求解. 【详解】由，可得， 所以 . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用递推公式的变形对每一项拆解是求和问题的技巧之一. 二、多选题 6．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知数列的前项和为，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】本题考查数列的递推关系，数列的周期性.根据数列的递推公式求得，，，可得数列是以3为周期的周期数列，所以，可求得的值，根据，可求得的值. 【详解】由题可得，，∵， 可求得，，，故A错误，B正确； 由此可得数列是以3为周期的周期数列，所以，C正确； 同理，可得，可求得，D正确. 故选：BCD. 7．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用递推关系逐一求解即可判断A；求出前四项可判断数列 的周期为3，根据周期性逐一计算即可判断BCD. 【详解】A： 由题意， ， ， 则 ，故A正确； B： ， 结合A的计算，可得数列 的周期为3，即 ， 因为 ，所以 ，故B错误； C： 一个周期的和为 ，而 ，故C正确； D： 由于 ，所以 ， 所以，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 8．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：，，若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则 ． 【答案】 【分析】列举出数列的前几项，根据题意求出的前几项，即可判断出数列是以为周期的周期数列，进而即可求解. 【详解】因为， 所以数列为 此数列各项除以的余数依次构成的数列为 所以是以为周期的周期数列，则， 故答案为：. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于根据条件列出中的部分项，从而得出中的部分项，进而得出是以为周期的周期数列. 10．（24-25高二上·江苏南通·期末）一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则 ，数列相邻三项的递推关系式为 . 【答案】 【知识点】根据规律填写数列中的某项、求递推关系式 【分析】先根据题意求出，进而得到相邻项的关系式. 【详解】解 …… 故 即 故答案为： 11．（24-25高二上·江苏南京·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，使得需要 步雹程；若，则所有可能的取值集合 . 【答案】 7 【分析】根据题中条件，由，根据数列的递推公式，逐步计算，即可得出结果；由，根据递推公式，逐步计算，即可得出集合M. 【详解】当时，则按运算法则得到：，使得需要7步雹程； 依题意，为正整数， 若，由，解得； 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得或， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得， 当时，由，解得或， 当时，由，解得或， 所以则m所有可能的取值集合M为 故答案为：7；. 【点睛】思路点睛：由数列递推公式求数列中的项时，一般根据题中条件，由某一项的值，结合递推公式，逐步计算，即可得出结果. 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏·期中）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求出通项公式； （2）求出，当时，计算出，，当时，，从而得到数列的最大项. 【详解】（1）中，令得， 当时，， 其中， 故 （2）当时，， 当时，， 则， 当时，， 当时，，，故， 故时，的最大项为， 又，故数列的最大项为. 13．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，求下列数列的通项公式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用可得答案； （2）利用可得答案. 【详解】（1）当时，， 又满足， 故； （2）当时，， 当时，， 故 14．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知整数数列满足：①；②． (1)若，求； (2)求证：数列中总包含无穷多等于1的项； 【答案】(1)或； (2)证明见解析. 【分析】 （1）根据给定条件，反向分段讨论计算即得. （2）借助反证法的思想证得，再探求出整数数列的最小数，借助数列周期性推理即可. 【详解】（1）整数数列满足， 因为，而为偶数，因此，解得，符合题意， 当为奇数时，，显然为偶数，因此，解得，不满足， 当为偶数时，，解得，若为奇数，则；若为偶数，则， 所以或. （2）首先，否则，记为中第一个小于等于0的项， 则或，从而，与的最小性矛盾， 记为的最小值，则为奇数并且， 根据的最小性，知，根据知， 显然第一个1后面的项为2，1，2，1，2，…周期性出现， 所以数列中总包含无穷多等于1的项. 15．已知函数，设数列的通项公式为，其中. (1)求的值； (2)求证：； (3)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)递增数列，证明见解析. 【分析】（1）求出即得解； （2）结合反比例函数的单调性以及不等式的性质即可证得； （3）证得，即可得出结论. 【详解】（1）解：由题得，所以. （2）解：由题意得，因为为正整数，所以，所以. （3）解：由题得是递增数列， 证明：，所以是递增数列. 16．（23-24高二上·江苏·期中）在苏教版选择性必修第一册P178的阅读材料中，由一个有趣的兔子问题引出了斐波那契数列，并根据规律得到了递推关系式：．现在，我们也来尝试从下列两个问题中找出类似的数列． 问题1：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级或两级．如果楼梯有级，那么他有多少种走法？ 分析：我们记楼梯有级时的不同走法数为，显然，， 问题2：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级、两级或三级．如果楼梯有级，那么他有多少种走法？ 分析：我们记楼梯有级时的不同走法数为，显然，， 请分别就上述两个问题，写出数列的第四项和第五项，并根据规律写出一个递推关系式． 【答案】问题1：； 问题2：． 【分析】先归纳总结不同的走法，然后再得出递推公式即可. 【详解】问题1： 当时， 走法一：每次上一级楼梯；可记为 走法二：前两次上一级，第三次上两级；可记为 走法三：第一次一级，第二次两级，第三次一级；可记为 走法四：每次上两级；可记为 走法五：第一次两级，以后每次一级；可记为 故， 当时， 同理可记为： 共种，故 ； 由可得 问题2： 当时， 可记为： 共种，故 当时， 可记为：共13种，故； 由可得 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 数列 内容预览 知识清单 知识点01 数列的相关概念 知识点02数列的通项公式 知识点03求数列的通项公式  知识点04数列的递推公式 知识点05直利用数列的递推关系解决问题 知识点06数列与函数的关系 题型讲解 题型一：判断或写出数列中的项 题型二：求数列通项 题型三：利用an与sn关系求通项或项 题型四：根据数列递推公式写出数列的项 题型五：由递推关系式求通项公式 题型六：判断数列的增减性 题型七：确定数列中的最大（小）项 题型八：数列周期性的应用 题型九：根据数列的单调性求参数 好题必刷 知识清单 知识点01 数列的相关概念 1. 数列的概念 　　按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项. 2. 数列的表示 　　数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}，其中a1称为数列{an}的第1项或首项，a2称为第2项……an称为第n项. 3. 数列的分类 (1)按项数可分为有穷数列、无穷数列. (2)按项的变化趋势可分为递增数列(an+1>an)、递减数列(an+1<an)、常数列(an+1=an)、摆动数列(有些项满足an+1>an，有些项满足 an+1<an)，其中n∈N*. 知识点02数列的通项公式 一般地，如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式. 知识点03求数列的通项公式  据数列的前几项写出它的一个通项公式的步骤 1.观察数列的前几项，一般从下面4个角度出发： ①各项的符号特征； ②各项能否拆分，以及拆分后的特征； ③分式的分子、分母的特征； ④相邻项的变化规律. 2.寻找项与对应的项的序号之间的规律，一般方法如下： ①统一项的结构，将数列的各项拆分成若干个常见数列的“和”“差”“积”“商”，如都化成分式、根式等； ②分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分与对应序号间的函数解析式； ③当一个数列各项的符号出现“+”“-”相间时，应把符号分离出来，可用(-1)n或(-1)n+1来表示； ④当数列的奇偶项分别呈现各自的规律时，一般考虑用分段的形式给出，有时也可以将给出的各项统一化成某种形式. 知识点04数列的递推公式 一般地，如果已知一个数列{an}的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式. 递推公式也是给定数列的一种方法. 知识点05直利用数列的递推关系解决问题 1.形如an+1-an=f(n)的递推公式，可以利用a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an(n≥2，n∈N*)求出通项公式，这种方法叫累加法； 2.形如=f(n)(an≠0)的递推公式，可以利用a1···…·=an(n≥2，n∈N*)求出通项公式，这种方法叫累乘法. 知识点06数列与函数的关系 1.数列的单调性 数列{an}的单调性一般是通过比较an和an+1的大小来判断，有时还用图象法或函数法. 数列{an}递增⇔an+1>an(n∈N*)；数列{an}递减⇔an+1<an(n∈N*)；数列{an}为常数列⇔an+1=an(n∈N*). 2.数列{an}的最大(小)项的常用方法 ①当 (n≥2，n∈N*)时，an是数列中的最大项；当 (n≥2，n∈N*)时，an是数列中的最小项. ②利用函数的单调性求最大(小)项. 3.数列的周期性 数列的周期性可由函数的周期性得到，也可通过数列的前几项归纳出数列的周期. 题型方法 【题型一】 判断或写出数列中的项 【例1】（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知数列的通项公式为，则146是该数列的（   ） A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项 【变式1】（22-23高二上·江苏南通·期末）在数列中，若，则的值为（    ） A．17 B．23 C．25 D．41 【变式2】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知数列，，，，，，，则是这个数列的（ ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【变式3】（23-24高二上·江苏·课前预习）已知数列{an}的通项公式，. (1)写出它的第10项； (2)判断是不是该数列中的项； (3)求及. 【题型二】 求数列通项 【例2】（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列满足，，则数列的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前4项依次为，则其通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【题型三】 利用an与sn关系求通项或项 【例3】（多选）（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，下列命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知数列前项和为，，且，则 . 【变式2】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知为数列的前项和，且满足，则的通项公式为 . 【变式3】（24-25高二上·江苏镇江·期中）设是数列的前项和，且，则的通项公式为 . 【题型四】 根据数列递推公式写出数列的项 【例4】（24-25高二上·江苏苏州·期末）已知数列的首项，且（），则这个数列的第4项是（   ） A． B． C． D．3 【变式1】（24-25高二上·江苏常州·期末）数列中，（），则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏·期末）已知数列满足，，则的前20项和为 . 【变式3】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，若，则 . 【题型五】 由递推关系式求通项公式 【例5】（24-25高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，，.请写出一个满足条件的数列的通项公式 . 【变式1】（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列满足…，则 ． 【变式2】已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝ ； 【变式3】在数列中，，且，则 ． 【题型六】 判断数列的增减性 【例6】（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2023高二上·江苏·专题练习）已知数列的通项公式（），试判断该数列的增减性，并说明理由． 【变式2】（多选）（23-24高二上·江苏·阶段练习）设是无穷数列，若存在正整数，使待对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，是数列的“间隔数”，下列选项正确的是（    ） A．公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列 B．已知，则数列是间隔递增数列 C．已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是2 D．已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是3，则 【题型七】 确定数列中的最大（小）项 【例7】（多选）（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）若数列的通项公式为，则（    ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 【变式1】（23-24高二上·江苏连云港·阶段练习）已知为数列的前项和，为数列的前项积（，，），且，则的最大值为 . 【变式2】（多选）（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）某地年月日至年月日的新冠肺炎每日确诊病例变化曲线如下图所示． 若该地这段时间的新冠肺炎每日的确诊人数按日期先后顺序构成数列，的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．数列不是递增数列 C．数列的最大项为 D．数列的最大项为 【题型八】 数列周期性的应用 【例8】（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列满足：，，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·江苏盐城·期中）若数列满足，若，则的值为 【变式2】（24-25高二上·江苏·期中）已知数列满足，，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式3】（24-25高三上·江苏盐城·期中）已知数列满足，，则的2024项的和为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式4】（24-25高二上·江苏南通·期中）定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项加上它的前一项所得的和都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和.已知数列是等和数列，，，则公和为 . 【题型九】 根据数列的单调性求参数 【例9】（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列是递增数列，且对于任意，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数a的取值可以是（    ） A． B． C． D．2 【变式2】（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）设数列满足，且，则（    ） A．-2 B． C． D．3 2．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列，，，，，，按此规律，是该数列的（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 3．（24-25高二上·江苏泰州·期末）若，则称表达式为n阶有限连分数，通常记为，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·江苏无锡·期末）斐波那契数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域有着非常广泛的应用．斐波那契数列满足如下递推关系：，．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）小明同学在研究数列时，发现其递推公式可以利用“叠罗汉”的思想来处理，即，如果该数列的前两项分别为，其前项和记为，若，则等于 ． 二、多选题 6．（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知数列的前项和为，，，则（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 9．（24-25高二上·江苏南京·期末）斐波那契数列又称“黄金分割数列”，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．斐波那契数列可以用如下方法定义：，，若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则 ． 10．（24-25高二上·江苏南通·期末）一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则 ，数列相邻三项的递推关系式为 . 11．（24-25高二上·江苏南京·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），当时，使得需要 步雹程；若，则所有可能的取值集合 . 四、解答题 12．（23-24高二上·江苏·期中）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 13．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列的前n项和为，求下列数列的通项公式． (1)； (2)． 14．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知整数数列满足：①；②． (1)若，求； (2)求证：数列中总包含无穷多等于1的项； 15．已知函数，设数列的通项公式为，其中. (1)求的值； (2)求证：； (3)判断是递增数列还是递减数列，并说明理由. 16．（23-24高二上·江苏·期中）在苏教版选择性必修第一册P178的阅读材料中，由一个有趣的兔子问题引出了斐波那契数列，并根据规律得到了递推关系式：．现在，我们也来尝试从下列两个问题中找出类似的数列． 问题1：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级或两级．如果楼梯有级，那么他有多少种走法？ 分析：我们记楼梯有级时的不同走法数为，显然，， 问题2：小明要上楼梯，他每次只能向上走一级、两级或三级．如果楼梯有级，那么他有多少种走法？ 分析：我们记楼梯有级时的不同走法数为，显然，， 请分别就上述两个问题，写出数列的第四项和第五项，并根据规律写出一个递推关系式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$