专题4.1 数列（高效培优讲义）数学苏教版2019高二选择性必修第一册

专题4.1 数列 教学目标 1.理解数列及其有关概念，并了解数列和函数之间的关系． 2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项． 3.对于比较简单的数列，能够根据其前几项写出通项公式． 4.了解数列的递推公式是确定数列的一种方法，并能够根据给定的递推公式写出数列的前几项． 教学重难点 1.重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 2.难点 根据数列的前n项抽象、归纳出数列的通项公式 知识点01 数列的概念 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为_________.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做_________. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 【即学即练】 1．将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（  ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 2．下列说法正确的是（  ） A．数列中不能重复出现同一个数 B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C．1,1,1,1不是数列 D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 知识点02 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 【即学即练】 1．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则该数列的前4项依次为（  ） A．1,0,1,0 B．0,1,0,1 C.，0，，0 D．2,0,2,0 2．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 知识点03 数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 初始条件——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 【即学即练】 1．若，则（  ） A．55 B．56 C．45 D．46 2．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 知识点04 数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. =. 【即学即练】 1．已知数列的前项和为，则 ． 2.已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型01 数列的概念及辨析 【典例1】下列叙述正确的是（  ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 【变式1】（多选）下列叙述错误的是（  ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和可能是同一数列 【变式2】（多选）下列说法中正确的是（  ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 【变式3】若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（  ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 题型02 观察法求数列通项 【典例1】写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数： (1)3，5，9，17，33，…； (2)，，，，…； (3)5，55，555，5555，…； (4)，－1，，，，…； (5)0，，，，…． 此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解.具体注意以下几方面： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1处理. 【变式1】数列的一个通项公式可以是（  ） A． B． C． D． 【变式2】若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 【变式3】若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（  ） A． B． C． D． 【变式4】已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（  ） A． B． C． D． 题型03 判断或写出数列中的项 【典例1】已知无穷数列，，，…，，…． (1)求这个数列的第10项和第31项． (2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ (3)证明：不是这个数列中的项． 判断某数值是否为该数列的项的方法： 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 【变式1】已知数列，，，，，，，则是这个数列的（  ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【变式2】已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知数列的通项公式为． （1）求． （2）判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由． （3）求证：． 题型04 根据数列的单调性求参 【典例1】已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. 【变式1】已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则“”是“数列是递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件 【变式4】已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 题型05 利用an与Sn的关系求通项或项 【典例1】(1)已知数列的前项和为，且，则___________． (2)已知数列满足：，，则___________ 由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式。 【变式1】设数列满足，则（  ） A．7 B． C． D． 【变式2】已知数列的首项，前n项和，满足，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】设数列的首项，前n项和，满足，则（  ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【变式4】已知数列中，，则（  ） A． B． C． D． 题型06 累加法求数列的通项 【典例1】已知数列满足，则的最小值为 . 形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项 【变式1】已知数列满足，，则的通项公式为 ． 【变式2】已知数列满足，，则（  ） A． B． C． D． 故选：B. 题型07 累乘法求数列的通项 【典例1】已知数列的项满足，而，则（  ） A． B． C． D． 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项 【变式1】已知，，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【变式3】已知数列的前项和为，，，则 . 题型08 求数列的最大（小）项 【典例1】已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 求数列最大项与最小项的常用方法： (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【变式1】数列、满足：，，，则数列的最大项是（  ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 【变式2】已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（  ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【变式3】已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 题型09 递推数列的实际应用 【典例1】有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则 . 【变式1】一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（  ） A．10 B．55 C．89 D．99 【变式2】某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（  ） A． B． C． D． 【变式3】分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（  ） A．55 B．58 C．60 D．62 题型10 数列周期性的应用 【典例1】已知数列满足，，则（  ） A． B．2 C．3 D． 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 【变式1】已知数列的首项为，且，则 ． 【变式2】在数列中，中，则的前项和为（  ） A． B． C． D． 【变式3】已知数列满足：且，则 ． 1．下列结论中，正确的是（  ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 2．数列，，，，的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 3．已知数列，则45是该数列中第（  ）项 A． B． C． D． 4．已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 5．已知数列，下列说法正确的是（  ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 6．已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选）满足下列条件的数列是递增数列的为（  ） A． B． C． D． 8．（多选）若数列的通项公式为，则（  ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 9．（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（  ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 10．已知数列满足：，若，则_______- 11．数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则 ． 12．数列的最小项的值为 . 13．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 14．已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 数列 教学目标 1.理解数列及其有关概念，并了解数列和函数之间的关系． 2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项． 3.对于比较简单的数列，能够根据其前几项写出通项公式． 4.了解数列的递推公式是确定数列的一种方法，并能够根据给定的递推公式写出数列的前几项． 教学重难点 1.重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 2.难点 根据数列的前n项抽象、归纳出数列的通项公式 知识点01 数列的概念 1．数列的定义 一般地，把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项，数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 举例 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 1,2,3,…,n 无穷数列 项数无限的数列 1,0,1,0,1,0,… 按项的变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一 项的数列 3,4,5,6,…,n+2 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一 项的数列 -1,-2,-3,…,-n 常数列 各项相等的数列 0,0,0,0,… 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一 项，有些项小于它的前一项的数列 1,-2,3,-4,… 【即学即练】 1．将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（  ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据数列的定义知识即可求解. 【解析】根据数列是按“一定顺序”排列着的一列数，所以①②③④都正确，故D项正确. 故选：D． 2．下列说法正确的是（  ） A．数列中不能重复出现同一个数 B．1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C．1,1,1,1不是数列 D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同 【答案】D 【分析】利用数列的定义判断即可. 【解析】由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A，C不正确； B中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B不正确；由数列的定义可知，D正确． 故选：D 知识点02 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 【即学即练】 1．已知数列{an}的通项公式为an＝，n∈N*，则该数列的前4项依次为（  ） A．1,0,1,0 B．0,1,0,1 C.，0，，0 D．2,0,2,0 【答案】A 【分析】把n＝1,2,3,4依次代入通项公式即可求解 【解析】把n＝1,2,3,4依次代入通项公式，得a1＝＝1，a2＝＝0，a3＝＝1，a4＝＝0. 故选：A 2．若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用检验法排除ABC，再利用观察法，总结数列的前几项的规律，从而得解. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，故D正确. 故选：D. 知识点03 数列的递推公式 (1)递推公式的概念 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式. (2)对数列递推公式的理解 ①与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式. ②递推公式是给出数列的一种方法.事实上，递推公式和通项公式一样，都是关于项的序号n的恒等式.如果用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. ③用递推公式求出一个数列，必须给出： 基础——数列{an}的第1项(或前几项)； 递推关系——数列{an}的任意一项an与它的前一项an-1 ()(或前几项)间的关系，并且这个关系可以用等式来表示. 5．数列表示方法及其比较 优点 缺点 通项公式法 便于求出数列中任意指定的一项，利于对数列性质进行研究 一些数列用通项公式表示比较困难 列表法 内容具体、方法简单，给定项的序号，易得相应项 确切表示一个无穷数列或项数比较多的有穷数列时比较困难 图象法 能直观形象地表示出随着序号的变化，相应项的变化趋势 数列项数较多时用图象表示比较困难 递推公式法 可以揭示数列的一些性质，如前后几项之间的关系 不容易了解数列的全貌，计算也不方便 【即学即练】 1．若，则（  ） A．55 B．56 C．45 D．46 【答案】D 【分析】在数列递推式中依次取，得到个等式，累加后求出数列的通项公式，即可求出答案. 【解析】由， 得，， ，，， 累加得， ， 当时，上式成立， 则， 所以. 故选：D 2．已知数列的第1项是1，第2项是2，以后各项由给出. （1）写出这个数列的前5项； （2）利用数列，通过公式构造一个新的数列，试写出数列的前5项. 【答案】（1）a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝5，a5＝8；；（2）b12，b2，b3，b4，b5． 【分析】（1）根据题中给的递推关系，依次写出数列的前5项． （2）依据（1）中给的an的前5项，通过公式bn求解出数列{bn}的前5项． 【解析】（1）由a1＝1，a2＝2，an＝an﹣1+an﹣2， 得a3＝a2+a1＝2+1＝3， a4＝a3+a2＝2+3＝5， a5＝a4+a3＝3+5＝8； （2）依题意有：b12， b2， b3， b4， b5． 知识点04 数列的前n项和 数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作，即. 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. =. 【即学即练】 1．已知数列的前项和为，则 ． 【答案】66 【分析】由，代入计算即可. 【解析】因为. 故答案为：66. 2.已知数列的通项公式为，则根据题意，该数列的前4项和（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】利用数列的通项公式依次求得，从而得解. 【解析】因为， 所以， 则该数列的前4项和. 故选：A. 题型01 数列的概念及辨析 【典例1】下列叙述正确的是（  ） A．数列是递增数列 B．数列的一个通项公式为 C．数列是常数列 D．数列与数列是相同的数列 【答案】A 【分析】分别应用递增数列、数列的通项公式、常数列、数列的概念进行判断即可. 【解析】对于选项A，令，则，所以数列是递增数列.故选项A正确； 对于选项B，，所以不是数列的一个通项公式.故选项B错误； 对于选项C，常数列是每一项都是同一个常数的数列，显然数列不是常数列.故选项C错误； 对于选项D，数列是按照一定顺序排列的一列数，与顺序有关系， 数列与数列的数字相同，但是顺序不相同，所以是不同的数列，故选项D错误. 故选：A. 【变式1】（多选）下列叙述错误的是（  ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和可能是同一数列 【答案】AB 【分析】根据数列的表示法和定义、项的组成即可一一判断. 【解析】对于A，数列10，9，8，7与由实数10，9，8，7组成的集合是两个不同的概念，故A错误； 对于B，根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同， 那么这两个数列是不同的数列，故B错误； 对于C，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列1，1，1，…，故C项正确； 对于D，当时，数列和表示同一数列，故D项正确． 故选：AB. 【变式2】（多选）下列说法中正确的是（  ） A．数列a，a，a，…是无穷数列 B．数列就是定义在正整数集或它的有限子集上的函数值 C．数列不一定是递减数列 D．已知是数列，则也是一个数列 【答案】ACD 【分析】由数列的概念以及相关性质即可逐一判断每个选项求解. 【解析】数列a，a，a，…是无数个排列而成，所以它是无穷数列，故A正确； 若是数列，即可排列成， 则将后项减前项依次排列得，所以也是一个数列，故D正确； 因为数列是定义在正整数集上或它的有限子集上的函数，当自变量从小到大取值时，对应的是一列函数值，故B错误； 对于C，数列只给出前四项，后面的项不确定，所以不一定是递减数列． 故选：ACD. 【变式3】若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（  ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可. 【解析】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 题型02 观察法求数列通项 【典例1】写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数： (1)3，5，9，17，33，…； (2)，，，，…； (3)5，55，555，5555，…； (4)，－1，，，，…； (5)0，，，，…． 【答案】(1)（）；(2)（）；(3)（）． (4)（）；(5)（）． 【分析】先将数列中的数进行适当分解转化，再结合数列中各项的项数，将规律把这五个数列表示成式子即可． 【解析】（1）数列的前几项可记为，，，，…， 所以该数列的一个通项公式为（）； （2）数列的整数部分1，2，3，4，…，，…恰好是序号，分数部分，，，，…与序号的关系为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （3）将原数列改写为，，，，…， 易知数列9，99，999，9999，…的一个通项公式为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （4）数列的偶数项为负数，奇数项为正数，故通项公式必含有因式． 第2项－1改写成后，该数列各项分母依次为3，5，7，9，11，…，与序号的关系可记为． 而各项分子依次为2，5，10，17，26，…，与序号的关系可记为， 所以该数列的一个通项公式为（）； （5）因为，，，所 以该数列的一个通项公式为（）． 此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解.具体注意以下几方面： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； (5)化异为同； (6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1处理. 【变式1】数列的一个通项公式可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各项的分子和分母特征进行求解判断即可. 【解析】因为 所以该数列的一个通项公式可以是 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D错误. 故选：A. 【变式2】若数列的前四项依次为2，12，112，1112，则的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用检验法排除ABC，再利用观察法，总结数列的前几项的规律，从而得解. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，由，，，， 可得的一个通项公式为，故D正确. 故选：D. 【变式3】若一数列的前4项分别为，则该数列的通项公式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列前项的规律，分别分析数列的符号规律和数值规律，进而得出数列的通项公式. 【解析】观察数列的前项，可以发现奇数项为正，偶数项为负. 根据当为偶数时结果为，当为奇数时结果为；当为奇数时结果为，当为偶数时结果为，可知该数列的符号规律可以用来表示. 分母依次为3,5,7,9，得该数列分母的通项公式为. 结合上述对符号规律和数值规律的分析，可知该数列的通项公式为. 故选：A. 【变式4】已知数列的前5项依次如图所示，则的通项公式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据选项中的通项对前五项一一验证即可. 【解析】对于选项A：时，，，，，，满足题意，故A正确； 对于选项B：时，，，，，，满足题意，故B正确； 对于选项C：时，，，，，，满足题意，故C正确； 对于选项D：时，，不满足题意，故D错误； 故选：ABC. 题型03 判断或写出数列中的项 【典例1】已知无穷数列，，，…，，…． (1)求这个数列的第10项和第31项． (2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ (3)证明：不是这个数列中的项． 【答案】(1)， (2)是这个数列中的第项 (3)证明见解析 【分析】（1）由数列的定义得到该数列的通项公式，从而求得其第10项和第31项； （2）将代入该数列的通项公式，从而得解； （3）将代入该数列的通项公式，从而得证. 【解析】（1）因为无穷数列，，，…，，…， 所以该数列的通项公式为， 则，. （2）因为， 将代入，得，解得或（舍去）， 所以是这个数列中的第项. （3）因为， 将代入，得，即，解得（负值舍去）， 又，故也不满足题意， 所以不是这个数列中的项. 判断某数值是否为该数列的项的方法： 先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程. 若方程解为正整数，则是数列的一项； 若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项. 【变式1】已知数列，，，，，，，则是这个数列的（  ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【分析】令，解出即可得. 【解析】令，解得， 所以是这个数列的第项. 故选：C. 【变式2】已知数列的通项公式为，则下列选项中不是中项的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐个选项进行验证即可判断. 【解析】时，，时，，时，，故ACD错误； 令，解得，故不是数列中的项. 故选：C. 【变式3】已知数列的通项公式为． （1）求． （2）判断是否为该数列中的项．若是，它为第几项？若不是，请说明理由． （3）求证：． 【答案】（1）；（2）为数列中的项，为第3项；（3）证明见解析. 【解析】（1）根据数列的通项公式，直接计算，即可得出结果； （2）令，列出方程求，即可判断出结果； （3）化通项公式，判定，即可得出结论成立. 【解析】（1）根据题意可得； （2）令，即，解得， ∴为数列中的项，为第3项； （3）由题知， ∵，∴，∴，∴，即 题型04 根据数列的单调性求参 【典例1】已知数列的通项公式是（），若数列是递增数列，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调性的定义即可列不等式求解. 【解析】为单调递增的数列，故， 解得， 故选：C. 如果对所有的，都有an+1>an，那么称数列{an}为递增数列；如果对所有的，都有an+1<an，那么称数列{an}为递减数列. 【变式1】已知数列的通项公式为，，当时，成立，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知是递增数列，，得，代入解析式得，根据恒成立条件即得. 【解析】由，当时，成立，即数列递增， 则对于任意的，都有. 已知， 则有恒成立， 即对于任意的都成立， 因为当时，，所以. 故选：C. 【变式2】已知数列通项公式为，若对任意，都有则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段情况下，对任意，都有，只需保证每一段递增，且，结合数列的单调性求解. 【解析】当时，， 由，得，即， ∵且，，∴，解得. 当时，单调递增， 若对任意，都有，则且， 即且，解得， 则实数的取值范围是. 故选：B. 【变式3】已知，则“”是“数列是递增数列”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充要条件件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】作差，利用二次函数性质可判断充分性；取可判断必要性. 【解析】充分性：， 因为的对称轴为，所以在单调递增， 所以的最小值为， 因为，所以， 所以，即数列是递增数列. “”是“数列是递增数列”的充分条件. 必要性：显然，当时，为递增数列. “”是“数列是递增数列”的不必要条件. 综上，“”是“数列是递增数列”的充分不必要条件. 故选：A 【变式4】已知数列满足. (1)求和； (2)证明：数列为单调递增数列. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系可得，即可求解； （2）利用作商法即可证明. 【解析】（1）因为①， 当时，. 当时，②， 由①-②得，所以， 当时，，所以也满足， 当时，， 故，. （2）由（1）知，，易知， 则， 又对一切恒成立，所以， 即对一切恒成立， 所以数列为单调递增数列. 题型05 利用an与Sn的关系求通项或项 【典例1】(1)已知数列的前项和为，且，则___________． 【答案】 【分析】根据，可求出的通项公式. 【解析】当时，； 当时， 由于不适合此式，所以 故答案为: (2)已知数列满足：，，则___________ 【答案】4 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系，再根据累加法求的值. 【解析】由， 所以（，） 所以，，…， ， 各式相加得：. 故答案为:4 由an与Sn的关系求通项： 已知Sn求an的常用方法是利用转化为关于an的关系式，再求通项公式。 【变式1】设数列满足，则（  ） A．7 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意令，，两式作差即可得结果. 【解析】令，可得， 令，可得， 两式相减可得，所以. 故选：C. 【变式2】已知数列的首项，前n项和，满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到，两式相减得到，求出即可求解. 【解析】因为，所以， 两式相减得， 所以，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 【变式3】设数列的首项，前n项和，满足，则（  ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C 【分析】根据题设中的递推关系可得，故可求. 【解析】根据题意，当时，有， 即，故为常数列， 因此， 进而． 故选：C. 【变式4】已知数列中，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用得出，再应用累乘法得出通项公式，代入即可求值. 【解析】由题得，即， 所以， 将上面个式子两端分别相乘， 可得， 即， 所以． 故选：B. 题型06 累加法求数列的通项 【典例1】已知数列满足，则的最小值为 . 【答案】6 【分析】利用累加法得到的通项公式，进而得到，由基本不等式求出最小值. 【解析】由数列满足，可得 ，则， 因为函数，当且仅当时等号成立， 故当时，取最小值为6. 故答案为：6. 形如an+1=an+f(n)的递推关系式利用累加法求和，特别注意能消去多少项，保留多少项 【变式1】已知数列满足，，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】首先根据题意得到，再利用累加法求数列的通项公式即可. 【解析】因为，， 所以， 即，，，，， 所以， 即，则， 当时也成立，所以， 故答案为：． 【变式2】已知数列满足，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据题意得到，再利用累加法求数列的通项公式即可. 【解析】， 所以当时， ，， ……，， 所以， 所以. 当时，符合. 所以. 故选：B. 题型07 累乘法求数列的通项 【典例1】已知数列的项满足，而，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，利用累乘法计算可得. 【解析】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B. 形如an+1=an·f(n)的递推关系式可化为的形式，可用累乘法，也可用代入求出通项 【变式1】已知，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累乘法可得数列的通项公式，进而可得解. 【解析】由，，可得， 则， 即， 故选：D. 【变式2】已知数列满足：且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】利用累乘法可得数列的通项公式，进而可得解. 【解析】因为， 所以， 累乘可得， 即，所以， 当时，也成立， 所以. 故答案为： 【变式3】已知数列的前项和为，，，则 . 【答案】 【分析】利用和与通项的关系得到，再利用累乘法可得数列的通项公式，进而可得解. 【解析】当时，，则，两式作差得，即，即， 所以，即， 又由且，即，所以，可得， 则. 显然时也符合，可得， 所以. 故答案为：. 题型08 求数列的最大（小）项 【典例1】已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【答案】(1)；(2)第项 【分析】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【解析】（1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. （2）由已知得， 当时，， 则，即， 得，  即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 求数列最大项与最小项的常用方法： (1)函数法：利用相关的函数求最值.若借助通项的表达式观察出单调性，直接确定最大 (小)项，否则，利用作差法. (2)利用确定最大项，利用确定最小项. 【变式1】数列、满足：，，，则数列的最大项是（  ） A．第7项 B．第9项 C．第11项 D．第12项 【答案】B 【分析】利用累加法得到，即可得到，然后列不等式求即可. 【解析】时，，，，，将上式累加，得，解得（对于同样成立）故， 令，即， 解得，，故，即第九项最大. 故选：B. 【变式2】已知数列的通项公式为，则数列中的最大项的项数为（  ） A．2 B．3 C．2或3 D．4 【答案】C 【分析】利用差比较法确定正确答案. 【解析】；；，， 当时，，所以， 所以数列中的最大项的项数或. 故选：C 【变式3】已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列中的最大项和最小项． 【答案】(1)； (2)最大项为，最小项为. 【分析】（1）根据题干已知条件并结合公式，即可计算出数列的通项公式. （2）由（1）可得数列是单调递增数列，进而求出负数项、正数项对应的n值，再由单调性求出数列中的最大项和最小项. 【解析】（1）数列中，， 当时，， 当时，，满足上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，则数列是单调递增数列， 由，得，即当时，，当时，， 而，因此当时，，且数列单调递减，即； 当时，，且数列单调递减，即， 所以数列中的最大项为，最小项为. 题型09 递推数列的实际应用 【典例1】有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆（编号A，B，C），在A杆自下而上､由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如下图）.游戏的目标：把A杆上的金盘全部移到C杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A，B，C任一杆上.记n个金盘从A杆移动到C杆需要的最少移动次数为.则 . 【答案】15 【分析】假设杆上有个圆环，根据汉诺塔的游戏的规则，分析可得数列的递推公式，从而即可求出. 【解析】解：根据题意，假设杆上有个圆环，将个圆环从杆全部套到杆上，需要最少的次数为， 可这样操作：先将个圆环从杆全部套到杆上， 至少需要的次数为， 然后将最大的圆环从杆套在杆上，需要1次， 再将杆上个圆环从杆套到木杆上，至少需要的次数为， 所以， 易知，则， 故答案为：15. 【变式1】一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房（如图），例如：从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数，则（  ） A．10 B．55 C．89 D．99 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出数列的递推公式，再依次计算求出. 【解析】依题意，（，），，， 所以. 故选：C 【变式2】某企业今年年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到，每年年底需要扣除下一年的消费基金50万元，剩余资金投入再生产，设该企业从今年起每年年初拥有的资金数依次为则表示与之间关系的递推公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列式即可得解. 【解析】依题意，，. 故选：A. 【变式3】分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路.按照如图1所示的分形规律可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（  ） A．55 B．58 C．60 D．62 【答案】A 【分析】表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，由题意可得，根据初始值，由此递推，不难得出所求. 【解析】已知表示第n行中的黑圈个数，设表示第n行中的白圈个数，则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈， ∴， 又∵; ; ; ; ; , 故选：A. 题型10 数列周期性的应用 【典例1】已知数列满足，，则（  ） A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】先求出数列的周期为，可得. 【解析】因为，， 所以，， ，，……， 所以数列的周期为，所以. 故选：A. 解决数列周期性问题，根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求出有关项的值或前n项和. 【变式1】已知数列的首项为，且，则 ． 【答案】 【分析】求出，得到数列是以4为周期的周期数列，从而求出. 【解析】由题可得， 所以数列是以4为周期的周期数列，故． 故答案为： 【变式2】在数列中，中，则的前项和为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到数列是以为周期的周期数列，即可求解. 【解析】因为， 所以，， 而，所以数列是以为周期的周期数列， 所以的前项和， 故选：C． 【变式3】已知数列满足：且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据递推式判断数列的周期性，利用周期性求目标项. 【解析】由题设，则，，，， 由上，是周期为3的数列，则. 故答案为： 1．下列结论中，正确的是（  ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【分析】利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答. 【解析】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误. 故选：A 2．数列，，，，的一个通项公式为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察奇数项和偶数项的符号以及分子分母的规律即可求解. 【解析】由已知得奇数项为正，偶数项为负，每一项的分子为1，分母为项数， 所以. 故选：B. 3．已知数列，则45是该数列中第（  ）项 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知条件可得通项公式，代入数据即可求解. 【解析】由已知条件可得：， 令解得：. 故选：C 4．已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据建立不等式，不等式转化为对一切恒成立，求出即可. 【解析】据题设知，对一切恒成立， 所以对一切恒成立， 即对一切恒成立． 又当时，， 所以，所以所求实数k的取值范围是． 故选:． 5．已知数列，下列说法正确的是（  ） A．有最大项，但没有最小项 B．没有最大项，但有最小项 C．既有最大项，又有最小项 D．既没有最大项，也没有最小项 【答案】C 【分析】将分奇偶项分别作差，判断出奇数项和偶数项的单调性，从而可得结果. 【解析】数列, 当时，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故此时有最大项为； 当时，，， ， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 故此时有最小项为， 综上，既有最大项，又有最小项. 故选：C. 6．已知函数，数列满足，命题若是上的减函数，命题对于任意的正整数，，都有，则命题是命题的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据题意将两个命题分别求出参数的范围，然后判断充分性和必要性即可. 【解析】命题若是上的减函数，得 ，解得， 命题对于任意的正整数，，都有， 不妨令，可得，有 ， 由题，知，解得， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 7．（多选）满足下列条件的数列是递增数列的为（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据与的大小关系判断是否为递增数列. 【解析】A．因为，所以是递减数列； B．因为，所以是递增数列； C．因为，所以是递减数列； D．因为，所以是递增数列； 故选：BD. 8．（多选）若数列的通项公式为，则（  ） A．该数列仅有6个正数项 B．该数列有无限多个负数项 C．该数列的最大项就是函数的最大值 D．是该数列中的一项. 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用数列的通项公式可逐项分析判断各个选项. 【解析】对于选项A，B，令，解得， 所以数列前6项为正数项，从第7项开始后面的项均为负数项，故A，B正确； 对于C，由，当时，数列取到最大值， 而对函数，当时，取到最大值，故C错误； 对于D，令，解得或（舍去），即是该数列的第10项，故D正确. 故选：ABD. 9．（多选）已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（  ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 【答案】BCD 【分析】设第项为的最大项，根据列出不等式组，求解即可判断BCD，利用数列的单调性及范围判断A． 【解析】设第项为的最大项， 则，即，所以， 又，所以或， 故数列中与均为最大项，且， 当时，数列递减，故BCD正确， 当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且， 所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误. 故选：BCD 10．已知数列满足：，若，则_______- 【答案】 【分析】本题可先根据数列的递推公式求出数列的前几项，再找出数列的周期，最后根据周期求出的值. 【解析】因为且 所以，， ，， ，， 所以数列是周期数列，且周期为4， 所以. 故答案为： 11．数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即、、、、、、、、、、、、、，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿简等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛得应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则 ． 【答案】 【分析】利用， 化简得出，即可得出结果. 【解析】由题意可得：斐波那契数列满足：，， 所以 ， ， 所以. 12．数列的最小项的值为 . 【答案】 【分析】直接根据反比例函数的单调性即可得解. 【解析】令，得， 令，得， 所以当时，，当时，， 而函数在上单调递减， 所以当时，取得最小值， 即数列的最小项的值为. 故答案为： 13．已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【答案】(1) (2)第项 【分析】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【解析】（1）当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. （2）由已知得， 当时，， 则，即， 得，  即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 14．已知为正项数列的前n项的乘积，且，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，求实数k的取值范围； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据，可得，两式相除可得，两边取对数并构造常数列，即可求得答案. （2）由（1）的结论，求出，再根据单调数列的意义列式求解即得. 【解析】（1）由为正项数列的前n项的乘积，得，由，得， 于是，即，两边取对数得， 即，整理得， 因此数列是常数列，即，于是， 所以. （2）由（1）知，， 由数列为递增数列，得， 即，而数列是递减数列，，当且仅当时等号， 所以实数k的取值范围是. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $