专题06 多边形的面积（讲义）-2025-2026学年五年级上册数学人教版

新课预习讲义 走进多边形的面积世界 亲爱的同学们： 欢迎来到“多边形的面积”这一充满探索与发现的数学专题！在这里，我们将一起揭开平行四边形、三角形、梯形等图形的面积奥秘，学习如何用数学的眼光测量和计算周围世界的形状。 为什么学习多边形的面积？ 生活中处处都有多边形的身影：教室的黑板是长方形的，公园的花坛可能是三角形的，足球场的球门区常常是梯形的……学会计算它们的面积，不仅能帮助我们解决实际问题，比如铺地板需要多少材料、种植园需要多大面积，还能培养我们的空间思维和逻辑推理能力。 本专题的学习重点： 1.平行四边形的面积：通过“割补法”，把平行四边形变成长方形，发现“底×高”的奥秘。 2.三角形的面积：为什么是“底×高÷2”？动手拼一拼，两个相同的三角形就能拼成一个平行四边形！ 3.梯形的面积：用“倍拼法”将梯形转化为平行四边形，推导出“（上底+下底）×高÷2”的公式。 4.组合图形的面积：学会“分一分”“补一补”，把复杂图形变成简单图形的组合。 数学的魅力在于应用！当你们能用公式计算花圃的种植面积、设计班级墙报的版面布局时，就会发现数学不再是课本上的数字，而是解决现实问题的有力工具。 希望你们在学习中不仅掌握知识，更能享受“转化”的智慧——把未知变成已知，把复杂变成简单。愿你们像小小数学家一样，用思考与探索丈量世界的形状！ 优胜教育工作室 2025年8月 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 专题06 多边形的面积 【思维导图+核心考点+自我检测】 思维导图 核心考点 考点一：平行四边形的面积 1.面积公式推导： （1）方法：通过“割补法”将平行四边形转化为一个与它面积相等的长方形。 （2）联系：转化后的长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。 （3）因为：长方形的面积 = 长 × 宽 （4）所以：平行四边形的面积 = 底 × 高 2.面积计算公式：平行四边形的面积 （其中 表示面积， 表示底， 表示这条底对应的高） 3.关键要点： （1）底和高必须是相对应的（即从平行四边形一条边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底）。 （2）单位要统一。 （3）已知面积和底，可以求高： （4）已知面积和高，可以求底： 考点二：三角形的面积 1.面积公式推导： （1）方法：用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形（或长方形、正方形）。 （2）联系：拼成的平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 （3）因为：平行四边形的面积 = 底 × 高 （4）所以：三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2 2.面积计算公式：三角形的面积 （其中 表示面积， 表示底， 表示这条底对应的高） 3.关键要点： （1）底和高必须是相对应的。 （2）“÷ 2”是因为三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，不要忘记。 （3）已知面积和底，求高： （4）已知面积和高，求底： （5）两个三角形能拼成一个平行四边形的前提是“完全一样”（形状相同，大小相等）。面积相等的两个三角形不一定能拼成平行四边形。 考点三：梯形的面积 1.面积公式推导： （1）方法：用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 （2）联系：拼成的平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，平行四边形的高等于梯形的高，梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 （3）因为：平行四边形的面积 = 底 × 高 = (上底 + 下底) × 高 （4）所以：梯形的面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 （5）其他推导方法：还可以通过把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，或分割成两个三角形等方法推导。 2.面积计算公式：梯形的面积 （其中 表示面积， 表示上底， 表示下底， 表示高） 3.关键要点： （1）上底和下底是梯形中互相平行的两条边。 （2）高是上底和下底之间的垂直线段的长度。 （3）“÷ 2”是因为梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，不要忘记。 （4）已知面积、上底和下底，求高： （5）已知面积、高和上底，求下底： (同理可求上底) 考点四：平行四边形、三角形、梯形面积的联系与区别 1.联系： 三角形和梯形的面积公式都是在平行四边形面积公式的基础上推导出来的，都运用了“转化”的数学思想。 2.区别： （1）平行四边形：面积 = 底 × 高 （2）三角形：面积 = 底 × 高 ÷ 2 （强调“÷2”） （3）梯形：面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 （强调“(上底+下底)”和“÷2”） 3.特殊情况： （1）等底等高的平行四边形面积相等。 （2）等底等高的三角形面积相等。 （3）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。 （4）一个平行四边形可以分成两个完全一样的三角形或两个完全一样的梯形。 考点五：组合图形的面积 1.定义： 由两个或两个以上的简单图形（如长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等）组合而成的图形叫做组合图形。 2.面积计算方法： （1）“分割法”（相加法）： 把组合图形分割成几个已学过的简单图形，分别计算出它们的面积，然后把各部分面积相加。 （2）“添补法”（相减法）： 在组合图形上添补一个或几个简单图形，使它变成一个熟悉的简单图形，计算出这个大图形的面积，再减去添补部分的面积。 （3）“割补法”： 将组合图形的某一部分切割下来，补到另一部分，使之转化为一个已学过的简单图形来计算面积。 3.关键要点： （1）仔细观察图形，选择最合适、最简单的分解或添补方法。 （2）分解后的图形要易于计算面积，并且要确保各部分面积不重复、不遗漏。 （3）找准计算所需的条件（底、高、长、宽等），必要时进行简单的计算求出未知条件。 考点六：不规则图形的面积估算 1.方法： （1）数方格法： 在方格纸上，数出图形所占的整格数和不满整格数。不满整格的通常按半格计算。 （2）转化法： 将不规则图形近似地看作一个或几个基本图形，再估算其面积。 2.关键要点： 估算结果是近似值，合理即可。 自我检测 一、填空题 1．我们所学过的图形中，两个完全一样的　 　形或　 　形，一定可以拼成一个平行四边形。 2．如图，直角三角形的周长是24厘米，它的面积是　 　平方厘米。 3．如下图，把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，面积是28dm2， 这个长方形的面积是　 　dm2， 平行四边形的周长是　 　dm。 4．一个三角形和一个平行四边形的面积相等，三角形的高是平行四边形高的 3 倍，三角形的底是12cm，那么平行四边形的底是　 　cm。 5．如图，一个直角梯形裁掉一个等腰直角三角形后得到一个正方形，如果这个梯形的上底是6cm，那么这个梯形的下底是　 　cm，面积是　 　 6．如下图是甲、乙两个三角形花园，其中乙花园比甲花园大16平方米，则两花园的面积和为　 　平方米。 7．如图，已知平行四边形中阴影部分的面积是48cm2，空白部分的面积是　 　cm2。 8．某小区的一个花坛是由若干盆红花摆放成梯形组成的。最上面一排摆了 20盆，最下面一排摆了 26盆，一共摆了7排，下一排都比上一排多1盆。这些红花共有　 　盆。 9．如下图，把一个长10cm、宽4cm的长方形纸沿相邻两边中点的连线剪去一个角，剩下的图形面积是　 　cm2。 10．如下图，将一张长方形纸片折叠成一个等腰梯形(单位：cm)。原来长方形的周长是　 　厘米，这个梯形的面积是　 　平方厘米。 二、判断题 11．两个等底等高的三角形，形状不同，面积也不相等。（ ） 12．三角形的面积一定等于平行四边形面积的一半。（ ） 13．如果一个平行四边形的面积是，底是acm，那么对应的高是。（ ） 14．一个梯形两底的和是12m，高是10m，面积是60cm2。（ ） 15．梯形的上底扩大到原来的2倍，下底也扩大到原来的2倍，高不变，则梯形的面积会扩大到原来的4倍。（ ） 三、选择题 16．一个三角形的底和高都扩大到原来的4倍，则面积扩大到原来的（　　）倍。 A．1 B．4 C．8 D．16 17．下图是两个不同的平行四边形，比较甲、乙两个三角形的面积，它们的关系是（　　）。 A．甲>乙 B．甲<乙 C．甲=乙 D．无法比较 18．一个三角形与一个平行四边形的底和面积分别相等，已知三角形的高是6厘米。平行四边形的高是（　　）。 A．3 B．6 C．9 D．12 19．把一个底是6厘米，高是4厘米的平行四边形沿高剪开，转化为一个长方形（如图），这个长方形的面积是（　　）平方厘米。 A．12 B．16 C．24 D．18 20．正确计算下面平行四边形面积的算式是（　　）。 A．12×10 B．12×9 C．9×10 D．9×7.5 四、计算题 21．计算下列图形的面积。 （1） （2） （3） （4） 22．计算下面图形的面积。 (单位：厘米) 五、操作题 23．在下面的方格图内画一个平行四边形，一个三角形，一个梯形，使他们的面积都等于12平方厘米。(每个方格的边长都是1厘米) 六、解决问题 24．下图是一个三角形果园，面积是720m2，要从A点安装一条水管到BC边，这条水管最短长多少米？如果1m水管的价格是26.5元，安装这条水管最少要花费多少元？ 25．粉刷一块底是24米、高是4.5米的平行四边形广告牌正面。如果每平方米用漆0.2千克，那么至少需要买多少桶这种油漆？ 26．一块近似平行四边形的麦地如下图，为了方便浇灌，中间留了一条小路，如果平均每平方米麦地收获小麦0.9千克，这块麦地大约可以收获小麦多少千克？ 27．下图是一个草场的平面规划图，这个草场的占地面积是多少公顷？ 28．种子乐园有一块梯形空地，要分成三块大小相同的菜地。右图是淘气的分割方案，你同意吗？请说明理由。 29．2022 年空军航空开放活动——长春航空飞行表演中，我国自主研制的第五代战机歼-20高难度动作震撼全场。歼-20的展演激发了淘气的设计灵感，他准备制作一个飞机模型，机翼是由两个相同的梯形板组成(如图)，机翼的面积是多少平方分米？ $$ 参考答案 一、填空题 1．三角；梯 2．24 3．35；24 4．18 5．12；54 6．64 7．72 8．161 9．35 10．34；40 二、判断题 11．错误 12．错误 13．正确 14．错误 15．错误 三、选择题 16．D 17．C 18．A 19．C 20．C 四、计算题 21．（1）解：6.5×7÷2 =45.5÷2 =22.75(m2) （2）解：6.5×4=26(m2) （3）解：5×2.4÷2 =12÷2 =6(dm2) （4）解：(2.4+3.5)×2.4÷2 =5.9×2.4÷2 =5.9×1.2 =7.08(m2) 22．解：10-5=5(cm) 15-5-5 =5(cm) 15×10-5×5-5×5÷2×2 =150-25-25 =100(cm2) 五、操作题 23．解：平行四边形的底画4格，高画3格，平行四边形面积=4×3=12（平方厘米） 三角形的底画8格，高画3格，平行四边形面积=8×3÷2=12（平方厘米） 梯形的上底画3格，下底画5格，高画3格，梯形面积=（3+5）×3÷2=12（平方厘米） 六、解决问题 24．解：720×2÷40 =1440÷40 =36(米) 36×26.5 =954(元) 答： 这条水管最短长36米 ， 安装这条水管最少要花费954元。 25．解： 24×4.5×0.2 =108×0.2 = 21.6(千克) 21.6÷5 ≈5(桶) 答：至少需要买5桶这种油漆。 26．解：0.9×[（20－1）×9] ＝0.9×[19×9] ＝0.9×171 ＝153.9（千克） 答：这块麦地大约可以收获小麦153.9千克。 27．解：(70+140)×240÷2 =25200(m2) 150×200÷2=15000(m2) 25200+15000=40200(m2) 40200m2=4.02公顷 答：这个草场的占地面积是4.02公顷。 28．解：菜地①的面积： 16×10÷2=80(m2) 菜地②的面积： 8×10=80(m2) 菜地③的面积：(11+5)×10÷2=80(m2) 答：我同意淘气的分割方案，因为三块菜地的面积相等，所以淘气的分割方案符合要求。 29．解：(2.2+3.3)×4.4÷2×2 =5.5×4.4 =24.2(dm2) 答： 机翼的面积是24.2平方分米。 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 9 页 新课预习讲义 走进多边形的面积世界 亲爱的同学们： 欢迎来到“多边形的面积”这一充满探索与发现的数学专题！在这里，我们将一起揭开 平行四边形、三角形、梯形等图形的面积奥秘，学习如何用数学的眼光测量和计算周围世界 的形状。 为什么学习多边形的面积？ 生活中处处都有多边形的身影：教室的黑板是长方形的，公园的花坛可能是三角形的，足球 场的球门区常常是梯形的……学会计算它们的面积，不仅能帮助我们解决实际问题，比如铺 地板需要多少材料、种植园需要多大面积，还能培养我们的空间思维和逻辑推理能力。 本专题的学习重点： 1.平行四边形的面积：通过“割补法”，把平行四边形变成长方形，发现“底×高”的奥 秘。 2.三角形的面积：为什么是“底×高÷2”？动手拼一拼，两个相同的三角形就能拼成一 个平行四边形！ 3.梯形的面积：用“倍拼法”将梯形转化为平行四边形，推导出“（上底+下底）×高÷2” 的公式。 4.组合图形的面积：学会“分一分”“补一补”，把复杂图形变成简单图形的组合。 数学的魅力在于应用！当你们能用公式计算花圃的种植面积、设计班级墙报的版面布局 时，就会发现数学不再是课本上的数字，而是解决现实问题的有力工具。 希望你们在学习中不仅掌握知识，更能享受“转化”的智慧——把未知变成已知，把复 杂变成简单。愿你们像小小数学家一样，用思考与探索丈量世界的形状！ 优胜教育工作室 2025年 8月 第 2 页 共 9 页 专题 06 多边形的面积 【思维导图+核心考点+自我检测】 思维导图 核心考点 考点一：平行四边形的面积 1.面积公式推导： （1）方法：通过“割补法”将平行四边形转化为一个与它面积相等的长方形。 （2）联系：转化后的长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高。 （3）因为：长方形的面积 = 长 × 宽 （4）所以：平行四边形的面积 = 底 × 高 2.面积计算公式：平行四边形的面积 S = a × h （其中 S 表示面积，a 表示底，h 表示这条 底对应的高） 3.关键要点： （1）底和高必须是相对应的（即从平行四边形一条边上的一点向对边引垂线，这点和垂足之 间的线段叫做平行四边形的高，这条对边叫做平行四边形的底）。 （2）单位要统一。 （3）已知面积和底，可以求高：h = S ÷ a 第 3 页 共 9 页 （4）已知面积和高，可以求底：a = S ÷ h 考点二：三角形的面积 1.面积公式推导： （1）方法：用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形（或长方形、正方形）。 （2）联系：拼成的平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角 形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 （3）因为：平行四边形的面积 = 底 × 高 （4）所以：三角形的面积 = 底 × 高 ÷ 2 2.面积计算公式：三角形的面积 S = a × h ÷ 2 （其中 S 表示面积，a 表示底，h 表示这条 底对应的高） 3.关键要点： （1）底和高必须是相对应的。 （2）“÷ 2”是因为三角形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，不要忘记。 （3）已知面积和底，求高：h = S × 2 ÷ a （4）已知面积和高，求底：a = S × 2 ÷ h （5）两个三角形能拼成一个平行四边形的前提是“完全一样”（形状相同，大小相等）。面积 相等的两个三角形不一定能拼成平行四边形。 考点三：梯形的面积 1.面积公式推导： （1）方法：用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 （2）联系：拼成的平行四边形的底等于梯形的上底与下底之和，平行四边形的高等于梯形的 高，梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。 （3）因为：平行四边形的面积 = 底 × 高 = (上底 + 下底) × 高 （4）所以：梯形的面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 （5）其他推导方法：还可以通过把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，或分割成两个 三角形等方法推导。 2.面积计算公式：梯形的面积 S = (a + b) × h ÷ 2 （其中 S 表示面积，a 表示上底，b 表示 下底，h 表示高） 3.关键要点： （1）上底和下底是梯形中互相平行的两条边。 第 4 页 共 9 页 （2）高是上底和下底之间的垂直线段的长度。 （3）“÷ 2”是因为梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半，不要忘记。 （4）已知面积、上底和下底，求高：h = S × 2 ÷ (a + b) （5）已知面积、高和上底，求下底：b = S × 2 ÷ h − a (同理可求上底) 考点四：平行四边形、三角形、梯形面积的联系与区别 1.联系： 三角形和梯形的面积公式都是在平行四边形面积公式的基础上推导出来的，都运用 了“转化”的数学思想。 2.区别： （1）平行四边形：面积 = 底 × 高 （2）三角形：面积 = 底 × 高 ÷ 2 （强调“÷2”） （3）梯形：面积 = (上底 + 下底) × 高 ÷ 2 （强调“(上底+下底)”和“÷2”） 3.特殊情况： （1）等底等高的平行四边形面积相等。 （2）等底等高的三角形面积相等。 （3）等底等高的平行四边形面积是三角形面积的 2倍。 （4）一个平行四边形可以分成两个完全一样的三角形或两个完全一样的梯形。 考点五：组合图形的面积 1.定义： 由两个或两个以上的简单图形（如长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等） 组合而成的图形叫做组合图形。 2.面积计算方法： （1）“分割法”（相加法）： 把组合图形分割成几个已学过的简单图形，分别计算出它们的面 积，然后把各部分面积相加。 （2）“添补法”（相减法）： 在组合图形上添补一个或几个简单图形，使它变成一个熟悉的简 单图形，计算出这个大图形的面积，再减去添补部分的面积。 （3）“割补法”： 将组合图形的某一部分切割下来，补到另一部分，使之转化为一个已学过 的简单图形来计算面积。 3.关键要点： （1）仔细观察图形，选择最合适、最简单的分解或添补方法。 （2）分解后的图形要易于计算面积，并且要确保各部分面积不重复、不遗漏。 （3）找准计算所需的条件（底、高、长、宽等），必要时进行简单的计算求出未知条件。 第 5 页 共 9 页 考点六：不规则图形的面积估算 1.方法： （1）数方格法： 在方格纸上，数出图形所占的整格数和不满整格数。不满整格的通常按半 格计算。 （2）转化法： 将不规则图形近似地看作一个或几个基本图形，再估算其面积。 2.关键要点： 估算结果是近似值，合理即可。 自我检测 一、填空题 1．我们所学过的图形中，两个完全一样的 形或 形，一定可以拼成一个平 行四边形。 2．如图，直角三角形的周长是 24厘米，它的面积是 平方厘米。 3．如下图，把一个长方形框架拉成一个平行四边形后，面积是 28dm2， 这个长方形的面积 是 dm2， 平行四边形的周长是 dm。 4．一个三角形和一个平行四边形的面积相等，三角形的高是平行四边形高的 3 倍，三角形 的底是 12cm，那么平行四边形的底是 cm。 5．如图，一个直角梯形裁掉一个等腰直角三角形后得到一个正方形，如果这个梯形的上底是 6cm，那么这个梯形的下底是 cm，面积是 cm2。 6．如下图是甲、乙两个三角形花园，其中乙花园比甲花园大 16平方米，则两花园的面积和 为 平方米。 第 6 页 共 9 页 7．如图，已知平行四边形中阴影部分的面积是 48cm2，空白部分的面积是 cm2。 8．某小区的一个花坛是由若干盆红花摆放成梯形组成的。最上面一排摆了 20盆，最下面一 排摆了 26盆，一共摆了 7排，下一排都比上一排多 1盆。这些红花共有 盆。 9．如下图，把一个长 10cm、宽 4cm的长方形纸沿相邻两边中点的连线剪去一个角，剩下的 图形面积是 cm2。 10．如下图，将一张长方形纸片折叠成一个等腰梯形(单位：cm)。原来长方形的周长是 厘米，这个梯形的面积是 平方厘米。 二、判断题 11．两个等底等高的三角形，形状不同，面积也不相等。（ ） 12．三角形的面积一定等于平行四边形面积的一半。（ ） 13．如果一个平行四边形的面积是 8cm2，底是 acm，那么对应的高是 8 ÷ a cm。（ ） 14．一个梯形两底的和是 12m，高是 10m，面积是 60cm2。（ ） 15．梯形的上底扩大到原来的 2倍，下底也扩大到原来的 2倍，高不变，则梯形的面积会扩 大到原来的 4倍。（ ） 三、选择题 16．一个三角形的底和高都扩大到原来的 4倍，则面积扩大到原来的（ ）倍。 A．1 B．4 C．8 D．16 17．下图是两个不同的平行四边形，比较甲、乙两个三角形的面积，它们的关系是（ ）。 A．甲>乙 B．甲<乙 C．甲=乙 D．无法比较 第 7 页 共 9 页 18．一个三角形与一个平行四边形的底和面积分别相等，已知三角形的高是 6厘米。平行四 边形的高是（ ）。 A．3 B．6 C．9 D．12 19．把一个底是 6厘米，高是 4厘米的平行四边形沿高剪开，转化为一个长方形（如图），这 个长方形的面积是（ ）平方厘米。 A．12 B．16 C．24 D．18 20．正确计算下面平行四边形面积的算式是（ ）。 A．12×10 B．12×9 C．9×10 D．9×7.5 四、计算题 21．计算下列图形的面积。 （1） （2） （3） （4） 22．计算下面图形的面积。 (单位：厘米) 第 8 页 共 9 页 五、操作题 23．在下面的方格图内画一个平行四边形，一个三角形，一个梯形，使他们的面积都等于 12 平方厘米。(每个方格的边长都是 1厘米) 六、解决问题 24．下图是一个三角形果园，面积是 720m2，要从 A点安装一条水管到 BC边，这条水管最 短长多少米？如果 1m水管的价格是 26.5元，安装这条水管最少要花费多少元？ 25．粉刷一块底是 24米、高是 4.5米的平行四边形广告牌正面。如果每平方米用漆 0.2千克， 那么至少需要买多少桶这种油漆？ 26．一块近似平行四边形的麦地如下图，为了方便浇灌，中间留了一条小路，如果平均每平 方米麦地收获小麦 0.9千克，这块麦地大约可以收获小麦多少千克？ 第 9 页 共 9 页 27．下图是一个草场的平面规划图，这个草场的占地面积是多少公顷？ 28．种子乐园有一块梯形空地，要分成三块大小相同的菜地。右图是淘气的分割方案，你同 意吗？请说明理由。 29．2022 年空军航空开放活动——长春航空飞行表演中，我国自主研制的第五代战机歼-20 高难度动作震撼全场。歼-20的展演激发了淘气的设计灵感，他准备制作一个飞机模型，机翼 是由两个相同的梯形板组成(如图)，机翼的面积是多少平方分米？