精品解析：安徽省舒城第二中学2024-2025学年九年级下学期开学考试数学试题

九年级数学开学定时作业 （满分：150分 时间：120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A. 平分 B. C. D. 5. 如图，坡角为27°的斜坡上两根电线杆间的坡面距离为80米，则这两根电线杆间的水平距离为（ ） A. 米 B. 80cos27°米 C. 80tan27°米 D. 米 6. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（ ） A. 4 B. C. D. 7. 已知点，，在二次函数的图象上，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ） A 6或12 B. 2或14 C. 6或14 D. 2或12 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 10. 如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接，当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形的最大面积为13 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11 ______． 12. 已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么______. 13. 反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接交图象于点B，则的值为______． 14. 在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，连接AE，过点D作于点F，连接CF、AC． （1）线段DF的长为______； （2）若AC交DF于点M，则______． 三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 已知关于x的二次函数的图像顶点坐标为，且图像过点，求这个二次函数的解析式． 16. 如图，是的半径，是弦，且于点连接并延长交于点，若，，求半径的长． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式解集． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出向下平移个单位长度得到的，点的坐标是                      ． （2）以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与位似，且相似比为，点坐标是                    ． （3）的面积是                       ． 五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，是的直径，点，在上，，交于点，已知． （1）求的度数； （2）若，求的长． 20. 在中，，，，是斜边上的中线，是斜边上的高． （1）求的长； （2）求的值． 六．解答题（本题满分12分） 21. 近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 七．解答题（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边延长线上，且满足，连接，，与边交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：； （3）交于点，若，则__________（直接写答案、用含的代数式表示）． 八．解答题（本题满分14分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）． （1）求此抛物线的表达式； （2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求长； （3）连接． ①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标； ②如图3，连接，当时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学开学定时作业 （满分：150分 时间：120分钟） 一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知，则下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵， ∴，，， 只有C符合题意， 故选：C． 2. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．二次函数的顶点坐标是，对称轴为直线．根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是． 故选：A． 3. 在中，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的定义．先根据勾股定理求出，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得， ∴； ∴ 故选A． 4. 如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（　　） A. 平分 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴，故B选项不符合题意； C选项无法判定和相似，故C符合题意； ∵， ∴，故D选项不符合题意； 故选C． 5. 如图，坡角为27°的斜坡上两根电线杆间的坡面距离为80米，则这两根电线杆间的水平距离为（ ） A. 米 B. 80cos27°米 C. 80tan27°米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】作BC⊥AC于C，根据余弦的定义解答即可． 【详解】解：如图， 作BC⊥AC于C， 由题意得，∠ABC＝27°， 在Rt△ABC中，cos∠ABC＝， ∴BC＝AB•cos∠ABC＝80cos27°（米）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键． 6. 如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点，，均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得能够完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆，圆心位于 和 的垂直平分线的交点处，求出，即可求解． 【详解】解：如图，点为外接圆的圆心，则为半径， 故能完全覆盖该三角形的最小圆面的半径是． 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理，熟练掌握三角形的外接圆圆心就是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键． 7. 已知点，，在二次函数的图象上，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，理解“当抛物线开口方向向下时，到对称轴距离越小的点对应的函数值越大．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 抛物线对称轴为直线， ， ， ， ， ， ， ； 故选：B． 8. 已知在中两条平行弦，，，的半径是10，则AB与CD间的距离是（ ） A. 6或12 B. 2或14 C. 6或14 D. 2或12 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点O作于点E，交于点F． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是2； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点O作于点P，延长交于点Q． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴，， ∴，即此时AB与CD间的距离是14． 综上可知AB与CD间的距离是2或14． 故选B． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，解题关键是分两种情况讨论，作辅助线构造直角三角形． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B均在函数的图象上，轴于点，交线段于点．若点为线段的中点，的面积为，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数的几何意义、相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．过点作轴于点，连接，设点的坐标为，点的坐标为，则，，再证出，根据相似三角形的性质可得，，从而可得，然后求出，最后根据建立方程，解方程即可得． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由题意，设点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴与的边上的高相等， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故选：A． 10. 如图，抛物线与直线经过点，且相交于另一点，抛物线与轴交于点，与轴交于另一点，过点的直线交抛物线于点，且轴，连接，当点在线段上移动时（不与、重合），下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 四边形的最大面积为13 【答案】C 【解析】 【分析】】（1）当MN过对称轴的直线时，解得：BN=，而MN=，BN+MN=5=AB； （2）由BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）推知∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形，∠CBA≠∠BCA，故∠BAC=∠BAE错误； （3）如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC，由△ABC是等腰三角形得到：EB是∠ABC的平分线，∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC； （4）S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM，其最大值为． 【详解】解：将点A（2，0）代入抛物线y=ax2-x+4与直线y=x+b 解得：a=，b=-， 设：M点横坐标为m，则M（m，m2-m+4）、N（m，m-）， 其它点坐标为A（2，0）、B（5，4）、C（0，4）， 则AB=BC=5，则∠CAB=∠ACB， ∴△ABC是等腰三角形． A、当MN过对称轴的直线时，此时点M、N的坐标分别为（，-）、（，）， 由勾股定理得：BN=，而MN=， BN+MN=5=AB， 故本选项错误； B、∵BC∥x轴（B、C两点y坐标相同）， ∴∠BAE=∠CBA，而△ABC是等腰三角形不是等边三角形， ∠CBA≠∠BCA， ∴∠BAC=∠BAE不成立， 故本选项错误； C、如上图，过点A作AD⊥BC、BE⊥AC， ∵△ABC是等腰三角形， ∴EB是∠ABC的平分线， 易证：∠CAD=∠ABE=∠ABC， 而∠ACB-∠ANM=∠CAD=∠ABC， 故本选项正确； D、S四边形ACBM=S△ABC+S△ABM， S△ABC=10， S△ABM=MN•（xB-xA）=-m2+7m-10，其最大值为， 故S四边形ACBM的最大值为10+=12.25，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，以及等腰三角形、平行线等几何知识，是一道难度较大的题目． 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11. ______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查特殊锐角三角函数值．将特殊锐角的三角函数值代入计算即可． 详解】解： ， 故答案为：1． 12. 已知点是线段的一个黄金分割点，且，，那么______. 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．利用黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点P是线段的一个黄金分割点，且， ∴， 故答案为： 13. 反比例函数，图象如图所示，点A在图象上，连接交图象于点B，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象，作轴于M，轴于N，根据反比例函数系数k的几何意义得到，，然后根据三角形相似的性质求得结论． 【详解】解：作轴于M，轴于N， ∵点A在图象上，连接交图象于点B， ∴，， ∵， ∴, ∴， ∴， 故答案为： 14. 在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，连接AE，过点D作于点F，连接CF、AC． （1）线段DF的长为______； （2）若AC交DF于点M，则______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】先证明，通过相似三角形的性质得，继而求解即可； 延长DF交BC延长线于点K，先证明，通过相似三角形的性质得经过计算得到，再由求解即可． 【详解】在矩形ABCD中，， ，，， E是BC的中点 在中，由勾股定理得 ； 故答案为：； 如图，延长DF交BC延长线于点K ， 由（1）得 在中，由勾股定理得 故答案为：． . 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等，熟练运用知识点是解题的关键． 三．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 已知关于x的二次函数的图像顶点坐标为，且图像过点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：由于已知顶点坐标，则可设顶点式，再把代入求出的值即可得到二次函数的表达式． 【详解】解：设二次函数解析式为， 把点代入，得， 解得， 这个二次函数的解析式为． 16. 如图，是的半径，是弦，且于点连接并延长交于点，若，，求半径的长． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值． 【详解】解：弦，， ， 设的半径， ， 在中， ， 解得：， 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）把点代入求得，得反比例函数解析式为，把点代入求得，可得，再把、代入求出k，b的值即可得出一次函数解析式； （2）求出点C坐标，结合函数图象可得不等式解集． 【小问1详解】 把点代入，得： ， 解得，， ∴反比例函数解析式为； 把点代入，得： ，解得，， ∴， 把、代入，得： ， 解得，， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 对于，当时， ∴， 由函数图象知，当直线在x轴下方，反比例函数图象上方时，， 所以，不等式的解集为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出向下平移个单位长度得到的，点的坐标是                      ． （2）以点B为位似中心，在平面直角坐标系中画出，使与位似，且相似比为，点的坐标是                    ． （3）的面积是                       ． 【答案】（1）作图见解析，； （2）作图见解析， ； （3）． 【解析】 【分析】本题考查作图平移变换、位似变换、三角形的面积，熟练掌握平移和位似的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作出、、，顺次连接即可得出答案； （2）根据位似的性质作出、、，顺次连接即可得出答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，向下平移个单位长度得到的，        ∴是所求作三角形， ∴由图可知， 故答案为：． 【小问2详解】 ∵与位似，且相似比为， ∴延长，，使得，，如图所示， ， ∴是所求作三角形， ∴由图可知， 故答案为：． 【小问3详解】 面积， 故答案为：10． 五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 如图，是的直径，点，在上，，交于点，已知． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理得到，，再根据三角形的外角性质计算即可； （2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 20. 在中，，，，是斜边上的中线，是斜边上的高． （1）求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出BE的长，再根据勾股定理得出AC的长，根据三角形的面积得出CD的长，进而可以得出的长； （2）先求出∠ACE=∠A，再根据锐角三角函数的定义求解即可． 【小问1详解】 ∵是斜边上的中线， ∴CE=BE=AB=5， 中，， ∴AC=8， ∵三角形面积， ∴CD=， 在Rt△BCD中，BD=， ∵BE=5， ∴． 【小问2详解】 在中，CE是斜边AB上的中线， ∴， ∴∠ACE=∠A， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的中线的定义，锐角三角函数的定义，三角形的面积，难度适中，准确理解题意是解题的关键． 六．解答题（本题满分12分） 21. 近几年，越来越多的商家向线上转型发展，“直播带货”已经成为商家的一种促销的重要手段．某商家在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系式，设销售这种商品每天的利润为W（元）． （1）求W与x之间的函数关系式； （2）当销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求W的最大值． 【答案】（1） （2）2160元 【解析】 【分析】（1）根据销售1件的利润乘以每天销售量等于每天的总利润，直接列式即可作答； （2）根据题意有：，解得：，将化为顶点式为：，即可知当时，函数值随着x的增大而减小，问题随之得解． 小问1详解】 解：根据题意，得 ， 即， 又， 解得， ∴ 【小问2详解】 解：根据题意有：， 解得：， ， ∵， ∴当时，W随着x的增大而减小， 又， 当时，函数值最大，最大为：． 答：此时W的最大值为2160元． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知的等量关系列出相应的函数关系式是是解答本题的关键． 七．解答题（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，点是边上的一点（不与、重合），点在边延长线上，且满足，连接，，与边交于点． （1）求证：； （2）如果，求证：； （3）交于点，若，则__________（直接写答案、用含的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据可证． （2）证明即可得证． （3）过点M作，交于点F，得到，，设，则，，证明，解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，平行线的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点M作，交于点F， ∴， ∴， 设 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 八．解答题（本题满分14分） 23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点在轴上，且，，分别是线段，上的动点（点，不与点，，重合）． （1）求此抛物线的表达式； （2）连接并延长交抛物线于点，当轴，且时，求的长； （3）连接． ①如图2，将沿轴翻折得到，当点在抛物线上时，求点的坐标； ②如图3，连接，当时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）把点B代入抛物线关系式，求出a的值，即可得出抛物线的关系式； （2）根据抛物线可求出点A的坐标，点C的坐标，根据，利用三角函数，求出DE的长，再求出点E的坐标，根据点P与点E的横坐标相同，得出点P的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点P的纵坐标，即可得出EP的值，最后求出DP的值即可； （3）①连接交于点，设，则，求出，得出点，将其代入抛物线关系式，列出关于a的方程，解方程，求出a的值，即可得出G的坐标； ②在下方作且，连接，，证明，得出，说明当，，三点共线时，最小，最小为，过作，垂足为，先证明∠CAH=45°，算出AC长度，即可求出CH、AH，得出HQ，最后根据勾股定理求出CQ的长度即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在抛物线上， ∴，解得， ∴，即； 【小问2详解】 在中，令，得，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ①连接交于点，如图1所示： ∵与关于轴对称， ∴，， 设，则， ， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 解得（舍去），， ∴； ②在下方作且，连接，，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时，最小，最小为， 过作，垂足为， ∵，， ∴，， ∵， ，， ， ∴ ， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明，得出当，，三点共线时，最小，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $