精品解析：安徽省淮南市淮南实验中学山南第一中学2024-2025学年上学期九年级数学期末试卷

九年级数学学情检测卷 考试时间：120分 满分：150分 一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列命题中，正确命题的是（ ） A. 所有的正方形都相似 B. 所有的菱形都相似 C. 底边相等的两个等腰三角形相似 D. 对角线相等的两个矩形相似 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，解题的关键在于熟知两个边数相同的多边形，如果它们的对应角分别相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，据此求解即可． 【详解】解：A、∵所有正方形的四个角都是90度，对应边成比例， ∴所有的正方形都相似，故原命题正确，符合题意； B、∵所有的菱形其四个角不一定对应相等， ∴所有的菱形不一定都相似，原命题错误，不符合题意； C、底角相等的两个等腰三角形相似，原命题错误，不符合题意； D、对角线相等的两个矩形不一定相似，例如长方形和正方形的对角线相等，但是它们不相似，原命题错误，不符合题意； 故选A． 2. 下列函数中表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 逐一判断即可． 【详解】解：A．，是的正比例函数，不符合题意； B．，是的反比例函数，不符合题意； C．，是的反比例函数，符合题意； D．，是的反比例函数，不符合题意； 故选：C 3. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据概率公式可直接进行求解． 【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为； 故选C． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 4. 若双曲线在第一、三象限，那么关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 条件不足，无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像与性质，双曲线在第一、第三象限，得到，再根据关于的方程计算根的判别式，从而判断该方程根的情况． 【详解】解：∵双曲线在第一、第三象限， ∴，解得， ∵关于的方程， ∴， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像与性质，一元二次方程根的判别式，正确理解相关概念，通过反比例函数的图像性质得到的取值范围是解题的关键． 5. 已知点是线段的黄金分割点，且，若线段，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查黄金分割的含义． 把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比，根据概念列比例式即可求解． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴， 而， ∴． 故选：A． 6. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数性质求出k<0，再根据k=xy，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，, ∴k=xy<0， A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 7. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案. 【详解】解：如图所示， 由图可知，，， . 根据镜面的反射性质， ∴， ∴， ， ， . 小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为， ，，. . . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质. 8. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：连接， ∵点I是的内心，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键． 9. 如图，在正方形中，是的中点，阴影部分的面积是，则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得出，，则，，设，根据得出方程，进而得出，求得正方形的面积，最后根据正方形的性质即可求得边长，即可求解． 【详解】解：∵正方形中，是的中点，阴影部分的面积是， ∴， ∴ ∴， ∴ 设， ∵正方形，是对角线， ∴ ∴ 解得： ∴正方形的面积， 则正方形的边长 故选：B． 10. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，，将点，代入，得出，代入二次函数，可得当时，，则，得出对称轴为直线，抛物线对称轴在轴的右侧，且过定点，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， 设，则，根据图象可得， 将点代入， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线经过点， ∴抛物线对称轴在的右侧，且过定点， 当时，， 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出是解题的关键． 二．（本题共4小题，每题5分，共20分） 11. 已知，那么代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了代数式求值，比例的性质，设，则，代入计算即可，熟练掌握等比性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上的点，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为定值，；进行求解即可． 【详解】解：∵点和点是同一个反比例函数图象上的两点， ∴， 解得：； 故答案为：． 13. 如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ____． 【答案】16 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义可得 再利用矩形的面积减去和的面积即可. 【详解】∵两点在反比例函数的图象上， ∵, ∴四边形的面积为, ∴四边形的面积为, 故选:. 【点睛】此题主要考查了反比例函数的几何意义，关键是掌握在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 且保持不变. 14. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】（1）过点E作，根据正方形和等腰三角形的性质，得到的长，再利用勾股定理，求出的长，即可得到的面积； （2）延长交于点K，利用正方形和平行线的性质，证明，得到的长，进而得到的长，再证明，得到，进而求出的长，最后利用勾股定理，即可求出的长． 【详解】解：（1）过点E作， 正方形的边长为3， ， 是等腰三角形，，， ， 在中，， , 故答案为：3； （2）延长交于点K， 正方形的边长为3， ，， ，， ， ， ， F为的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可知，，， ， ， ， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 三．（本题共9小题，共90分） 15. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； （2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可． 【小问1详解】 解：设，则，， ∵，所以，解得， ∴，，． 【小问2详解】 ∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）． 【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． 16. 在反比例的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，求反比例函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质以及完全平方式的概念，解题的关键是根据反比例函数的增减性确定k的取值范围，再结合完全平方式的特征求出k的值． 根据反比例函数y随ⅹ增大而减小的性质，得出即由整式是完全平方式，确定k的值；结合的条件，筛选出符合要求的k值，进而得到反比例函数解析式． 【详解】解：∵反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而减小， ∴根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，函数在每一支上y随x增大而减 小，即解得． ∵整式是一个完全平方式， 又∵完全平方式的形式为对比可得则， ∴中间项系数满足，即， 解得或． 结合的条件，可知． ∴反比例函数的解析式为． 故答案为：． 17. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图1中，______． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找一点P，使； ②如图3，过点D画的平行线． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质： （1）证明，即可求解； （2）①取格点E，F，连接交于点P，即可；②取格点K，L，连接交于点G，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴， ∴； 故答案为： 【小问2详解】 解：①如图，点P即为所求； 理由：取格点E，F，连接交于点P， 根据作法得：， ∴， ∴； ②如图，即为所求． 理由：如图，取格点M，N，则， ∴， ∴，即， 取格点K，L，连接交于点G，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是斜边上的高． ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴， （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形高的定义得出，根据等角的余角相等，得出，结合公共角，即可得证； （2）根据（1）的结论，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ ∴， 又 ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 19. 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点坐标为，点的坐标为．一次函数的图象经过点，，反比例函数的图象也经过点． （1）求反比例函数的关系式； （2）直接写出的解集． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数，中等难度，会求一次函数和反比例函数的解析式，并会观察函数图象得出不等式的解集是解题关键． （）作辅助线，证明≌，根据已知求出点的坐标，即可求出反比例函数的解析式； （）根据反比例函数和一次函数图像的性质，找到直线在双曲线下方的图像即可解题． 【小问1详解】 解：过作垂直于轴于，如下图，    ∵点坐标为，点的坐标为， ∴，， 在中， 在平面直角坐标系中，等腰直角三角板放在第二象限， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直于， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴，， ∴， ∴B的坐标，代入， 解得：， ∴反比例函数的关系式； 【小问2详解】 把B，，代入， 得， 解得， ∴一次函数的关系式， 反比例函数与一次函数， 联立得：， 解得，， 即两个函数的交点和， ∵不等式的解集，即是不等式的解集， 由图可知：图象上一次函数在反比例函数下方的的范围即可， 当时，图象上一次函数在反比例函数下方， 当时，图象上一次函数在反比例函数下方， ∴的解集或 20. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时与药物燃烧后，关于的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 【答案】（1）药物燃烧时：（）；药物燃烧后：（） （2） （3） 解：把代入， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， 所以这次消毒是有效的． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式，把点代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式，把点代入即可； （2）把代入反比例函数解析式，求出相应的x即可； （3）把代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于等于10就有效． 【小问1详解】 解：设药物燃烧时y与x之间的解析式为， 把点代入， 得 解得：， 设药物燃烧后y与x之间的解析式为， 把点代入， 得， 解得：， 故药物燃烧时y与x的函数关系式为（）； 药物燃烧时y与x的函数关系式为（）． 【小问2详解】 解：把，代入，得； ∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 即从消毒开始，至少需要30分钟后员工才能回到办公室． 【小问3详解】 略 21. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在线段AC上，⊙O经过点A，且与BC边相切于点D，与AB边交于点F，与AC边交于点E． （1）求证：=； （2）若AE=10，AB=8，求EC的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接OF，OD，利用切线的性质证明AB∥OD，推出∠1=∠2，从而证明结论； （2）证明△ODC∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 证明：连接OF，OD，标记∠1，∠2，∠3，∠4，如解图所示． ∵⊙O与BC相切于点D， ∴OD⊥BC， ∴∠ODC=90°， ∵∠B=90°， ∴AB∥OD， ∴∠1=∠4，∠2=∠3， ∴OA=OF， ∴∠3=∠4． ∴∠1=∠2， ∴=； 【小问2详解】 解：∵AE=10， ∴OA=OE=OD=5， ∵∠ODC=∠B=90°，∠C=∠C， ∴△ODC∽△ABC， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了相似三角形的判定和性质．解决本题的关键是掌握切线的性质． 22. 如图，在四边形中，，，，为边上一点（不与，重合），连接，过点作交于，使得． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，求的长； （3）当长为多少时，的长最大？最大为多少？ 【答案】（1）相似；理由见解析 （2） （3）； 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，正确的列出函数解析式，是解题的关键： （1）根据平角和三角形的内角和定理，推出，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）设，，则，根据相似三角形的性质，列出二次函数解析式，利用二次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：与相似．理由如下： ， ∴， ， ， ∵， ． 【小问2详解】 解：由（1）知， ． ，， ， ， 解得． 【小问3详解】 解：设，，则， 由（1）知， ， ， ， 当时，取最大值，最大值为， 当长为时，的长最大，最大为． 23. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或或或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，相似三角形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点， ∴， 把代入，得：，解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：，解得：， ∴， 同理可得：直线的解析式为； ∵， ∴当时，则：， ∴， ∴直线得解析式为， 联立，解得：或， ∴或； 当时，则：， ∴， ∴， 设，则：， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴直线的解析式为， 联立立，解得：或； ∴或； 综上：点的坐标为：或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情检测卷 考试时间：120分 满分：150分 一、选择题（本题共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列命题中，正确命题的是（ ） A. 所有的正方形都相似 B. 所有的菱形都相似 C. 底边相等的两个等腰三角形相似 D. 对角线相等的两个矩形相似 2. 下列函数中表示是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 若双曲线在第一、三象限，那么关于的方程的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 条件不足，无法判断 5. 已知点是线段的黄金分割点，且，若线段，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ） A. （2，3） B. （-2，3） C. （3，0） D. （-3，0） 7. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，是的中点，阴影部分的面积是，则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数在第一象限内的图象与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 二．（本题共4小题，每题5分，共20分） 11. 已知，那么代数式的值是_____． 12. 点和点是同一个反比例函数图象上的两点，则的值为_______． 13. 如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ____． 14. 如图，在边长为3的正方形的外侧，作等腰三角形，． （1）的面积为________； （2）若F为的中点，连接并延长，与相交于点G，则的长为________． 三．（本题共9小题，共90分） 15. 已知线段a、b、c满足，且． （1）求a、b、c的值； （2）若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 16. 在反比例的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，求反比例函数的解析式． 17. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． （1）在图1中，______． （2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． ①如图2，在上找一点P，使； ②如图3，过点D画的平行线． 18. 在中，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，求的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点坐标为，点的坐标为．一次函数的图象经过点，，反比例函数的图象也经过点． （1）求反比例函数的关系式； （2）直接写出的解集． 20. 为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成为正比例，药物燃烧后，与成反比例（如图），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）药物燃烧时与药物燃烧后，关于的函数关系式； （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室； （3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？ 21. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在线段AC上，⊙O经过点A，且与BC边相切于点D，与AB边交于点F，与AC边交于点E． （1）求证：=； （2）若AE=10，AB=8，求EC的长． 22. 如图，在四边形中，，，，为边上一点（不与，重合），连接，过点作交于，使得． （1）与相似吗？为什么？ （2）若，求的长； （3）当长为多少时，的长最大？最大为多少？ 23. 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $