专题22.3 实际问题与二次函数（知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题）-2025-2026学年人教版数学九年级上册同步培优精编讲练

专题22.3 实际问题与二次函数 （知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：根据实际问题列出二次函数关系式 2 知识点梳理02：利用二次函数的顶点求实际问题中的最值 2 知识点梳理03：利用二次函数解决与图形面积相关的实际问题 3 知识点梳理04：利用二次函数解决与运动有关的实际问题（如抛物线型轨迹） 3 知识点梳理05：利用二次函数解决利润最大化问题 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：图形问题（实际问题与二次函数) 4 考点2：图形运动问题（实际问题与二次函数) 5 考点3：拱桥问题（实际问题与二次函数) 6 考点4：销售问题（实际问题与二次函数) 7 考点5：投球问题（实际问题与二次函数) 8 考点6：喷水问题（实际问题与二次函数) 10 考点7：增长率问题（实际问题与二次函数) 11 考点8：其他问题（实际问题与二次函数) 12 考点9：面积问题（二次函数综合） 14 考点10：线段周长问题（二次函数综合） 15 考点11：角度问题（二次函数综合） 17 考点12：其他问题（二次函数综合） 18 中考真题 实战演练 19 难度分层 拔尖冲刺 22 基础夯实 22 培优拔高 26 知识点梳理01：根据实际问题列出二次函数关系式 1.审题：仔细阅读题目，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。 2.设元：选择一个适当的变量（通常设为 ）表示问题中的一个未知量，并根据题意用含 的代数式表示其他相关的未知量。 3.列关系式：根据题目中的等量关系（如面积公式、利润公式、物理公式等），列出关于 的二次函数关系式 （）。 4.确定自变量取值范围：根据实际问题的意义，确定自变量 的取值范围（使实际问题有意义，如长度不能为负，人数不能为小数等）。 易错点提示： 1.等量关系找错：未能准确理解题目中的数量关系，导致列出的函数关系式错误。 2.自变量取值范围忽略：只注重列出函数关系式，而忽略了自变量 在实际问题中的取值限制，导致后续求解没有实际意义。 3.单位不统一：在列关系式前，未将所有已知量的单位统一，导致计算错误。 4.表达式不是二次函数：有时可能由于分析错误，列出的表达式不是二次函数，而是一次函数或其他函数。 知识点梳理02：利用二次函数的顶点求实际问题中的最值 1.配方或公式法求顶点：对于列出的二次函数 ，可以通过配方转化为顶点式 ，或者直接利用顶点坐标公式 求出顶点坐标。 2.判断最值： （1）当 时，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为 （或 ），此时自变量 （或 ）。 （2）当 时，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为 （或 ），此时自变量 （或 ）。 3.结合实际意义：求出的顶点横坐标 必须在其取值范围内，此时顶点纵坐标才是实际问题的最值。若不在，则需根据函数在自变量取值范围内的增减性，在端点处取得最值。 易错点提示： 1.配方或计算顶点坐标出错：配方过程中符号出错，或使用顶点坐标公式时计算失误。 2.忽略自变量取值范围对最值的影响：盲目认为顶点处就是最值，而没有检验顶点的横坐标是否在实际问题所允许的自变量取值范围内。若不在，则最值应在自变量取值范围的端点处取得。 3.混淆最大值与最小值：忘记根据二次项系数 的符号来判断函数有最大值还是最小值。 4.最值单位书写：求出的最值是一个具体的数值，要注意带上相应的单位。 知识点梳理03：利用二次函数解决与图形面积相关的实际问题 1.常见模型：如长方形、正方形、三角形、梯形等图形的面积问题，或利用一面墙围矩形、用定长铁丝围图形等。 2.关键步骤： （1）设出一个适当的自变量（通常是图形的边长、宽、高或变化的长度等）。 （2）根据图形的性质和题目条件，用含自变量的代数式表示出与面积相关的其他边长或维度。 （3）根据面积公式列出二次函数关系式。 （4）求出函数的最值及对应的自变量的值，并检验是否符合实际意义。 易错点提示： 1.图形几何关系分析错误：未能正确用自变量表示出图形的其他边长，导致面积关系式列错。例如，在“靠墙围矩形”问题中，忽略了只有三边用材料。 2.自变量取值范围考虑不周：例如，边长不能为负数，围成的图形各部分长度要符合实际。 3.面积公式记错：如梯形面积公式、三角形面积公式等。 知识点梳理04：利用二次函数解决与运动有关的实际问题（如抛物线型轨迹） 1.常见模型：物体做斜抛运动（忽略空气阻力时轨迹为抛物线）、抛物线形桥梁、隧道、拱门等。 2.关键步骤： （1）建立平面直角坐标系：选择合适的原点、x轴和y轴，通常以抛物线的对称轴为y轴，或物体抛出点为原点等，使函数关系式形式最简。 （2）根据已知条件（如顶点坐标、与坐标轴交点坐标等）求出函数关系式。 （3）利用函数关系式解决问题：如求最大高度、达到某一高度的时间、落点位置、宽度等。 易错点提示： 1.坐标系建立不当：导致函数关系式复杂或无法求解。 2.坐标意义理解错误：混淆点的横纵坐标所代表的实际意义（如时间、高度、水平距离）。 3.未能正确使用已知点坐标求函数解析式：代入点坐标计算错误。 4.单位换算问题：如时间单位（秒、分）、长度单位（米、厘米）等。 5.忽略实际情境对自变量取值的限制：例如，时间不能为负，高度不能为负。 知识点梳理05：利用二次函数解决利润最大化问题 1.基本关系：总利润 = （每件商品的利润）×（销售量），或 总利润 = 总收入 - 总成本。 2.关键步骤： （1）设出一个自变量（通常是每件商品的涨价或降价金额，或销售单价）。 （2）用含自变量的代数式表示出每件商品的利润和销售量（销售量往往与单价有关，单价变化会引起销售量反方向变化）。 （3）根据总利润公式列出二次函数关系式。 （4）求出利润的最大值及对应的自变量的值（如最佳涨价/降价金额、最佳销售单价）。 易错点提示： 1.“每件利润”和“销售量”的表达式错误：特别是销售量随价格变化的关系，容易弄错增减性或比例系数。 2.自变量的实际意义混淆：例如，设的是“涨价x元”还是“售价为x元”要清晰。 3.忽略自变量的实际取值范围：如售价不能过高或过低，销售量不能为负数。 4.计算错误：利润关系式往往涉及多项，展开和化简时容易出错。 考点1：图形问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． (1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 【变式训练】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．问x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 考点2：图形运动问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 (2)小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由． 【变式训练】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（   ） A．7 B． C． D． 考点3：拱桥问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米． (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 【变式训练】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）已知某桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式； (2)某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度． 考点4：销售问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶． (1)若售价定为35元，每月可售出________桶；若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为________元． (2)当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？ (3)若销售价格不能低于40元/桶，又不能高于65元/桶，请问销售价格定到多少元/桶时才能使超市获得最大利润，最大利润是多少？ 【变式训练】（24-25九年级上·广东梅州·期末）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间满足关系式． (1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? (2)设销售这种文具每天获利w(单位：元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大：最大利润是多少元? 考点5：投球问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【问题情境】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：）与飞行时间t（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度y（单位：）与飞行时间t（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系：． 【数学思考】 （1）当飞行时间为时，水平距离______，飞行高度______； 【深入探究】 （2）当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离； 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，； （3）当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）在2024年巴黎奥运会上，全红婵凭借总分分的成绩蝉联奥运会女子10米跳台冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王．在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线．如图所示，建立平面直角坐标系．已知米，米，跳水曲线在离起跳点A水平距离为米时达到距水面最大高度米． (1)当时， ①求这条抛物线的解析式； ②求运动员落水点G与点A的距离； (2)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，请直接写出的取值范围． 考点6：喷水问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度（）与水平距离（）之间的关系式分别是和； (1)求，关于的解析式； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【变式训练】（2025·新疆喀什·模拟预测）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为米，距地面的竖直高度为米，现测得与的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 … 小华根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米； (3)求出关于的函数关系式； (4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 考点7：增长率问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 考点8：其他问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）2026年冬奥会在米兰举行，跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）满足函数关系：．着陆坡的解析式为，在着陆坡上设置点P作为达标点，点P与水平距离为．若着陆点在P点或越过P点，则视为成绩达标． (1)当时， ①判断成绩是否达标，并说明理由； ②求运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值； (2)若运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上，求b的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在巴黎举行的年奥运会跳水女子单人米跳台决赛中，全红婵荣获冠军．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图所示，建立平面直角坐标系，如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，当她离起跳点的水平距离为时，离水面高度为，当她离起跳点的水平距离为时，离水面的高度为． (1)求抛物线的表达式． (2)全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她能否成功完成此动作？ 考点9：面积问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·广东·期末）如图，已知抛物线经过点和点，为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图像，直接写出满足的的取值范围； (3)连接，当时，求出点的坐标． 【变式训练】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点10：线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S，S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练】（2025·贵州黔东南·三模）赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 考点11：角度问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标． 考点12：其他问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）经过点，其对称轴为直线，点、在该抛物线上（点与点不重合），且点、的横坐标分别为、，将此抛物线在、两点之间的部分（包含、两点）记为． (1)求此抛物线对应的函数表达式． (2)当图象的最低点是抛物线的最低点时，求的取值范围． (3)当点、到直线距离相等时，求的值． (4)设点、的坐标分别为、，连接，当线段与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)点与点互为“等和点”，求b的值； (2)点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； (3)直线在第一象限的部分记为图像，抛物线在的部分记为图像．点E在图像上，点F在图像上．若，点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标． 1．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 2．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 3．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 4．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 基础夯实 1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（   ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 2．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）体育课上，同学们进行投篮比赛，小明在投篮（如下图）过程中，从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系可用以下哪个图象表示（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数表达式为，那么小球到达地面时的时间是 秒． 5．（2025·广西来宾·模拟预测）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为 m． 6．（24-25九年级上·天津静海·期中）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是 7．（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 8．（23-24九年级上·天津和平·期末）要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，当菜园面积最大时．的长是多少？并求面积最大值． 9．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据陕西中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得该项目满分100分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 10．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动，在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似的看成抛物线，阳光体育活动时间，小李和小王分别站在﹑两点进行摇绳，两位同学的摇绳点﹑高度一致，其他小伙伴参与跳绳，已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点与地面刚好接触时，以点为坐标原点，地面 为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 培优拔高 11．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 12．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ） A．24米 B．22米 C．12米 D．11米 13．（2025·广西防城港·模拟预测）如图是小颖家门口的路灯示意图，为垂直于地面的竖直灯杆（点在地面上），灯杆顶端与灯泡之间用一根曲杆连接，曲杆的形状可看成是一条抛物线的一部分，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知该拋物线的顶点，竖直灯杆的高度为，灯泡到轴的水平距离为，则灯泡到地面的高度为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25九年级上·广东东莞·期末）飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行 m才能停下来． 15．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，连接，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．过点P作，垂足为N，设点M的坐标为，则的最大值 ． 16．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是小关设计的风筝草图，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，若他计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨（不计损耗），且要求，则当骨架的长为 cm时，四边形的面积最大，此时的最大面积是 ． 18．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点，直线交抛物线于点M，N（M在N的左侧），抛物线顶点为P． (1)求该抛物线的解析式： (2)求的面积； (3)若，则此时横坐标的取值范围是______．（直接写出结果） 19．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，已知新建墙的总长为，．设的长为，储料场的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，储料场的面积为？ (3)该储料场的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 20．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将此抛物线在轴下方的图像沿轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像，若将直线向上平移个单位长度，使得平移后的直线与图像有两个公共点，请直接写出的取值范围． (3)如图②点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，直接写出的最大值及此时点的坐标； 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题22.3 实际问题与二次函数 （知识梳理+12个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：根据实际问题列出二次函数关系式 2 知识点梳理02：利用二次函数的顶点求实际问题中的最值 2 知识点梳理03：利用二次函数解决与图形面积相关的实际问题 3 知识点梳理04：利用二次函数解决与运动有关的实际问题（如抛物线型轨迹） 3 知识点梳理05：利用二次函数解决利润最大化问题 4 优选题型 考点讲练 4 考点1：图形问题（实际问题与二次函数) 4 考点2：图形运动问题（实际问题与二次函数) 6 考点3：拱桥问题（实际问题与二次函数) 8 考点4：销售问题（实际问题与二次函数) 10 考点5：投球问题（实际问题与二次函数) 12 考点6：喷水问题（实际问题与二次函数) 16 考点7：增长率问题（实际问题与二次函数) 18 考点8：其他问题（实际问题与二次函数) 20 考点9：面积问题（二次函数综合） 23 考点10：线段周长问题（二次函数综合） 27 考点11：角度问题（二次函数综合） 31 考点12：其他问题（二次函数综合） 35 中考真题 实战演练 39 难度分层 拔尖冲刺 49 基础夯实 49 培优拔高 55 知识点梳理01：根据实际问题列出二次函数关系式 1.审题：仔细阅读题目，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的关系。 2.设元：选择一个适当的变量（通常设为 ）表示问题中的一个未知量，并根据题意用含 的代数式表示其他相关的未知量。 3.列关系式：根据题目中的等量关系（如面积公式、利润公式、物理公式等），列出关于 的二次函数关系式 （）。 4.确定自变量取值范围：根据实际问题的意义，确定自变量 的取值范围（使实际问题有意义，如长度不能为负，人数不能为小数等）。 易错点提示： 1.等量关系找错：未能准确理解题目中的数量关系，导致列出的函数关系式错误。 2.自变量取值范围忽略：只注重列出函数关系式，而忽略了自变量 在实际问题中的取值限制，导致后续求解没有实际意义。 3.单位不统一：在列关系式前，未将所有已知量的单位统一，导致计算错误。 4.表达式不是二次函数：有时可能由于分析错误，列出的表达式不是二次函数，而是一次函数或其他函数。 知识点梳理02：利用二次函数的顶点求实际问题中的最值 1.配方或公式法求顶点：对于列出的二次函数 ，可以通过配方转化为顶点式 ，或者直接利用顶点坐标公式 求出顶点坐标。 2.判断最值： （1）当 时，抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为 （或 ），此时自变量 （或 ）。 （2）当 时，抛物线开口向下，函数有最大值，最大值为 （或 ），此时自变量 （或 ）。 3.结合实际意义：求出的顶点横坐标 必须在其取值范围内，此时顶点纵坐标才是实际问题的最值。若不在，则需根据函数在自变量取值范围内的增减性，在端点处取得最值。 易错点提示： 1.配方或计算顶点坐标出错：配方过程中符号出错，或使用顶点坐标公式时计算失误。 2.忽略自变量取值范围对最值的影响：盲目认为顶点处就是最值，而没有检验顶点的横坐标是否在实际问题所允许的自变量取值范围内。若不在，则最值应在自变量取值范围的端点处取得。 3.混淆最大值与最小值：忘记根据二次项系数 的符号来判断函数有最大值还是最小值。 4.最值单位书写：求出的最值是一个具体的数值，要注意带上相应的单位。 知识点梳理03：利用二次函数解决与图形面积相关的实际问题 1.常见模型：如长方形、正方形、三角形、梯形等图形的面积问题，或利用一面墙围矩形、用定长铁丝围图形等。 2.关键步骤： （1）设出一个适当的自变量（通常是图形的边长、宽、高或变化的长度等）。 （2）根据图形的性质和题目条件，用含自变量的代数式表示出与面积相关的其他边长或维度。 （3）根据面积公式列出二次函数关系式。 （4）求出函数的最值及对应的自变量的值，并检验是否符合实际意义。 易错点提示： 1.图形几何关系分析错误：未能正确用自变量表示出图形的其他边长，导致面积关系式列错。例如，在“靠墙围矩形”问题中，忽略了只有三边用材料。 2.自变量取值范围考虑不周：例如，边长不能为负数，围成的图形各部分长度要符合实际。 3.面积公式记错：如梯形面积公式、三角形面积公式等。 知识点梳理04：利用二次函数解决与运动有关的实际问题（如抛物线型轨迹） 1.常见模型：物体做斜抛运动（忽略空气阻力时轨迹为抛物线）、抛物线形桥梁、隧道、拱门等。 2.关键步骤： （1）建立平面直角坐标系：选择合适的原点、x轴和y轴，通常以抛物线的对称轴为y轴，或物体抛出点为原点等，使函数关系式形式最简。 （2）根据已知条件（如顶点坐标、与坐标轴交点坐标等）求出函数关系式。 （3）利用函数关系式解决问题：如求最大高度、达到某一高度的时间、落点位置、宽度等。 易错点提示： 1.坐标系建立不当：导致函数关系式复杂或无法求解。 2.坐标意义理解错误：混淆点的横纵坐标所代表的实际意义（如时间、高度、水平距离）。 3.未能正确使用已知点坐标求函数解析式：代入点坐标计算错误。 4.单位换算问题：如时间单位（秒、分）、长度单位（米、厘米）等。 5.忽略实际情境对自变量取值的限制：例如，时间不能为负，高度不能为负。 知识点梳理05：利用二次函数解决利润最大化问题 1.基本关系：总利润 = （每件商品的利润）×（销售量），或 总利润 = 总收入 - 总成本。 2.关键步骤： （1）设出一个自变量（通常是每件商品的涨价或降价金额，或销售单价）。 （2）用含自变量的代数式表示出每件商品的利润和销售量（销售量往往与单价有关，单价变化会引起销售量反方向变化）。 （3）根据总利润公式列出二次函数关系式。 （4）求出利润的最大值及对应的自变量的值（如最佳涨价/降价金额、最佳销售单价）。 易错点提示： 1.“每件利润”和“销售量”的表达式错误：特别是销售量随价格变化的关系，容易弄错增减性或比例系数。 2.自变量的实际意义混淆：例如，设的是“涨价x元”还是“售价为x元”要清晰。 3.忽略自变量的实际取值范围：如售价不能过高或过低，销售量不能为负数。 4.计算错误：利润关系式往往涉及多项，展开和化简时容易出错。 考点1：图形问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，某校劳动实践基地用总长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形试验田，墙长为．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗．设矩形试验田与墙垂直的一边长为（单位：），面积为S（单位：）． (1)求S与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当 时，矩形试验田的面积最大，最大面积是 ． 【答案】(1)； (2)20；800 【思路引导】（1）根据题意，得矩形的长为，根据面积公式列出方程即可． （2）构造二次函数，求最值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值应用，转化思想，熟练掌握求二次函数最值是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据题意，得矩形的长为， 故， 根据题意，得，且， 解得， 故，且． （2）解：∵， ∴， 由， ∴当时，S有最大值，最大值为． 故答案为：20,800． 【变式训练】（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不超过），用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边留有宽建造一扇门方便出入（用其他材料），设，矩形的面积为．问x为何值时，矩形场地的面积最大？最大值为多少平方米？ 【答案】当米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米 【思路引导】本题考查二次函数的应用，由题意得，，则，即可求解； 【规范解答】解：由题意得，， ∴， ∴当米时，矩形场地的面积最大，最大值为800平方米． 考点2：图形运动问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·浙江衢州·期末）某市新建了一座室内滑雪场，该滑雪场整个赛道长．小龙从滑雪赛道顶端处下滑，滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足某种函数关系，测得部分数据如表所示： 滑行时间 0 1 2 4 滑行距离 0 2 6 20 (1)根据表格数据，在如下坐标系中描点、连线，猜想y与t之间满足哪一类函数关系，并写出y与t之间的函数表达式不要求写出自变量的取值范围 (2)小龙滑完整个赛道需要耗时多久？ (3)滑雪者小游在小龙滑行后也从滑雪赛道顶端处下滑且滑完全程，已知小游滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）近似满足函数关系在小龙到达终点前，小游能否追上小龙，若能，试计算此时小游的滑雪时间t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)该函数为二次函数，； (2)小龙滑完整个赛道需要耗时10秒 (3)能，此时小游的滑雪时间为 【思路引导】本题考查了描点法画函数图象，二次函数的应用，掌握待定系数法是解题的关键． （1）先根据图象判断函数类型，再根据待定系数法求解； （2）根据列方程求解； （3）根据题意列方程求解． 【规范解答】（1）图象如下：由图象得该函数为二次函数，设， 把代入得：， 解得：， ； （2）当时，， 解得：或不合题意，舍去， 答：小龙滑完整个赛道需要耗时10分钟； （3）当时， 解得：或不合题意，舍去， ∵， 小游能追上小龙，此时小游的滑雪时间为 【变式训练】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点A时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，则由图象可知线段的长为（   ） A．7 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了函数图象、二次函数的应用、求二次函数解析式、勾股定理等知识点，求得抛物线的解析式成为解题的关键． 在中，，，则，再求得的长，然后用待定系数法求得函数解析式，易得，最后根据勾股定理解答即可． 【规范解答】解：在中，，，则． 当时，，解得∶（负值已舍去）， ， 抛物线经过点．由图象知抛物线顶点为． 设抛物线解析式为， 将代入，得，解得， ． 当时，，解得或（舍去）， ． 在中，由勾股定理得． 故选D． 考点3：拱桥问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米． (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 【答案】(1)该抛物线的表达式为，自变量的取值范围是； (2)其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【思路引导】（1）根据题意得出，，，设该抛物线的表达式为，再用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线解析式求出，当时，自变量的值，即可得出在什么范围内能通过题中的车辆，根据题意得出车道需要的宽度，比较即可得解． 【规范解答】（1）解：依题得：，，， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 该抛物线的表达式为，其中自变量的取值范围是； （2）解：由（1）得，抛物线的表达式为， 则当时，， 解得， 其中，， 即在范围内，可通过高米的车辆， 要使双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带）其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆， 则能通过高米的车辆的宽度至少需为， ， 其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【考点剖析】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用，解题关键是熟练掌握二次函数的实际应用． 【变式训练】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）已知某桥的桥拱为抛物线形，在正常水位时测得水面的宽为，最高点距离水面，如图所示，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的表达式； (2)某次大雨后水面上涨至，测得最高点距离的高度为，求桥拱下水面的宽度． 【答案】(1) (2)桥拱下水面的宽度为 【思路引导】本题考查二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点A，C的坐标，然后代入求解即可； （2）根据水面高度先求出点E，F的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，再最后求出的长． 【规范解答】（1）解：由题意得， ， ∴点的坐标为，点A的坐标为， 设抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：∵，， ∴ ， 由题意得， 解得，． ∴点E的坐标为，点的坐标为， ∴， 答：桥拱下水面的宽度为． 考点4：销售问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）某超市计划购进一批单价为20元的洗衣液．经市场调查发现：该洗衣液以30元的价格出售时，平均每月售出500桶，且洗衣液的售价每提高1元，某月销售量就减少10桶． (1)若售价定为35元，每月可售出________桶；若洗衣液的月销售量为200桶，则每桶洗衣液的定价为________元． (2)当超市每月有8000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？ (3)若销售价格不能低于40元/桶，又不能高于65元/桶，请问销售价格定到多少元/桶时才能使超市获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)销售价格应定为元 (3)销售价格定到元/桶时才能使超市获得最大利润，最大利润是元 【思路引导】本题考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是分别表示出销量和单价，用销量乘以单价表示出利润即可． （1）由“洗衣液的售价每提高1元，其销售量就减少10桶”进行解答；设销售价格应定为x元，根据“洗衣液的售价每提高1元，其销售量就减少10桶”列出方程并解答； （2）设销售价格应定为y元，根据“每月有8000元的销售利润”列出方程并解答结合“薄利多销”取合适的值即可； （3）设利润为，售价为元，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：当售价为35元时， 每月可以售出（桶）； 设销售价格应定为x元，则 ， 解得， 故答案为：；． （2）解：设销售价格应定为y元，则 ， 整理得：， 解得：或， 为体现“薄利多销”的销售原则， ， 答：销售价格应定为元． （3）解：设利润为，售价为元，根据题意得， ∵，且 ∴当时，取得最大值，最大值为元 答：销售价格定到元/桶时才能使超市获得最大利润，最大利润是元． 【变式训练】（24-25九年级上·广东梅州·期末）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(单位：件)与销售单价x(单位：元)之间满足关系式． (1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元? (2)设销售这种文具每天获利w(单位：元)，当销售单价为多少元时，每天获利最大：最大利润是多少元? 【答案】(1)销售单价为元； (2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据每天的获利=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【规范解答】（1）解：根据题意得： ， 整理得：， 解得：(不合题意，舍去)， 答：销售单价为元； （2）解：根据题意得： ， ， ∴当时，随的增大而增大， ， ∴当时，取得最大值，最大值为： ， ∴关于的函数关系式为：， 当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 考点5：投球问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）【问题情境】 水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制作出的一款简易弹射水火箭． 为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：）与飞行时间t（单位：）的数据，并确定了函数表达式为：．同时也收集了飞行高度y（单位：）与飞行时间t（单位：）的数据，发现其近似满足二次函数关系：． 【数学思考】 （1）当飞行时间为时，水平距离______，飞行高度______； 【深入探究】 （2）当水火箭落地（高度为）时，求水火箭飞行的水平距离； 【反思优化】 图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段为水火箭回收区域，已知，； （3）当水火箭落到内（包括端点A，B），求发射台高度的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3） 【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）把分别代入和中计算出x、y的值即可得到答案； （2）求出时t的值，进而把t的值代入中求出x的值即可得到答案； （3）当抛物线经过点时，可以求出，当抛物线经过点时，可以求出，所以可得发射台高度的取值范围为． 【规范解答】解：（1）在中，当时，， 在中，当时，， ∴当飞行时间为时，水平距离，飞行高度； （2）在中，当，解得或， 在中，当时，， ∴当水火箭落地（高度为）时，水火箭飞行的水平距离为； （3）设水火箭的抛物线解析式为， 当抛物线经过点时， ， 点的坐标为， ， 解得：， 当抛物线经过点时， ，， ， 点的坐标为， ， 解得：， 水火箭落到内（包括端点，）， ， ， 答：发射台高度的取值范围为：． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）在2024年巴黎奥运会上，全红婵凭借总分分的成绩蝉联奥运会女子10米跳台冠军，成为中国奥运史上最年轻的三金王．在进行跳水训练时，运动员身体（视作一点）在空中的运动路线可视作一条抛物线．如图所示，建立平面直角坐标系．已知米，米，跳水曲线在离起跳点A水平距离为米时达到距水面最大高度米． (1)当时， ①求这条抛物线的解析式； ②求运动员落水点G与点A的距离； (2)图中米，米，若跳水运动员在区域内（含点E，F）入水时才能达到训练要求，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②米 (2) 【思路引导】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）①根据题意，得到点坐标和抛物线的顶点坐标，利用待定系数法求出函数解析式即可；②求出时，的值，进而求出运动员落水点与点的距离即可； （2）设抛物线的解析式为：，将代入得到，再把点，两点分别代入求出的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：①由题意得，抛物线顶点坐标为，， 设抛物线解析式为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； ②当时，， 解得：（舍去）； ∴， ∵， ∴米； ∴运动员落水点G与点A的距离为米； （2）解：设抛物线的解析式为：，把，代入，得： ， ∴， ∴， 当抛物线过点时，，解得：； 当抛物线过点时，，解得：； ∴． 考点6：喷水问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）某广场的声控喷泉是由若干个垂直于地面的柱形喷泉装置组成的．每个柱形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线型．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点和点是一个柱形喷泉装置上的两个喷头，喷头喷出的水流的落地点为．以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计） 已知：，，，从喷头和喷头各喷出的水流的高度（）与水平距离（）之间的关系式分别是和； (1)求，关于的解析式； (2)一名游人站在点处，．当围观游人喊声较大时，喷头喷出的水流是否会落在该游人所站的点处？ 【答案】(1)和； (2)B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 【思路引导】本题主要考查了二次函数的应用，构造二次函数模型并计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）根据喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令，通过计算的值即可判断． 【规范解答】（1）解：根据题意，令，易得， 令，， ∴， 因此A喷头和喷头各喷出的水流的高度y（）与水平距离x（）之间的关系式分别是和； （2）解：函数，令， ， 因此B喷头喷出的水流不会落在该游人所站的点D处． 【变式训练】（2025·新疆喀什·模拟预测）某景观公园计划修建一个人工喷泉，从与地面成一定角度的喷水枪喷出的水流路径可以看作是抛物线的一部分．记喷出的水流距喷水枪出水口的水平距离为米，距地面的竖直高度为米，现测得与的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 … 垂直高度 … 小华根据学习函数的经验，对函数随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小华的探究过程，请补充完整： (1)在平面直角坐标系中，描出以表中各组对应数据为坐标的点，并画出该函数的图象； (2)结合表中所给数据或所画图象，得出水柱最高点距离地面的垂直高度为___________米； (3)求出关于的函数关系式； (4)结合函数图象，解决问题：该景观公园准备在距喷水枪出水口的水平距离米处修建一个大理石雕塑，使喷水枪喷出的水流刚好落在雕塑顶端，则大理石雕塑的高度约为___________米．（结果精确到米）（注：忽略大理石雕塑宽度等其他因素） 【答案】(1)见解析 (2)； (3)； (4) 【思路引导】本题考查二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、画函数图象等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）找出表中所给的点在平面直角坐标系中，将各点连接成光滑的曲线即可； （2）根据图像及表中数据即可解答； （3）根据图像得知二次函数对称轴为，再用待定系数法代入图上一点即可解答； （4）将代入抛物线解析式求出y的值即为本题答案． 【规范解答】（1）解：根据表中数据可知在图像上的点坐标分别为：， 将以上坐标在下图中找出，并连接成光滑的曲线： （2）解：通过表中数据得知，当时水流最高，此时水流到达地面距离为米， （3）解：设二次函数解析式为， 由（2）知，对称轴为，最高点为， ∴顶点坐标为， ∴， ∴把代入中得： ，解得：， ∴抛物线表达式为：． （4）解：根据题意把代入中得： 米． ∴大理石雕塑的高度约为． 考点7：增长率问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·安徽淮北·阶段练习）红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，， 故选：． 【变式训练】（22-23九年级上·湖北荆州·期中）向阳村养鸡专业户李明2020年的纯收入是6万元，预计2022年的纯收入是7.26万元． (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长50米，养鸡场面积为1200米2，求养鸡场与墙平行的一边的长度． 【答案】(1)； (2)40米． 【思路引导】（1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意列出方程，即可求解； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出方程即可求解． 【规范解答】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据题意可得， 解得，，（不合题意，舍去） 答：李明这两年纯收入的年平均增长率为； （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为a米，根据题意可得 ， 解得，，（不合题意，舍去） 答：养鸡场与墙平行的一边的长度为40米． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是要理解题意，能正确列出方程． 考点8：其他问题（实际问题与二次函数) 【典例精讲】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）2026年冬奥会在米兰举行，跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一．如图，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．建立如图所示平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：）与水平距离x（单位：）满足函数关系：．着陆坡的解析式为，在着陆坡上设置点P作为达标点，点P与水平距离为．若着陆点在P点或越过P点，则视为成绩达标． (1)当时， ①判断成绩是否达标，并说明理由； ②求运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值； (2)若运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上，求b的取值范围． 【答案】(1)①成绩不达标，理由见解析；② (2) 【思路引导】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①首先得到，求出，然后将代入求解比较即可； ②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作轴交于点F，设，，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可； （2）首先求出，然后根据题意得到运动员落在线段上，然后列出不等式就即可． 【规范解答】（1）解：①当时，， ∵点P与水平距离为， 将代入， ∴， 将代入， ∵， ∴成绩不达标； ②如图所示，设点E是抛物线上点，过点E作轴交于点F， 设，则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值22.5， ∴运动员在飞行过程中离着陆坡的竖直距离h的最大值为； （2）解：∵着陆坡的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴， ∵运动员的成绩既要达标又要能落在着陆坡（含端点）上， ∴运动员落在线段上， ∴当时，， 解得； ∴当时，， 解得； 综上所述，． 【变式训练】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）在巴黎举行的年奥运会跳水女子单人米跳台决赛中，全红婵荣获冠军．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的（向后翻腾三周半抱膝）．如图所示，建立平面直角坐标系，如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，当她离起跳点的水平距离为时，离水面高度为，当她离起跳点的水平距离为时，离水面的高度为． (1)求抛物线的表达式． (2)全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要秒的时间才能完成极具难度的动作，请通过计算说明，她能否成功完成此动作？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数的应用， （1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出的值，再求出时的的值，与进行比较得出答案． 【规范解答】（1）解：设二次函数表达式为： 依题意，图象经过点， ∴， ∴， ∴ 解得， ∴， （2）解：能，理由如下： 根据题意可知， ∴， 当时， 解得：（负值的舍去） ∵ ∴她能成功完成此动作． 考点9：面积问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·广东·期末）如图，已知抛物线经过点和点，为第二象限内抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)结合图像，直接写出满足的的取值范围； (3)连接，当时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3) 【思路引导】本题考查了二次函数的图像与性质、二次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）将点和点代入计算即可得； （2）根据表示的是二次函数的图像位于轴下方，结合函数图像求解即可得； （3）设点的坐标为，先求出，再根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点 和点， ∴， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：表示的是二次函数的图像位于轴下方， 则由函数图像可知，满足的的取值范围为或． （3）解：设点的坐标为， ∵点为第二象限内抛物线上一点， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 则， 所以点的坐标为． 【变式训练】（24-25九年级上·广西钦州·阶段练习）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上的一动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标是或或 【思路引导】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （１）由直线求出B，C坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）首先过点E作y轴的平行线交直线于点G，交x轴于点F，然后设点E的坐标是，则点G的坐标是，求出的值是多少；最后根据三角形的面积的求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标； （3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、B、C为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【规范解答】（1）解：∵直线与轴交于点，与y轴交于点B， ∴点B，C的坐标分别为，． 把点，代入抛物线， 得：， 解之，得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点G，交x轴于点F， 设点E的坐标为，则点的坐标为， ∴． ∴． ∴当时，的面积就最大． 此时点E的坐标为． （3）解：存在．由抛物线 ∴对称轴是直线． ∵Q是抛物线对称轴上的动点， ∴点Q的横坐标为1． ①当为边时，点B到点C的水平距离是4， ∴点Q到点P的水平距离也是4． ∴点P的横坐标是5或， ∴点P的坐标为或； ②当为对角线时，点到点C的水平距离是3， ∴点B到点P的水平距离也是3， ∴点P的坐标为． 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或． 考点10：线段周长问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图1，已知抛物线经过，，三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求周长的最小值； (3)如图2，若E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，四边形的面积为S，S是否存在最大值，若存在，求出最大值及此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，， 【思路引导】（1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交直线于，连接、，由轴对称的性质可得，从而可得的周长的最小值为，再利用勾股定理计算即可得解； （3）将抛物线函数解析式化为顶点式得出，，从而可得，，求出直线的解析式为，则，，，从而可得，，，连接，则四边形的面积为，再结合二次函数的性质即可得解． 【规范解答】（1）解：∵拋物线经过，，三点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接交直线于，连接、， ， 由题意可得，点、关于直线对称， ∴， ∵的周长，其中为定值， ∴的周长的最小值为， ∵，，， ∴，， ∴周长的最小值为； （3）解：∵， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵E是线段上的一个动点（E与A，D不重合），设点E的横坐标为m， ∴， ∵过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G， ∴，， ∴，，， 如图，连接， ， ∴四边形的面积为 ， ∵，， ∴当时，四边形的面积为S最大，最大值为，此时，即． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—周长问题，二次函数综合—面积问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【变式训练】（2025·贵州黔东南·三模）赵州桥又称安济桥，坐落在河北省石家庄市赵县的洨河上，横跨在河面上，因桥体全部用石料建成，当地称作“大石桥”．如图，桥拱的拱形看成二次函数，以此时水平面为横坐标建立坐标，水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． (1)请你求出二次函数的表达式． (2)在二次函数的对称轴上，是否存在一点，使得的值最小，若有，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)春夏之季，河水上涨，洨河上吸引无数游客旅游、观光，一艘游船（水面以上部分近似的看成长14米，宽4米，高2.5米的长方体）行驶在河面上，此时的水面离桥拱顶点的高度7米，游船是否能顺利通过赵州桥，请计算说明． 【答案】(1) (2)存在， (3)能正常通过，理由见解析 【思路引导】主要考查了二次函数的应用，二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）先求得，可设二次函数的表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小．求出直线的解析式，即可解决问题； （3）先求出水面宽度：，再由船高2.5米，水面, 桥拱。可得船顶高度：，桥拱在(船半宽)处的高度：，再比较求解即可． 【规范解答】（1）解：水面的宽为36米．水面离桥拱顶点的高度18米． ， 可设二次函数的表达式为， 将代入得，，解得：， 二次函数的表达式为 （2）解：存在，理由如下： 如图，由、关于对称轴对称，连接交对称轴于，连接，此时的值最小． 由题意得， 设直线的解析式为，则有， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴， 将代入，得， ； （3）解：水面离桥拱顶点的高度为7米，即水面。 将代入得： ， ， 水面宽度：， 船高2.5米，水面, 桥拱。 船顶高度：， 桥拱在(船半宽)处的高度：， ，且， 游船能正常通过， 考点11：角度问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，与轴正半轴交于另一点，点在抛物线上，点是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴． (1)求抛物线的解析式； (2)当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； (3)当矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； (4)当点在对称轴左侧时，在抛物线的对称轴上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)且 (3)或或 (4)存在，或 【思路引导】（1）由待定系数法即可求解； （2）抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为，当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升，即可求解； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4，当点M的纵坐标为时，，解得；当点M的纵坐标为时，，即可求解； （4）当点在点B的上方时，证明，得到，即可求解；当点在点B的下方时，同理可解． 【规范解答】（1）解：抛物线经过原点， 抛物线的表达式为， 将点代入上式得，， 解得， 抛物线的解析式为； （2）由（1）中抛物线的解析式可知，抛物线的对称轴为直线，则点B关于抛物线对称轴的对称点为， 当M在的左侧时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升， 即， 点B、M不重合， 故， 即且； （3）点，矩形内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为4， 当点M的纵坐标为时，， 解得； 当点M的纵坐标为时，， 解得：或， 综上，m的值为1或或； （4）存在，或，理由如下： 当点在点B的上方时，如图，设点， 过点B、M分别作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为H、G， 是以为斜边的等腰直角三角形， 则， ， ， ， ， ， 则点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，   解得（舍去）或， 则； 当点在点B的下方时， 同理可得，点， 将点M的坐标代入抛物线表达式得，， 解得：（不合题意的值已舍去）， 则， 综上，或． 【考点剖析】本题考查了二次函数的解析式的求法和几何图形结合的综合能力的培养，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 【变式训练】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，抛物线经过，两点，与轴相交于点，连接，点为线段上方抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，交于点，交轴于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点作直线，为垂足，当点运动到何处时，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形？并求出此时点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)． 【思路引导】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，两点代入即可求解； （）由直线，则，轴，又，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，则有，设，则，，然后分当在上方时和当在下方时两种情况分析，然后解方程并检验即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线， ∴，轴， ∵，，为顶点的三角形是等腰直角三角形， ∴， 由抛物线的解析式为得，当时，， ∴， ∴， 设，则，， ∴当在上方时，， 解得：或， ∴此时与重合，舍去；或， 当在下方时，， 解得：或， ∴，此时与重合，舍去；或，此时与重合，舍去； 综上可得：． 考点12：其他问题（二次函数综合） 【典例精讲】（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线（、为常数）经过点，其对称轴为直线，点、在该抛物线上（点与点不重合），且点、的横坐标分别为、，将此抛物线在、两点之间的部分（包含、两点）记为． (1)求此抛物线对应的函数表达式． (2)当图象的最低点是抛物线的最低点时，求的取值范围． (3)当点、到直线距离相等时，求的值． (4)设点、的坐标分别为、，连接，当线段与图象只有一个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)4或 (4)或 【思路引导】本题主要考查二次函数综合应用、待定系数法求函数解析式、解一元二次方程、一元一不等式的应用等知识点，根据题意列出满足条件的方程或不等式（组）是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，其对称轴为直线得，解得：，即可确定抛物线对应的函数表达式； （2）①当，即时，P在Q左侧，也在对称轴直线左侧，故，可得；②当，即时，Q在P左侧，可得，解得：； （3）求出，又点P、Q到直线距离相等，得，然后求解即可解答． （4）先求出抛物线与直线交点为，①当，即时，A在B左侧，根据线段与图象G只有一个公共点，得或，解得：；②当，即时，A．B重合，不存在线段，这种情况不存在；③当，即时，B在A左侧，有或，解得． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点，其对称轴为直线， ∴，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为． （2）解：①当，即时，P在Q左侧，也在对称轴直线左侧， ∵图象G的最低点是抛物线的最低点， ∴Q不在对称轴直线左侧，即，解得：， ∴此时m范围是； ②当，即时，Q在P左侧， ∵图象G的最低点是抛物线的最低点， ∴，解得：， ∴此时m范围是． 综上，m的范围是或． （3）解：在中，令得， ∴， 在中，令，得：， ∴， ∵点P、Q到直线距离相等， ∴， ∴或，解得：或（此时P，Q重合，舍去）或． ∴m的值为4或． （4）解：在中，令得：，解得或， ∴抛物线与直线交点为， ①当，即时，A在B左侧， ∵线段与图象G只有一个公共点， ∴或，解得：； ②当，即时，A．B重合，不存在线段，这种情况不存在； ③当，即时，B在A左侧， ∵线段与图象G只有一个公共点， ∴或，解得：． 综上所述，m的范围是或． 【变式训练】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，当时，我们称点P与点Q互为“等和点”． 例如：点与点互为“等和点”． (1)点与点互为“等和点”，求b的值； (2)点与点都在直线上，且点C与点D互为“等和点”，求k的值； (3)直线在第一象限的部分记为图像，抛物线在的部分记为图像．点E在图像上，点F在图像上．若，点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （2）将点代入函数解析式，得到，再根据等和点的定义，列出方程进行求解即可； （3）设，则根据等和点的定义，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵点，点都在直线上， ， ∵点C与点D互为“等和点”， ， 解得； （3）解： ， 设， 在中，令 ． ∵点E在图像上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1， ，且， ． 综上，t的取值范围是； ∵点E与点F互为“等和点”， ， 整理得， 解得（舍去）． 当时， ． 【考点剖析】本题考查坐标与图形，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，二次函数与一次函数的综合应用，掌握“等和点”的定义，是解题的关键． 1．（2025·吉林长春·中考真题）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点．点、是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，已知点，作点关于点的对称点，作点关于点的对称点，构造四边形． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点的坐标； (3)设抛物线在、两点之间的部分（含、两点）为图象．当时，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为．求的值； (4)连结、，当时，直接写出的取值范围（这里、、均是大于且小于的角）． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【思路引导】（1）根据待定系数法，将点代入即可求解． （2）通过抛物线对称轴公式确定对称轴，利用对称点横坐标中点在对称轴上求 m 值，再根据点关于点对称的中点公式求对称点坐标． （3）根据抛物线顶点及开口方向，确定区间与顶点位置关系，分情况讨论最高点坐标，利用纵坐标差建立方程求解． （4）根据平行线的性质，先分析条件可得点在之间，利用中点公式计算求出各点的坐标，再计算直线的解析式，根据点分别在上时，取得临界值，求得的值，即可求解． 【规范解答】（1）将点代入中得： 解得：， ∴． （2）根据抛物线对称轴公式可知： 抛物线的对称轴为， ∵、关于对称轴对称，且横坐标分别为、， ∴、中点在对称轴上， ∴， ， 解得：， ∵点是该抛物线上的点， 将代入抛物线解析式得， ， 即 设是A关于的对称点，则： 解得，， ∴点坐标为． （3）∵抛物线顶点为，开口向上，，， 当时，包含，最低点为。 当时，，最高点为A，纵坐标差为：， 解得：； 当时，，最高点为B，纵坐标差为： ， 解得：． 综上，m的值为或． （4）∵点是点关于点的对称点，点是点关于点的对称点，结合题意可知： ∴，，，， ∴，，，， 如图，四边形是平行四边形，当点在之间，的左侧，过点作 ∴ ∴ ∴ 当点在上时， ∴ ∴ 解得， 当点在上时 ∴， ∴， ∴， 解得，． 其中，，时，如图，经检验符合， 综上，． 【考点剖析】本题主要考虑二次函数的解析式、二次函数的图象和性质、二次函数的最值、平行四边形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 2．（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【思路引导】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【规范解答】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 3．（2025·新疆·中考真题）天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数解析式； (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由． 【答案】(1) (2)能安全通过，见解析 【思路引导】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式； （2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，顶点为，即， 设抛物线的解析式为： 代入点得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：能安全通过，理由如下： 如图， 由题意得：， 将代入， 则， ∵， ∴能安全通过． 4．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键； 将抛物线化为顶点式即可解决问题. 【规范解答】解：∵， ∴当时，； 故选：B. 5．（2025·四川德阳·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】(1) (2)①，②5 【思路引导】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【规范解答】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 基础夯实 1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为，则第5秒时炮弹的飞行高度为（   ） A．25米 B．30米 C．40米 D．45米 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次函数的运用，掌握函数值的计算是解题的关键． 根据题意，把代入计算即可求解． 【规范解答】解：炮弹的飞行高度（米）与飞行时间（秒）之间的关系式为， ∴第5秒时炮弹的飞行高度为（米）， 故选：D ． 2．（24-25九年级上·云南曲靖·期末）体育课上，同学们进行投篮比赛，小明在投篮（如下图）过程中，从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系可用以下哪个图象表示（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了实际问题与二次函数（投球问题），弄清篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系是解题的关键． 根据篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系及所给图象进行判断即可得出答案． 【规范解答】解：由题意可知：，故排除、选项， 且只有从篮球出手到篮球接触篮筐期间，其离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系为抛物线， 故选：． 3．（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了列函数关系式，理解题意，弄清数量关系是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，则平行于墙的一边长为，据此根据矩形面积计算公式求解即可． 【规范解答】解：由题意得，． 故选：D． 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）一个小球被抛出后，如果距离地面高度（米）和运行时间（秒）的函数表达式为，那么小球到达地面时的时间是 秒． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，当得，解方程，即可求解． 【规范解答】解：当时， ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 5．（2025·广西来宾·模拟预测）投壶是中国古代宴饮时做的一种投掷游戏，顾名思义，投壶就是由游戏者轮流站在离壶一定距离的地方，用手把箭投向壶中并计算得分的游戏，其中箭头的运动轨迹可以看作一条抛物线，如图是小西在投壶时，箭头行进高度与水平距离之间的函数关系图象，投出时箭头距地面的高度为，当箭头行进的水平距离为1m时，箭头行进至最高点处，已知BC是壶的最左侧（厚度忽略不计，可看作垂直于轴的线段），且，若小西投壶恰好投中，则的长为 m． 【答案】0.3 【思路引导】本题主要考查了二次函数的应用，弄清题意，理清各量间关系是解题的关键，根据顶点坐标设抛物线为顶点式，再将点A的坐标代入可得关系式，将代入关系式得出答案即可． 【规范解答】解：由题意可知点A的坐标为，抛物线顶点坐标为． 设y与x之间的函数表达式为， 将点代入，得，     解得， ∴y与x之间的函数表达式为， 当时，， 即的长为， 故答案为：0.3． 6．（24-25九年级上·天津静海·期中）从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是．那么小球到达最大高度的时间是 【答案】3 【思路引导】本题考查了二次函数的应用，理解题意是关键；把二次函数解析式配方即可求得小球到达最高点时的时间． 【规范解答】解：， ∵二次项系数为负， ∴当时，小球运动到最高点． 故答案为：3． 7．（24-25九年级上·广西钦州·期末）一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分，当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立平面直角坐标系如图所示． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算判断球能否射进球门； (3)为了进球，运动员带球向点A的正后方移动了米射门，若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，结果恰好在点O正上方处进球，求n的值． 【答案】(1) (2)球不能射进球门 (3)1 【思路引导】本题考查的是二次函数的应用， （1）用待定系数法求出表达式即可； （2）计算当时，y的值与比较即可得出答案； （3）由题意得出移动后的抛物线为，把点代入求出结论即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，        设抛物线表示的二次函数的表达式为， 把点代入，得， 解得，         ∴抛物线的表达式为； （2）当时，，   ∴球不能射进球门； （3）由题意，移动后的抛物线为， 把点代入，得， 解得（舍去），， ∴n的值为1． 8．（23-24九年级上·天津和平·期末）要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，当菜园面积最大时．的长是多少？并求面积最大值． 【答案】的长为，矩形的面积为 【思路引导】此题主要考查了二次函数的应用，读懂题意，找到数量关系准确地列出二次函数是解题的关键．根据矩形的面积公式列二次函数即可解答． 【规范解答】解：设的长为，矩形的面积为，则的长为， 由题意得：，即， 其中，即， ，开口向下，且满足， 当时，， 答：的长为，矩形的面积为． 9．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为2m．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3.6m处． (1)求y关于x的函数表达式； (2)根据陕西中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得该项目满分100分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】(1)； (2)该男生在此项考试中能得满分． 【思路引导】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数的实际应用等知识点，求出二次函数表达式是解题的关键． （1）已知顶点坐标为，设成顶点式，将代入求出a的值，即可求出函数表达式； （2）根据（1）中的表达式，求出时x的值，即D点的坐标，则可知的长，再与作比较即可判断是否得满分． 【规范解答】（1）解：设， 将代入得：，解得：， ∴， ∴； （2）解：当时，，即， ∴，（舍去）， ∴D点的坐标为，即的长为10， ， ∴该男生在此项考试中能得满分． 10．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）多人跳绳是深受学生喜爱的一种运动，在跳绳过程中，大绳在某一时刻的形状可以近似的看成抛物线，阳光体育活动时间，小李和小王分别站在﹑两点进行摇绳，两位同学的摇绳点﹑高度一致，其他小伙伴参与跳绳，已知米，米．当大绳所在平面与地面垂直，且大绳的最低点与地面刚好接触时，以点为坐标原点，地面 为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求此时抛物线的表达式； (2)若参与跳绳的同学站在点处，米，当绳位于图中抛物线时，则该同学最低要跳过多少米，才能让绳安全通过？ 【答案】(1) (2)该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过 【思路引导】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的应用等知识点，掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． （1）依据题意可得：抛物线的顶点E为，从而可设抛物线为，又抛物线过点，将其代入求得a的值即可解答； （2）依据题意可得：点F的横坐标为，从而点G的横坐标为，将代入（1）中的解析式，即可解答． 【规范解答】（1）解：由题意可得，抛物线的顶点E为，， ∴可设抛物线为． 又∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线为． （2）解：如图：过F作轴交抛物线于G， 由题意可知，点F的横坐标为，则点G的横坐标为， ∴点G的纵坐标为 ∴该同学最低要跳过米，才能让绳安全通过． 培优拔高 11．（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为．设矩形菜园的边的长为m，面积为S，其中．有下列结论： ①与之间的函数关系为； ②的取值范围为； ③的长只有一个值满足该矩形菜园的面积为； ④矩形菜园的面积的最大值为． 其中，正确结论是（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了二次函数及一元二次方程的应用，熟练掌握最值问题的求法是解答本题的关键．表示出面积化简可以判断①；根据墙长为，列不等式组，解不等式组即可求出自变量x的取值范围，从而可判断②；根据矩形的面积列出方程，解方程求x的值，可以判断③；根据二次函数性质求出最大值判断④． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴，故①正确； 设这个菜园垂直于墙的一边的长为，则的长为， ∵墙长为， ∴， 解得：， ∴x的取值范围为，故②错误； 当时，即， 解得， ∵， ∴， ∴的长只有1个值满足该矩形菜园的面积为，故③正确； ∵， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为，故④正确． 故选：D． 12．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“卢沟晓月”是著名的北京八景之一，古时乾隆皇帝曾在秋日路过卢沟桥，赋诗“半钩留照三秋淡，一练分波平镜明”于此，并题“卢沟晓月”，立碑于桥头．卢沟桥主桥拱可以近似看作抛物线，桥拱在水面的跨度约为24米，若按如图所示方式建立平面直角坐标系，则主桥拱所在抛物线可以表示，则主桥拱最高点P与其在水中倒影之间的距离为（    ） A．24米 B．22米 C．12米 D．11米 【答案】B 【思路引导】本题考查了二次函数的图形和性质．由知道抛物线经过点，进而求出k的值，最高点与其在水中倒影之间的距离即为． 【规范解答】解：由题意知，抛物线经过点，代入解析式中： 得到：， 解得， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴主桥拱最高点与其在水中倒影之间的距离为米， 故选：B． 13．（2025·广西防城港·模拟预测）如图是小颖家门口的路灯示意图，为垂直于地面的竖直灯杆（点在地面上），灯杆顶端与灯泡之间用一根曲杆连接，曲杆的形状可看成是一条抛物线的一部分，以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知该拋物线的顶点，竖直灯杆的高度为，灯泡到轴的水平距离为，则灯泡到地面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了二次函数的应用．利用待定系数法求得抛物线解析式为，再由P点横坐标为3求出P的纵坐标，再加即可求解． 【规范解答】解：∵拋物线的顶点， ∴设抛物线解析式为， ∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 则将代入，可得， ∴P到地面的高度为， 故选：D． 14．（24-25九年级上·广东东莞·期末）飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式是，飞机着陆后滑行 m才能停下来． 【答案】 【思路引导】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式，求出s取得最大值即可． 【规范解答】解：， 因为， 所以s的最大值为， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，抛物线经过点，与x轴交于A，B两点，连接，M为线段上的一个动点，过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．过点P作，垂足为N，设点M的坐标为，则的最大值 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，先利用待定系数法求出二次函数解析式，进而求出点B的坐标，则可证明，得到，进而证明是等腰直角三角形，得到；求出直线解析式为，得到，，则，据此可得，由此可得答案． 【规范解答】解：∵经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 又∵， ∴； ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，抛物线与轴交于点、，把抛物线在轴及其下方的部分记作，将向左平移得到，与轴交于点、，若直线与、共有3个不同的交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了二次函数的应用． 依据题意，首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时k的值以及直线过点B时k的值，结合图形即可得到答案 【规范解答】解：∵抛物线与x轴交于点A、B， ∴，． 又抛物线为， ∴抛物线向左平移4个单位长度 ∴平移后解析式． 当直线过B点，有2个交点 ∴， ∴． 当直线与抛物线相切时，有2个交点 ∴， 即． ∵相切， ∴ ∴． 如图， ∵若直线与、共有3个不同的交点， ∴． 故答案为：． 17．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，是小关设计的风筝草图，其中风筝的两根龙骨和互相垂直，若他计划用长为的毛竹制作风筝的龙骨（不计损耗），且要求，则当骨架的长为 cm时，四边形的面积最大，此时的最大面积是 ． 【答案】 40 1200 【思路引导】本题考查了二次函数的最值，解题的关键是掌握二次函数的性质，读懂题意解不等式确定的长，再根据二次函数的性质计算出最大面积即可． 【规范解答】解：设，根据题意得， ， 解得：， 四边形的面积 ， ， ， 根据二次函数的图象的性质可知，二次函数图象 开口向下，抛物线的对称轴 当时， ∴时，S值最大， ∴． 故答案为：40，1200． 18．（22-23九年级上·江苏扬州·期末）已知抛物线交x轴于点，，交y轴于点，直线交抛物线于点M，N（M在N的左侧），抛物线顶点为P． (1)求该抛物线的解析式： (2)求的面积； (3)若，则此时横坐标的取值范围是______．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查二次函数与几何的综合应用，正确的求出二次函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出抛物线的顶点坐标，联立解析式求出的坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）图象法求出自变量的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线交x轴于点，，交y轴于点， ∴， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 联立， 解得：或， ∴， 作轴，交直线于点，则：， ∴， ∴； （3）由（2）可知：， 由（2）图可知：当时，， 当时， 解得：， 综上：． 19．（24-25九年级上·江苏徐州·期末）如图，利用的墙角修建一个梯形的储料场，已知新建墙的总长为，．设的长为，储料场的面积为． (1)求关于的函数表达式． (2)当取何值时，储料场的面积为？ (3)该储料场的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当取时，储料场的面积为 (3)存在，储料场面积的最大值为 【思路引导】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用、等腰三角形的判定，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）过点作的垂线，垂足为．先根据等腰三角形的判定得到，进而，，然后利用梯形面积公式求解即可； （2）解一元二次方程即可求解； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，过点作的垂线，垂足为． 四边形是梯形， ． ，， ，， ， ． ∴，， ，即． （2）解：令，得， 解得（舍去）． 答：当取时，储料场的面积为． （3）解：， ∵， 当时，取最大值54． 答：储料场面积的最大值为． 20．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)将此抛物线在轴下方的图像沿轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像，若将直线向上平移个单位长度，使得平移后的直线与图像有两个公共点，请直接写出的取值范围． (3)如图②点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，直接写出的最大值及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)或 (3)最大值， 【思路引导】本题考查了二次函数与几何图形的综合问题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，抛物线与x轴的交点、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，求二次函数的最值，勾股定理，利用割补法表示出的面积时解题的关键． （1）待定系数法求出抛物线的解析式为； （2）先求得，得出当直线的解析式，平移后的解析式为：过点A时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，将代入，可求出的值；当直线与抛物线相切时，直线与新函数的图象恰有三个公共点，结合图象，求出的取值范围，进而可得答案． （3）连接，再设点，再根据表示，然后根据抛物线的对称性得 ，即可得出二次函数，再配方讨论最值即可． 【规范解答】（1）解：∵抛物线经过点，且对称轴是， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2） 当时，，当时，， 解得， ∴， 设直线为 ∴ 解得： ∴ ∵将直线向上平移个单位长度， ∴ 将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的解析式为． 当直线过点时，， 解得，； 当直线过点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 将代入， 得， 解得． 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与新函数的图象恰有三个公共点， 即方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得． ∴平移后的直线与图像有两个公共点时，的取值范围为或． （3）解：∵， ∴， 根据勾股定理，得． 连接，设点， 由，得 ， ． ∵点P与D关于直线对称， ， ， ∴当时，取得最大值，此时点． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $$