精品解析：广东省广州市南沙东涌中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025学年广东省广州市南沙东涌中学高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分母构成等差数列即可求出. 【详解】数列的分母形成首项为5，公差为2的等差数列，则通项公式为， 所以. 故选：C. 2. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】应用等差数列通项公式基本量运算即可求解. 【详解】因为等差数列，所以 所以. 故选：C. 3. 若3与13的等差中项是4与的等比中项，则（ ） A. 12 B. 16 C. 8 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差中项及等比中项性质进行求解. 【详解】3与13的等差中项为8，所以8是4与的等比中项，所以， 解得：. 故选：B. 4. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】把，，用基本量和表示，再利用等比中项的性质，即可解出b. 【详解】解：由，，成等比数列，得，即，又，即，化简得，又因为，所以． 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的性质，属于基础题。 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据常用函数的求导公式和复合函数的求导法则即可判断. 【详解】对A，，正确； 对B，，错误； 对C，，错误； 对D，，错误. 故选：A. 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 7. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】设点，根据题意可得，从而求得. 【详解】设，点，则， 由在点处的切线与直线垂直可得， 即，又，. 故选：D 8. 是定义在上的可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，，利用导数研究其单调性，进而得到结论． 【详解】解：设，，则， 在区间上单调递减， ，∴g(b)<g(a),即， 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 时，最小 【答案】AD 【解析】 【分析】由等差数列的性质有，可得公差的符号和数列中项的正负，判断选项即可. 【详解】是等差数列的前项和，设公差为，，即， 得，所以，即， 有，因为，所以，所以，故A正确，B错误； ，故错误； 时，时，所以当时，取得最小值，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. C. 函数只存在一个极小值，无极大值 D. 有唯一零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，求出和，利用直线的点斜式方程写出切线方程，即可判断；求出，根据的范围可判断B；判断导数正负，确定函数的单调性，结合极值的定义可判断C；根据函数零点存在性定理结合单调性，可判断D． 【详解】解：， 对于A，因为，， 所以在处的切线方程为：，故A正确； 对于B，，因为， 所以，故B正确； 对于C，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，上单调递增， ，所以，即， 所以函数在R上单调递增，所以函数无极值，故C错误； 对于D，因为函数在R上单调递增，且，， 所以函数有唯一零点，故D正确． 故选：ABD． 11. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用捆绑法，插空法等求得每个选项的排列数可判断其正确性. 【详解】若节目与节目相邻，共有种不同的安排方法，故正确； 若节目与节目不相邻，共有种不同的安排方法，故B正确； 因为节目在节目之前表演与节目在节目之前表演的情况是一样的， 所以共有种不同的安排方法，故C正确； 添加第一个节目有8种情况，添加第二个节目有9种情况，添加第三个节目有10种情况， 共有种不同的安排方法，故D错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】##(0,1] 【解析】 【分析】根据导数正负情况即可得解. 【详解】由题可得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 故答案为： 13. 三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种. 【答案】8 【解析】 【分析】利用分步加法计数原理计算即得. 【详解】依题意，可由三名学生依次选修课程，故分三步完成， 由分步乘法计数原理知，不同的选法有（种）. 故答案为：8. 14. 已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】求导可得在上单调递增，结合是奇函数，可转化 为，借助单调性和定义域，列出不等式组，即得解 【详解】因为时，，所以在上单调递增. 又是奇函数，由， 得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，. （1）若是等比数列且公比，求； （2）若是等差数列且，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出首项后利用等比数列的基本量计算即可. （2）求出通项公式，进而求出前项和公式，利用函数性质计算即可. 【小问1详解】 设首项为，由题意得，且是等比数列， 故，解得， 则， 【小问2详解】 设首项为，公差为，且是等差数列， 故，解得， 故，， 由二次函数性质得，当时，取得最小值，但一定为正整数， 则当时，取得最小值，此时. 16. 在数列中，，点在直线上. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，且，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由定义证明数列是等差数列，再由得出通项公式； （2）先由求和公式得出，再由裂项相消求和法求和即可. 【小问1详解】 由题意可知，，所以数列是公差的等差数列 又，所以，故 【小问2详解】 ，则 故 17. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 【答案】（1）； （2）最大值为4，,最小值为0. 【解析】 【分析】（1）先求导，根据，解方程组求出a，b的值； （2）根据函数在区间上的单调性，分别求出极值和端点值，再比较得出最大值和最小值. 【小问1详解】 ，由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以. 【小问2详解】 由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 18. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）当时，当时，结合，求得，再由，利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）得到，利用乘公比错位相减法，即可求出数列的前项和. 【小问1详解】 因为，所以当时，， 当时，， 当时，，符合上式，所以， 又因为，数列是公比为3的等比数列，所以， 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，，可得， 则， ， 两式相减，可得 ， 所以. 19. 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在单调递增，无单调递减区间；当时，在和上单调递增，在上单调递减； （2） 【解析】 【分析】（1）求导可得，对分、以及三种情况讨论即可得解； （2）由存在性问题进行参变分离可得即可. 【小问1详解】 函数的定义域是 . 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，且不恒成立，此时在单调递增，无单调递减区间； 当时，由，得或，由，得， 此时在和上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在单调递增，无单调递减区间； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 至少存在一个，使得成立，即当时， 有解 ∵当时，，∴有解， 令，则. ∵， ∴在上单调递减，∴， ∴，即， ∴实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省广州市南沙东涌中学高二（下）期中数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列， ， ， ，……的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 2. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. 若3与13的等差中项是4与的等比中项，则（ ） A. 12 B. 16 C. 8 D. 20 4. 已知等差数列的公差，，且，，成等比数列，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为（ ） A. B. C. 2 D. 1 8. 是定义在上的可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列的前项和，，且，则（ ） A. 公差 B. C. D. 时，最小 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. C. 函数只存在一个极小值，无极大值 D. 有唯一零点 11. 某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共7个节目，则下列结论正确的是（ ） A. 若节目与节目相邻，则共有1440种不同的安排方法 B. 若节目与节目不相邻，则共有3600种不同的安排方法 C. 若节目在节目之前表演（可以不相邻），则共有2520种不同的安排方法 D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加3个节目，现有节目次序不变，则共有336种不同的安排方法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调递减区间为__________． 13. 三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有___________种. 14. 已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，. （1）若是等比数列且公比，求； （2）若是等差数列且，求的最小值. 16. 在数列中，，点在直线上. （1）求的通项公式； （2）记的前项和为，且，求数列的前项和. 17. 已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （2）求函数在区间上的最值. 18. 已知数列的前项和为，数列是公比为3的等比数列，且. （1）求数列、的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 19. 已知函数． （1）若，讨论函数的单调性； （2）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $