阶段质量评价 全册综合评价 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

[阶段质量评价]　　　　　　　　 全册综合检测 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知集合A=,B=,则A∪B= (　 ) A. B. C. D. 解析:选A　由集合并集的定义可得,A∪B=.故选A. 2.函数D(x)=被称为狄利克雷函数,则D(D())= (　 ) A.2 B. C.1 D.0 解析:选C　由题意可知∉Q⇒D()=0,0∈Q⇒D(D())=D(0)=1.故选C. 3.若函数f(x)=ax+1+1(a>0,a≠1)的图象经过定点P,且点P在角θ的终边上,则tan θ的值等于 (　 ) A.2 B. C.-2 D.- 解析:选C　因为函数y=ax的图象经过定点(0,1),所以函数f(x)=ax+1+1的图象经过定点P(-1,2),因为点P(-1,2)在角θ的终边上,所以tan θ==-2.故选C. 4.已知函数f(x)=(m-2)xm为幂函数,若函数g(x)=lg x+x-m,则g(x)的零点所在区间为 (　 ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 解析:选C　由f(x)=(m-2)xm为幂函数,所以m-2=1,得m=3,所以g(x)=lg x+x-3,显然g(x)在(0,+∞)上单调递增,由g(1)=-2<0,g(2)=lg 2-1<0,g(3)=lg 3>0,所以g(x)的零点所在区间为(2,3),故选C. 5.在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,已知经过30天以后,该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍,那么经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的 (　 ) A.18倍 B.24倍 C.36倍 D.48倍 解析:选C　设湖泊中原来蓝藻数量为a,则a(1+6.25%)30=6a,即(1+6.25%)30=6.∴经过60天后该湖泊的蓝藻数量为y=a(1+6.25%)60==36a.∴经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍.故选C. 6.函数f(x)=x2log4的大致图象是 (　 ) 解析:选D　法一　因为>0,即(x+2)(x-2)<0,所以-2<x<2,所以函数f(x)=x2log4的定义域为(-2,2),关于原点对称,又f(-x)=(-x)2log4=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故排除B、C;当x∈(0,2)时,>1,即log4>0,因此f(x)>0,故排除A.故选D. 法二　由法一,知函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故排除B、C;又f(1)=log23>0,所以排除A.故选D. 7.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)与g(x)=cos ωx(其中A>0,ω>0)的部分图象如图所示,则 (　 ) A.A=1,ω= B.A=2,ω= C.A=1,ω= D.A=2,ω= 解析:选D　观察图象,知f(0)与g(0)中,一个为0,一个为1,而g(0)≠0,因此g(0)=1,即=1,解得A=2,函数g(x)的周期T=4×1.5=6,则=6,解得ω=,所以A=2,ω=.故选D. 8.已知将函数y=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是 (　 ) A.1 B. C.2 D.4 解析:选C　将函数y=sin ωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数为y=sin,再由所得图象经过点可得sin=sin=0,所以ω·=kπ,即ω=2k,k∈Z.所以ω的最小值是2.故选C. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列函数中与函数y=x是同一函数的是 (　 ) A.y=()2 B.u= C.y= D.y=ln ex 解析:选BD　对于A,函数y=()2的定义域为,因为函数y=x的定义域为R,所以两函数的定义域不同,不是同一函数;对于B,函数u==v与函数y=x的定义域和对应关系都相同,所以是同一函数;对于C,函数y==|x|与函数y=x的对应关系不同,不是同一函数;对于 D,函数y=ln ex=x与函数y=x的定义域和对应关系都相同,所以是同一函数.故选BD. 10.已知θ为第一象限角,sin θ-cos θ=,则下列各式正确的有 (　 ) A.sin θ+cos θ= B.sin 2θ= C.cos 2θ=- D.tan θ= 解析:选AC　由sin θ-cos θ=得sin θ=+cos θ,代入sin2θ+cos2θ=1,得+cos2θ=1,解得cos θ=-或cos θ=,因为θ为第一象限角,所以cos θ=,sin θ=+cos θ=+=,所以sin θ+cos θ=+=,sin 2θ=2sin θcos θ=2××=,cos 2θ=2cos2θ-1=2×-1=-,tan θ===.故选AC. 11.以下说法正确的是 (　 ) A.“∀x∈R,3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R,3x2-2<0” B.“x>3”是“log3(2x+1)>2”的充分不必要条件 C.若一扇形弧长为,圆心角为,则该扇形的面积为 D.“∀x∈R,2ax2+ax-≤0”是真命题,则-3≤a≤0 解析:选ACD　“∀x∈R,3x2-2≥0”的否定是“∃x∈R,3x2-2<0”,故A正确;log3(2x+1)>2即log3(2x+1)>log39,解得x>4,因为x>4⇒x>3,所以“x>3”是“log3(2x+1)>2”的必要不充分条件,故B错误;扇形弧长为,圆心角为,所以扇形的半径为=3,则该扇形面积为×3×=,故C正确;因为“∀x∈R,2ax2+ax-≤0”是真命题,即2ax2+ax-≤0,对于∀x∈R恒成立.当a=0时,命题成立;当a≠0时,解得-3≤a<0,综上可得-3≤a≤0,故D正确.故选ACD. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知函数f(x)=ln x-m的零点位于区间(1,e)内,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:由题意,令f(x)=ln x-m=0,得m=ln x.因为x∈(1,e),所以ln x∈(0,1),故m∈(0,1). 答案:(0,1) 13.(5分)在平面直角坐标系中,O是原点,A(,1),将点A绕O逆时针旋转90°到B点,则B点坐标为　　　　.  解析:依题意知OA=OB=2,∠AOx=30°,∠BOx=120°,设点B坐标为(x,y),则x=2cos 120°=-1,y=2sin 120°=,即B(-1,). 答案:(-1,) 14.(5分)已知函数f(x)=当a=2时,不等式f(x)<0的解集是　　　　　　　,若f(x)恰有2个零点,则a的取值范围是　　　　　　　.  解析:当a=2时,x≥2⇒f(x)=x-3<0⇒x∈[2,3),x<2⇒f(x)=x2-2x=x(x-2)<0⇒x∈(0,2),综上,f(x)<0的解集是(0,3).若f(x)的零点都在y=x2-2x上,即两个零点分别为x=0,x=2,则a>3,若f(x)的零点在y=x2-2x上有一个,在y=x-3上有一个,即两个零点分别为x=0,x=3,则即a∈(0,2].综上,a∈(0,2]∪(3,+∞). 答案:(0,3)　(0,2]∪(3,+∞) 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知α∈,cos α=. (1)求tan α的值;(8分) (2)求cos的值.(5分) 解:(1)因为α∈,所以sin α>0, 所以sin α===. 所以tan α===2. (2)由(1)得,cos α=,sin α=. 则cos=cos αcos-sin αsin=×-×=. 16.(15分)已知函数f(x)=x2-3x+b,不等式f(x)<0的解集为,b,t∈R. (1)求b和t的值;(5分) (2)若x∈[1,4]时,函数y=f(x)的图象恒在y=kx2图象的上方,求实数k的取值范围.(10分) 解:(1)因为不等式f(x)<0的解集为,所以1和t为方程x2-3x+b=0的两根.所以解得b=t=2. (2)由题意,得对∀x∈[1,4],恒有x2-3x+2>kx2,两边同除以x2得k<-+1.令t=,t∈,则上述不等式等价于k<g(t)=2t2-3t+1恒成立,即k<g(t)min.又g(t)=2t2-3t+1=2-,所以当t=时,g(t)min=-.所以实数k的取值范围为. 17.(15分)已知函数f(x)=2cos2ωx-1+2sin ωxcos ωx(0<ω<1),直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴. (1)求函数f(x)的单调递增区间;(7分) (2)已知函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,然后再向左平移个单位长度得到的,若g=,α∈,求sin α的值.(8分) 解:(1)易得f(x)=cos 2ωx+sin 2ωx=2sin. 当x=时,ω×+=+kπ,k∈Z, 得ω=+,k∈Z.∵0<ω<1,∴ω=, 即f(x)=2sin. 令-+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z, 解得-+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z. 故函数的单调递增区间是,k∈Z. (2)由题意,得g(x)=2sin=2cosx. 由g=2cos=, 得cos=. ∵α∈,α+∈,sin==, ∴sin α=sin=sincos-cossin=×-×=. 18.(17分)已知函数f(x)=是定义在(-2,2)上的奇函数,且f(1)=. (1)确定f(x)的解析式;(7分) (2)判断f(x)在(-2,2)内的单调性,并用定义证明;(5分) (3)解关于t的不等式f(t-1)+f(t)<0.(5分) 解:(1)由函数f(x)=是定义在(-2,2)上的奇函数,得f(0)==0,解得b=0. 经检验,b=0时,f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=是(-2,2)上的奇函数,满足题意.又f(1)==,解得a=1. 故f(x)=,x∈(-2,2). (2)函数f(x)在(-2,2)内为增函数.证明如下:在(-2,2)内任取x1,x2且x1<x2, 则f(x2)-f(x1)=- =. 因为x2-x1>0,4+x1x2>0,4->0,4->0,所以f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x1). 所以f(x)在(-2,2)内为增函数. (3)因为f(x)为奇函数,所以-f(x)=f(-x),不等式f(t-1)+f(t)<0可化为f(t-1)<-f(t),即f(t-1)<f(-t).又f(x)在(-2,2)上是增函数,所以解得-1<t<.所以关于t的不等式解集为. 19.(17分)已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1). (1)判断函数f(x)的奇偶性并说明理由.(7分) (2)是否存在实数a,使得当f(x)的定义域为[m,n]时,值域为[1+logan,1+logam]?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.(10分) 解:(1)由1->0,可得x<-1或x>1, ∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞). ∵f(x)=loga=loga, 且f(-x)=loga=loga=-loga=-f(x), ∴f(x)在定义域上为奇函数. (2)假设存在这样的实数a,使得当f(x)的定义域为[m,n]时,值域为[1+logan,1+logam]. 由0<m<n, 又logan+1<logam+1, 即logan<logam,得0<a<1. 易知f(x)在(1,+∞)上单调递减, ∴f(x)在(m,n)上单调递减, ∴ 即m,n是方程loga=logax+1的两个实根,即=ax在(1,+∞)上有两个互异实根, 于是问题转化为关于x的方程ax2+(a-1)x+1=0在(1,+∞)上有两个不同的实数根. 令g(x)=ax2+(a-1)x+1, 则有 解得0<a<3-2. 故存在实数a∈(0,3-2),使得当f(x)的定义域为[m,n]时,值域为[1+logan,1+logam]. 224 / 224 学科网（北京）股份有限公司 $$