4.2.1 指数函数的概念 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦指数函数的概念这一核心知识点，系统梳理指数函数的定义（y=a^x，a>0且a≠1），明确判断要点（底数为常数、指数为单自变量、系数为1），通过辨析题巩固概念理解，再到用待定系数法求解析式，最后结合实际问题构建指数增长与衰减模型，形成从概念到应用的递进式学习支架。 该资料采用“逐点理清式”教学设计，通过“微点助解”细化概念要点，引导学生用数学眼光观察函数形式特征，“微点练明”中的辨析题（如判断含参数函数是否为指数函数）培养数学思维中的推理能力，实际应用案例（如树木成材方案对比）强化模型意识，助力学生用数学语言表达现实问题。课中便于教师系统授课，课后检测帮助学生查漏补缺，巩固知识。

4.2　指数函数 4.2.1　指数函数的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.会从形式上判断一个函数是否是指数函数. 2.会从实际问题中抽象出指数函数模型并能解决相应问题. 逐点清(一)　指数函数的概念 [多维理解] 　　一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R. |微|点|助|解| 　　指数函数只是一个形式定义,判断一个函数是指数函数的关键有三点: (1)底数a为大于0且不等于1的常数,不能是自变量; (2)指数处只有一个自变量,而且不是含自变量的多项式; (3)ax的系数是1. [微点练明] 1.如果函数f(x)=2a·3x和g(x)=2x-(b+3)都是指数函数,则ab= (　 ) A. B.1 C.9 D.8 解析:选D　根据题意可得2a=1⇒a=,-(b+3)=0⇒b=-3,则ab==8. 2.若函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数,则 (　 ) A.a=1或a=-3 B.a>0且a≠1 C.a=1 D.a=-3 解析:选C　因为函数f(x)=(a2+2a-2)(a+4)x为指数函数,则且a+4≠1,解得a=1. 3.(多选)下列函数是指数函数的是 (　 ) A.y=52x B.y=-4x C.y=x3 D.y=(6a-3)x 解析:选AD　对于A,y=52x=25x为指数函数;对于B,y=-4x不是指数函数;对于C,y=x3不是指数函数;对于D,当a>且a≠时,6a-3>0且6a-3≠1,则y=(6a-3)x为指数函数. 4.若函数y=(2a-1)x(x是自变量)是指数函数,则a的取值范围是 (　 ) A.(0,1)∪(1,+∞) B.[0,1)∪(1,+∞) C.∪(1,+∞) D. 解析:选C　依题意得2a-1>0,且2a-1≠1, 解得a>,且a≠1, 即a的取值范围是∪(1,+∞). 逐点清(二)　求指数函数的解析式或值 [多维理解] (1)求指数函数的解析式时,一般采用待定系数法,即先设出函数的解析式,然后利用已知条件,求出解析式中的参数,从而得到函数的解析式,其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键. (2)求指数函数的函数值的关键是求出指数函数的解析式. [微点练明] 1.已知函数f(x)=ax(a>0,且a≠1),且f(1)=2,则f(0)+f(2)= (　 ) A.4 B.5 C.6 D.8 解析:选B　由f(1)=2⇒a=2⇒f(x)=2x,所以f(0)+f(2)=20+22=5. 2.若函数f(x)=·ax是指数函数,则f的值为 (　 ) A.-2 B.2 C.-2 D.2 解析:选B　因为函数f(x)=·ax是指数函数,所以a-1=1,a>0,且a≠1,即a=4.所以f(x)=4x.则f==2. 3.设函数f(x)=若f=8,则a= (　 ) A. B. C.1 D.2 解析:选D　f=4×-=3, 则f=f(3)=a3, 得a3=8, 解得a=2.故选D. 4.已知函数f(x)是指数函数,且f=,则f(3)=　　　　.  解析:设f(x)=ax(a>0,且a≠1), 则f===, 得a=5, 故f(x)=5x. 因此,f(3)=53=125. 答案:125 逐点清(三)　指数增长与衰减的应用 　　在实际问题中,经常遇到指数增长模型,形如y=kax(k∈R,且k≠0,a>0,且a≠1)的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型. [典例]　有一种树栽植5年后可成材.在栽植后5年内,该种树的产量年增长率为20%,如果不砍伐,从第6年到第10年,该种树的产量年增长率为10%,现有两种砍伐方案: 甲方案:栽植5年后不砍伐,等到10年后砍伐.乙方案:栽植5年后砍伐重栽,然后过5年再砍伐一次. 请计算后回答:10年内哪一个方案可以得到较多的木材? 解:设该种树的最初栽植量为a,甲方案在10年后的木材产量为y1=a(1+20%)5(1+10%)5=a(1.2×1.1)5≈4.01a.乙方案在10年后的木材产量为y2=2a(1+20%)5=2a·1.25≈4.98a.∵a>0,∴4.98a>4.01a,即y2>y1,∴10年内乙方案可以得到较多的木材. |思|维|建|模| (1)由特殊到一般的归纳方法是探究增长型函数问题常用的手段. (2)在实际问题中,对于平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值或总产量y,可以用公式y=N(1+p)x表示. 　　[针对训练] 1.若镭经过100年后剩余量为原来的95.76%,设质量为1的镭经过x年后剩余量为y,则x,y的函数关系是 (　 ) A.y=(0.957 6 B.y=(0.957 6)100x C.y= D.y=1-(0.042 4 解析:选A　由100年后剩余量为原来的95.76%,故x年后的剩余量y=(0.957 6. 2.某地下车库在排气扇发生故障的情况下,测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态,经抢修后排气扇恢复正常.排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64 ppm(ppm为浓度单位,1 ppm表示百万分之一),再过4分钟又测得浓度为32 ppm.经检验知,该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y=c(c,m为常数).求c,m的值. 解:由题意可得 解得故c,m的值分别为128,. [课时检测] 1.下列函数为指数函数的是 (　 ) A.y=2·3x B.y=-3x C.y=5x D.y=1x 答案:C 2.函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,则f(1)= (　 ) A.8 B. C.4 D.2 解析:选D　∵函数f(x)=(2a-3)ax是指数函数,∴2a-3=1,a>0,且a≠1.解得a=2.∴f(x)=2x.∴f(1)=2.故选D. 3.若点(a,27)在函数y=()x的图象上,则的值为 (　 ) A. B.1 C.2 D.0 解析:选A　点(a,27)在函数y=()x的图象上,所以27=()a,即33=,所以=3,解得a=6,所以=.故选A. 4.函数f(x)=ax(a>0且a≠1),对于任意实数x,y都有 (　 ) A.f(xy)=f(x)f(y) B.f(xy)=f(x)+f(y) C.f(x+y)=f(x)f(y) D.f(x+y)=f(x)+f(y) 解析:选C　f(x+y)==axay=f(x)f(y).故选C. 5.某种细菌在培养过程中,每15 min分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过 (　 ) A.12 h B.4 h C.3 h D.2 h 解析:选C　设需经过x次分裂,则2x=4 096,解得x=12.所以所需时间t==3(h). 6.已知一种产品的成本是a元,今后m年,计划使成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x(0<x<m)的函数,其关系式是 (　 ) A.y=a(1+p%)x(0<x<m) B.y=a(1-p%)x(0<x<m) C.y=a(p%)x(0<x<m) D.y=a-(p%)x(0<x<m) 解析:选B　∵产品的成本是a元,1年后,成本为a-p%·a=a(1-p%);2年后,成本为a(1-p%)-a(1-p%)·p%=a(1-p%)2;…,∴x年后,成本y=a(1-p%)x(0<x<m). 7.已知函数f(x)=+2,则f(1)与f(-1)的大小关系是 (　 ) A.f(1)>f(-1) B.f(1)<f(-1) C.f(1)=f(-1) D.不确定 解析:选B　∵f(x)=+2,∴f(1)=+2=,f(-1)=+2=4.∵<4,∴f(1)<f(-1). 8.已知f(x)=3x,g(x)=9x,若f(a)g(b)=,则下列各式正确的是 (　 ) A.a+b=-1 B.a+b=1 C.a+2b=-1 D.a+2b=1 解析:选C　由3a·9b=知3a·32b=3-1.即a+2b=-1. 9.如图所示,面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO,AC与BO交于点E.若指数函数y=ax(a>1)的图象经过点E,B,则a等于 (　 ) A. B. C.2 D.3 解析:选A　设点C(0,m)(m>0),则由已知条件可得A,E,B.因为点E,B在指数函数y=ax(a>1)的图象上,所以解得m=2,所以a=-(舍去)或a=. 10.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent,假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m min甲桶中的水只有升,则m的值为 (　 ) A.10 B.9 C.8 D.5 解析:选D　由题设可得方程组由2ae5n=a⇒e5n=,代入ae(m+5)n=⇒emn=,联立两个等式可得解得m=5.故选D. 11.函数y=f(x)是R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x,则当x>0时,f(x)等于 (　 ) A.-2x B.2-x C.-2-x D.2x 解析:选C　当x<0时,f(x)=2x,当x>0时,-x<0,则f(-x)=2-x.又f(x)是R上的奇函数,所以当x>0时,f(x)=-f(-x)=-2-x. 12.(5分)已知指数函数f(x)=(2b-3)ax经过点(1,2),则a=　　　,f(a+b)=　　　.  解析:由指数函数的定义可知2b-3=1,即b=2.将点(1,2)代入f(x)=ax,得a=2.故f(x)=2x,a+b=4,所以f(a+b)=f(4)=24=16. 答案:2　16 13.(5分)设函数f(x)=则f(f(-4))=　　　　.  解析:依题意,知f(-4)==16,f(16)==4,所以f(f(-4))=f(16)=4. 答案:4 14.(10分)已知指数函数y=g(x)满足g(3)=8,定义域为R的函数f(x)=g(x)-g(-x). (1)求y=g(x),y=f(x)的解析式;(5分) (2)判断函数f(x)的奇偶性.(5分) 解:(1)根据题意,函数y=g(x)为指数函数,设g(x)=ax,若g(3)=8,则a3=8,解得a=2,则g(x)=2x,f(x)=g(x)-g(-x)=2x-2-x, (2)f(x)=2x-2-x,函数定义域为R, 则f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),函数f(x)为奇函数. 15.(10分)已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点. (1)求a的值;(4分) (2)若g(x)是定义在R上的偶函数,且x≤0时,g(x)=f(x),求g(x)的解析式.(6分) 解:(1)由已知,得a2=,∵a>0且a≠1,∴a=. (2)当x≤0时,g(x)=f(x)=, 设x>0,则-x<0, 则g(-x)==3x,因为g(x)是定义在R上的偶函数,所以g(x)=g(-x)=3x, 所以函数g(x)的解析式为g(x)= 学科网（北京）股份有限公司 $$