3.1.2 第1课时 函数的表示法 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦函数的三种表示法（解析法、列表法、图象法）这一核心知识点，系统梳理从概念理解（各自优缺点）到实际情境中方法选择，再到函数解析式求解的递进脉络，搭建多维理解、微点练明、思维建模等学习支架辅助认知。 以“逐点清”模块为特色框架，通过买月饼等实际问题引导学生用数学眼光观察现实，借助换元法、待定系数法等培养数学思维，结合列表、图象绘制强化数学语言表达。课中微点练明即时巩固概念，课后课时检测助力学生查漏补缺，提升教学实效。

3.1.2　函数的表示法 第1课时　函数的表示法 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图象法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 逐点清(一)　函数的三种表示法 [多维理解] 　　三种常用的函数表示方法 [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)所有函数都能用三种表示法表示. (　 ) (2)能用列表法表示的函数一定能用图象法表示. (　 ) (3)若函数f(x)是反比例函数,则f(1)=1. (　 ) (4)函数能用图象法表示的前提是函数的变化规律清晰. (　 ) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.已知函数y与x成反比,且当x=2时,y=1,则y关于x的函数关系式为 (　 ) A.y= B.y=- C.y= D.y=- 解析:选C　设y=,由题意知1=,即k=2.∴y=. 3.已知函数f(x)由下表给出,则f(3)=　　　　.  x 1≤x<2 2 2<x≤4 f(x) 1 2 3 解析:∵当2<x≤4时,f(x)=3,∴f(3)=3. 答案:3 4.中秋节到了,小明想买几块月饼,已知每块月饼的单价是6元,买x(x∈{1,2,3,4,5,6})块月饼需要y元,你能用函数的三种表示法表示函数y=f(x)吗? 解:因为函数的定义域是数集{1,2,3,4,5,6},所以用解析法可将函数表示为f(x)=6x,x∈{1,2,3,4,5,6}. 用列表法可将函数表示为 月饼数x 1 2 3 4 5 6 钱数y 6 12 18 24 30 36 用图象法可将函数表示为 逐点清(二)　函数的图象 [多维理解] 　　作函数y=f(x)图象的方法 (1)若y=f(x)是已学过的函数,则描出图象上的几个关键点,直接画出图象即可,有些可能需要根据定义域进行取舍. (2)若y=f(x)不是所学过的函数之一,则要按: ①列表;②描点;③连线三个基本步骤作出y=f(x)的图象. [微点练明] 1.已知函数f(x)的图象如图所示,则此函数的定义域是　　　　　,值域是　　　　.  解析:结合题图,知函数f(x)的定义域为[-3,3],值域为[-2,2]. 答案:[-3,3]　[-2,2] 2.画出下列函数的图象,并说出函数的定义域、值域: (1)y=3x; (2)y=-4x+5; (3)y=x2-6x+7. (4)y=-,x∈[-3,0)∪(0,1]. 解:(1)一次函数y=3x的图象如图1所示,定义域为R,值域为R. (2)一次函数y=-4x+5的图象如图2所示,定义域为R,值域为R. (3)二次函数y=x2-6x+7的图象如图3所示,定义域为R,值域为[-2,+∞). (4)作出函数y=-,x∈[-3,0)∪(0,1]的图象,如图4所示,由图象可知值域为(-∞,-4]∪. 逐点清(三)　函数的解析式 [典例]　求下列函数的解析式: (1)(换元法或配凑法)已知f(+1)=x-2,求f(x); (2)(待定系数法)已知函数f(x)是一次函数,若f(f(x))=4x+8,求f(x); (3)(方程组法)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x). 解:(1)法一:换元法　令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2.代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3, 所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). 法二:配凑法　由已知得f(+1)=x+2+1-4-4+3=(+1)2-4(+1)+3. 因为+1≥1,所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). (2)设f(x)=ax+b(a≠0),则f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b. 因为f(f(x))=4x+8,所以a2x+ab+b=4x+8, 即解得或 所以f(x)=2x+或f(x)=-2x-8. (3)由题意,在f(x)-2f(-x)=1+2x中,以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x. 联立解得f(x)=x-1. 　　|思|维|建|模|　求函数解析式的4种常用方法 换元法 已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围 配凑法 由已知条件f(g(x))=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),得到f(x)的表达式 待定 系数法 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法 方程 组法 已知关于f(x)与f或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x) 　　[针对训练] 　根据下列条件,求f(x)的解析式. (1)已知f(x)满足f(x+1)=x2+4x+1; (2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-f(x)=2x+9; (3)已知f(x)满足2f+f(x)=x(x≠0). 解:(1)令t=x+1,则x=t-1. 故f(t)=(t-1)2+4(t-1)+1=t2+2t-2. 所以f(x)=x2+2x-2. (2)设f(x)=kx+b(k≠0), 因为3f(x+1)-f(x)=2x+9, 所以3k(x+1)+3b-kx-b=2x+9. 即2kx+3k+2b=2x+9. 所以解得所以f(x)=x+3. (3)因为2f+f(x)=x(x≠0)　①, 所以2f(x)+f=　②. 2×②-①,得3f(x)=-x, 所以f(x)=-(x≠0). [课时检测] 1.函数y=f(x)的图象如图,则f(x)的定义域是 (　 ) A.R B.(-∞,1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(0,+∞) D.(-1,0) 解析:选C　由题图知x≠0, 即x∈(-∞,0)∪(0,+∞). 2.已知函数y=f(x)的对应关系如下表所示,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,则f(g(2))的值为 (　 ) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A.3 B.0 C.1 D.2 解析:选D　由题图可知g(2)=1,由题表可知f(1)=2,故f(g(2))=2. 3.已知函数f(x)是一次函数,且f(x-1)=4x+3,则f(x)的解析式为 (　 ) A.f(x)=4x-1 B.f(x)=4x+7 C.f(x)=4x+1 D.f(x)=4x+3 解析:选B　设一次函数的解析式为f(x)=ax+b(a≠0),由f(x-1)=4x+3,可得f(x-1)=a(x-1)+b=ax-a+b=4x+3.所以解得所以函数的解析式为f(x)=4x+7. 4.已知f(-1)=-x,则函数f(x)的表达式为 (　 ) A.f(x)=x2+2x+1(x≥0) B.f(x)=x2+2x+1(x≥-1) C.f(x)=-x2-2x-1(x≥0) D.f(x)=-x2-2x-1(x≥-1) 解析:选D　令t=-1(t≥-1),则x=(t+1)2.所以f(t)=-(t+1)2=-t2-2t-1(t≥-1).所以f(x)=-x2-2x-1(x≥-1).故选D. 5.某学生离家去学校,一开始跑步前进,跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离,横轴表示出发后的时间,则较符合该学生走法的是 (　 ) 解析:选D　由题意可知,一开始速度较快,后来速度变慢,所以开始曲线比较陡峭,后来曲线比较平缓,又纵轴表示离校的距离,所以开始时距离最大,最后距离为0. 6.(多选)若函数f(1-2x)=(x≠0),则 (　 ) A.f=15 B.f(2)=- C.f(x)=-1(x≠0) D.f=-1(x≠0且x≠1) 解析:选AD　令1-2x=t(t≠1),则x=.所以f(t)==-1.则f(x)=-1(x≠1),故C错误;f=15,故A正确;f(2)=3,故B错误;f=-1=-1(x≠0且x≠1),故D正确. 7.函数y=的大致图象是 (　 ) 解析:选A　法一　y=的定义域为{x|x≠-1},排除C、D;当x=0时,y=0,排除B. 法二　y==1-,由函数的平移性质可知A正确. 8.(5分)已知函数y=f(x)的图象如图所示. 则(1)f(-2)=　　　　;(2)若f(x)=0,  则x=　　　　.  解析:(1)由题图,知f(x)过点(-2,3),故可得f(-2)=3. (2)由题图可知,f(x)过点(-3,0), 故可得x=-3. 答案:(1)3　(2)-3 9.(5分)某航空公司规定,乘客所携带行李的重量x(kg)与其运费y(元)由如图的一次函数图象确定,那么乘客可免费携带行李的最大重量为　　　　kg.  解析:设一次函数解析式为y=ax+b(a≠0),代入点(30,330)与点(40,630),得解得即y=30x-570,若要免费,则y≤0,所以x≤19. 答案:19 10.(5分)下表表示函数y=f(x),则f(x)>x的整数解的集合是　　　　　　.  x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x<20 y=f(x) 4 6 8 10 解析:当0<x<5时,f(x)>x的整数解为{1,2,3};当5≤x<10时,f(x)>x的整数解为{5}.当10≤x<15时,f(x)>x的整数解为⌀.当15≤x<20时,f(x)>x的整数解为⌀.综上所述,f(x)>x的整数解的集合是{1,2,3,5}. 答案:{1,2,3,5} 11.(5分)已知函数f(x)=x2-4x在[0,m]上的值域为[-4,0],则实数m的取值范围是　　　　.  解析:函数f(x)=x2-4x的部分图象及在[0,m]上的图象如图所示. f(0)=0,f(2)=-4,f(4)=0, 当x>4时,f(x)>0;当0<x<4时,-4≤f(x)<0, 所以为使函数f(x)=x2-4x在[0,m]上的值域为[-4,0],实数m的取值范围是[2,4]. 答案:[2,4] 12.(10分)已知函数p=f(m)的图象如图所示.求: (1)函数p=f(m)的定义域;(4分) (2)函数p=f(m)的值域;(3分) (3)p取何值时,有唯一的m值与之对应.(3分) 解:(1)观察函数p=f(m)的图象,可以看出图象上所有点的横坐标的取值范围是[-3,0]或[1,4],由题图知定义域为[-3,0]∪[1,4]. (2)由题图知值域为[-2,2]. (3)由题图知,当p∈(0,2]时,只有唯一的m值与之对应. 13.(10分)(1)已知f(x)是一次函数,且满足2f(x+3)-f(x-2)=2x+21,求f(x)的解析式;(5分) (2)已知f(x)为二次函数,且满足f(0)=1,f(x-1)-f(x)=4x,求f(x)的解析式.(5分) 解:(1)设f(x)=ax+b(a≠0),则2f(x+3)-f(x-2)=2[a(x+3)+b]-[a(x-2)+b]=2ax+6a+2b-ax+2a-b=ax+8a+b=2x+21. 所以a=2,b=5.所以f(x)=2x+5. (2)由题意设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(0)=1,得c=1. 因为f(x-1)-f(x)=4x, 所以a(x-1)2+b(x-1)+c-(ax2+bx+c)=4x, 整理得-2ax+a-b=4x, 即a=-2,b=-2.所以f(x)=-2x2-2x+1. 14.(10分)画出下列函数的大致图象: (1)y=;(5分)(2)y=|x2-1|.(5分) 解:(1)因为y==2-,所以可先作出函数y=-的大致图象,把所得图象向左平移1个单位长度,得到y=-的图象,再把所得图象向上平移2个单位长度,就得到了函数y=的图象,如图①所示. (2)先作出函数y=x2-1的大致图象,保留它在x轴上及其上方的部分,再把它在x轴下方的部分翻折到x轴上方,所得到的图象就是函数y=|x2-1|的图象,如图②所示. 学科网（北京）股份有限公司 $$