3.1.1 第2课时 函数概念的应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦函数概念的应用核心知识点，系统梳理函数值（含复合函数）的求解方法、已知解析式求定义域（考虑分母、根号等限制）及抽象函数定义域的确定，通过例题-思维建模-训练的学习支架，从具体到抽象逐步深化理解。 采用习题讲评式教学，以题型为载体，通过思维建模总结方法（如复合函数求值“由内到外”），培养数学思维与抽象能力。课中助力教师系统授课，课后课时检测帮助学生巩固，弥补知识盲点，提升函数应用的推理意识与解题严谨性。

第2课时　函数概念的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 进一步了解函数的概念,能求简单函数的值及定义域;能求一些简单的抽象函数值及定义域. 题型(一)　求函数的值 [例1]　已知f(x)=(x≠-1),g(x)=x2+2. (1)求f(2)和g(2); (2)求g(f(2)),f(g(x)); (3)若=4,求x. 解:(1)f(2)==,g(2)=22+2=6. (2)g(f(2))=g=+2=,f(g(x))===. (3)=x2+3=4,即x2=1,解得x=±1. |思|维|建|模| 求函数值的方法 先要确定出函数的对应关系f的具体含义;然后将变量取值代入解析式计算,对于f(g(x))型函数的求值,按“由内到外”的顺序进行,要注意f(g(x))与g(f(x))的区别. 　　[针对训练] 1.已知函数f(x)=x+,则f(2)=　　　　;当a≠-1时,f(a+1)=　　　　.  解析:由题意,得f(2)=2+=.当a≠-1时,a+1≠0,所以f(a+1)=a+1+. 答案:　a+1+ 2.已知f(x)=(x≠-1),求: (1)f(0)及f的值; (2)f(1-x)及f(f(x)). 解:(1)因为f(x)=(x≠-1), 所以f(0)==1,f==, 所以f=f==. (2)因为f(x)=(x≠-1), 又1-x≠-1,故可得x≠2, 所以f(1-x)==(x≠2), f(f(x))==x(x≠-1) . 题型(二)　已知解析式求函数的定义域 [例2]　函数y=的定义域为 (　 ) A.(-∞,3] B.[0,3] C.(0,2)∪(2,3) D.[0,2)∪(2,3] 解析:选D　由题设可得 解得0≤x≤3,且x≠-,x≠2, 故x∈[0,2)∪(2,3]. [例3]　函数f(x)= -的定义域是　　　　.  解析:由题意,得解得x≥-1且x≠0. 故x∈[-1,0)∪(0,+∞). 答案:[-1,0)∪(0,+∞) |思|维|建|模|　已知解析式求函数的定义域的步骤 　　[针对训练] 3.求下列函数的定义域: (1)y=3-x;(2)y=;(3)y=;(4)y=. 解:(1)函数y=3-x的定义域为R. (2)由于0的零次幂无意义,故x+1≠0,即x≠-1. 又x+2>0,即x>-2,所以函数y=的定义域为{x|x>-2且x≠-1}. (3)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足 解得x≤5,且x≠±3,所以函数y=的定义域为{x|x≤5且x≠±3}. (4)要使函数有意义, 则即 解得-1≤x<1.所以函数y=的定义域为{x|-1≤x<1}. 题型(三)　抽象函数的定义域 [例4]　已知函数y=f(x)的定义域是[-1,3],则f(2x+1)的定义域为　　　　.  解析:令-1≤2x+1≤3,解得-1≤x≤1. 所以f(2x+1)的定义域为[-1,1]. 答案:[-1,1] [例5]　若函数y=f(3x+1)的定义域为[-2,4],则y=f(x)的定义域是　　　　.  解析:由题意知,-2≤x≤4.所以-5≤3x+1≤13. 所以y=f(x)的定义域是[-5,13]. 答案:[-5,13] |思|维|建|模| 抽象函数的定义域的类型及解题策略 (1)已知f(x)的定义域为[a,b],求f(g(x))的定义域时,不等式a≤g(x)≤b的解集即定义域. (2)已知f(g(x))的定义域为[c,d],求f(x)的定义域时,求出g(x)在[c,d]上的范围(值域)即定义域.　 　　[针对训练] 4.若函数y=f(x)的定义域是[0,3],则函数g(x)=的定义域是 (　 ) A.[0,1) B.(0,1) C.[0,1] D.[0,1)∪(1,9] 解析:选A　因为函数y=f(x)的定义域是[0,3],所以解得0≤x<1.所以函数g(x)=的定义域是[0,1). 5.已知f(x2-1)的定义域为[1,3],则f(2x-1)的定义域为 (　 ) A. B. C. D. 解析:选B　由f(x2-1)的定义域为[1,3],得x∈[1,3].所以x2∈[1,9],即x2-1∈[0,8].所以f(x)的定义域为[0,8].令2x-1∈[0,8],得2x∈[1,9],即x∈.所以f(2x-1)的定义域为. [课时检测] 1.已知函数f(x)=,则f= (　 ) A. B. C.a D.3a 解析:选D　f==3a.故选D. 2.设函数f(x)=ax3+bx+1,f(1)=1,则f(-1)= (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:选C　因为f(1)=a+b+1=1,所以a+b=0.所以f(-1)=-(a+b)+1=1. 3.已知函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为 (　 ) A.{-1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y|-1≤y≤3} D.{y|0≤y≤3} 解析:选A　由题意,知当x=0时,y=0;当x=1时,y=1-2=-1;当x=2时,y=4-2×2=0;当x=3时,y=9-2×3=3,所以函数y=x2-2x的值域为{-1,0,3}. 4.(多选)下列函数中,定义域为{x|x>1}的是 (　 ) A.y= B.y= C.y=+(3x-3)0 D.y=(2x-2)0 解析:选AC　A选项,依题可知x-1≠0,且2x-2≥0,所以x>1,故A正确;B选项,依题可知x-1≥0,所以x≥1,故B错误;C选项,依题可知x-1≥0,且3x-3≠0,所以x>1,故C正确;D选项,依题可知2x-2≠0,所以x≠1,故D错误. 5.函数f(x)=的定义域为 (　 ) A. B. C. D. 解析:选D　要使f(x)有意义,只需满足即x≤且x≠0. 6.已知函数y=f(x)的定义域为[-8,1],则函数g(x)=的定义域是 (　 ) A.(-∞,-2)∪(-2,3] B.[-8,-2)∪(-2,1] C. D.∪(-2,0] 解析:选D　因为函数y=f(x)的定义域为[-8,1],对于函数g(x)=有解得-≤x<-2或-2<x≤0. 所以函数g(x)的定义域为∪(-2,0]. 7.函数f(x)=的值域是 (　 ) A.(-∞,-1) 　　B.(1,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞) 　　D.(-∞,+∞) 解析:选C　∵f(x)==1-, 又x+1≠0,即≠0,∴f(x)≠1. 8.已知函数f(2x-1)的定义域为(0,1),则函数f(1-3x)的定义域是 (　 ) A. 　　B. C.(-1,1) 　　D. 解析:选D　因为函数f(2x-1)的定义域为(0,1),即x∈(0,1),所以-1<2x-1<1.所以函数f(x)的定义域为(-1,1).由-1<1-3x<1,得0<x<.所以函数f(1-3x)的定义域是.故选D. 9.(5分)已知函数f(x)=x2+|x-2|,则f(1)=　　　　.  解析:因为f(x)=x2+|x-2|,所以f(1)=12+|1-2|=2. 答案:2 10.(5分)函数y=的定义域为R,则a的取值范围为　　　　.  解析:当a=0时,1≥0恒成立,所以a=0符合题意;当a≠0时,由题意知⇒0<a≤4. 综上,a的取值范围为[0,4]. 答案:[0,4] 11.(5分)已知g(x)=1-2x,f(g(x))=(x≠0),则f=　　　　.  解析:令g(x)=,即1-2x=,则x=, 代入f(g(x))=(x≠0),可得f==15. 答案:15 12.(10分)求下列函数的定义域: (1)f(x)=(x+2)0+;(5分) (2)g(x)=.(5分) 解:(1)由题意得解得x≤1且x≠-2. 所以函数f(x)的定义域是(-∞,-2)∪(-2,1]. (2)由题意得解得x≥0且x≠3. 所以函数g(x)的定义域是[0,3)∪(3,+∞). 13.(10分)已知函数f(x)=. (1)求f(2)与f,f(3)与f;(3分) (2)由(1)中求得的结果,你能发现f(x)与f有什么关系吗?证明你的发现;(3分) (3)求f(2)+f+f(3)+f+…+f(2 024)+ f的值.(4分) 解:(1)由f(x)==1-, 得f(2)=1-=, f=1-=, f(3)=1-=,f=1-=. (2)由(1)中求得的结果发现f(x)+f=1. 证明如下:f(x)+f=+=+=1. (3)由(2)知f(x)+f=1, ∴f(2)+f=1,f(3)+f=1, f(4)+f=1,…,f(2 024)+f=1. ∴f(2)+f+f(3)+f+…+f(2 024)+f=2 023. 14.(10分)已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立. (1)求f(0)和f(1)的值;(5分) (2)若f(2)=a,f(3)=b(a,b均为常数),求f(36)的值.(5分) 解:(1)令x=y=0,则f(0)=2f(0),∴f(0)=0, 令x=y=1,则f(1)=2f(1),∴f(1)=0. (2)令x=2,y=3,则f(6)=f(2)+f(3)=a+b, 令x=y=6,则f(36)=2f(6)=2(a+b), ∴f(36)=2a+2b. 15.(10分)已知函数f(x)=x2-x+,是否存在实数m,使得函数的定义域和值域都是[1,m](m>1)?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 解:存在.理由如下: f(x)=x2-x+=(x-1)2+1的对称轴为x=1,顶点(1,1)且开口向上. ∵m>1,∴当x∈[1,m]时,y随x的增大而增大, ∴要使f(x)的定义域和值域都是[1,m], 则有 ∴m2-m+=m,即m2-4m+3=0, ∴m=3或m=1(舍去),∴存在实数m=3满足条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$