3.1.1 第1课时 函数的概念 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦函数的概念这一核心知识点，衔接初中变量依赖关系，通过集合语言和对应关系系统刻画函数定义，梳理定义域、值域等构成要素，明确同一个函数的判断标准，规范区间符号表示，并结合矩形面积等实例构建函数模型，形成层层递进的学习支架。 采用“逐点理清式”教学，通过“微点助解”解析函数定义的“三性”（任意性、存在性、唯一性），“微点练明”设计图象辨析、实际情境应用等题组，培养学生用数学眼光抽象概念、用数学思维推理判断的能力，课中助力教师系统授课，课后检测帮助学生查漏补缺，强化知识理解。

　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 3.1.1　函数的概念 第1课时　函数的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上,用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 2.了解构成函数的要素,能够正确使用“区间”的符号来表示某些集合. 逐点清(一)　函数的概念 [多维理解] 　　函数的定义及相关概念 对应关系 给定两个集合A,B为非空实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 对应关系 记作:y=f(x),x∈A 定义域 x的取值范围A 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A} |微|点|助|解| (1)定义域是非空的实数集A,但函数的值域不一定是非空实数集B,而是集合B的子集; (2)函数定义中强调“三性”:任意性、存在性、唯一性,即对于非空实数集A中的任意一个(任意性)元素x,在非空实数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应; (3)从对应的角度看,函数只有两种:一对一,多对一.一对多不是函数; (4)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一,不表示y等于f与x的乘积,f(x)也不一定是解析式,还可以是图象或表格,或其他的对应关系; (5)除f(x)外,有时还用g(x),u(x),F(x),G(x)等符号表示函数. [微点练明] 1.(多选)下列集合A到集合B的对应关系f是函数的是 (　 ) A.A={-1,0,1},B={0,1},f:A中的数平方 B.A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数开方 C.A=Z,B=Q,f:A中的数取倒数 D.A=R,B={x|x≥0},f:A中的数取绝对值 解析:选AD　按照函数定义,选项B中,集合A中的元素1对应集合B中的元素±1,不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件;选项C中,集合A中的元素0取倒数没有意义,也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应着唯一的函数值的要求;选项A和D符合函数的定义. 2.(多选)如图不能作为函数y=f(x)的图象的是 (　 ) 解析:选ABC　观察图象可知,A、B、C中任取一个x的值,y有可能有多个值与之对应,所以不是函数图象.D中图象是函数图象. 3.下表表示y是x的函数,则函数的值域是 (　 ) x x<2 2≤x≤3 x>3 y -1 0 1 A.{y|-1≤y≤1} 　B.R C.{y|2≤y≤3} 　D.{-1,0,1} 解析:选D　函数值只有-1,0,1,故值域为{-1,0,1}. 4.(多选)下列函数的定义域是R的是 (　 ) A.y=x+1 B.y=x2 C.y= D.y=2x 解析:选ABD　A中为一次函数,B中为二次函数,D中为正比例函数,定义域都为R;C中为反比例函数,定义域是{x|x≠0},不是R. 逐点清(二)　同一个函数 [多维理解] 　　同一个函数的概念 前提条件 (1)定义域相同;(2)对应关系完全一致 结论 这两个函数是同一个函数 |微|点|助|解| 　　判断两个函数是否为同一个函数的注意点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数,即使定义域与值域都分别对应相同,也不一定是同一函数. (2)函数是两个数集之间的对应关系,所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的. (3)在化简解析式时,必须是等价变形. [微点练明] 1.(多选)下列各组函数是同一个函数的是 (　 ) A.f(x)=x,g(x)=()2 B.f(x)=x,g(x)= C.f(n)=2n-1,g(n)=2n+1(n∈N) D.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1 解析:选BD　对于A,定义域不同;对于C,定义域、对应关系都不同;对于B、D,定义域与对应关系都相同. 2.判断下列各组中的两个函数是否为同一个函数: (1)f(x)=,g(x)=x-5; (2)y=·,y=. 解:(1)两函数定义域不同,所以不是同一个函数. (2)y=·的定义域为{x|-1≤x≤1},y=的定义域为{x|-1≤x≤1},即两者定义域相同.又因为y=·=,所以两函数的对应关系也相同.故y=·与y=是同一个函数. 逐点清(三)　区间的概念 [多维理解] 1.设a,b∈R,且a<b,规定如下: 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a,b] {x|a<x<b} 开区间 (a,b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a,b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a,b] 2.特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (-∞, +∞) [a,+∞) (a,+∞) (-∞,a] (-∞,a) |微|点|助|解| 　　对区间概念的理解 (1)区间的左端点必小于右端点; (2)区间符号里面的两个字母(或数字)之间用“,”隔开; (3)用数轴表示区间时,要特别注意属于这个区间端点的实数用实心点表示,不属于这个区间端点的实数用空心点表示; (4)无穷大(∞)是一个符号,不是一个数,因此它不具备数的一些性质和运算法则; (5)包含端点用闭区间,不包含端点用开区间,以“+∞”或“-∞”为区间的一个端点时,这一端必须是小括号. [微点练明] 1.集合{x|x<0或x≥1}用区间表示为 (　 ) A.(-∞,0)∪(1,+∞) 　B.(-∞,0)∪[1,+∞) C.(-∞,0)∩[1,+∞) 　D.(0,1] 答案:B 2.下列集合不能用区间的形式表示的个数为 (　 ) ①A={0,1,5,10};②{x|2<x<10,x∈N};③⌀;④{x|x是等边三角形};⑤{x|x≤0或x≥3};⑥{x|x>1,x∈Q}. A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选D　区间形式可以表示连续数集,是无限集.①②是自然数集的子集,③是空集为有限集,都不能用区间形式表示;④是等边三角形组成的集合,是图形的集合,不是数集;⑥Q是有理数集,数轴上大于1的有理数不是连续的,故只有⑤可以,区间形式为(-∞,0]∪[3,+∞).故选D. 3.已知[a,2-a2]为一确定区间,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-2,1)　B.(-1,2)　C.[-2,1]　D.[-1,2] 解析:选A　因为[a,2-a2]为一确定区间,所以a<2-a2⇒a2+a-2<0⇒-2<a<1. 4.已知函数f(x)与函数g(x)=是同一个函数,则函数f(x)的定义域用区间表示为　　 　　.  解析:因为f(x)与g(x)为同一个函数,则f(x)与g(x)的定义域相同,所以f(x)的定义域需满足则即x≤1且x≠0. 答案:(-∞,0)∪(0,1] 逐点清(四)　构建函数模型 [典例]　已知矩形的面积为10,如图所示,试借助该图形构建问题情境描述下列变量关系. (1)f(x)=;(2)f(x)=2x+; (3)f(x)=. 解:(1)设矩形的长为x,宽为f(x),那么f(x)=. 其中x的取值范围A={x|x>0},f(x)的取值范围B={f(x)|f(x)>0},对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的宽. (2)设矩形的长为x,周长为f(x), 那么f(x)=2x+. 其中x的取值范围A={x|x>0},f(x)的取值范围B={f(x)|f(x)≥4},对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的周长2x+. (3)设矩形的长为x,对角线长为f(x),那么f(x)=.其中x的取值范围A={x|x>0},f(x)的取值范围B={f(x)|f(x)≥2},对应关系f把每一个矩形的长x,对应到唯一确定的对角线长. |思|维|建|模| 构建问题情境的步骤 (1)综合考虑构建具体的实际问题. (2)赋予每个变量具体的实际意义. (3)根据变量关系,设计出所求的实际问题. 　　[针对训练] 　构建一个问题情境,使其中的变量关系能用解析式y=2来描述. 解:某企业生产一种产品的利润是投资额的算术平方根的2倍.设投资额为x,利润为y,那么y=2.其中x的取值范围A={x|x≥0},y的取值范围B={y|y≥0},对应关系f把每一笔投资额x对应到唯一确定的利润2. [课时检测] 1.下列说法正确的是 (　 ) A.函数的定义域可以是空集 B.函数的定义域和值域确定后,对应关系也就确定了 C.函数的定义域、值域都是非空的数集 D.函数值域中的每一个值在定义域中都有唯一确定的数与之对应 解析:选C　由函数定义知,定义域和值域都是非空的数集,故A错误,C正确;函数的定义域和值域确定后,可以有不同的对应关系,如y=|x|,y=x2,故B错误;函数值域中的每一个值在定义域中有一个或多个确定的数与之对应,故D错误. 2.(多选)下列图形是函数图象的是 (　 ) 解析:选BCD　A中至少存在一处如x=0,一个横坐标对应两个纵坐标,这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一,故A不是函数图象,B、C、D均符合函数定义. 3.区间(-3,2]用集合可表示为 (　 ) A.{-2,-1,0,1,2} B.{x|-3<x<2} C.{x|-3<x≤2} D.{x|-3≤x≤2} 答案:C 4.若A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列图形能表示以A为定义域,B为值域的函数的是 (　 ) 解析:选B　A中值域为{y|0≤y≤2},故错误;C、D中值域为{1,2},故错误,故选B. 5.函数y=f(x)的图象与直线x=2 023的交点 (　 ) A.至少有1个 B.至多有1个 C.仅有1个 D.可能有无数多个 解析:选B　当x在定义域内时,因为在定义域内任意取一个值,都有唯一的一个函数值f(x)与之对应,所以函数y=f(x)的图象与直线x=2 023有唯一交点;当x不在定义域内时,函数值f(x)不存在,函数y=f(x)的图象与直线x=2 023没有交点.故函数 y=f(x)的图象与直线x=2 023至多有一个交点. 6.(多选)已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},则下列对应关系中,可看作是从A到B的函数关系的是 (　 ) A.f:x→y=x B.f:x→y=x C.f:x→y=x D.f:x→y=x 解析:选ABC　根据函数的定义,对于D,在集合A中的部分元素,在集合B中没有元素与它对应,故不正确. 7.已知集合U=R,集合A={x|>2},B={y|y=x2+2},则A∩(∁UB)等于 (　 ) A.R B.(1,2] C.(1,2) D.[2,+∞) 解析:选C　解不等式>2,得x>1,即A=(1,+∞),y=x2+2≥2,即B=[2,+∞),于是得∁UB=(-∞,2).所以A∩(∁UB)=(1,2). 8.下列各组函数是同一个函数的是 (　 ) A.y=x+1与y= B.y=x2+1与s=t2+1 C.y=2x与y=2x(x≥0) D.y=(x+1)2与y=x2 解析:选B　对于A,前者定义域为R,后者定义域为{x|x≠1},不是同一函数;对于B,虽然变量不同,但定义域和对应关系均相同,是同一函数;对于C,虽然对应关系相同,但定义域不同,不是同一函数;对于D,虽然定义域相同,但对应关系不同,不是同一函数. 9.已知集合A={1,2,k},B={4,7,10},x∈A,y∈B,使B中元素y和A中元素x一一对应,对应关系为y=3x+1,则k的值为 (　 ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析:选C　根据对应关系为y=3x+1,知3×1+1=4,3×2+1=7,可得3×k+1=10.所以k=3. 10.(多选)记无理数π=3.141 592 6…小数点后第a位上的数字是b,则b是a的函数,记作b=f(a),定义域为A,值域为B,则下列说法正确的是 (　 ) A.值域B是定义域A的子集 B.函数图象f(a)是一群孤立的点 C.f(6)=2 D.a也是b的函数,记作a=f(b) 解析:选BC　对于A,根据题意可知定义域为A={a∈N*|a≥1},B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},因为0∈B,0∉A,所以值域B不是定义域A的子集,所以A错误.对于B、C,由题意可知数位a对应的数字依次为1,4,1,5,9,2,6,…,函数图象f(a)是一群孤立的点,f(6)=2,所以B、C正确.对于D,因为b=1时,a=1和3,不符合函数的定义,所以D错误. 11.(5分)已知集合A={x|5-x≥0},集合B={x||x|-3≠0},用区间表示集合A∩B=　　　　.  解析:∵A={x|5-x≥0},∴A={x|x≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x≠±3}.∴A∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x≤5},即A∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]. 答案:(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5] 12.(5分)若函数f(x)的定义域为[2a-1,a+1],值域为[a+3,4a],则a的取值范围为　　　　.  解析:由区间的定义知⇒1<a<2. 答案:(1,2) 13.(5分)试写出一个与函数y=x2定义域和值域都相同的函数,其函数可以为　　　　.  解析:函数y=x2与y=(x+1)2的定义域和值域都相同. 答案:y=(x+1)2(答案不唯一) 14.(10分)已知A={1,2,3},B={4,5},以A为定义域,以B为值域可以建立多少个不同的函数. 解:∵A={1,2,3},B={4,5},且集合A为定义域,集合B为值域,∴根据函数的定义可得集合B中的4或5在集合A中就一定有两个元素与之对应.若4在集合A中有两个元素与之对应,那就会有{1,2},{2,3},{1,3}这三种情况.同理,若5在集合A中有两个元素与之对应,也就会有{1,2},{2,3},{1,3}这三种情况.∴函数可以建立的个数为3+3=6. 15.(10分)对于三角形,你可能想到哪些量?如果一个三角形的周长不变,那么它的内切圆半径与面积之间是不是函数关系?如果是函数关系,请写出函数关系式.你还能举出其他的函数例子吗? 解:能想到三角形的边长和三个角的度数.内切圆半径与面积之间是函数关系,设三角形三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,三角形面积为S,则S=(a+b+c)r.设三角形周长为l,则l=a+b+c,故S=lr.另外对于一个三角形,若它的面积为定值,则该三角形内切圆半径与三角形周长之间为反比例关系,关系式如下:l=或r=. 学科网（北京）股份有限公司 $$