2.3 第3课时 一元二次不等式的应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

 

第3课时　一元二次不等式的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法(分式不等式的解法).

2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决.

3.会用判别式法、分离参数法、数形结合法等方法解决不等式恒成立问题.

 

题型(一)　简单分式不等式的解法

 [例1]　解下列不等式:

(1)<0;(2)≤1.

解:(1)<0⇔(x-3)(x+2)<0⇔-2<x<3,

∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}.

(2)∵≤1,∴-1≤0,

∴≤0,即≥0.

此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0,

解得x<或x≥4,

∴原不等式的解集为.

　　|思|维|建|模|　分式不等式的解法

(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零.

(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.

　　[针对训练]

1.解下列不等式:

(1)≥0;(2)<3.

解:(1)不等式≥0可转化成不等式组

解这个不等式组,可得x≤-1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.

(2)不等式<3可改写为-3<0,即<0.可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1.

所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}.

 

题型(二)　一元二次不等式恒成立问题

[例2]　对∀x∈R,不等式mx2-mx-1<0,求m的取值范围.

解:若m=0,显然-1<0恒成立;

若m≠0,则解得-4<m<0.

综上,m的取值范围为{m|-4<m≤0}.

　　[变式拓展]

1.在本例中,是否存在m∈R,使得∀x∈R,不等式mx2-mx-1>0?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:不存在.理由如下:

显然当m=0时不等式不成立;当m≠0时,由题意可得解得m∈⌀,所以不存在m∈R,使得∀x∈R,不等式mx2-mx-1>0.

2.在本例中,把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”,其余不变,求m的取值范围.

解:由不等式mx2-mx-1<0得m(x2-x)<1,

因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2-x>0,

所以m(x2-x)<1可化为m<,

因为x2-x=-≤6,

所以≥,所以m<.

故实数m的取值范围为.

|思|维|建|模|

(1)当未说明不等式为一元二次不等式时,有

①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或

②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或

(2)一元二次不等式 ax2+bx+c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立,等价于当m≤x≤n时,函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴的上方,而非等价于

　　[针对训练]

2.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是　　　　. 

解析:当k=1时,-1<0恒成立;当k≠1时,由题意得解得-3<k<1,因此实数k的取值范围是{k|-3<k≤1}.

答案:{k|-3<k≤1}

3.当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围.

解:令y=x2+mx+4,∵y<0在1≤x≤2上恒成立,∴y=0的根一个小于1,另一个大于2.如图,可得解得m<-5,