2.3 第3课时 一元二次不等式的应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦一元二次不等式的应用核心知识点，系统梳理分式不等式转化为整式不等式的解法，恒成立问题的判别式法、分离参数法等方法，以及实际问题中抽象数学模型的思路，构建从基础解法到综合应用的学习支架。 采用习题讲评式教学，通过例题变式、思维建模总结方法，结合电动车利润、绿化面积等实际案例，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。恒成立问题训练逻辑推理（数学思维），规范解题步骤提升数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后检测帮助学生查漏补缺。

第3课时　一元二次不等式的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 1.掌握与一元二次不等式相关的不等式解法(分式不等式的解法). 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 3.会用判别式法、分离参数法、数形结合法等方法解决不等式恒成立问题. 题型(一)　简单分式不等式的解法 [例1]　解下列不等式: (1)<0;(2)≤1. 解:(1)<0⇔(x-3)(x+2)<0⇔-2<x<3, ∴原不等式的解集为{x|-2<x<3}. (2)∵≤1,∴-1≤0, ∴≤0,即≥0. 此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0, 解得x<或x≥4, ∴原不等式的解集为. 　　|思|维|建|模|　分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意等价变形,保证分母不为零. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 　　[针对训练] 1.解下列不等式: (1)≥0;(2)<3. 解:(1)不等式≥0可转化成不等式组 解这个不等式组,可得x≤-1或x>3.即知原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}. (2)不等式<3可改写为-3<0,即<0.可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|-1<x<1}. 题型(二)　一元二次不等式恒成立问题 [例2]　对∀x∈R,不等式mx2-mx-1<0,求m的取值范围. 解:若m=0,显然-1<0恒成立; 若m≠0,则解得-4<m<0. 综上,m的取值范围为{m|-4<m≤0}. 　　[变式拓展] 1.在本例中,是否存在m∈R,使得∀x∈R,不等式mx2-mx-1>0?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:不存在.理由如下: 显然当m=0时不等式不成立;当m≠0时,由题意可得解得m∈⌀,所以不存在m∈R,使得∀x∈R,不等式mx2-mx-1>0. 2.在本例中,把条件“∀x∈R”改为“x∈{x|2≤x≤3}”,其余不变,求m的取值范围. 解:由不等式mx2-mx-1<0得m(x2-x)<1, 因为x∈{x|2≤x≤3},所以x2-x>0, 所以m(x2-x)<1可化为m<, 因为x2-x=-≤6, 所以≥,所以m<. 故实数m的取值范围为. |思|维|建|模| (1)当未说明不等式为一元二次不等式时,有 ①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立⇔或 (2)一元二次不等式 ax2+bx+c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立,等价于当m≤x≤n时,函数y=ax2+bx+c的图象恒在x轴的上方,而非等价于 　　[针对训练] 2.若关于x的不等式(k-1)x2+(k-1)x-1<0恒成立,则实数k的取值范围是　　　　.  解析:当k=1时,-1<0恒成立;当k≠1时,由题意得解得-3<k<1,因此实数k的取值范围是{k|-3<k≤1}. 答案:{k|-3<k≤1} 3.当1≤x≤2时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围. 解:令y=x2+mx+4,∵y<0在1≤x≤2上恒成立,∴y=0的根一个小于1,另一个大于2.如图,可得解得m<-5, ∴实数m的取值范围是{m|m<-5}. 题型(三)　一元二次不等式的实际应用 [例3]　某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么范围内? 解:(1)由题意,得y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1 000×(1+0.6x)(0<x<1), 整理得y=-60x2+20x+200(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加, 当且仅当 即解得0<x<, 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x应满足. |思|维|建|模| 　　解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,即分析题目中有哪些未知量,然后选择其中起关键作用的未知量,设此未知量为x,用x来表示其他未知量,再根据题目中的不等关系列不等式. 　　[针对训练] 4.如图所示,某学校要在长为8 m,宽为6 m的一块矩形地面上进行绿化,计划四周种植花卉,花卉带的宽度相同,均为x m,中间种植草坪. (1)若中间草坪的面积为矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x是多少? (2)为了美观,要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x的取值范围是多少? 解:由题意,中间草坪的长为8-2x>0,宽为6-2x>0,且x>0,中间草坪的面积为(8-2x)(6-2x),矩形土地的面积为6×8=48. (1)因为中间草坪的面积为矩形土地面积的一半, 所以解得x=1. 所以若中间草坪的面积为矩形土地面积的一半,则花卉带的宽度x是1. (2)因为草坪的面积大于矩形土地面积的一半, 所以解得0<x<1. 所以花卉带的宽度x的取值范围是(0,1). [课时检测] 1.(多选)与不等式≥0同解的不等式是 (　 ) A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1 C.≤0 D.(x-3)(2-x)>0 解析:选BC　不等式≥0可化为≤0,∴解得2<x≤3, ∴0<x-2≤1.故选BC. 2.不等式<0的解集为 (　 ) A.{x|-1<x<2或2<x<3} B.{x|1<x<3} C.{x|2<x<3} D.{x|-1<x<2} 解析:选A　原不等式⇔ 所以-1<x<3且x≠2. 3.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的取值范围是 (　 ) A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4} 解析:选D　当a=0时,满足条件;当a≠0时,由得0<a≤4,所以0≤a≤4. 4.已知命题“∃x∈R,使2x2+(a-1)x+≤0”是假命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.{a|a<-1} B.{a|-1<a<3} C.{a|a>-3} D.{a|-3<a<1} 解析:选B　原命题是假命题,则其否定是真命题,即∀x∈R,2x2+(a-1)x+>0恒成立,故判别式(a-1)2-4<0,解得-1<a<3.故选B. 5.已知不等式-x2+4x≥a2-3a在R上有解,则实数a的取值范围为 (　 ) A.{a|-1≤a≤4} 　B.{a|-1<a<4} C.{a|a≥4或a≤-1} 　D.{a|-4≤a≤1} 解析:选A　由题意知,原不等式可化为-(x-2)2+4≥a2-3a在R上有解, ∴a2-3a≤4,即(a-4)(a+1)≤0, 解得-1≤a≤4. 6.(多选)若“∃x∈R,ax2+ax+1≤0”为假命题,则a的值可能为 (　 ) A.-1 B.0 C.2 D.4 解析:选BC　“∃x∈R,ax2+ax+1≤0”为假命题,则“∀x∈R,ax2+ax+1>0”为真命题, 当a=0时,1>0,符合题意, 当a≠0时,解得0<a<4, ∴0≤a<4,故a的值可能为0,2. 7.某种杂志原以每本3元的价格销售,可以售出10万本.根据市场调查,杂志的单价每提高0.1元,销售量就减少1 000本.设每本杂志的定价为x元,要使得提价后的销售总收入不低于42万元,则x应满足 (　 ) A.6≤x≤7 B.5≤x≤7 C.5≤x≤6 D.4≤x≤6 解析:选A　设提价后杂志的定价为x元,则提价后的销售量为10-×0.1万本,因为销售的总收入不低于42万元,列不等式为x≥42,即(x-6)(x-7)≤0,即6≤x≤7,故选A. 8.(5分)已知关于x的不等式x2-ax+a+3≥0在R上恒成立,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:由题意Δ=a2-4(a+3)≤0,解得-2≤a≤6. 答案:{a|-2≤a≤6} 9.(5分)某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位:天)的关系式是y1=t+10(0<t≤30,t∈N);销售量y2与时间t的关系式是y2=-t+35(0<t≤30,t∈N),则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为　　　　.  解析:z=(t+10)(-t+35),依题意有(t+10)·(-t+35)≥500,解得10≤t≤15,t∈N,所以t的取值范围为{t|10≤t≤15,t∈N}. 答案:{t|10≤t≤15,t∈N} 10.(5分)若关于x的不等式>0的解集为{x|x<-1或x>4},则实数a=　　　　.  解析:由题意知,不等式的解集为{x|x<-1或x>4},故(x-a)(x+1)>0⇔(x+1)(x-4)>0,故a=4. 答案:4 11.(5分)某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份增长x%,八月份销售额比七月份增长x%,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等.若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元,则x的最小值是　　　　.  解析:由题意,得3 860+500+[500(1+x%)+500(1+x%)2]×2≥7 000,化简得(x%)2+3·x%-0.64≥0,解得x%≥0.2或x%≤-3.2(舍去),所以x≥20,即x的最小值为20. 答案:20 12.(10分)对于1≤x≤3,mx2-mx-1<-m+5恒成立,求m的取值范围. 解:当1≤x≤3时,mx2-mx-1<-m+5恒成立, 即当1≤x≤3时,m(x2-x+1)-6<0恒成立. ∵x2-x+1=+>0,∴m<. ∵当1≤x≤3时,=, x=3时,其最小值为,∴只需m<即可. 故m的取值范围是. 13.(10分)某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时. [注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价)] (1)写出本年度电价下调后,电力部门的收益y与实际电价x的关系式;(5分) (2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?(5分) 解:(1)设下调后的电价为x元/千瓦时, 依题意知用电量增至+a,电力部门的收益为y=(x-0.3)(0.55≤x≤0.75). (2)依题意有(x-0.3)≥[a×(0.8-0.3)](1+20%),且0.55≤x≤0.75, 整理得 解得0.6≤x≤0.75. 故当电价最低定为0.6元/千瓦时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%. 14.(10分)不等式x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立,求实数λ的取值范围. 解:因为x2+8y2≥λy(x+y)对于任意的x,y∈R恒成立, 所以x2+8y2-λy(x+y)≥0对于任意的x,y∈R恒成立,即x2-λyx+(8-λ)y2≥0恒成立, 由二次不等式的性质可得,Δ=λ2y2+4(λ-8)y2=y2(λ2+4λ-32)≤0, 所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4. 故实数λ的取值范围是{λ|-8≤λ≤4}. 15.(10分)已知集合{x∈R|x2-(k+2)x-3k+1≥0}={x|x≤-1或x≥5}. (1)求实数k的值;(3分) (2)已知t<2,若不等式x2-(k+2)x-3k-m2+4m+15≥0在t≤x≤4上恒成立,求实数m的取值范围.(7分) 解:(1)由题意可知,-1和5是方程x2-(k+2)x-3k+1=0的两个根,所以由根与系数的关系得解得k=2. (2)由(1)知,k=2,原不等式可化为 x2-4x+9-m2+4m≥0, 所以x2-4x≥m2-4m-9在t≤x≤4(t<2)上恒成立,令y=x2-4x=(x-2)2-4, 因为t≤x≤4(t<2),所以ymin=-4, 所以不等式恒成立等价于m2-4m-9≤-4, 即m2-4m-5≤0,解得-1≤m≤5, 故实数m的取值范围为{m|-1≤m≤5}. 学科网（北京）股份有限公司 $$