2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的关系，先明确一元二次不等式概念及二次函数零点定义，再通过判别式Δ分类梳理二次函数图象、方程根的情况与不等式解集的对应关系，构建“函数-方程-不等式”的完整知识支架。 采用梯度进阶式教学设计，从基础落实训练到不含参数、含参数不等式解法及三个“二次”关系应用，培养学生几何直观（图象分析解集）、推理能力（分类讨论参数）和规范表达（集合表示结果）。课中助力教师分层授课，课后学生可通过例题解析与检测题查漏补缺，强化知识掌握。

第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及个数,了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系. 2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.一元二次不等式的概念 (1)一元二次不等式的定义及一般形式 定义 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式 一般形式 ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0 (2)二次函数的零点 一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点. 2.一元二次函数与方程、不等式的解的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ⌀ ⌀ |微|点|助|解| (1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集; (2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集. (3)从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 ①函数的角度:一元二次不等式ax2+bx+c>0表示二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0,图象在x轴的上方;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围. ②方程的角度:一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)mx2+5x+3<0是一元二次不等式. (　 ) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}(x1<x2),则必有a>0. (　 ) (3)函数y=ax2+bx+c的零点就是函数图象与x轴的交点. (　 ) (4)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<x1或x>x2}(x1<x2),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2. (　 ) (5)若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　 ) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)× 2.不等式2x2-x-1>0的解集是 (　 ) A. B.{x|x<1或x>2} C.{x|x>1} D. 解析:选A　原不等式可化为(2x+1)(x-1)>0,所以x<-或x>1,故选A. 3.若不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|2<x<3},则a,c的值分别为　　　　,　 　　.  解析:由题意知,方程ax2+5x+c=0的两根为x1=2,x2=3,由根与系数的关系得x1+x2=2+3=-,x1x2=2×3=,解得a=-1,c=-6. 答案:-1　-6 题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法 [例1]　解下列不等式: (1)-2x2+x-6<0; (2)-x2+6x-9≥0; (3)x2-2x-3>0. 解:(1)原不等式可化为2x2-x+6>0. 因为方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0,所以函数y=2x2-x+6的图象开口向上,与x轴无交点(如图1所示). 观察图象可得,原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2-6x+9≤0, 即(x-3)2≤0, 函数y=(x-3)2的图象如图2所示, 根据图象可得,原不等式的解集为{3}. (3)方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1,x2=3. 函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线, 与x轴有两个交点(-1,0)和(3,0),如图3所示. 观察图象可得不等式的解集为{x|x<-1或x>3}. 　　 图1　　　　 图2　　　　　图3 |思|维|建|模| 解一元二次不等式的一般方法和步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式. (2)计算对应方程的判别式,判断方程根的情况. (3)求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根. (4)利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集. 　　[针对训练] 1.不等式-2x2+x+3<0的解集是 (　 ) A.{x|x<-1} 　　B. C. 　　D. 解析:选D　不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0,因为Δ=(-1)2-4×2×(-3)=25>0,所以方程2x2-x-3=0的两根为x1=-1,x2=,又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上,所以不等式-2x2+x+3<0的解集是,故选D. 2. 解不等式:-2<x2-3x≤10. 解:原不等式等价于不等式组 不等式①可化为x2-3x+2>0,即(x-1)(x-2)>0,解得x>2或x<1.不等式②可化为x2-3x-10≤0,即(x-5)(x+2)≤0,解得-2≤x≤5. 故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2<x≤5}. 题型(二)　含参数的一元二次不等式的解法 [例2]　解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax. 解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0. ①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1. ②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0, 解得x≥或x≤-1. ③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0. 当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤; 当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意; 当<-1,即-2<a<0时,解得≤x≤-1. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为{x|x≤-1}; 当a>0时,不等式的解集为; 当-2<a<0时,不等式的解集为; 当a=-2时,不等式的解集为{-1}; 当a<-2时,不等式的解集为. 　|思|维|建|模|　解含参数的一元二次不等式的步骤 讨论二次项系数 二次项系数若含有参数,应讨论是小于0,还是大于0,若小于0,则将不等式转化为二次项系数为正的形式 判断方程根的个数 判断方程根的个数,讨论判别式Δ与0的关系 写出解集 确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式 　　[针对训练] 3.解关于x的不等式x2-(3a-1)x+(2a2-2)>0. 解:原不等式可化为[x-(a+1)][x-2(a-1)]>0, 讨论a+1与2(a-1)的大小. ①当a+1>2(a-1),即a<3时,不等式的解为x>a+1或x<2(a-1). ②当a+1=2(a-1),即a=3时,不等式的解为x≠4. ③当a+1<2(a-1),即a>3时,不等式的解为x>2(a-1)或x<a+1.综上,当a<3时,不等式的解集为{x|x>a+1或x<2(a-1)}, 当a=3时,不等式的解集为{x|x≠4},当a>3时,不等式的解集为{x|x>2(a-1)或x<a+1}. 题型(三)　三个“二次”之间的关系 [例3]　已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3},求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集. 解:由不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0,且2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可知=-5,=6. 由a<0知c<0,=-, 故不等式cx2+bx+a<0,即x2+x+>0, 即x2-x+>0,解得x<或x>,所以不等式cx2+bx+a<0的解集为. 　　[变式拓展] 1.若本例中条件不变,求关于x的不等式cx2-bx+a>0的解集. 解:由根与系数的关系知=-5,=6且a<0. ∴c<0,=-,故不等式cx2-bx+a>0, 即x2-x+<0, 即x2+x+<0,解得-<x<-, 故不等式cx2-bx+a>0的解集为 . 2.若将本例中的条件“关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是”,则不等式cx2+bx+a<0的解集为　　　　.  解析:法一　由ax2+bx+c≥0的解集为知a<0.又×2=<0,则c>0. 又-,2为方程ax2+bx+c=0的两个根, ∴-=,∴=-. 又=-,∴b=-a,c=-a, ∴不等式cx2+bx+a<0变为x2+x+a<0,即2ax2+5ax-3a>0. 又∵a<0,∴2x2+5x-3<0, 故不等式cx2+bx+a<0的解集为 . 法二　由已知得a<0且+2=-,×2=,∴c>0, 设方程cx2+bx+a=0的两根分别为x1,x2, 则x1+x2=-,x1·x2=, 其中==-,-===-,∴x1=-3,x2=. ∴不等式cx2+bx+a<0的解集为. 答案: |思|维|建|模| 　　已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0)的解集,求解其他不等式的解集时,一般遵循 (1)根据解集来判断二次项系数的符号. (2)根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式. (3)约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解. 　　[针对训练] 4.(多选)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},则下列说法正确的是 (　 ) A.a>0 B.不等式bx+c>0的解集为{x|x>-12} C.不等式cx2-bx+a<0的解集为 D.a+b+c>0 解析:选AC　因为不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},所以a>0,A正确;方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-3,x2=4,由根与系数的关系得即b=-a,c=-12a,bx+c>0等价于-ax-12a>0,所以x<-12,B错误;不等式cx2-bx+a<0等价于-12ax2+ax+a<0,即12x2-x-1>0,解得x<-或x>,C正确;因为b=-a,c=-12a,所以a+b+c=-12a<0,D错误. 5.若关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n},则实数n的值为　　　　.  解析:∵关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n},∴x=0是方程(x+1)(x-3)=m的解,∴m=-3.∴原不等式为(x+1)(x-3)<-3,即x2-2x<0,解得0<x<2.故不等式的解集为{x|0<x<2},∴n=2. 答案:2 [课时检测] 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c>0的解集是 (　 ) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1} C.{x|-2≤x≤1} D.{x|x≤-2或x≥1} 解析:选A　由二次函数图象知ax2+bx+c>0的解集是{x|-2<x<1}. 2.(2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|x2-x-6≥0},则M∩N= (　 ) A.{-2,-1,0,1} B.{0,1,2} C.{-2} D.{2} 解析:选C　因为N={x|x2-x-6≥0}={x|x≥3或x≤-2},所以M∩N={-2},故选C. 3.不等式4+3x-x2<0的解集为 (　 ) A.{x|-1<x<4} B.{x|x>4或x<-1} C.{x|x>1或x<-4} D.{x|-4<x<1} 解析:选B　不等式4+3x-x2<0可化为x2-3x-4>0,即(x+1)(x-4)>0,解得x>4或x<-1. 故不等式的解集为{x|x>4或x<-1}. 故选B. 4.设m+n>0,则关于x的不等式(m-x)(n+x)>0的解集是 (　 ) A.{x|x<-n或x>m} B.{x|-n<x<m} C.{x|x<-m或x>n} D.{x|-m<x<n} 解析:选B　方程(m-x)(n+x)=0的两根为m,-n,因为m+n>0,所以m>-n,结合函数y=(m-x)(n+x)的图象(图略),得不等式的解集是{x|-n<x<m}. 5.若不等式ax2+5x-2>0的解集是,则a的值为 (　 ) A.- B.2 C.-2 D. 解析:选C　因为不等式ax2+5x-2>0的解集为,所以,2为方程ax2+5x-2=0的两根,所以根据根与系数的关系可得×2=-,所以a=-2. 6.不等式mx2-ax-1>0(m>0)的解集可能是 (　 ) A. B.R C. D.⌀ 解析:选A　因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2-ax-1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B、C、D,故选A. 7.关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2},且x2-x1=15,则a= (　 ) A. B. C. D. 解析:选A　由条件知x1,x2为方程x2-2ax-8a2=0的两根,则x1+x2=2a,x1x2=-8a2,故(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2a)2-4×(-8a2)=36a2=152,解得a=,故选A. 8.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为 (　 ) A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2} 解析:选B　根据给出的定义得,x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1),又x☉(x-2)<0,则(x+2)(x-1)<0,故不等式的解集是{x|-2<x<1}. 9.(5分)不等式x2-4x+4>0的解集是　　　　.  解析:原不等式可化为(x-2)2>0,所以x≠2. 答案:{x|x≠2} 10.(5分)若0<a<1,则不等式(a-x)>0的解集是　　　　.  解析:原不等式等价于(x-a)<0,由0<a<1,得a<,所以a<x<. 答案: 11.(5分)关于x的不等式ax-b<0的解集是{x|x>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是　　　　.  解析:因为关于x的不等式ax-b<0的解集是{x|x>1},所以不等式ax<b的解集是{x|x>1},所以a=b<0,所以不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3,所以该不等式的解集是{x|-1<x<3}. 答案:{x|-1<x<3} 12.(5分)关于x的不等式(mx-1)(x-2)>0,若此不等式的解集为,则m的取值范围是　　　　.  解析:∵不等式(mx-1)(x-2)>0的解集为,∴方程(mx-1)(x-2)=0的两个实数根为和2,且解得m<0,∴m的取值范围是{m|m<0}. 答案:{m|m<0} 13.(5分)已知集合A={-5,-1,2,4,5},请写出一个一元二次不等式,使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素,这个不等式可以是　　　　　　.  解析:因为不等式(x+4)(x-6)>0的解集为{x|x>6或x<-4},解集中只有-5在集合A中,所以符合题意. 答案:(x+4)(x-6)>0(答案不唯一) 14.(10分)解下列不等式: (1)2+3x-2x2>0;(3分) (2)x(3-x)≤x(x+2)-1;(3分) (3)x2-2x+3>0.(4分) 解:(1)原不等式可化为2x2-3x-2<0, 所以(2x+1)(x-2)<0,解得-<x<2, 故原不等式的解集是. (2)原不等式可化为2x2-x-1≥0, 所以(2x+1)(x-1)≥0,解得x≤-或x≥1, 故原不等式的解集为. (3)因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0, 所以原不等式的解集是R. 15.(10分)解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R). 解:原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,解集为⌀; ③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,不等式的解集为{x|-a<x<2a};当a=0时,不等式的解集为⌀;当a<0时,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 16.(10分)已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为. (1)求a,c的值;(5分) (2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.(5分) 解:(1)由题意知,不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根为和, 由根与系数的关系,得 解得a=-6,c=-1. (2)由a=-6,c=-1知不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0, 即3x2-4x+1≤0,解得≤x≤1, 所以不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$