2.3 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第2课时　二次函数与一元二次方程、不等式

 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.会结合一元二次函数的图象,判断一元二次方程实数根的存在性及个数,了解二次函数的零点与一元二次方程根的关系.

2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.

3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.

　　　　　　　　　　　　　　　　

1.一元二次不等式的概念

(1)一元二次不等式的定义及一般形式

(2)二次函数的零点

一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.

2.一元二次函数与方程、不等式的解的关系

|微|点|助|解|

(1)若不等式对应的一元二次不等式能因式分解,可直接利用“大于取两边,小于取中间”的方法得到不等式的解集;

(2)不等式的解集必须写成集合的形式,若不等式无解,则应说解集为空集.

(3)从两个角度看三个“二次”之间的内在联系

①函数的角度:一元二次不等式ax2+bx+c>0表示二次函数y=ax2+bx+c的函数值大于0,图象在x轴的上方;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围.

②方程的角度:一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)mx2+5x+3<0是一元二次不等式. (　 )

(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}(x1<x2),则必有a>0. (　 )

(3)函数y=ax2+bx+c的零点就是函数图象与x轴的交点. (　 )

(4)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<x1或x>x2}(x1<x2),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.              (　 )

(5)若方程ax2+bx+c=0没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R. (　 )

答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×

2.不等式2x2-x-1>0的解集是 (　 )

A.

B.{x|x<1或x>2}

C.{x|x>1}

D.

解析:选A　原不等式可化为(2x+1)(x-1)>0,所以x<-或x>1,故选A.

3.若不等式ax2+5x+c>0的解集为{x|2<x<3},则a,c的值分别为　　　　,　 　　. 

解析:由题意知,方程ax2+5x+c=0的两根为x1=2,x2=3,由根与系数的关系得x1+x2=2+3=-,x1x2=2×3=,解得a=-1,c=-6.

答案:-1　-6

题型(一)　不含参数的一元二次不等式的解法

[例1]　解下列不等式:

(1)-2x2+x-6<0;

(2)-x2+6x-9≥0;

(3)x2-2x-3>0.

解:(1)原不等式可化为2x2-x+6>0.