2.2 第1课时 基本不等式 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦基本不等式核心知识点，系统梳理其定义（a,b>0时算术平均数≥几何平均数）、常用变形（ab≤(a+b)²/4等）及求最值的“一正二定三相等”条件，构建从概念理解到变形应用，再到比较大小、证明不等式的递进式学习支架。 资料采用梯度进阶式教学设计，通过基础训练巩固概念，分题型（直接求最值、比较大小、证明不等式）配例题与思维建模，培养学生推理能力与运算能力。课中助力教师系统授课，课后检测与针对训练帮助学生查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0),掌握基本不等式的变形及应用. 2.能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式. 1.基本不等式 (1)如果a>0,b>0,则≤,当且仅当a=b时,等号成立. 其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数. (2)基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.常用变形 (1)ab≤,a,b∈R,当且仅当a=b时,等号成立. (2)a+b≥2 ,a,b都是正数,当且仅当a=b时,等号成立. |微|点|助|解| (1)基本不等式≥中,要求a,b都是正实数. (2)基本不等式成立的条件是a>0,b>0,而重要不等式中的a,b是实数.事实上,当a>0,b>0时,我们分别用,代替重要不等式中的a,b,即得a+b≥2 ,变形可得≥ . (3)基本不等式中的a,b的取值既可以是某个具体的正数,也可以是一个代数式,但是代数式的结果应为正数. 3.用基本不等式求最值的结论 (1)设x,y为正实数,若xy=P(积P为定值),则当x=y=时,和x+y有最小值为2. (2)设x,y为正实数,若x+y=S(和S为定值),则当x=y=时,积xy有最大值为. 4.三个关键点:一正、二定、三相等 (1)一正:各项必须为正; (2)二定:各项之和或各项之积为定值; (3)三相等:必须验证取等号成立时的条件是否具备. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2 . (　 ) (2)6和8的几何平均数为2. (　 ) (3)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 均成立. (　 ) (4)若a≠0,则a+≥2 =2. (　 ) 答案:(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× 2.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 (　 ) A.a=±1 B.a=1 C.a=-1 D.a=0 解析:选B　当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立. 3.设a>b>0,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a-b<0 B.0<<1 C.< D.ab>a+b 解析:选C　∵a>b>0,由基本不等式知<一定成立. 4.(多选)当a,b∈R时,下列不等关系不成立的是 (　 ) A.≥ B.a-b≥2 C.a2+b2≥2ab D.a2-b2≥2ab 解析:选ABD　根据≥ab,≥成立的条件判断,知A、B、D错误,只有C正确. 题型(一)　直接利用基本不等式求最值 [例1]　(1)已知实数x<0,求x+的最大值. (2)若+=2(x>0,y>0),求xy的最小值. 解:(1)因为x<0,所以-x>0, 所以x+=- ≤-2=-2. 当且仅当-x=-,即x=-1时等号成立, 所以x+的最大值为-2. (2)因为x>0,y>0,所以+≥2,当且仅当=,+=2(x>0,y>0), 即x=1,y=1时取等号,所以2≤2,xy≥1,故xy的最小值是1. 　　|思|维|建|模| (1)求“和”式的最小值,一般运用变形a+b≥2,这时必须确保“积”是定值(a>0,b>0). (2)求“积”式的最大值,一般运用变式ab≤,这时必须确保“和”是定值(a>0,b>0). (3)注意检验等号成立的条件是否满足,若不满足,则不可直接运用基本不等式.　 　　[针对训练] 1.已知x>0,则x-4+的最小值为 (　 ) A.-2 B.0 C.1 D.2 解析:选B　∵x>0,∴x+-4≥2-4=0,当且仅当x=,即x=2时,等号成立. 2.已知a>0,b>0,且ab=9a+b,则ab的最小值为　　　　.  解析:因为a>0,b>0,所以ab=9a+b≥2=6,即ab≥6,解得ab≥36,当且仅当9a=b,即a=2,b=18时,等号成立. 答案:36 题型(二)　利用基本不等式比较大小 [例2]　设0<a<b,则下列不等式正确的是 (　 ) A.a<b<< B.a<<<b C.a<<b< D.<a<<b 解析:选B　法一　∵0<a<b,∴a<<b,排除A、C两项. 又-a=(-)>0,即>a,排除D项,故选B. 法二　取a=2,b=8,则=4,=5, 所以a<<<b. 故选B. [例3]　已知m=a+(a>2),n=2-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是　　　　.  解析:因为a>2,所以a-2>0, 又因为m=a+=(a-2)++2,所以m≥2+2=4,当且仅当a-2=,即a=3时,等号成立.由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=2-b2<2<4,综上可知m>n. 答案:m>n |思|维|建|模| 利用基本不等式比较大小的注意事项 (1)利用基本不等式比较大小,常常要注意观察其形式(和与积). (2)利用基本不等式时,一定要注意条件是否满足a>0,b>0. 　　[针对训练] 3.设0<a<b,且a+b=1,在下列四个数中最大的是 (　 ) A. B.b C.2ab D.a2+b2 解析:选B　∵ab<,∴ab<,∴2ab<. ∵>>0,∴>, ∴a2+b2>.∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大. 4.已知a,b,c是两两不等的实数,则a2+b2+c2与ab+bc+ac的大小关系是　　　　　　.  解析:∵a,b,c互不相等,∴a2+b2>2ab,b2+c2>2bc,a2+c2>2ac.∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2>ab+bc+ac. 答案:a2+b2+c2>ab+bc+ac 题型(三)　利用基本不等式证明不等式 [例4]　已知a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1. 求证:++>9. 证明:∵a,b,c是互不相等的正数,且a+b+c=1, ∴++=++ =3++++++ =3+++>3+2+2+2=3+2+2+2=9. ∴++>9. 　　[变式拓展] 　本例条件不变,求证:>8. 证明:∵a,b,c是互不相等的正数, 且a+b+c=1,∴-1=>0, -1=>0,-1=>0, ∴ =··>=8. ∴>8. 　　|思|维|建|模| 利用基本不等式证明不等式的两种题型及解题思路 无附加条件 观察要证不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式,则要结合左、右两边的结构特征,进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等,使之满足使用基本不等式的条件 有附加条件 观察已知条件与要证不等式之间的关系,条件的巧妙代换是一种较为重要的变形.另外,解题过程中要时刻注意等号能否取到 　　[针对训练] 5.已知a>0,b>0,求证:+≥a+b. 证明:∵a>0,b>0, ∴+b≥2=2a,+a≥2=2b, ∴+b++a≥2a+2b, ∴+≥a+b,当且仅当a=b时,等号成立. [课时检测] 1.(多选)下列条件可使+≥2成立的有 (　 ) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0,b>0 D.a<0,b<0 解析:选ACD　根据基本不等式的条件,a,b同号,则>0,>0. 2.设t=a+2b,s=a+b2+1,则t与s的大小关系是 (　 ) A.s≥t B.s>t C.s≤t D.s<t 解析:选A　∵b2+1≥2b(当且仅当b=1时等号成立),∴a+2b≤a+b2+1.∴t≤s. 3.下列不等式正确的是 (　 ) A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 解析:选D　若a<0,则a+≥4不成立,故A错误;若a=1,b=1,则a2+b2<4ab,故B错误;若a=4,b=16,则<,故C错误;由基本不等式可知D正确. 4.(多选)设a,b∈R,且a≠b, a+b=2,则必有 (　 ) A.ab>1 B.ab<1 C.<1 D.>1 解析:选BD　由基本不等式可得ab≤, a≠b,所以ab<1, 又1==<=(a2+b2),所以(a2+b2)>1,所以 ab<1<(a2+b2) ,所以A不符合题意,B正确,C不符合题意,D正确,故选BD. 5.如果0<a<b<1,P=,Q=,M=,那么P,Q,M的大小顺序是 (　 ) A.P>Q>M B.M>P>Q C.Q>M>P D.M>Q>P 解析:选B　∵a>0,b>0,∴≥ ,当且仅当a=b时,等号成立,又∵0<a<b,∴取不到等号,∴>,即P>Q.又()2-=a+b-=,0<a<b<1,∴a+b>0,4-a-b>0,∴()2->0,∴>,即M>P.综上,M>P>Q. 6.两个工厂生产同一种产品,其产量分别为a,b(0<a<b).为便于调控生产,分别将=1,=,=中x(x>0)的值记为A,G,H并进行分析.则A,G,H的大小关系为 (　 ) A.H<G<A B.G<H<A C.A<G<H D.A<H<G 解析:选A　由=1得x-a=b-x,解得x=,即A=;由=得x2-ax=ab-ax,解得x=,即G=;由=得bx-ab=ab-ax,解得x=,即H=≤=.又≥,∴≤≤,当且仅当a=b时,等号成立.∴H<G<A. 7.(多选)设a>0,b>0,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a+b+≥2 B.≤ C.≥ D.(a+b)≥4 解析:选ABD　因为a>0,b>0,所以a+b+≥2 +≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时,等号成立,故A一定成立.由作差比较法,-=≥0,可知≤,故B一定成立.因为a+b≥2 >0,所以≤=,当且仅当a=b时,等号成立,故C不一定成立.因为(a+b)·=2++≥4,当且仅当a=b时,等号成立,故D一定成立. 8.(5分)下列不等式:①a2+1>2a;②≥2;③≤2;④x2+≥1.其中正确的个数是　　　　.  解析:由基本不等式可知②④正确. 答案:2 9.(5分)不等式+(x-2)≥6(其中x>2)中等号成立的条件是　　　　　.   解析:当x>2时,+(x-2)≥2=6,等号成立的条件是 =x-2,即(x-2)2=9,解得x=5(x=-1舍去). 答案:x=5 10.(5分)比较大小:　　　　2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)  解析:由题意,得≥1,==+≥2,当且仅当=,即x=0时,等号成立. 答案:≥ 11.(5分)若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是　　　　(写出所有正确命题的序号).①ab≤1;②+≤;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤+≥2.  解析:因为a>0,b>0,所以a+b=2≥2,所以ab≤1,故①正确;左边平方可得(+)2=a+b+2≤2+2=4,所以+≤2,故②错误;因为a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab,由①知ab≤1,所以a2+b2≥4-2=2,故③正确;a3+b3=(a+b)·(a2-ab+b2)=2×[(a+b)2-3ab]=8-6ab≥8-6=2,故④错误;+==≥2,故⑤正确.故本题正确答案为①③⑤. 答案:①③⑤ 12.(10分)已知a,b,c都是非负实数,试比较++与(a+b+c)的大小. 解:由≤,得≥(a+b). 同理得≥(b+c),≥(a+c). 所以++≥[(a+b)+(b+c)+(c+a)]=(a+b+c). 故++≥(a+b+c), 当且仅当a=b=c时,等号成立. 13.(10分)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证:a+b+c>++. 证明:∵a>0,b>0,c>0,∴≥,≥,≥.∴++≥++,即a+b+c≥++.由于a,b,c不全相等,∴等号不成立,∴a+b+c>++. 14.(10分)已知a>b>c,你能比较出4与·(a-c)的大小吗? 解:(a-c)≥4,理由如下: 因为a-c=(a-b)+(b-c),所以[(a-b)+(b-c)]=2++, 又a>b>c,所以a-b>0,b-c>0, 所以+≥2,当且仅当=, 即b-c=a-b时,等号成立. 则2++≥4. 故(a-c)≥4. 15.(10分)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)a2+b2+c2≥;(5分) (2)++≥1.(5分) 证明:(1)由a+b+c=1,得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=1, 又由基本不等式可知当a,b,c均为正数时,2ab≤a2+b2,2ac≤a2+c2,2bc≤b2+c2, 当且仅当a=b=c=时,上述不等式等号均成立,所以a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3a2+3b2+3c2,即3(a2+b2+c2)≥1, 所以a2+b2+c2≥,当且仅当a=b=c=时,等号成立. (2)因为a,b,c均为正数, 所以+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,当且仅当a=b=c=时,不等式等号均成立, 则+++b+c+a≥2a+2b+2c, 即++≥a+b+c=1,当且仅当a=b=c=时,等号成立.所以++≥1. 学科网（北京）股份有限公司 $$