2.2 第1课时 基本不等式 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

 

2.2　基本不等式

第1课时　基本不等式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.掌握基本不等式≤(a>0,b>0),掌握基本不等式的变形及应用.

2.能熟练运用基本不等式来比较两个代数式的大小及证明不等式.

1.基本不等式

(1)如果a>0,b>0,则≤,当且仅当a=b时,等号成立.

其中叫做正数a,b的算术平均数,叫做正数a,b的几何平均数.

(2)基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

2.常用变形

(1)ab≤,a,b∈R,当且仅当a=b时,等号成立.

(2)a+b≥2 ,a,b都是正数,当且仅当a=b时,等号成立.

|微|点|助|解|

(1)基本不等式≥中,要求a,b都是正实数.

(2)基本不等式成立的条件是a>0,b>0,而重要不等式中的a,b是实数.事实上,当a>0,b>0时,我们分别用,代替重要不等式中的a,b,即得a+b≥2 ,变形可得≥ .

(3)基本不等式中的a,b的取值既可以是某个具体的正数,也可以是一个代数式,但是代数式的结果应为正数.

3.用基本不等式求最值的结论

(1)设x,y为正实数,若xy=P(积P为定值),则当x=y=时,和x+y有最小值为2.

(2)设x,y为正实数,若x+y=S(和S为定值),则当x=y=时,积xy有最大值为.

4.三个关键点:一正、二定、三相等

(1)一正:各项必须为正;

(2)二定:各项之和或各项之积为定值;

(3)三相等:必须验证取等号成立时的条件是否具备.

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)若a>0,b>0且a≠b,则a+b>2 . (　 )

(2)6和8的几何平均数为2. (　 )

(3)对任意a,b∈R,a2+b2≥2ab,a+b≥2 均成立. (　 )

(4)若a≠0,则a+≥2 =2. (　 )

答案:(1)√　(2)×　 (3)×　(4)×

2.不等式a2+1≥2a中等号成立的条件是 (　 )

A.a=±1 B.a=1 

C.a=-1 D.a=0

解析:选B　当a2+1=2a,即(a-1)2=0,即a=1时,等号成立.

3.设a>b>0,则下列不等式一定成立的是 (　 )

A.a-b<0 B.0<<1

C.< D.ab>a+b

解析:选C　∵a>b>0,由基本不等式知<一定成立.

4.(多选)当a,b∈R时,下列不等关系不成立的是 (　 )

A.≥  B.a-b≥2

C.a2+b2≥2ab  D.a2-b2≥2ab

解析:选ABD　根据≥ab,≥成立的条件判断,知A、B、D错误,只有C正确.

 

题型(一)　直接利用基本不等式求最值

 [例1]　(1)已知实数x<0,求x+的最大值.

(2)若+=2(x>0,y>0),求xy的最小值.

解:(1)因为x<0,所以-x>0,

所以x+=-

≤-2=-2.

当且仅当-x=-,即x=-1时等号成立,

所以x+的最大值为-2.

(2)因为x>0,y>0,所以+≥2,当且仅当=,+=2(x>0,y>0),

即x=1,y=1时取等号,所以2≤2,xy≥1,故xy的最小值是1.

　　|思|维|建|模|

(1)求“和”式的最小值,一般运用变形a+b≥2,这时必须确保“积”是定值(a>0,b>0).

(2)求“积”式的最大值,一般运用变式ab≤,这时必须确保“和”是定值(a>0,b>0).

(3)注意检验等号成立的条件是否满足,若不满足,则不可直接运用基本不等式.　

　　[针对训练]

1.已知x>0,则x-4+的最小值为 (　 )

A.-2 B.0

C.1 D.2