2.1 第2课时 不等式的性质及应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

 

第2课时　不等式的性质及应用 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.通过等式与不等式的差异,掌握等式和不等式的性质,能利用不等式的性质证明简单的不等式.

2.运用不等式的性质分析解决问题时,必须验证是否满足它成立的条件.

1.等式的基本性质

2.不等式的基本性质

3.不等式中的常用二级结论

(1)a>b,c<d⇒a-c>b-d.

(2)a+c>b⇒a>b-c.

(3)a>b>0,d>c>0⇒>.

(4)a>b,ab>0⇒<;a>b,ab<0⇒>.

(5)a>b,n∈N*,n>1且n为奇数⇒an>bn,>.

(6)a>b>0,c>0⇒>.

|微|点|助|解|

(1)性质3(可加性)是移项法则“不等式中任何一项的符号变成相反的符号后,可以把它从一边移到另一边”的依据.

(2)性质4(可乘性)在使用中要特别注意研究“乘数的符号”.

(3)性质5(同向可加性),即“同向不等式只能相加,不等号方向不变,不能相减”.

基础落实训练

1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)

(1)若>1,则a>b. (　 )

(2)a与b的差是非负实数, 可表示为a-b>0. (　 )

(3)∀x∈R,都有x2>x-1. (　 )

(4)a,b,c为实数,在等式中,若a=b,则ac=bc;在不等式中,若a>b,则ac>bc. (　 )

(5)a,b,c为实数,若ac2>bc2,则a>b. (　 )

答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√

2.已知a<0<b,则下列不等式恒成立的是 (　 )

A.a+b<0 B.<1

C.>1 D.>

答案:B

3.已知b<2a,3d<c,则下列不等式一定成立的是 (　 )

A.2a-c>b-3d B.2ac>3bd

C.2a+c>b+3d D.2a+3d>b+c

解析:选C　由于b<2a,3d<c,则由不等式的性质得b+3d<2a+c,故选C.

 

题型(一)　利用不等式性质判断命题的真假

 [例1]　对于实数a,b,c,下列命题中的真命题是 (　 )

A.若a>b,则ac2>bc2

B.若a>b>0,则>

C.若a<b<0,则>

D.若a>b,>,则a>0,b<0

解析:选D　法一　∵c2≥0,∴c=0时,有ac2=bc2,故A为假命题;

由a>b>0,有ab>0⇒>⇒>,故B为假命题;⇒>,故C为假命题;⇒ab<0. ∵a>b,∴a>0且b<0,故D为真命题.

法二　特殊值排除法.取c=0,则ac2=bc2,故A为假命题;取a=2,b=1,则=,=1,有<,故B为假命题;取a=-2,b=-1,则=,=2,有<,故C为假命题.