1.5 第2课时 全称量词与存在量词的综合问题 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第2课时　全称量词与存在量词的综合问题

                 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

1.能够根据数学实例,正确理解含有一个量词的命题与它们的否定在真假上的关系,能正确地判断含有一个量词的命题的真假.

2.能根据全称量词命题或存在量词命题的真假求参数的值或范围.

 

题型(一)　全称量词命题与存在量词命题的真假判断

 [例1]　 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断它们的真假.

(1)∀x∈N,2x+1是奇数;

(2)存在一个x∈R,使=0;

(3)对任意实数a,|a|>0;

(4)有一个角α,使sin α=.

解:(1)是全称量词命题.因为∀x∈N,2x+1都是奇数,所以该命题是真命题.

(2)是存在量词命题.因为不存在x∈R,使=0成立,所以该命题是假命题.

(3)是全称量词命题.因为|0|=0,所以|a|>0不都成立,因此,该命题是假命题.

(4)是存在量词命题.因为当α=30°时,sin α=,所以该命题是真命题.

|思|维|建|模|

 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法

(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x,使得p(x)不成立即可,这就是通常所说的“举出一个反例”.

(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x使p(x)成立即可;否则,这个存在量词命题就是假命题.

　　[针对训练]

1.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则 (　 )

A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题

C.p和q都是真命题 D. p和q都是真命题

解析:选B　法一　对于p,由|x+1|>1,得x2+2x>0,解得x>0或x<-2,显然∀x∈R,|x+1|>1不恒成立,

所以命题p为假命题, p为真命题.对于q,由x3=x,解得x=0或x=1或x=-1,所以∃x>0使得x3=x,所以q是真命题.

法二　对于p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,􀱑p是真命题.对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题, q是假命题.综上, p和q都是真命题.

2.对下列含有量词的命题作否定,并判断其真假.

(1)p:∃x∈∁RQ,x2∈Q;

(2)p:所有能被2整除的数都是偶数;

(3)p:存在x∈R,使得2x≤0;

(4)p:∃x∈N*,∈N.

解:(1) p:∀x∈∁RQ,x2∉Q,当x=∈∁RQ,则x2=2∈Q,所以p为假命题.

(2) p:存在能被2整除的数不是偶数,因为所有能被2整除的数都是偶数为真命题,所以p为假命题.

(3) p:对于任意的x∈R,都有2x>0,因为2x>0,所以p为真命题.

(4) p:∀x∈N*,∉N,因为=3-,且x∈N*,所以x+1≥2,所以0<≤,所以3-∉N,即∉N,所以p为真命题.

 

题型(二)　全称量词命题与存在量词命题的应用

 [例2]　(1)已知命题p:∀1≤x≤2,x2-a≥0,若命题p为真命题,求实数a的取值范围;

(2)已知命题“∀x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题,求实数a的取值范围.

解:(1)对于任意1≤x≤2,不等式x2-a≥0⇔a≤x2恒成立,而(x2)min=1,则a≤1,

即命题p:a≤1,则命题p:a>1,所以实数a的取值范围是{a|a>1}.

(2)因为原命题为假命题,所以原命题的否定为真命题,即命题“∃x∈R,ax2+2x+1=0”为真命题,

则关于x的方程ax2+2x+1=0有实根.

所以a=0或

解得a=0或a≤1且a≠0,所以a≤1.

所以实数a的取值范围为{a|a≤1}.

　　

[变式拓展]

1.本例(1)中的条件变为“∀1≤x≤2,ax+1>0是真命题”,求实数a的取值范围.

解:因为∀1≤x≤2,ax+1>0,所以解得a>-.故a的取值范围为.

2.本例(1)增加条件“命题q:∃x∈R,x2+2ax+2a+a2=0”,若命题p和q均为真命题,求实数a的取值范围.