1.5 第1课时 全称量词与存在量词 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦全称量词与存在量词核心知识点，系统梳理从概念理解（全称/存在量词意义）到符号表示（∀/∃），再到命题否定（转换量词并否定性质）的递进脉络，通过表格归纳、微点解析及分层练习构建完整学习支架。 资料采用逐点理清式教学，“多维理解”表格助学生抽象数学对象（数学眼光），“微点助解”从集合角度深化逻辑推理（数学思维），“微点练明”与课时检测强化符号表达（数学语言）。课中便于教师系统授课，课后学生可通过练习查漏补缺，提升量词命题的理解与应用能力。

1.5　全称量词与存在量词 第1课时　全称量词与存在量词 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解全称量词与存在量词的意义及全称量词命题和存在量词命题的意义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.理解一个含量词的命题与它的否定在形式上的变化规律,能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 逐点清(一)　全称量词与全称量词命题 [多维理解] 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给等 符号表示 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M,p(x)” |微|点|助|解| (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题,全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定; (2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“∀x∈R,y∈R,x2+y2≥0”. (4)全称量词命题中的“x,M与p(x)”表达的含义:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形;相应的集合M是这些元素的某一特定的范围;p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“∀x∈N,x≥0”. [微点练明] 1.(多选)下列命题是全称量词命题的是 (　 ) A.任意一个自然数都是正整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.存在x∈R,x2+1=0 解析:选AC　选项A中的命题含有全称量词“任意”,是全称量词命题,选项C中,“梯形有两边平行”是全称量词命题. 2.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方法的是 (　 ) A.有一个x∈R,使得x2>3 B.对有些x∈R,使得x2>3 C.任选一个x∈R,使得x2>3 D.至少有一个x∈R,使得x2>3 解析:选C　“∀x∈R,x2>3”是全称量词命题,改写时应使用全称量词. 3.下列命题是全称量词命题并且是真命题的是 (　 ) A.每个二次函数的图象都开口向上 B.存在一条直线与已知直线不平行 C.对任意实数a,b,若a-b≤0,则a≤b D.存在一个实数x,使等式x2-2x+1=0成立 解析:选C　 B、D不是全称量词命题,故应排除;对于A,二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象开口向下,也应排除,故选C. 逐点清(二)　存在量词与存在量词命题 [多维理解] 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M,p(x)” |微|点|助|解| (1)从集合的角度看,存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题. (2)有些命题可能没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. (3)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“∃a∈R,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2”. [微点练明] 1.(多选)下列命题是存在量词命题的是 (　 ) A.有的无理数的平方是有理数 B.有的无理数的平方不是有理数 C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数 D.存在x∈R,2x+1是奇数 解析:选ABD　“有的”“存在”属于存在量词,“任意”属于全称量词,所以选项C不是存在量词命题,其他均为存在量词命题,故选ABD. 2.(多选)下列命题与“∃x∈R,x2>3”等价的表述的是 (　 ) A.有一个x∈R,使得x2>3成立 B.对有些x∈R,使得x2>3成立 C.任选一个x∈R,使得x2>3成立 D.至少有一个x∈R,使得x2>3成立 解析:选ABD　题干中的命题是存在量词命题,而C是全称量词命题,A、B、D的表述均与题干命题等价. 3.下列存在量词命题是假命题的是 (　 ) A.存在x∈Q,使2x-x3=0 B.存在x∈R,使x2+x+1=0 C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数 解析:选B　对于任意的x∈R,x2+x+1=+>0恒成立. 逐点清(三)　全称量词命题和存在量词命题的否定　　　 [多维理解] 1.全称量词命题和存在量词命题的否定 命题类型 全称量词命题 存在量词命题 形式 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M,p(x) 否定形式 ∃x∈M, p(x) ∀x∈M p(x) 结论 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题的否定是全称量词命题 2.对含有量词的命题否定的两个步骤 改变量词 把全称量词(存在量词)换为恰当的存在量词(全称量词) 否定性质 原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等 |微|点|助|解| (1)有些全称量词命题省略了量词,需先补充上量词,再写否定,“”即“非”(也就是否定),它是由日常语言中的“不是”“全盘否定”“问题的反面”等抽象而来的,从集合的角度,“非”可理解为集合的“补”; (2)在写一个命题的否定时,要注意否定词添加的位置,否则就会得出错误的结论; (3)“都不是”与“不都是”的区别:x,y都不是0,即x≠0,且y≠0;x,y不都是0,包括三种情形:x=0,y≠0或x≠0,y=0或x≠0,y≠0,不都是也称至少一个不是. [微点练明] 1.命题“∃x>0,2x2=5x-1”的否定是 (　 ) A.∀x>0,2x2≠5x-1 B.∀x≤0,2x2=5x-1 C.∃x>0,2x2≠5x-1 D.∃x≤0,2x2=5x-1 解析:选A　存在量词命题的否定是全称量词命题. 2.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想:“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”,则哥德巴赫猜想的否定为 (　 ) A.任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 B.任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 C.至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和 D.至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和 解析:选D　根据全称量词命题的否定是存在量词命题,知哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”. 3.(多选)对下列命题的否定说法正确的是 (　 ) A.p:能被2整除的数是偶数;p的否定:存在一个能被2整除的数不是偶数 B.p:有些矩形是正方形;p的否定:所有的矩形都不是正方形 C.p:有的三角形为正三角形;p的否定:所有的三角形不都是正三角形 D.p:∀n∈N,2n≤100;p的否定:∃n∈N,2n>100 解析:选ABD　“有的三角形为正三角形”为存在量词命题,其否定为全称量词命题:“所有的三角形都不是正三角形”,故C错误. [课时检测] 1.下列命题形式不同于其他三个的是 (　 ) A.∀x∈Z,x2-9<x2 B.∃x∈R,x2-2x+1≠0 C.每一个正数的倒数都大于0 D.∀x<2,x-3<0 解析:选B　A、C、D均为全称量词命题,B为存在量词命题. 2.下列命题是存在量词命题的是 (　 ) A.∀x∈R,x2>0 B.∃x∈R,x2≤0 C.平行四边形的对边平行 D.矩形的任一组对边相等 解析:选B　A含有全称量词符号“∀”,为全称量词命题;B含有存在量词符号“∃”,为存在量词命题,满足条件;C省略了全称量词“所有”,为全称量词命题;D省略了全称量词“所有”,为全称量词命题,故选B. 3.命题“∀n∈Z,n∈Q”的否定为 (　 ) A.∀n∈Z,n∉Q 　　B.∀n∈Q,n∈Z C.∃n∈Z,n∈Q 　　D.∃n∈Z,n∉Q 解析:选D　命题“∀n∈Z,n∈Q”的否定为“∃n∈Z,n∉Q”. 故选D. 4.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则p的否定是 (　 ) A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根 解析:选C　命题p是存在量词命题,其否定形式为全称量词命题,即对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根. 5.设非空集合P,Q满足P⊆Q,则下列表述正确的是 (　 ) A.∀x∈Q,有x∈P 　B.∀x∈P,有x∈Q C.∃x∉Q,使得x∈P 　D.∃x∈P,使得x∉Q 解析:选B　因为P⊆Q,则由子集的定义,集合P中的任何一个元素都在Q中,所以选B. 6.若命题p:梯形是四边形,则 (　 ) A.p是全称量词命题,且p的否定:有些梯形不是四边形 B.p是全称量词命题,且p的否定:所有的梯形不是四边形 C.p是存在量词命题,且p的否定:有些梯形不是四边形 D.p是存在量词命题,且p的否定:所有的梯形不是四边形 答案:A 7.已知命题p:实数的平方是非负数,则下列结论正确的是 (　 ) A.命题􀱑p是真命题 B.命题p是存在量词命题 C.命题p是全称量词命题 D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题 解析:选C　命题p:实数的平方是非负数,是真命题,故􀱑p是假命题,命题p是全称量词命题,故选C. 8.有下列四个命题,其中真命题是 (　 ) A.∀n∈R,n2≥n B.∃n∈R,∀m∈R,mn=m C.∀n∈R,∃m∈R,m2<n D.∀n∈R,n2<n 解析:选B　对于选项A,令n=,即可验证其不正确;对于选项C、D,可令n=-1,加以验证,均不正确.故选B. 9.下列命题是全称量词命题且是真命题的是 (　 ) A.∀x∈R,2x+1>0 B.若2x为偶数 ,则∀x∈N C.所有菱形的四条边都相等 D.π是无理数 解析:选C　对于A,是全称量词命题,但不是真命题,故A不正确;对于B,是假命题,也不是全称量词命题,故B不正确;对于C,是全称量词命题,也是真命题,故C正确;对于D,是真命题,但不是全称量词命题,故D不正确.故选C. 10.(5分)命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是　　　　(填“全称量词命题”或“存在量词命题”),用符号表示为　　　　　　　　　.  解析:命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是存在量词命题,用符号表示为“∃x,y∈R,x+y>1”. 答案:存在量词命题　∃x,y∈R,x+y>1 11.(5分)命题“任意一个x∈R,都有x2-2x+4≤0”的否定是　　　　　　.  解析:原命题为全称量词命题,其否定为存在量词命题,既要否定量词又要否定结论,所以其否定为:存在一个x∈R,使得x2-2x+4>0. 答案:存在一个x∈R,使得x2-2x+4>0 12.(5分)命题“至少有一个正实数x满足方程2x2+(a-1)x+2a+3=0”的否定是　　　　　　.  解析:把“至少有一个”改为“所有”,“满足”改为“不满足”得命题的否定. 答案:所有正实数x都不满足方程2x2+(a-1)x+2a+3=0 13.(5分)给出下列命题:(1)∀x∈R,x2>0;(2)∃x∈R,x+1≤0;(3)∃a∈∁RQ,b∈∁RQ,使得a+b∈Q.其中真命题的个数为　　　　　.  解析:(1)当x=0时,x2=0,是假命题;(2)存在x=-2,使得x+1≤0,真命题;(3)当a=2-,b=3+时,a+b=5,是真命题. 答案:2 14.(10分)指出下列命题中使用了什么量词以及量词的作用范围,并把量词用相应的数学符号取代. (1)对集合A={x|0<x≤90}中的任意整数n,有sin n°>0;(3分) (2)对某个有理数x,有4x=;(3分) (3)线段AB上有一点M满足比例式=.(4分) 解:(1)命题:对集合A={x|0<x≤90}中的任意整数n,有sin n°>0,命题中有量词“任意”,这是一个全称量词,它的作用范围是0<x≤90.该命题可以写成“∀n∈{x|0<x≤90},有sin n°>0”. (2)命题:对某个有理数x,有4x=.命题中有量词“某个”,这是一个存在量词,它的作用范围是有理数集合.该命题可以写成“∃x∈Q,有4x=”. (3)命题:线段AB上有一点M满足比例式=.命题中有量词“有一点”,这是一个存在量词,它的作用范围是线段AB上.该命题可以写成“∃M∈线段AB,有=”. 15.(10分)命题“=”是全称量词命题吗?如果是全称量词命题,请给予证明;如果不是全称量词命题,请补充必要的条件,使之成为全称量词命题. 解:不是全称量词命题,增加条件“对∀a,b∈R,且满足1+b>0,a+b≥0”,得到的命题是全称量词命题. 学科网（北京）股份有限公司 $$