1.5 第1课时 全称量词与存在量词 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

1.5　全称量词与存在量词

第1课时　全称量词与存在量词 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]

[课时目标]

1.理解全称量词与存在量词的意义及全称量词命题和存在量词命题的意义,熟悉常见的全称量词和存在量词.

2.理解一个含量词的命题与它的否定在形式上的变化规律,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

 

逐点清(一)　全称量词与全称量词命题

 [多维理解]

|微|点|助|解|

 (1)从集合的观点看全称量词命题是陈述某集合中的所有的元素都具有某种性质的命题,全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定;

(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.

(3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“∀x∈R,y∈R,x2+y2≥0”.

(4)全称量词命题中的“x,M与p(x)”表达的含义:元素x可以表示实数、方程、函数、不等式,也可以表示几何图形;相应的集合M是这些元素的某一特定的范围;p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.如“任意一个自然数都不小于0”,可以表示为“∀x∈N,x≥0”.

[微点练明]

1.(多选)下列命题是全称量词命题的是 (　 )

A.任意一个自然数都是正整数

B.有的菱形是正方形

C.梯形有两边平行

D.存在x∈R,x2+1=0

解析:选AC　选项A中的命题含有全称量词“任意”,是全称量词命题,选项C中,“梯形有两边平行”是全称量词命题.

2.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方法的是 (　 )

A.有一个x∈R,使得x2>3

B.对有些x∈R,使得x2>3

C.任选一个x∈R,使得x2>3

D.至少有一个x∈R,使得x2>3

解析:选C　“∀x∈R,x2>3”是全称量词命题,改写时应使用全称量词.

3.下列命题是全称量词命题并且是真命题的是 (　 )

A.每个二次函数的图象都开口向上

B.存在一条直线与已知直线不平行

C.对任意实数a,b,若a-b≤0,则a≤b

D.存在一个实数x,使等式x2-2x+1=0成立

解析:选C　 B、D不是全称量词命题,故应排除;对于A,二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象开口向下,也应排除,故选C.

逐点清(二)　存在量词与存在量词命题

 [多维理解]

 

|微|点|助|解|

(1)从集合的角度看,存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题.

(2)有些命题可能没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.

(3)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“∃a∈R,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2”.

[微点练明]

1.(多选)下列命题是存在量词命题的是 (　 )

A.有的无理数的平方是有理数

B.有的无理数的平方不是有理数

C.对于任意x∈Z,2x+1是奇数

D.存在x∈R,2x+1是奇数

解析:选ABD　“有的”“存在”属于存在量词,“任意”属于全称量词,所以选项C不是存在量词命题,其他均为存在量词命题,故选ABD.

2.(多选)下列命题与“∃x∈R,x2>3”等价的表述的是 (　 )

A.有一个x∈R,使得x2>3成立

B.对有些x∈R,使得x2>3成立

C.任选一个x∈R,使得x2>3成立