1.4 第2课时 充分、必要及充要条件的应用 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第2课时　充分、必要及充要条件的应用

                   [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

1.本节重点关注判定充分、必要条件问题,或利用已知关系探求参数的取值范围问题.

2.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明,解题关键是分清命题的条件与结论,分清充分性和必要性这两个问题.

题型(一)　充分、必要条件的探求

 [例1]　使“x≤-或x≥3”成立的一个充分不必要条件是 (　 )

A.x<0 　B.x≥0

C.x∈{-1, 3, 5} 　D.x≤-或x≥3

解析:选C　对于A,x<0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分也不必要条件;

对于B,x≥0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分也不必要条件;

对于C,x∈{-1,3,5}可以推出x≥3或x≤-,反之不能,是其充分不必要条件;

对于D,x≤-或x≥3,是其充要条件.

[例2]　设a,b∈R,则“ab+1=a+b”的充要条件是 (　 )

A.a,b都为1 　B.a,b都不为1

C.a,b中至少有一个为1 　D.a,b都不为0

解析:选C　由ab+1=a+b,可得(a-1)·(b-1)=0,解得a=1或b=1,故“ab+1=a+b”的充要条件是“a,b中至少有一个为1”.故选C.

|思|维|建|模|

1.探求充分、必要条件的方法

(1)寻求q的充分条件p,即求使q成立的条件p,从集合的角度看,是找q的子集;

(2)寻求q的必要条件p,即求以q为条件可推出的结论p,从集合的角度看,是找能包含q的集合.

2.探求充要条件的方法

(1)先由结论寻找使之成立的条件,再由条件来推证结论成立,即保证必要性和充分性都成立.

(2)变换命题为其等价命题,使每一步都可逆,直接得到使结论成立的充要条件.

　　[针对训练]

1.“a<0,b<0”的一个必要条件为 (　 )

A.a+b<0 B.a+b>0

C.>1 D.<-1

解析:选A　对于A,因为a<0,b<0,所以a+b<0,即“a+b<0”是“a<0,b<0”的必要条件,A正确;对于B,当a<0,b<0时,a+b>0不可能成立,B不正确;对于C,当a<0,b<0时,>1不一定成立,如a=-1,b=-2满足条件,而<1,C不正确;对于D,当a<0,b<0时,必有>0成立,即不能推出<-1,D不正确.故选A.

2.(多选)使0<x<3成立的一个充分条件是 (　 )

A.2<x≤3 B.0≤x<1

C.0<x≤2 D.1<x<2

解析:选CD　从集合观点看,求0<x<3成立的一个充分条件,就是从A、B、C、D中选出集合{x|0<x<3}的子集.由于{x|0<x≤2}⊆{x|0<x<3},{x|1<x<2}⊆{x|0<x<3},故选CD.

 

题型(二)　利用充分条件、必要条件求参数

设A,B为两个集合.A⊆B是指x∈A⇒x∈B,这就是说,“x∈A”是“x∈B”的充分条件,“x∈B”是“x∈A”的必要条件;若A⊆B且A⊇B,即A=B,则“x∈A”是“x∈B”

的充要条件;若A⊈B且A⊉B,则“x∈A”既不是“x∈B”的充分条件,也不是“x∈B”的必要条件,即“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件.

[例3]　已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为　　　　　　　. 

解:设p代表的集合为A={x|-2≤x≤10},

q代表的集合为B={x|1-m≤x≤1+m},

因为p是q的必要不充分条件,所以B⫋A,

故有或

解得m≤3.又m>0,

所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}.

 

[变式拓展]

1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围.

解:设p代表的集合为A,q代表的集合为B,

因为p是q的充分不必要条件,所以A⫋B.

所以或解得m≥9,即实数m的取值范围是{m|m≥9}.

2.若本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

解:若p是q的充要条件,

则此方程组无解,

故不存在实数m,

使得p是q的充要条件.