1.4 第1课时 充分条件与必要条件、充要条件 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

1.4　充分条件与必要条件

第1课时　充分条件与必要条件、充要条件

                [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学]

[课时目标]

1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系.

2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系.

3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.

 

逐点清(一)　充分条件

[多维理解]

1.充分条件

一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件.

2.判定定理与充分条件的关系

数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.

|微|点|助|解|

(1)只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”.

(2)若p⇒q,则p是q的充分条件.所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”.

(3)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”.

(4)除了用定义判断充分条件,还可以利用集合间的关系判断,若p构成的集合为A,q构成的集合为B,A⊆B,则p是q的充分条件.

[微点练明]

1.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是 (　 )

A.若x<1,则x<2

B.若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似

C.若|x|≠1,则x≠1

D.若ab>0,则a>0,b>0

解析:选ABC　由x<1,可以推出x<2,所以选项A符合题意;由两个三角形的三边对应成比例,可以推出这两个三角形相似,所以选项B符合题意;由|x|≠1,可以推出x≠1,所以选项C符合题意;由ab>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-1,所以选项D不符合题意.

2.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件?

(1)若a,b为无理数,则ab为无理数;

(2)在△ABC中,若A>B,则BC>AC;

(3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0.

解:(1),2为无理数,但×2=4,为有理数,因此p不能推出q,所以p不是q的充分条件.

(2)由三角形中大角对大边可知,若A>B,则BC>AC,因此p⇒q,所以p是q的充分条件.

(3)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件.

逐点清(二)　必要条件

 [多维理解]

1.必要条件

一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,q是p的必要条件.

2.性质定理与必要条件的关系

数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.

|微|点|助|解|

(1)对于命题“若p,则q”的条件和结论,我们都视为条件,只看“⇒”的推出方向,“箭尾”是“箭头”的充分条件,“箭头”是“箭尾”的必要条件.

(2)若p⇒q,则q是p的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”.

(3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”.

(4)也可利用集合的关系判断,如条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊇B,则甲是乙的必要条件.

[微点练明]

1.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是 (　 )

A.若x,y是偶数,则x+y是偶数

B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根

C.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形

D.若ab=0,则a=0

解析:选BCD　A:x+y是偶数不一定能推出x,y是偶数,因为x,y可以是奇数,不符合题意;B:当方程x2-2x+a=0有实根时,则有(-2)2-4a≥0⇒a≤1,显然能推出a<2,符合题意;C:因为菱形对角线互相垂直,所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直,符合题意;D:显然由a=0可以推出ab=0,符合题意.

2.分析下列各项中p与q的关系.

(1)p:α为锐角,q:α=45°;

(2)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0.

解:(1)由于q⇒p,pq,故p是q的必要条件,q是p的充分条件.

(2)由于p⇒q,qp,故p是q的充分条件,q是p的必要条件.

逐点清(三)　充要条件

[多维理解]