1.4 第1课时 充分条件与必要条件、充要条件 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“充分条件与必要条件”核心知识点，系统梳理充分条件、必要条件、充要条件的定义，及其与判定定理、性质定理、数学定义的内在联系，结合集合关系判断方法，通过“微点助解”辨析、“微点练明”例题及高考题、生活实例构建学习支架。 采用“逐点理清式教学”，分点突破核心概念，“微点助解”用“有之必成立”等通俗语言培养数学语言表达，集合关系判断发展抽象能力（数学眼光），练习题融入高考题和杜甫诗句实例，提升推理意识与应用意识，课中助力教师系统授课，课后检测帮助学生查漏补缺。

1.4　充分条件与必要条件 第1课时　充分条件与必要条件、充要条件 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. 3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. 逐点清(一)　充分条件 [多维理解] 1.充分条件 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,p是q的充分条件. 2.判定定理与充分条件的关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. |微|点|助|解| (1)只有“若p,则q”为真命题时,才有“p⇒q”. (2)若p⇒q,则p是q的充分条件.所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”. (3)“p是q的充分条件”还可以换种说法“q的充分条件是p”. (4)除了用定义判断充分条件,还可以利用集合间的关系判断,若p构成的集合为A,q构成的集合为B,A⊆B,则p是q的充分条件. [微点练明] 1.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是 (　 ) A.若x<1,则x<2 B.若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似 C.若|x|≠1,则x≠1 D.若ab>0,则a>0,b>0 解析:选ABC　由x<1,可以推出x<2,所以选项A符合题意;由两个三角形的三边对应成比例,可以推出这两个三角形相似,所以选项B符合题意;由|x|≠1,可以推出x≠1,所以选项C符合题意;由ab>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-1,所以选项D不符合题意. 2.下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若a,b为无理数,则ab为无理数; (2)在△ABC中,若A>B,则BC>AC; (3)已知a,b∈R,若a2+b2=0,则a=b=0. 解:(1),2为无理数,但×2=4,为有理数,因此p不能推出q,所以p不是q的充分条件. (2)由三角形中大角对大边可知,若A>B,则BC>AC,因此p⇒q,所以p是q的充分条件. (3)因为a,b∈R,所以a2≥0,b2≥0,由a2+b2=0,可推出a=b=0,即p⇒q,所以p是q的充分条件. 逐点清(二)　必要条件 [多维理解] 1.必要条件 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作p⇒q,并且说,q是p的必要条件. 2.性质定理与必要条件的关系 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. |微|点|助|解| (1)对于命题“若p,则q”的条件和结论,我们都视为条件,只看“⇒”的推出方向,“箭尾”是“箭头”的充分条件,“箭头”是“箭尾”的必要条件. (2)若p⇒q,则q是p的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”. (3)“q是p的必要条件”还可以换种说法“p的必要条件是q”. (4)也可利用集合的关系判断,如条件甲“x∈A”,条件乙“x∈B”,若A⊇B,则甲是乙的必要条件. [微点练明] 1.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是 (　 ) A.若x,y是偶数,则x+y是偶数 B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根 C.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形 D.若ab=0,则a=0 解析:选BCD　A:x+y是偶数不一定能推出x,y是偶数,因为x,y可以是奇数,不符合题意;B:当方程x2-2x+a=0有实根时,则有(-2)2-4a≥0⇒a≤1,显然能推出a<2,符合题意;C:因为菱形对角线互相垂直,所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直,符合题意;D:显然由a=0可以推出ab=0,符合题意. 2.分析下列各项中p与q的关系. (1)p:α为锐角,q:α=45°; (2)p:x+1=0,q:(x+1)(x-2)=0. 解:(1)由于q⇒p,pq,故p是q的必要条件,q是p的充分条件. (2)由于p⇒q,qp,故p是q的充分条件,q是p的必要条件. 逐点清(三)　充要条件 [多维理解] (1)如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件. (2)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件. |微|点|助|解| 1.充分、必要、充要条件的传递性 ①p⇒q,q⇒s则p⇒s,即p是s的充分条件; ②q⇒p,s⇒q则s⇒p,即p是s的必要条件; ③p⇔q,q⇔s则p⇔s,即p是s的充要条件. 2.条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q,且qp p是q的充分不必要条件 q⇒p,且pq p是q的必要不充分条件 p⇒q,且q⇒p,即p⇔q p是q的充要条件 pq,且qp p是q的既不充分也不必要条件 [微点练明] 1.(2023·北京高考)若xy≠0,则“x+y=0”是“+=-2”的 (　 ) A.充分不必要条件　　 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案:B 3.指出下列各题中,p是q的什么条件.(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”) (1)p:x=1,q:x-1=; (2)p:m<0,q:一元二次方程x2+(m-3)x+m=0有一正根和一负根; (3)p:△ABC有两个角相等,q:△ABC是正三角形; (4)p:|ab|=ab,q:ab>0. (5)p:a是自然数,q:a是正数. 解:(1)当x=1时,x-1=成立, 当x-1=时,x=1或x=2, 故p是q的充分不必要条件. (2)记一元二次方程x2+(m-3)x+m=0的两根为x1,x2, 则x1x2=m,∴方程有一正根和一负根等价于x1x2<0,x1x2<0⇔m<0,故p是q的充要条件. (3)∵p不能推出q,q⇒p, ∴p是q的必要不充分条件. (4)∵ab=0时,|ab|=ab, ∴“|ab|=ab”不能推出“ab>0”,即p不能推出q. 而当ab>0时,有|ab|=ab,即q⇒p. ∴p是q的必要不充分条件. (5)0是自然数,但0不是正数,故p不能推出q; 又是正数,但不是自然数,故q不能推出p, 故p是q的既不充分也不必要条件. [课时检测] 1.若p是q的充分条件,则q是p的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.不充分条件 D.不必要条件 答案:B 2.若集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 解析:选A　∵A={1,a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B且a≠1,∴a=2或a=3,即a=3⇒A⊆B,∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件. 3.命题p:x≤1,命题q:≤1,则q是p的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选D　由q:≤1,得到x≥1或x<0,由于p/⇒q,q/⇒p,故q是p的既不充分也不必要条件. 4.杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句:“读书破万卷,下笔如有神”.对此诗句的理解是读书只有读透书,博览群书,这样落实到笔下,运用起来才有可能得心应手,如有神助一般,由此可得,“读书破万卷”是“下笔如有神”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C　杜甫的诗句表明书读得越多,文章未必就写得越好,但不可否认的是,一般写作较好的人,他的阅读量一定不会少,而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件. 5.下列“若p,则q”形式的命题中,q是p的必要条件的是 (　 ) A.若四边形的一组邻边相等,则四边形是平行四边形 B.若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等 C.若a<3,则a<5 D.若x是无理数,则x2也是无理数 解析:选C　因为p不是q的充分条件,所以q不是p的必要条件,故A错误;若一个三角形三边分别为5,6,9,另一三角形三边分别为6,6,8,两个三角形周长相等,却不全等,p不是q的充分条件,则q不是p的必要条件,故B错误;由a<3可以推出a<5,所以a<3是a<5的充分条件,则a<5是a<3的必要条件,故C正确;若x=,则x2=2,x2不是无理数,p不是q的充分条件,则q不是p的必要条件,故D错误. 6.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是 (　 ) A.若=,则x=y B.若x2=1,则x=1 C.若x=y,则= D.若x<y,则x2<y2 解析:选A　B项中,x2=1⇒x=1或x=-1;C项中,当x=y<0时,,无意义;D项中,当x<y<0时,x2>y2,所以B、C、D中p不是q的充分条件;显然A项正确. 7.(多选)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则 (　 ) A.p是q的既不充分也不必要条件 B.p是s的充分条件 C.r是q的必要不充分条件 D.s是q的充要条件 解析:选BD　由已知得p⇒r⇒s⇒q,q⇒r⇒s.∴p是q的充分条件;p是s的充分条件;r是q的充要条件;s是q的充要条件.故选BD. 8.设x∈R,则“0<x<5”是“|x-1|<1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选B　由|x-1|<1可得0<x<2,所以|x-1|<1的解集是0<x<5的解集的真子集.故“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要不充分条件.故选B. 9.(多选)下列命题,p是q的充要条件的是 (　 ) A.p:x=1;q:x-1= B.p:-1≤x≤5;q:x≥-1且x≤5 C.p:三角形是等边三角形;q:三角形是等腰三角形 D.p:A∩B=A,q:∁UB⊆∁UA 解析:选BD　对于A,当x=1时,x-1=成立;当x-1=时,x=1或x=2.∴p不是q的充要条件,p是q的充分不必要条件. 对于B,∵-1≤x≤5⇔x≥-1且x≤5, ∴p是q的充要条件. 对于C,∵等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一定都是等边三角形,∴p不是q的充要条件,p是q的充分不必要条件. 对于D,∵A∩B=A⇔A⊆B⇔∁UB⊆∁UA,∴p是q的充要条件. 10.(多选)在下列四个结论中,正确的有 (　 ) A.x2>4是x3<-8的必要不充分条件 B.在△ABC中,“AB2+AC2=BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件 C.若a,b∈R,则“a2+b2=0”是“a,b不全为0”的充要条件 D.若a,b∈R,则“a2+b2≠0”是“a,b不全为0”的充要条件 解析:选AD　对于结论A,由x3<-8⇒x<-2⇒x2>4,但x2>4⇒x<-2或x>2⇒x3<-8或x3>8,不一定有x3<-8,故A正确;对于结论B,由AB2+AC2=BC2⇒△ABC为直角三角形,但在直角△ABC中,不一定角A是直角,故B不正确;对于结论C,a2+b2=0⇒a=b=0,故C不正确;对于结论D,由a2+b2≠0⇒a,b不全为0,反之,由a,b不全为0⇒a2+b2≠0,故D正确. 11.(5分)“x≠-1”是“x2-1≠0”的　　　　条件.  解析:由x2-1≠0⇒x≠1且x≠-1, 因为“x≠-1”是“x≠1且x≠-1”的必要不充分条件,所以“x≠-1”是“x2-1≠0”的必要不充分条件. 答案:必要不充分 12.(5分)设命题p:k>5,b<5,命题q:一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴,则p是q的　　 　　条件;q是p的　　 　条件.(用“充分”“必要”填空)  解析: 当k>5,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示,此时一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴, ∴p是q的充分条件,q是p的必要条件. 答案:充分　必要 13.(5分)对于集合A,B及元素x,若A⊆B,则x∈B是x∈(A∪B)的　　　　条件.  解析:由x∈B,显然可得x∈(A∪B);反之,由于A⊆B,则A∪B=B,所以由x∈(A∪B)可得x∈B,故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件. 答案:充要 14.(10分)判断下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”). (1) 已知x∈R,p:x>1,q:x>2;(3分) (2)p:a能被6整除,q:a能被3整除;(3分) (3)p:两个角不都是直角,q:两个角不相等.(4分) 解:(1)法一　由x>1x>2,所以p不是q的充分条件.反之,若x>2,则必有x>1,所以p是q的必要条件.故p是q的必要不充分条件. 法二　设集合A={x|x>1},B={x|x>2},则B⫋A,所以p是q的必要不充分条件. (2)p:a能被6整除,故也能被3和2整除, q:a能被3整除,不一定能被6整除,故p是q的充分不必要条件. (3)由题意,知pq,但q⇒p,所以p是q的必要不充分条件. 15.(10分)已知a,b,c∈R,a≠0.判断“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件?并说明理由. 解:“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.理由如下: 当a,b,c∈R,a≠0时,若a-b+c=0,则-1满足一元二次方程ax2+bx+c=0, 即“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”, 故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充分条件. 若一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1,则a-b+c=0, 故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的必要条件. 综上所述,“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$