1.3 第2课时 集合运算的综合问题 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

第2课时　集合运算的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学]

[课时目标]

进一步理解集合的交集、并集、补集,能根据集合的运算结果判断两个集合的关系,能利用交集、并集、补集的运算性质解决一些简单的应用问题.

 

题型(一)　集合的交、并、补混合运算

 [例1]　(2023·天津高考)已知集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={1,2,4},则(∁UB)∪A=              (　 )

A.{1,3,5} B.{1,3}

C.{1,2,4} D.{1,2,4,5}

解析:选A　法一　因为U={1,2,3,4,5},B={1,2,4},所以∁UB={3,5},又A={1,3},所以(∁UB)∪A={1,3,5}.故选A.

法二　因为A={1,3},且A⊆(∁UB)∪A,所以集合(∁UB)∪A中必含有元素1,3,所以排除选项C、D;观察选项A、B,因为5∉B,所以5∈∁UB,即5∈(∁UB)∪A,故选A.

[例2]　设全集U={x∈N*|x≤9},若∁U(A∪B)={1,3},A∩(∁UB)={2,4},则集合B= (　 )

A.{4,5,6,7,8,9} B.{2,4,5,6,7,8,9}

C.{5,6,7,8} D.{5,6,7,8,9}

解析:选D　因为全集U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由∁U(A∪B)={1,3},得A∪B={2,4,5,6,7,8,9}.又A∩(∁UB)={2,4},所以B={5,6,7,8,9}.

|思|维|建|模|　解决集合交、并、补运算的技巧

(1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解.

(2)如果所给集合是无限实数集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.

　　[针对训练]

1.(多选)已知集合A中含有6个元素,全集U=A∪B中共有12个元素,(∁UA)∪(∁UB)中有m个元素,已知m≥8,则集合B中元素个数可能为              (　 )

A.2 B.6 

C.8 D.12

解析:选BC　因为(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)中有m个元素,所以A∩B中有12-m个元素.设集合B中元素个数为x,又集合A中含有6个元素,则x+6-(12-m)=12,即m=18-x.因为m≥8,所以x≤10.又U=A∪B中共有12个元素,所以x≥6,则6≤x≤10.

2.已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},P=,求A∩B,(∁UB)∪P,(A∩B)∩(∁UP).

解:将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示.

因为U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3},所以A∩B={x|-1<x<2},∁UB={x|x≤-1或x>3}.

又P=,

所以(∁UB)∪P=.

又∁UP=,

所以(A∩B)∩(∁UP)={x|-1<x<2}∩={x|0<x<2}.

 

题型(二)　由集合的运算求参数

[例3]　已知集合A={x|0≤x≤1},B={x|1-a<x<2a}.若(∁RA)∪B=R,求实数a的取值范围.

解:因为A={x|0≤x≤1},所以∁RA={x|x<0或x>1},又因为B={x|1-a<x<2a}且(∁RA)∪B=R,所以解得a>1,

故实数a的取值范围为{a|a>1}.

　　[变式拓展]

1.若本例条件“(∁RA)∪B=R”变为“A∪B=A”,其他条件不变,求实数a的取值范围.

解:因为A∪B=A,所以B⊆A.

若B=⌀,则2a≤1-a,解得a≤.

若B≠⌀,则解得<a≤.

综上所述,实数a的取值范围为.

2.若本例条件变为已知集合A={x|2a-3<x<a+1},B={x|0<x≤1}.若A∩B=⌀,求实数a的取值范围.

解:由题意知A∩B=⌀,

当A=⌀时,2a-3≥a+1,解得a≥4.

当A≠⌀时,或

解得2≤a<4或a≤-1.

综上所述,实数a的取值范围为{a|a≤-1或a≥2}.