1.3 第1课时 集合的基本运算 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦集合的并集、交集、全集与补集核心知识点，梳理从实例抽象运算含义、用Venn图或数轴表达、掌握性质及求解运算结果的脉络，构建从概念理解到应用的学习支架。 该资料采用“逐点理清”设计，通过文字符号图形语言多维呈现概念，“微点助解”剖析并集“或”的三层含义等易错点，“微点练明”融入高考题实例。培养数学眼光（抽象实例）、数学思维（推理性质）、数学语言（符号图形表达），课中助教师系统授课，课后学生可借练习查漏补缺。

1.3　集合的基本运算 第1课时　集合的基本运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.能从实例中抽象出两个集合的并集的含义,会求两个简单集合的并集和交集. 2.能用Venn图或数轴表达两个集合的并集与交集. 3.了解全集的含义及符号,理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 逐点清(一)　并　集 [多维理解] 并集的概念及性质 文字 语言 一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B” 符号 语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B} 图形 语言 性质 (1)A∪B=B∪A;(2)A∪A=A; (3)A∪⌀=⌀∪A=A; (4)如果A⊆B,则A∪B=B,反之也成立 |微|点|助|解| (1)A∪B仍是一个集合; (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况:①x∈A且x∉B;②x∈A且x∈B;③x∉A且x∈B; (3)对概念中“所有”的理解,要注意集合元素的互异性. [微点练明] 1.(2024·北京高考)已知集合M={x|-3<x<1},N={x|-1≤x<4},则M∪N= (　 ) A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3} C.{x|-3<x<4} D.{x|x<4} 解析:选C　由集合的并运算,得M∪N={x|-3<x<4}. 2.已知集合A={x|x2-4x-5=0},B={x|x2-1=0},则A∪B= (　 ) A.{-1} B.{1} C.{5,-1,1} D.{-5,1} 解析:选C　易知A={5,-1},B={1,-1},故A∪B={5,-1,1}. 3.已知集合M={0,1},则满足M∪N={0,1,2}的集合N的个数是 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析:选C　依题意,可知满足M∪N={0,1,2}的集合N有{2},{0,2},{1,2},{0,1,2},共4个.故选C. 4.若点集A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},则A∪B中的元素不可能在 (　 ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选A　由题意得,A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合,所以A∪B中的元素不可能在第一象限. 逐点清(二)　交　集 [多维理解] 　　交集的概念及性质 文字 语言 一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B” 符号 语言 A∩B={x|x∈A,且x∈B} 图形 语言 性质 (1)A∩B=B∩A;(2)A∩A=A; (3)A∩⌀=⌀∩A=⌀; (4)如果A⊆B,则A∩B=A,反之也成立 |微|点|助|解| (1)A∩B仍是一个集合,如果两个集合没有公共元素,不能说两个集合没有交集,而是A∩B=⌀; (2)文字语言中“所有”的含义:A∩B中任一元素都是A与B的公共元素,A与B的公共元素都属于A∩B; (3)交集概念中的“且”即“同时”的意思,两个集合交集中的元素必须同时是两个集合中的元素. [微点练明] 1.已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B= (　 ) A.{0,2} B.{1,2} C.{0} D.{-2,-1,0,1,2} 解析:选A　A∩B={0,2}∩{-2,-1,0,1,2}={0,2}.故选A. 2.(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= (　 ) A.{-1,0} B.{2,3} C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 解析:选A　因为A={x|-5<x3<5}={x|-<x<},B={-3,-1,0,2,3},且注意到1<<2,所以A∩B={-1,0}.故选A. 3.已知集合A={x∈Z|-4<x<1},B=,则A∩B的非空子集个数为 (　 ) A.7 B.8 C.15 D.16 解析:选A　因为A={x∈Z|-4<x<1}={-3,-2,-1,0},又B=,所以A∩B={-2,-1,0},所以A∩B的元素个数为3,其非空子集有7个.故选A. 4.设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠⌀,则a的取值范围是 (　 ) A.{a|a<2} B.{a|a>-2} C.{a|a>-1} D.{a|-1<a≤2} 解析:选C　在数轴上表示出集合A,B,由图可知若A∩B≠⌀,则a>-1. 5.已知集合M={x|-2≤x-1≤2},N={x|x=2k-1,k∈N*},Venn图如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素共有　　　　个.  解析:M={x|-1≤x≤3},集合N是全体正奇数组成的集合,则阴影部分所表示的集合为M∩N={1,3},即阴影部分所表示的集合共有2个元素. 答案:2 逐点清(三)　全集与补集 [多维理解] 1.全集 定义 一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集 记法 全集通常记作U 2.补集 文字语言 对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集合A的补集,记作∁UA 符号语言 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形语言 3.补集的性质 (1)A∪(∁UA)=U; (2)A∩(∁UA)=⌀; (3)∁UU=⌀,∁U⌀=U,∁U(∁UA)=A; (4)(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B); (5)(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B). |微|点|助|解| (1)“全集”是一个相对概念,并不是固定不变的,它是依据具体问题加以选择的. (2)补集是集合之间的一种运算关系,求集合A的补集的前提是A是全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也不同. (3)∁UA包含三层含义:①A⊆U;②∁UA是一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合. [微点练明] 1.已知全集U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则∁UM= (　 ) A.U　　 B.{1,3,5}　　 C.{3,5,6}　　 D.{2,4,6} 答案:C 2.已知全集U={x|-1≤x<3},集合A={x|-1≤x≤2},则∁UA= (　 ) A.{x|-1≤x<2} B.{x|2<x<3} C.{x|2≤x<3} D.{x|x<-1或x>2} 答案:B 3.设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足∁UM={1,3},则 (　 ) A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M 解析:选A　由题意知M={2,4,5},故选A. 4.已知全集U=R,A={x|1≤x<b},∁UA={x|x<1或x≥2},则实数b=　　　　.  解析:因为∁UA={x|x<1或x≥2},所以A={x|1≤x<2}.所以b=2. 答案:2 [课时检测] 1.集合M={1,2,3,4,5},集合N={1,3,5},则 (　 ) A.N∈M B.M∪N=M C.M∩N=M D.M>N 解析:选B　因为N⫋M,所以M∪N=M. 2.设集合M={x|0<x<4},N=,则M∩N= (　 ) A. B. C.{x|4≤x<5} D.{x|0<x≤5} 解析:选B　由题意得M∩N=.故选B. 3.已知全集U={-1,1,3},集合A={a+2,a2+2},且∁UA={-1},则a的值是 (　 ) A.-1 B.1 C.3 D.±1 答案:A 4.已知集合M={a,0},N=,如果M∩N≠⌀,则a等于 (　 ) A.1 B.2 C.1或2 D. 解析:选C　∵N=={1,2},又∵M={a,0},M∩N≠⌀,∴a=1或a=2. 5.(多选)已知集合A={x|0<x<3},集合B={x|x<0},则下列关系正确的是 (　 ) A.2∈A B.A⊆B C.A⊆(∁RB) D.A∪B={x|x<3} 解析:选AC　因为A={x|0<x<3},B={x|x<0},所以2∈A,故A正确;A不是B的子集,故B错误;∁RB={x|x≥0},A⊆(∁RB),故C正确;A∪B={x|x<0或0<x<3},故D错误. 6.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C等于 (　 ) A.{2} B.{1,2,4} C.{1,2,4,6} D.{x∈R|-1≤x≤5} 解析:选B　(A∪B)∩C={1,2,4,6}∩C={1,2,4}. 7.已知集合A={0,1,2},B={1,m},若A∩B=B,则实数m的值是 (　 ) A.0 B.2 C.0或2 D.0或1或2 解析:选C　因为A∩B=B,所以B⊆A,所以m=0或m=2,故选C. 8.(2023·全国甲卷)设全集U={1,2,3,4,5},集合M={1,4},N={2,5},则N∪∁UM= (　 ) A.{2,3,5} B.{1,3,4} C.{1,2,4,5} D.{2,3,4,5} 解析:选A　由题意知,∁UM={2,3,5},又N={2,5},所以N∪∁UM={2,3,5},故选A. 9.已知全集U=R,集合A={x|x<-1或x>4},B={x|-2≤x≤3},那么阴影部分表示的集合为 (　 ) A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4} C.{x|-2≤x≤-1} D.{x|-1≤x≤3} 解析:选D　由题意得,阴影部分所表示的集合为(∁UA)∩B={x|-1≤x≤4}∩{x|-2≤x≤3}={x|-1≤x≤3}. 10.(多选)若集合M⊆N,则下列结论正确的是 (　 ) A.M∩N=M B.M∪N=N C.N⊆(M∩N) D.(M∪N)⊆N 解析:选ABD　若M⊆N,则可知M∩N=M,M∪N=N,故A、B正确;从而(M∩N)⊆N,故C错误;(M∪N)⊆N,故D正确. 11.(5分)已知全集U=R,M={x|-1<x<1},∁UN={x|0<x<2},那么集合M∪N=　　　　.  解析:因为U=R,∁UN={x|0<x<2},所以N={x|x≤0或x≥2},所以M∪N={x|-1<x<1}∪{x|x≤0或x≥2}={x|x<1或x≥2}. 答案:{x|x<1或x≥2} 12.(5分)若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C之间的关系是　　　　.  解析:因为A∩B=A,所以A⊆B.因为B∪C=C,所以B⊆C,所以A⊆C. 答案:A⊆C 13.(5分)设全集U是实数集R,M={x|x<-2或x>2},N={x|1≤x≤3}.如图所示,则阴影部分所表示的集合为　　　　.  解析:由题意知M∪N={x|x<-2或x≥1},阴影部分所表示的集合为∁U(M∪N)={x|-2≤x<1}. 答案:{x|-2≤x<1} 14.(5分)集合A={x|x2-2x+1=0},B={x|ax-1=0},A∩B=B,则a=　　　　.  解析:A={x|x2-2x+1=0}={1},∵A∩B=B,∴B={1}或B=⌀,故a=1或a=0. 答案:1或0 15.(10分)若全集U={3,-3,a2+2a-3},A={a+1,3},且∁UA={5},求实数a的值. 解:由题意可知,5∈U,-3∈A,则解得a=-4, 所以实数a的值为-4. 16.(10分)已知集合A={1,2},B={x|2a<x<4-a}. (1)当a=1时,求A∪B;(6分) (2)若A与B之间存在包含关系,求a的取值范围.(4分) 解:(1)当a=1时,B={x|2<x<3}. 故A∪B={x|x=1或2≤x<3}. (2)若B⊆A,则B=⌀,则2a≥4-a,即a≥. 若A⊆B,则解得a<. 综上,a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$