1.2 集合间的基本关系 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦集合间的基本关系这一核心知识点，系统梳理子集、真子集、空集的概念及性质，集合相等的定义，以及由集合关系求参数范围的应用，形成从概念理解到应用的递进式学习支架。 该资料采用“逐点清”分层设计，结合“微点助解”辨析易混点，“微点练明”通过多样题型强化应用。利用Venn图和数轴直观呈现集合关系培养数学眼光，典例变式训练提升逻辑推理能力，符号与图表结合优化数学语言表达。课中助力分层教学，课后课时检测帮助学生查漏补缺。

1.2　集合间的基本关系 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解集合之间包含与相等的含义,能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念. 2.能识别给定集合的子集、真子集,掌握列举有限集所有集合的方法. 3.会判断集合间的关系,并能用符号和Venn图表示. 4.在具体情境中,了解空集的含义,并注意空集在解题中的影响. 逐点清(一)　子集与集合相等 [多维理解] 1.Venn图 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图. 2.子集 定义 一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集 记法与 读法 记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A. (2)对于集合A,B,C,若A⊆B,且B⊆C,则A⊆C 3.集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B,也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B. |微|点|助|解| (1)“A是B的子集”的含义:对任意x∈A都能推出x∈B. (2)注意“∈”与“⊆”的区别:“⊆”用于表示集合与集合之间的关系;“∈”用于表示元素与集合之间的关系. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a∈A,则{a}⊆A. (　 ) (2)如果集合B⊆A,那么若元素a不属于A,则必不属于B. (　 ) 答案:(1)√　(2)√ 2.已知集合A={x|x是三角形},B={x|x是等腰三角形},C={x|x是等腰直角三角形},D={x|x是等边三角形},则 (　 ) A.A⊆B B.C⊆B C.D⊆C D.A⊆D 解析:选B　因为等腰直角三角形必为等腰三角形,所以C⊆B. 3.已知集合A={0,1,a2},B={0,1,2a+3},若A=B,则a等于 (　 ) A.-1或3 B.0或1 C.3 D.-1 解析:选C　由A=B,得a2=2a+3,解得a=-1或a=3.当a=-1时,A={0,1,1}与集合元素的互异性矛盾,舍去.当a=3时,A={0,1,9}=B,满足题意.故选C. 4.指出下列各对集合之间的关系: (1)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (2)A={x|x是正方形},B={x|x是矩形}; (3)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. 解:(1)集合B={x|x<5},用数轴表示集合A,B,如图所示,由图可知A⊆B. (2)正方形是特殊的矩形,故A⊆B. (3)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. (4)M={正奇数},N={不含1的正奇数},故N⊆M. 逐点清(二)　真子集与空集 [多维理解] 1.真子集 定义 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集 记法与 读法 记作A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 性质 ①真子集具有传递性,即若A⫋B,B⫋C,则A⫋C; ②含有n个元素的有限集合的真子集个数为(2n-1)个 2.空集 定义 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ⌀ 规定 空集是任何集合的子集,即⌀⊆A 特性 (1)空集只有一个子集,即它本身,⌀⊆⌀; (2)A≠⌀,则⌀⫋A |微|点|助|解| (1)在真子集的定义中,A⫋B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A. (2)0,{0},{⌀}与⌀之间的关系 项目 ⌀与0 ⌀与{0} ⌀与{⌀} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀是集合; 0是实数 ⌀不含任何元素; {0}含一个元素0 ⌀不含任何元素;{⌀}含一个元素,该元素是⌀ 关系 0∉⌀ ⌀⫋{0} ⌀⫋{⌀}或⌀∈{⌀} [微点练明] 1.已知集合M={x|x2-3x+2=0},N={0,1,2},则集合M与N的关系是 (　 ) A.M=N B.N⫋M C.M⫋N　 D.N⊆M 解析:选C　解方程x2-3x+2=0得x=2或x=1,则M={1,2},因为1∈M且1∈N,2∈M且2∈N,所以M⊆N.又因为0∈N但0∉M,所以M⫋N. 2.下列四个集合中,是空集的是 (　 ) A.{x|x+3=3}　 B.{(x,y)|y2=-x2,x,y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2-x+1=0,x∈R} 解析:选D　A中集合为{0},B中为{(0,0)},C中为{0},而D中方程无解,是空集. 3.满足{1}⊆A⫋{1,2,3,4}的集合A的个数为 (　 ) A.7 B.8 C.15 D.16 解析:选A　∵{1}⊆A,∴1∈A,∵A⫋{1,2,3,4},∴满足题意的集合A有{1},{1,2},{1,3},{1,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},共7个.故选A. 4.已知集合Q={x|k+1≤x≤2k-1}=⌀,则实数k的取值范围是　　　　.  解析:∵Q={x|k+1≤x≤2k-1}=⌀,∴k+1>2k-1,解得k<2. 答案:{k|k<2} 5.填写下表,并回答问题: 集合 集合的子集 子集的个数 ⌀ {a} {a,b} {a,b,c} 由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少?真子集的个数及非空真子集的个数呢? 解: 集合 集合的子集 子集的个数 ⌀ ⌀ 1 {a} ⌀,{a} 2 {a,b} ⌀,{a},{b},{a,b} 4 {a,b,c} ⌀,{a},{b},{c},{a,b}, {a,c},{b,c},{a,b,c} 8 由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. 逐点清(三)　由集合间的关系求参数范围 [典例]　已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,求实数m的取值范围. 解:若B=⌀,满足B⊆A,则m+1>2m-1,解得m<2.若B≠⌀,满足B⊆A,则 解得2≤m≤3.综上,符合题意的实数m的取值范围为{m|m≤3}. 　　[变式拓展] 1.若本例条件“B⊆A”变为A⊆B,求实数m的取值范围. 解:若A⊆B,数轴表示如下: 依题意有即 此时m的取值范围是⌀. 2.本例条件不变,是否存在实数m,使得A=B?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 解:假设存在满足题意的实数m.若A=B, 则必有m+1=-2且2m-1=5,此时无解,即不存在使得A=B的实数m. 3.若本例条件集合A变为“A={x|x<-5,或x>2}”,集合B变为“B={x|2a-3<x<a-2}”,其他条件不变,求实数a的取值范围. 解:①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立. ②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1.由已知A⊇B,如图在数轴上表示出两个集合, 由图可知,2a-3≥2或a-2≤-5,解得a≥或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3. 综上,实数a的取值范围为{a|a≥1或a≤-3}. |思|维|建|模|　利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值. (2)要注意“空集”的情况,空集是任何集合的子集. [针对训练] 设M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0},若N⊆M,求所有满足条件的a的集合. 解:因为M={x|x2-2x-3=0}={x|(x+1)(x-3)=0}={-1,3},N={x|ax-1=0},若a=0,则N=⌀,此时满足N⊆M;若a≠0,则N=,因为N⊆M,故=-1或=3,解得a=-1或a=,所以a的取值集合为. [课时检测] 1.已知集合A={1,2,3,4,5,6},B={3,4,5,x},若B⊆A,则x可以取的值为 (　 ) A.1,2,3,4,5,6 B.1,2,3,4,6 C.1,2,3,6 D.1,2,6 解析:选D　由B⊆A和集合元素的互异性可知,x可以取的值为1,2,6. 2.下列集合为⌀的是 (　 ) A.{0} B.{⌀} C.{x|x2+4=0} D.{x|x+1≤2x} 解析:选C　集合{0}中有一个元素0,A不符合题意;集合{⌀}中有一个元素⌀,B不符合题意;由方程x2+4=0,即x2=-4,此时方程无解,可得{x|x2+4=0}=⌀,C符合题意;不等式x+1≤2x,解得x≥1,{x|x+1≤2x}={x|x≥1},D不符合题意.故选C. 3.集合M={x∈N|-2<x≤3}的真子集个数为 (　 ) A.7 B.8 C.15 D.16 解析:选C　集合M中共有0,1,2,3四个元素,真子集的个数是24-1=15. 4.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B间的关系为 (　 ) A.A⫋B B.B⫋A C.A=B D.A⊆B 解析:选B　∵B=={(x,y)|y=x,x≠0},∴B⫋A. 5.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的Venn图是 (　 ) 解析:选B　由x2-x=0,得x=1或x=0,故N={0,1},易得N⫋M,其对应的Venn图如选项B所示. 6.(多选)已知集合A={2,-1},集合B={m2-m,-1},且A=B,则实数m等于 (　 ) A.2 B.-1 C.-2 D.4 解析:选AB　∵A=B,∴m2-m=2,∴m=2或m=-1. 7.(多选)已知A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是 (　 ) A.{1,8} B.{2,3} C.{1} D.{2} 解析:选AC　∵A⊆B,A⊆C,∴A中的元素应为B和C的共同元素.∵B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},∴B和C的共同元素为1和8.∴A⊆{1,8}.结合选项知,A、C选项满足题意,故选AC. 8.已知集合M={x∈Z|1≤x≤m},若集合M有4个子集,则实数m=　 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选B　根据题意,集合M有4个子集,则M中有2个元素,又由M={x∈Z|1≤x≤m},其元素为大于或等于1而小于或等于m的全部整数,故m=2. 9.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+1=0},若B≠⌀,B⊆A,则a等于 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.±1 解析:选D　当B={-1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根-1,即a=-1;当B={1}时,x2-2ax+1=0有两个相等的实根1,即a=1;当B={-1,1}时,不成立.故a=±1. 10.(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= (　 ) A.2 B.1 C. D.-1 解析:选B　依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B;当2a-2=0时,解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B.所以a=1,故选B. 11.(5分)设集合M={(x,y)|x+y<0,xy>0}和P={(x,y)|x<0,y<0},那么M与P的关系为　　　　.  解析:∵xy>0,∴x,y同号.又x+y<0,∴x<0,y<0,即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点,故M=P. 答案:M=P 12.(5分)若A={1,2},B={x|x⊆A},则B=　　　　.  解析:因为A={1,2},B={x|x⊆A},所以集合B中的元素是集合A的子集:⌀,{1},{2},{1,2},则集合B={⌀,{1},{2},{1,2}}. 答案:{⌀,{1},{2},{1,2}} 13.(5分)已知集合A={x|-3≤x≤4},B={x|1<x<m},且B⊆A,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:由集合B={x|1<x<m},若m≤1,可得B=⌀,此时满足B⊆A;若m>1,要使B⊆A,则满足解得1<m≤4.综上可得,实数m的取值范围是{m|m≤4}. 答案:{m|m≤4} 14.(5分)已知非空集合P满足:①P⊆{1,2,3,4,5};②若a∈P,则6-a∈P.符合上述条件的集合P的个数为　　　　.  解析:由a∈P,6-a∈P,且P⊆{1,2,3,4,5}可知,P中元素在取值方面应满足的条件是1,5同时选,2,4同时选,3可单独选,可一一列出满足条件的集合P为{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,5,2,4},{1,2,3,4,5},共7个. 答案:7 15.(10分)已知集合A={1,2,3}. (1)若M是A的子集,且至少含有元素3,写出满足条件的所有集合M;(5分) (2)若B={x|ax-3=0},且B⊆A,求实数a的取值集合.(5分) 解:(1)∵M⊆A,3∈M,∴集合M可能为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}. (2)当a=0时,B=⌀,满足B⊆A; 当a≠0时,B=; 若B⊆A,则=1或=2或=3, 解得a=3或a=或a=1. 综上所述,实数a的取值集合为. 16.(10分)若集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}至多有一个真子集,求a的取值范围. 解:①当A无真子集,即A=⌀时, 方程ax2+2x+1=0无实根, 所以解得a>1. ②当A只有一个真子集时,即A为单元素集,这时有两种情况: 当a=0时,方程化为2x+1=0,解得x=-,符合题意;当a≠0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1,符合题意.综上,当集合A至多有一个真子集时,a的取值范围是{a|a=0或a≥1}. 学科网（北京）股份有限公司 $$