1.1 第2课时 集合的表示方法 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学集合的表示方法，系统梳理列举法（定义、一般形式及元素互异性等注意事项）和描述法（代表元素、共同特征表述），通过微点助解明确要点，微点练明巩固应用，延伸至集合与方程综合问题，构建从基础到综合的学习支架。 资料以“逐点清”分层设计为特色，通过元素互异性辨析题培养抽象能力（数学眼光），含参数方程集合题发展推理意识（数学思维），自然语言与集合语言转换练习强化符号意识（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后课时检测帮助学生查漏补缺。

第2课时　集合的表示方法 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.掌握集合的表示方法——列举法和描述法,并能用这两种方法表示集合. 2.能利用集合的表示法表示一些简单的集合并能进行自然语言与集合语言间的相互转换. 3.会用集合中元素的共同特征描述一些集合,如数集、解集和一些基本图形构成的集合. 逐点清(一)　列举法 [多维理解] 列举法的定义及一般形式 定义 把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法 一般形式 {a1,a2,a3,…,an} |微|点|助|解| (1)a与{a}是完全不同的,{a}表示一个集合,这个集合由元素a构成,a是集合{a}的一个元素. (2)列举法表示集合的注意点:①元素间用分隔号“,”;②元素不重复;③元素无顺序;④元素不能遗漏. [微点练明] 1.(多选)下列命题正确的是 (　 ) A.0与{0}表示同一个集合 B.由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1} C.方程(x-3)2+(y+4)2=0的所有解组成的集合可表示为{(3,-4)} D.绝对值小于3的整数组成的集合可以用列举法表示 解析:选BCD　由于“0”是元素,而“{0}”表示含0元素的集合,所以A错误;根据集合中元素的无序性,知B正确;由方程可得x=3,y=-4,所以组成的集合为{(3,-4)},故C正确;由于该集合中的元素可以一一列举出来,所以可以用列举法表示,所以D正确. 2.若1∈{x+2,x2},则实数x的值为 (　 ) A.-1　 　 B.1　 　 C.1或-1　 　 D.1或3 解析:选B　由题意得x+2=1或x2=1.当x+2=1时,x=-1,x2=1,不满足集合元素的互异性,舍去;当x2=1时,x=1或x=-1(舍去),当x=1时,x+2=3符合题意.综上,x=1. 3.用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合; (2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合; (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合; (4)由所有正整数构成的集合. 解:(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}. (2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}. (3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}. (4)正整数有1,2,3,…,故所求集合为{1,2,3,…}. 逐点清(二)　描述法 [多维理解] 描述法的定义及一般形式 定义 设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法 一般 形式 {x∈A|P(x)},其中x是表示集合元素的一般符号,P(x)是这个集合中元素的共同特征,有时也用冒号或分号代替竖线,写成{x∈A:P(x)}或{x∈A;P(x)}的形式 具体 方法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征 |微|点|助|解| (1)写清楚该集合代表元素的符号,例如,集合{x|x<1}不能写成{x<1},且要分清是点集还是数集. (2)同一个集合可以有不同的表述形式,如{x|x≥0},{y|y≥0},{y|y=x2,x∈R}表示同一个集合. (3)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x|x=2k},k∈Z,这种表示方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号,即{x|x=2k,k∈Z}. (4)不能出现未被说明的字母. [微点练明] 1.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 (　 ) A.{x|-3<x<11,x∈Z} B.{x|-3<x<11} C.{x|-3<x<11,x=2k} D.{x|-3<x<11,x=2k,k∈Z} 答案:D 2.(多选)已知集合A={x∈N|x<6},则下列关系式成立的是 (　 ) A.0∈A B.1.5∉A C.-1∉A D.6∈A 解析:选ABC　∵A={x∈N|x<6}={0,1,2,3,4,5},∴6∉A,故D不成立,其余都成立. 3.用描述法表示下列集合: (1)函数y=-2x2+x图象上的所有点组成的集合; (2)不等式2x-3<5的解组成的集合; (3)3和4的所有正的公倍数构成的集合; (4)如图中阴影部分的点(含边界)的集合. 解:(1)函数y=-2x2+x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x,y)|y=-2x2+x}. (2)不等式2x-3<5的解组成的集合可表示为{x|2x-3<5},即{x|x<4}. (3)3和4的最小公倍数是12,因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x=12n,n∈N*}. (4)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为. 逐点清(三)　集合与方程的综合问题 [典例]　已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}.若A中只有一个元素,求a的值. 解:当a=0时,原方程变为2x+1=0,即x=-,符合题意;当a≠0时,由Δ=0,得a=1,此时x=-1. 所以若A中只有一个元素,则a的值为0或1. 　　[变式拓展] 1.若将本例中“只有”改为“至多有”,求a的取值范围. 解:当a≠0时,若A中至多含有一个元素, 则方程ax2+2x+1=0有两个相等的实根或没有实根.由Δ=4-4a≤0,得a≥1. 当a=0时,由例题解析可知方程有唯一解. 所以若A中至多有一个元素,a的取值范围为{a|a≥1或a=0}. 2.把本例中“只有”改为“至少有”,求a的取值范围. 解:A中至少有一个元素,即A中有一个或两个元素.当a≠0时,由Δ≥0,得a≤1且a≠0;当a=0时,由例题解析可知方程有唯一解.综上,a≤1.故a的取值范围为{a|a≤1}. 3.在本例条件下,是否存在实数a,使集合A与集合{1}相等?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 解:∵A={1},∴1∈A,∴a+2+1=0,即a=-3. 又当a=-3时,由-3x2+2x+1=0, 得x=-或x=1,即方程ax2+2x+1=0有两个根-和1,此时A=,与A={1}矛盾.故不存在实数a,使A={1}. |思|维|建|模|　集合与方程的综合问题的解题步骤 (1)弄清方程与集合的关系,往往是用集合表示方程的解集,集合中的元素就是方程的实数根. (2)当方程中含有参数时,一般要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围,必要时要分类讨论. (3)求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的互异性. [课时检测] 1.如果A={x|x>-1},那么 (　 ) A.-2∈A B.{0}∈A C.-3∈A D.0∈A 解析:选D　∵0>-1,∴0∈A,故选D. 2.下列集合不同于另外三个集合的是 (　 ) A.{0} B.{y|y2=0} C.{x|x=0} D.{x=0} 解析:选D　A、B、C中的元素都是数,且只有一个元素0,D中的元素是式子x=0. 故D与A、B、C不同. 3.把集合{x|x2-4x-5=0}用列举法表示为 (　 ) A.{x=-1,x=5} B.{x|x=-1或x=5} C.{x2-4x-5=0} D.{-1,5} 解析:选D　根据题意,解x2-4x-5=0可得x=-1或x=5,用列举法表示为{-1,5}. 4.已知P={1,2},Q={2,3},若M={x|x∈P,x∉Q},则M= (　 ) A.{1} B.{2} C.{3} D.{1,2,3} 答案:A 5.已知集合A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N},则A中元素的个数为 (　 ) A.4 B.5 C.6 D.无数个 解析:选C　由题意得A={(x,y)|x+y≤2,x,y∈N}={(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)},故集合A中含有6个元素. 6.下列选项满足M=N的是 (　 ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={2,3} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={2,3},N={(2,3)} 解析:选B　A中两个坐标不同,C、D中一个点集一个数集. 7.设集合A={-1,0,1},B={(x,y)|x∈A,y∈A},则B中所含元素的个数为 (　 ) A.3 B.6 C.9 D.12 解析:选C　易得集合B中的元素为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个元素.故选C. 8.已知集合A={12,a2+4a,a-2},-3∈A,则a= (　 ) A.-1 B.-3或1 C.3 D.-3 解析:选D　∵-3∈A,∴-3=a2+4a或-3=a-2.若-3=a2+4a,解得a=-1或a=-3.当a=-1时,a2+4a=a-2=-3,不满足集合中元素的互异性,故舍去;当a=-3时,集合A={12,-3,-5},满足题意,故a=-3成立.若-3=a-2,解得a=-1,由上述讨论可知,不满足题意,故舍去.综上所述,a=-3. 9.已知集合A={x|x2+px+q=x},B={x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3},当A={2}时,集合B= (　 ) A.{1} B.{1,2} C.{2,5} D.{1,5} 解析:选D　由A={x|x2+px+q=x}={2}知,22+2p+q=2,且Δ=(p-1)2-4q=0,得p=-3,q=4.则(x-1)2+p(x-1)+q=x+3可化为(x-1)2-3(x-1)+4=x+3,即(x-1)2-4(x-1)=0,解得x=1或x=5.所以集合B={1,5}. 10.设A是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈A,都有a+b,a-b,ab,∈A(除数b≠0),则称A是一个数域,则下列集合为数域的是 (　 ) A.N B.Z C.Q D.{x|x≠0,x∈R} 解析:选C　1,2∈N,∉N,故N不是数域,A错误,同理B错误;任意a,b∈Q,都有a+b,a-b,ab,∈Q(除数b≠0),故Q是一个数域,C正确;对于集合A={x|x≠0,x∈R},1∈A,-1∈A,1-1=0∉A,故{x|x≠0,x∈R}不是数域,D错误. 11.(5分)集合{x|x=2m-3,m∈N*,m<5},用列举法表示为　　　　　　　.  解析:因为集合中的元素满足x=2m-3,m∈N*,m<5,所以m可取值为1,2,3,4,则满足条件的x的值为-1,1,3,5.故集合用列举法表示为{-1,1,3,5}. 答案:{-1,1,3,5} 12.(5分)若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}　　　　(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集为　　　　.  解析:由于2的倒数不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则∈A.若集合中有三个元素,故必有一个元素a=,即a=±1,故可取的集合有,等. 答案:不是　(答案不唯一) 13.(5分)若集合A={x|kx2+4x+4=0}中有2个元素,则实数k的取值范围为　　　　.  解析:若集合A中有2个元素,则方程kx2+4x+4=0有两个不同的根,即 ∴k<1且k≠0. 答案:{k|k<1且k≠0} 14.(5分)含有三个实数的集合可表示为,也可以表示为{a2,a+b,0},则a2 024+b2 025的值为　　　　.  解析:因为={a2,a+b,0},且a≠0,所以b=0,则有{a,0,1}={a2,a,0},所以a2=1,且a≠1,得a=-1,所以a2 024+b2 025=(-1)2 024+02 025=1+0=1. 答案:1 15.(10分)用适当的方法表示下列集合. (1)不大于10的非负奇数集;(2分) (2)A=;(2分) (3)A={x|x=|x|,x∈Z且x<5};(3分) (4)平面直角坐标系内与坐标轴的距离相等的点组成的集合.(3分) 解:(1)由不大于10,即小于或等于10,非负是大于或等于0,所以不大于10的非负奇数集,用列举法可表示为{1,3,5,7,9}. (2)由集合A=, 可得1≤4-x≤6,解得-2≤x≤3且x∈Z, 当x=-2时,可得=1∈N,满足题意; 当x=-1时,可得=∉N,不满足题意; 当x=0时,可得=∉N,不满足题意; 当x=1时,可得=2∈N,满足题意; 当x=2时,可得=3∈N,满足题意; 当x=3时,可得=6∈N,满足题意, 所以集合A=可表示为{-2,1,2,3}. (3)由集合A={x|x=|x|,x∈Z且x<5},则满足x≥0且x∈Z且x<5,所以x=0,1,2,3,4, 所以集合A可表示为{0,1,2,3,4}. (4)由平面直角坐标系内,点(x,y)到x轴的距离为|y|,到y轴的距离为|x|, 所以与坐标轴的距离相等的点组成的集合可表示为{(x,y)||x|=|y|}. 16.(10分)已知集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},M={x|x=6n+3,n∈Z}. (1)若m∈M,则是否存在a∈A,b∈B,使m=a+b成立?(5分) (2)对任意a∈A,b∈B,是否一定存在m∈M,使a+b=m?证明你的结论.(5分) 解:(1)设m=6k+3=3k+1+3k+2(k∈Z),令a=3k+1(k∈Z),b=3k+2(k∈Z),则m=a+b.故若m∈M,则存在a∈A,b∈B,使m=a+b成立. (2)不一定.证明如下: 设a=3k+1,b=3l+2,k,l∈Z, 则a+b=3(k+l)+3,k,l∈Z. 当k+l=2p(p∈Z)时,a+b=6p+3∈M,此时存在m∈M,使a+b=m成立;当k+l=2p+1(p∈Z)时,a+b=6p+6∉M,此时不存在m∈M,使a+b=m成立.故对任意a∈A,b∈B,不一定存在m∈M,使a+b=m. 学科网（北京）股份有限公司 $$