1.1 第1课时 集合的概念 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“集合的概念”核心知识点，系统梳理元素与集合的含义、元素与集合的关系（属于或不属于）、集合中元素的确定性互异性无序性特征，以及常用数集（N、N*、Z、Q、R）的表示符号，形成从概念理解到关系判断再到特征应用的递进式学习支架。 资料采用“逐点理清式教学”设计，通过“多维理解+微点助解+微点练明”模块，结合判断正误、多选、解答等多样题型，典例与变式拓展深化元素特征应用。以实例抽象集合概念培养数学眼光，通过元素互异性推理题发展数学思维，规范符号使用提升数学语言表达。课中助力教师系统授课，课后课时检测帮助学生回顾强化，有效查漏补缺。

　集合与常用逻辑用语 1.1　集合的概念 第1课时　集合的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过实例了解集合与元素的含义,能判断元素与集合的关系. 2.能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单的问题. 3.熟记常用数集的表示符号,通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系. 逐点清(一)　元素与集合的概念 [多维理解] 1.元素与集合的含义 元素 一般地,把研究对象统称为元素 集合 把一些元素组成的总体叫做集合,简称为集 符号 表示 元素通常用小写拉丁字母a,b,c,…表示,集合通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示 |微|点|助|解| (1)“集合”是数学中的一个基本概念,同“点”“线”“面”等概念一样都是描述性概念. (2)集合是一个“整体”,一些对象一旦组成了集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而非个别对象. (3)组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等. 2.集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的. 3.集合中元素的特征 确定性 一个集合一旦确定,某一个元素属于或不属于这个集合也是确定的 互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同.也就是说,集合中的元素没有重复 无序性 集合中的元素是没有顺序的 [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)在一个集合中可以找到两个相同的元素. (　 ) (2)好听的歌能组成一个集合. (　 ) (3)方程(x-1)2(x+2)=0所有解组成的集合有3个元素. (　 ) (4)分别由元素0,1,2和2,0,1组成的两个集合是相等的. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(多选)考察下列每组对象,能组成集合的是 (　 ) A.中国各地最美的乡村 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.唐宋散文八大家 解析:选BCD　A中“最美”标准不明确,不符合确定性,B、C、D中的元素标准明确,均可构成集合,故选BCD. 3.集合中“元素”的英文单词“element”中的字母构成的集合中元素的个数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选D　由集合中元素的互异性可知,该集合中有“e”“l”“m”“n”“t”5个元素. 4.已知集合A中含有3个元素a,0,-1,集合B中含有3个元素c+b,,1,且集合A和集合B是相等的,则a=　　　　,b=　　　　,c=　　　　.  解析:∵集合A和集合B是相等的,又≠0, ∴a=1,c+b=0,=-1,∴a=1,b=-2,c=2. 答案:1　-2　2 逐点清(二)　元素与集合的关系 [多维理解] 1.元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属于 如果a是集合A的元素,就说a属于集合A a∈A “a属于A” 不属于 如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A a∉A “a不属于A” 2.常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理 数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R |微|点|助|解| (1)元素和集合是两个完全不同的概念,元素是集合中的某一对象,而集合是由所有的元素组成的. (2)由元素的确定性可知,对于任何a与A,a∈A或a∉A这两种情况必有一种且只有一种成立. (3)符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间,并且这两个符号的左边是元素,右边是集合,具有方向性(开口对着集合),左右两边不能互换. (4)N是非负整数集(即自然数集),而N*与N+表示正整数集,N包括元素0,而N*与N+不包括元素0. [微点练明] 1.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是 (　 ) A.3.14 B.-5 C. D. 解析:选D　因为是实数,但不是有理数,所以选D. 2.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系正确的是 (　 ) A.∈M B.0∉M C.1∈M D.-∈M 答案:D 3.已知集合A中元素满足2x+a>0,a∈R,若1∉A,且2∈A,则 (　 ) A.a>-4 B.a≤-2 C.-4<a<-2 D.-4<a≤-2 解析:选D　由题意可知 解得-4<a≤-2. 4.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.集合N与集合N*是同一个集合 B.集合N中的元素都是集合Z中的元素 C.集合Q中的元素都是集合Z中的元素 D.集合Q中的元素都是集合R中的元素 解析:选BD　因为集合N*表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以A、C中的说法不正确,B、D中的说法正确. 5.用符号“∈”和“∉”填空: (1)设集合A为所有偶数组成的集合,则0　　　A,-2 026　　　　A;  (2)设集合B是由平面直角坐标系中所有第二象限的点组成的集合,则-1　　　　B,(-1,1)　　　　B.  答案:(1)∈　∈　(2)∉　∈ 逐点清(三)　集合中元素特征的应用 [典例]　已知集合A中含有两个元素1和a2,若a∈A,求实数a的值. 解:由题意,可知a=1或a2=a, 若a=1,则a2=1,这与a2≠1相矛盾,故a≠1. 若a2=a,则a=0或a=1(舍去),又当a=0时,A中含有元素1和0,满足集合中元素的互异性,符合题意.综上可知,实数a的值为0. 　　[变式拓展] 1.本例若去掉条件“求a∈A”,其他条件不变,求实数a的取值范围. 解:由集合中元素的互异性可知a2≠1,即a≠±1. 所以a的取值范围是a≠±1. 2.本例条件中若“1”和“a”互换位置,求实数a的值. 解:若1∈A,则a=1或a2=1,即a=±1. 当a=1时,集合A有重复元素,与集合中元素的互异性矛盾,所以a≠1. 当a=-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合集合中元素的互异性,所以a=-1. |思|维|建|模|　由集合中的元素特征求参数的步骤 　　[针对训练] 1.由a2,2-a,3组成的一个集合A,若A中元素个数不是2,则实数a的取值可以是 (　 ) A.-1 B.1 C. D.2 解析:选D　由题意知a2,2-a,3组成一个集合A,A中元素个数不是2,因为a2=2-a=3无解,所以由a2,2-a,3组成的集合A的元素个数为3,故a2≠2-a≠3,即a≠-2,a≠±1,a≠±,即a可取2,故A、B、C错误,D正确. 2.已知集合P有三个元素-1,2a+1,a2-1.若0∈P,则实数a的值为 (　 ) A.-　 　 B.1　 　 C.-或1　 　 D.0或1 解析:选C　因为0∈P,所以2a+1=0或a2-1=0.当2a+1=0,即a=-时,P中含有元素-1,0,-,满足题意;当a2-1=0,即a=±1时,若a=1,则P中含有元素-1,3,0,满足题意;若a=-1,则P中含有元素-1,0,不满足题意.综上,实数a的值为-或1. [课时检测] 1.(多选)下列各组对象能构成集合的是 (　 ) A.倒数等于它本身的数 B.某班视力较好的同学 C.所有锐角三角形 D.小于π的正整数 解析:选ACD　根据集合的概念,可知集合中元素具有确定性,可得选项A、C、D中的元素都是确定的,故选项A、C、D能构成集合,但B选项中“视力较好”的标准不明确,不符合确定性,不能构成集合.故选ACD. 2.(多选)下列元素与集合的关系正确的是 (　 ) A.-1∈N B.0∉N* C.∈Q D.∈R 答案:BD 3.设不等式3-2x<0的解集为M,下列关系正确的是 (　 ) A.0∈M,2∈M B.0∉M,2∈M C.0∈M,2∉M D.0∉M,2∉M 解析:选B　本题是判断0和2与集合M间的关系,因此只需判断0和2是否是不等式3-2x<0的解即可.当x=0时,3-2x=3>0,所以0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2∈M. 4.(多选)若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长构成一个四边形,则这个四边形不可能是 (　 ) A.梯形 B.平行四边形 C.菱形 D.矩形 解析:选BCD　由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们组成的四边形的四条边都不相等. 5.已知集合M具有性质:若a∈M,则2a∈M,现已知-1∈M,则下列元素一定是M中的元素的是 (　 ) A.1 B.0 C.-2 D.2 解析:选C　因为-1∈M,所以2×(-1)∈M,即-2∈M. 6.集合A中有三个元素2,3,4,集合B中有三个元素2,4,6,若x∈A且x∉B,则x等于 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析:选B　集合A中的元素3不在集合B中,且仅有这个元素符合题意. 7.已知集合M是方程x2-x+m=0的解组成的集合,若2∈M,则下列判断正确的是 (　 ) A.1∈M B.0∈M C.-1∈M D.-2∈M 解析:选C　由2∈M知2为方程x2-x+m=0的一个解,所以22-2+m=0,解得m=-2.所以方程为x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2.故方程的另一根为-1,所以-1∈M. 8.(多选)下列说法正确的是 (　 ) A.N*中最小的数是1 B.若-a∉N*,则a∈N* C.若a∈N*,b∈N*,则a+b的最小值是2 D.x2+4=4x的实数解组成的集合中含有两个元素 解析:选AC　因为N*表示正整数集,容易判断A、C正确;对于B,若a=,则满足-a∉N*,但a∉N*,B错误;对于D,x2+4=4x的实数解只有2,所以组成的集合中只有一个元素,D错误. 9.已知a,b是非零实数,代数式++的值组成的集合是M,则下列判断正确的是 (　 ) A.0∈M B.-1∈M C.3∉M D.1∈M 解析:选B　当a,b全为正数时,代数式的值是3;当a,b全是负数时,代数式的值是-1;当a,b是一正一负时,代数式的值是-1.综上可知B正确. 10.由实数x,-x,|x|,,- 所组成的集合中,含有元素的个数最多为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:选A　∵=|x|,-=-|x|,故当x=0时,这几个实数均为0; 当x>0时,它们分别是x,-x,x,x,-x; 当x<0时,它们分别是x,-x,-x,-x,x. 最多表示2个不同的数,故集合中的元素最多为2个.故选A. 11.(5分)设集合D是满足方程y=x2的有序数对(x,y)的集合,则-1　　　D,(-1,1)　　　D.  解析:因为集合D中的元素是有序数对(x,y),而-1是数,所以-1∉D,(-1,1)∈D. 答案:∉　∈ 12.(5分)已知集合P中的元素x满足x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有三个元素,则整数a=　　　　.  解析:因为集合P中恰有三个不同元素,且元素x满足x∈N,2<x<a,则满足条件的x的值为3,4,5,所以整数a的值是6. 答案:6 13.(5分)已知集合M有2个元素x,2-x,若-1∉M,则下列说法一定错误的是　　　　.  ①2∈M;②1∈M;③x≠3. 解析:依题意解得x≠-1,x≠1且x≠3.对于①,当x=2或2-x=2,即x=2或x=0时,M中的元素为0,2,故①可能正确;对于②,当x=1或2-x=1,即x=1时,M中两元素为1,1不满足互异性,故②不正确;③显然正确. 答案:② 14.(10分)已知集合A含有两个元素m,m2-3m,其中m∈R. (1)实数m不能取哪些数?(5分) (2)若4∈A,求实数m的值.(5分) 解:(1)根据题意,可得m≠m2-3m,解得m≠0且m≠4,因此,实数m不能取0和4. (2)由(1)的结论,可知m≠4,若4∈A,则m2-3m=4,解得m=-1(m=4不符合题意),因此,实数m的值是-1. 15.(10分)设集合S中的元素全是实数,且满足下面两个条件: ①1∉S;②若a∈S,则∈S. (1)求证:若a∈S,则1-∈S;(5分) (2)若2∈S,则在S中必含有其他的两个元素,试求出这两个元素.(5分) 解:(1)证明:因为1∉S,a∈S, 所以1-a≠0,且∈S, 可得==1-∈S, 故若a∈S,则1-∈S. (2)由2∈S,得=-1∈S; 由-1∈S,得=∈S; 而当∈S时,=2∈S,…,因此当2∈S时,集合S中必含有-1,两个元素. 学科网（北京）股份有限公司 $$