2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系 题型一 求不含参的一元二次方程的解集 1．（24-25高一上·上海·课后作业）方程的解集为 ． 2．方程的解集为 3．（24-25高一上·上海·课前预习）解下列方程． (1)； (2)． 4．（24-25高一上·上海·课前预习）解方程： (1)； (2)． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、、均为实数，且，求关于的方程的解集． 题型二 根与系数关系的应用 6．已知方程的两个根为、，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 7．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 8．（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若、是一元二次方程的两根，的值为 ． 10．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 题型一 求含参的一元二次方程的解集 （24-25高一上·上海·随堂练习）求关于x的一元二次方程的解集． 题型二 由根与系数关系求参数 12．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知实系数一元二次方程的两根分别为，且，则实数m的值为 . 13．（24-25高一上·贵州遵义·期末）设是关于的方程的实数根，若，则 . 14．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 15．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 16．已知一元二次方程的两实根为、，且，求实数的值. 题型三 一元二次方程有根求参数范围 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．若，求的值． 18．若是方程，的两个根． (1)求实数的取值范围； (2)用表示． 19．已知关于的一元二次方程. (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两实根，，且满足，求实数的值. 20．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根. (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 21．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 22．（23-24高一上·上海·期中）已知关于x的方程有两个实数根，若，求实数m的值． 23．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 题型四 一元二次方程无根求参数范围 24．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 25．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的取值范围： (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程无实数根． 26．（24-25高一上·上海·随堂练习）设关于x的方程，当k为何值时， (1)有两个不相等的实数根； (2)没有实数根． 题型五 一元二次方程根据正负根求参数范围 27．关于的一元二次方程有一个正根和一个负根，写出一个满足条件的的值为 . 28．已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 29．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 题型六 用充要条件证明 30．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 31．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 32．求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 33．试证：方程至少有一个负实根的充要条件是. 34．已知一元二次方程． (1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； (2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明． 1．求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 2．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为 ． 4．已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设为实数，集合. (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1.2 一元二次方程的解集及根与系数的关系 题型一 求不含参的一元二次方程的解集 1．（24-25高一上·上海·课后作业）方程的解集为 ． 【答案】 【分析】求出方程的两根，即可得解. 【详解】方程，则， 所以，， 所以方程的解集为. 故答案为： 2．方程的解集为 【答案】 【分析】对换元，然后将方程进行配方，开根号化简运算即可求得. 【详解】设 ，则 ， 故原方程可变为 ， 因此可知 或 (舍). 从而 ，即 ， 所以原方程的解集为 . 故答案为: . 3．（24-25高一上·上海·课前预习）解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）（2）直接求解即可. 【详解】（1）由，得， 所以方程的解为. （2）由，得， 解得或， 所以方程的解为或. 4．（24-25高一上·上海·课前预习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用求根公式，即可求解； （2）利用因式分解，即可求方程的实根. 【详解】（1），得； （2），得或. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）已知、、均为实数，且，求关于的方程的解集． 【答案】 【分析】先根据二次根式、绝对值、平方数的非负性列方程组求出，然后解一元二次方程即可求解. 【详解】∵，又，，， ∴，∴，∴一元二次方程为， ∴，∴或， 解得或，∴原方程的解集为． 题型二 根与系数关系的应用 6．已知方程的两个根为、，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据韦达定理及计算可得； （2）根据韦达定理及计算可得； （3）根据韦达定理及计算可得； （4）根据韦达定理及计算可得. 【详解】（1）因为、是方程的两个根， 所以，，所以. （2）. （3）. （4） . 7．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知方程的两个根为，，则 ． 【答案】3 【分析】由已知结合方程的根与系数关系即可求解 【详解】因为方程的两个根为，， 所以， 则． 故答案为：3 8．（24-25高一上·上海奉贤·期末）设、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是方程的两个实数根，由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 9．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若、是一元二次方程的两根，的值为 ． 【答案】 【分析】利用韦达定理可求得所求代数式的值. 【详解】因为、是一元二次方程的两根， 由韦达定理可得，， 因此，. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知方程的两个根为、，则的值为 . 【答案】3 【分析】由韦达定理得到，，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根为、， 由韦达定理得，，， 所以. 故答案为：3. 题型一 求含参的一元二次方程的解集 （24-25高一上·上海·随堂练习）求关于x的一元二次方程的解集． 【答案】答案见解析 【分析】分类求解含参的一元二次方程. 【详解】元二次方程，， 当，即时，原方程无解； 当，时，解得， 当，时，解得， 所以当时，原方程解集为空集；当时，原方程的解集为； 当时，原方程的解集为． 题型二 由根与系数关系求参数 12．（22-23高一下·上海浦东新·期末）已知实系数一元二次方程的两根分别为，且，则实数m的值为 . 【答案】或 【分析】利用韦达定理求出，分的正负讨论即可得解. 【详解】当时，解得或， ， 则，解得； 当由题意可设， 由韦达定理得， 则，解得； 当，解得， 可设， 由韦达定理得， 则，解得. 故答案为：或. 13．（24-25高一上·贵州遵义·期末）设是关于的方程的实数根，若，则 . 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系列方程，即可求解的值. 【详解】由，得， 又是关于的方程的实数根， 所以由根与系数的关系可得，， 从而，解得. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·期中）已知关于x的一元二次方程．若方程的两根为，且满足，则m的值为 【答案】/ 【分析】根据韦达定理可得的表示，化简条件结合韦达定理形式可求结果. 【详解】因为的两根为， 所以， 所以，解得，符合条件， 故答案为：. 15．（24-25高一上·上海·期中）方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程中根与系数的关系求解即可. 【详解】由根与系数的关系知，， 所以， 解得， 故答案为： 16．已知一元二次方程的两实根为、，且，求实数的值. 【答案】 【分析】转化，结合韦达定理以及判别式，即得解 【详解】由题意，一元二次方程的两实根为、 故 解得或 且 故 即 或（舍去） 故实数的值为 题型三 一元二次方程有根求参数范围 17．（24-25高一上·上海·课后作业）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、．若，求的值． 【答案】2 【分析】由题意首先根据方程的解的情况列出不等式组求得且，再结合韦达定理确定的值即可得解. 【详解】由题知，，解得且． 因为，，所以，所以或． 又因为且，所以的值是2． 18．若是方程，的两个根． (1)求实数的取值范围； (2)用表示． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由判别式即可求解； （2）由韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为方程有两个根， 所以，且有， 即，解得：. 综上：或. （2）由韦达定理得：，， 所以. 19．已知关于的一元二次方程. (1)若方程有实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两实根，，且满足，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的判别式列出关于的不等式，求解即可； （2）根据一元二次方程的判别式和根与系数的关系，结合已知条件，即可求解. 【详解】（1）∵方程有实数根， ∴，∴. （2）∵方程有两实根，， ∴，∴， 且，， ∴， ，， ∴，或， ∵，∴. 20．已知，是关于的一元二次方程的两个实数根. (1)求实数的取值范围； (2)若，求实数的值； (3)求使的值为整数的实数的整数值. 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】(1)结合一元二次方程的判别式即可求解；(2)结合韦达定理即可求解；(3)结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为，是关于的一元二次方程的两个实数根， 从而，解得， 故实数的取值范围为. （2）由韦达定理可知，，，， 所以， 解得. 从而实数的值为. （3）结合(2)中韦达定理可知，， 因为， 所以欲使的值为整数，只需为或或， 从而实数的整数值为或或. 21．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)取，设一元二次方程两个根为，求，． 【答案】(1) (2)2， 【分析】（1）根据判别式，列出不等式，求解即可； （2）根据韦达定理，代值计算即可. 【详解】（1）由题意可得：解得：且， 所以实数的取值范围是 （2）当，可得， 所以， 所以， 22．（23-24高一上·上海·期中）已知关于x的方程有两个实数根，若，求实数m的值． 【答案】 【分析】根据题意，，结合韦达定理和完全平方公式对化简，求出实数m的值． 【详解】因为关于x的方程有两个实数根， 则，解得， 根据韦达定理可知，，， ，即，即， 即， 化简得，解得或（舍）， 所以. 23．（24-25高一上·上海闵行·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为、． (1)求实数m的取值范围； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)． (2)． 【分析】（1）由判别式大于0可得； （2）由韦达定理求解． 【详解】（1）由题意，解得或， 的范围是． （2）由题意，， 所以，解得， 又，所以，即． 题型四 一元二次方程无根求参数范围 24．已知关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】直接根据，即可得答案； 【详解】由题意得：， 故答案为：. 25．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的取值范围： (1)方程有两个不相等的实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程无实数根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】由根的判别式的符号确定参数的取值范围. 【详解】（1）由； （2）由； （3）由. 26．（24-25高一上·上海·随堂练习）设关于x的方程，当k为何值时， (1)有两个不相等的实数根； (2)没有实数根． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用判别式列出不等式求解即可. 【详解】（1）方程，即， 依题意，，解得， 所以所求范围是. （2）由（1）得，解得， 所以所求范围是. 题型五 一元二次方程根据正负根求参数范围 27．关于的一元二次方程有一个正根和一个负根，写出一个满足条件的的值为 . 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【分析】根据条件，得到，解得，即可求解. 【详解】因为的一元二次方程有一个正根和一个负根， 所以，解得，所以满足条件的的值为， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 28．已知方程有一正根一负根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据两根之积小于0列不等式，求解可得结果. 【详解】设方程的两根为，由韦达定理得. ∵方程有一正根一负根， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围是，此时，符合题意. 故答案为：. 29．（23-24高一上·上海黄浦·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实根分别为． (1)均为正根，求实数m的取值范围； (2)若满足：，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】结合韦达定理列出式子，即可求； 【详解】（1）由均为正根，得， 解得，即； （2）由（1）得，解得（舍去）或， 则 题型六 用充要条件证明 30．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：，，，是等式恒成立的充要条件． 【答案】证明见解析. 【分析】利用充分性和必要性的定义证明即可. 【详解】证明：充分性： 若，，，， 则等式自然恒成立． 必要性： 由于等式恒成立，分别令、1、、，并代入上式， 得 由此，可得，，，． 故，，，是等式恒成立的充要条件. 31．（24-25高一上·全国·课堂例题）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 【答案】证明见解析 【分析】先证明充分性，再证明必要性即可． 【详解】证明：充分性：若，则， 方程有两个实根，， 根据根与系数的关系得． 所以方程有两个异号实根． 必要性：若一元二次方程有两个异号实根，， 则，即． 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件． 32．求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】由，可得，且，证明充分性；令，解不等式组求出m的范围，可证明必要性. 【详解】充分性：∵， ∴方程的判别式，且， ∴方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 则有，解得. 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 33．试证：方程至少有一个负实根的充要条件是. 【答案】见解析. 【分析】根据题意证明充分性和必要性均成立即可. 【详解】证明：充分性： 当时，，其根为，方程有一个负根，符合题意； 当时，，方程有两个不相等的实数根， 且两根之积为，方程两根一正一负，符合题意； 当时，，方程有实数根， 且，故方程两根均为负，符合题意； 综上：当时，方程至少有一个负实根. 必要性： （1）当时，方程，合乎题意； （2）当时，设方程的两根为，显然， ①方程有两个相等的负根， 则，得， 此时方程为，解得，合乎题意； ②方程有两个不等的负根， 则，即，解得； ③方程有一个正根和一个负根， 则，即，解得； 综上：若方程至少有一个负实根，则. 故方程至少有一个负实根的充要条件是. 34．已知一元二次方程． (1)写出“方程有一个正根和一个负根”的充要条件； (2)写出“方程有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明． 【答案】(1) (2)方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是，证明见解析 【分析】（1）利用判别式及韦达定理即可得到不等式组，解出即可； （2）首先由（1）知其充要条件为，故可以选取作为其必要不充分条件，再证明即可. 【详解】（1）若方程有一个正根和一个负根， 则，即，． 方程有一个正根和一个负根的充要条件是． （2）方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是， 证明：若方程有一个正根和一个负根， 则由（1）知其充要条件为， 从而，故必要性成立． 若，则方程中，，， 方程有两个同号根，充分性不成立， 故是方程有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件． 1．求下列关于的方程（方程组）的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）化简方程，即可求解； （2）化简方程，即可求解； （3）化简方程，求得，即可求解； （4）根据方程组的解法，利用消元法，即可求解； （5）联立方程组，结合一元二次方程的解法，即可求解. 【详解】（1）解：由方程，即， 解得或，即方程的解集为. （2）解：由方程，即 解得或，即方程的解集为. （3）解：由方程，即，解得，即， 所以方程的解集为. （4）解：由不等式组， ①+②，可得，②-③，可得， 联立方程组，解得，代入①式，可得， 所以不等式组的解集为. （5）解：由方程组，整理得，解得或， 当时，可得；时，可得， 所以方程组的解集为. 2．方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程等价于，求解即可. 【详解】解：因为， 解得或(舍)， 由，解得或， 所以原方程的解集为. 故选：C. 3．若关于的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为 ． 【答案】0或1 【分析】消去整理可得，分和两种情况讨论，分别求出的取值． 【详解】由消去整理可得． 当时，解得，此时方程组的解为符合题意； 当时，则，解得，此时方程组的解为符合题意． 综上可得或． 故答案为：0或1. 4．已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 【答案】B 【分析】由方程组可得，应用韦达定理有，，再由列方程求参数值即可. 【详解】由题设，则，且， 所以，， 而，即， 整理得，可得. 故选：B 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）设为实数，集合. (1)若，求； (2)若，求满足的条件； (3)设，，且集合均恰有两个元素，求三元数对. 【答案】(1)； (2)或 (3)，，，. 【分析】（1）代入，分解因式解方程可得； （2）由是方程的根得，再按是否为方程的根分类讨论即可； （3）先分析方程的一次项系数及方程二次项系数均不为，再分，，且三类情况讨论即可. 【详解】（1）若， 则方程为， 即，解得或. ； （2）由题意知，. ，是方程的根， 即，解得. 由，集合有且仅有一个元素， 即方程有且仅有一个根， ①若是方程的根， 则，且，解得； ②若不是方程的根， 则方程无实数根， 则； 综上所述，或. （3），， 若，， ， 则，又，， 所以有，解得. 验证：当时，， 不满足集合恰有两个元素，故； 若， 由， ， 则，，又，则，又， 所以，即. 由，则,即,解得. 验证：当时， 也不满足集合恰有两个元素，故； 由上可知，且.则， 且方程与有相同的判别式， 即两方程根的个数相同. 由集合均恰有两个元素，则. ， 因为，则是方程或的根. 由，且，则是方程或的根. ①当时，是方程的根，，则， 又，则，由， 则是方程的根，则. （i）若，联立解得. 验证：当，，时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两个不相等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ②当时，，即是方程的根， 则，又，则， 则是方程的根，则，即 （i）若，联立解得. 验证：当，，时， ， ，满足题意； （ii）若，方程有两不等的实数根， 又，则方程的两根必为和. 故由韦达定理得，解得； 验证：当时， ， ，满足题意； ③当且时，则不是方程的根，也不是方程的根. 由，则是方程的两实数根， 且是方程的根， 则有，解得. 验证：当且，，时，有. 有三个元素，故不满足题意； 综上所述，满足题意的所有三元数对有，，，. 【点睛】关键点分析：本题的关键在于两个突破口，一是以方程与的两根情况为入手点，当时可知，且；二是以为入手点，以“是否为方程的根”与“是否为方程的根”为分类界点产生讨论即可. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$