第13 讲 数轴上的动点问题 专题培优讲练 2025-2026学年人教版七年级数学上册

第13 讲 数轴上的动点问题 专题1 数轴上的动点问题(1)———双动点(1)微信扫码 题型一 同时相向运动问题 【典例】如图，在数轴上A 点表示数a，B点表示数b，AB 表示A 点和B 点之间的距离，且a，b满足 点 P 从A 点出发以3个单位每秒的速度向右运动，点Q同时从B 点出发以2个单位每秒的速度向左运动，AP-BQ=2PQ.求运动时间. 题型二 同时同向运动问题 变式1.已知点A,B,C在数轴上对应的数分别为-4,6,c,且BC=CA. (1)直接写出c 的值； (2)两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点出发向右运动，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为1个单位/秒，求经过几秒，点B 与两只蚂蚁的距离和等于7. 题型三 同向不同时运动问题 变式2.数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别是a，b，c，满足 = 0 ..动点 P 从A 出发，以每秒1个单位的速度向终点C 移动，设移动时间为t秒，当点P 运动到B点时，点Q 从A 点出发，以每秒3个单位的速度向终点C运动，则几秒后，P，Q两点之间的距离为2. 专题2 数轴上的动点问题(2)————双动点(2) 题型一 运用方程法(讨论)或坐标法(带绝对值) 【典例】如图，在数轴上A 点表示数a，B点表示数b，AB 表示A 点和B 点之间的距离，C是AB 的中点,且a,b 满足 (1)求点C 表示的数； (2)点P 从A 点以3个单位/秒向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位/秒向左运动，若A P + B Q = 2 P Q ,，求时间t； 题型二数轴上追及与相遇问题 变式.如图，在数轴上点 A 表示数a，点B 表示数b，且a，b满足 点 P,点Q 为两个动点，点P 从点A 出发，速度为每秒4个单位长度，点Q 同时从点B 出发，速度为每秒2个单位长度. (1)若点 P 和点Q 都向右运动，它们在点 M 处相遇，求点 M 所表示的数m； (2)若点 P 向右运动，点Q 向左运动，且.A P + B Q = 2 P Q ,，求此时点 P 所表示的数 p. 学科网（北京）股份有限公司 专题3 数轴上的动点问题(3)———三动点 题型一 数轴上追及问题 【典例】已知多项式 中，含字母m项的系数为a，多项式的次数为b，常数项为c.且a，b，c 分别是点A，B，C在数轴上对应的数. (1)求a,b,c 的值,并在数轴上标出A,B,C; (2)若甲、乙、丙三个动点分别从A，B，C三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速度分别是 (单位：长度/秒)，当乙追上丙时，乙是否追上了甲?为什么? 题型二 动点位置不明确，分类讨论 变式.已知数轴上有A，B，C三个点，对应的数分别是a，b，c，且满足 ；动点 P 从A 出发，以每秒1个单位的速度向终点C 移动. (1)求a,b,c的值; (2)若点 P 到A 点的距离是点 P 到B 点的距离的2倍，求点 P 的对应的数； (3)当点 P 运动到B 点时，点Q 从A 点出发，以每秒3个单位的速度向C 点运动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，运动到终点A.在点 Q 开始运动后第几秒时，P，Q两点之间的距离为4?请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 专题4 数轴上的动点问题(4)————变速问题 题型一点的变速运动 【典例】(2020青山区期末)已知A,B,C,O四点在数轴上对应的数分别为a,b,18,0,且a,b满足 ，动点 M 从点A 出发，以2单位/秒的速度向右运动，同时动点 N 从点C 出发，以1单位/秒的速度向左运动，线段OB 为“变速区"，规则为：从点O运动到点B 期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点 B 运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，当点 M 到达点C 时，两点都停止运动，设运动的时间为t秒. (2)①动点 M 从点A 运动至点C 时,求 t 的值; ②M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数； (3)若点 D 为线段OB 中点,当t= 秒时,MD=ND. 题型二线段的变速运动 变式.如图1，已知数轴上点 A 表示的数为-6，点B 表示原点，线段CD=2(点A 在点B 的左侧,点C 在点D 的右侧),BD=15. (1)求图1中所有线段的条数为 条； (2)若线段AB 从点B 开始以2个单位/秒的速度向右运动，同时线段CD 从点D 开始以1个单位/秒的速度向左运动，当时间t 在什么范围内，线段 CD 所有的点都在线段AB 上? (含端点) (3)若线段AB 从点B 开始以2个单位/秒的速度一直向右运动，同时，线段CD 从点C开始以1个单位/秒的速度向右运动，当端点 B 与D 初次相遇时，线段DC 立即以原来速度的2倍向左运动，当端点C 与端点A 初次相遇时，线段CD 的速度变为初始速度的 方向继续向左，问在整个运动过程中，时间t为何值时AC=1. 学科网（北京）股份有限公司 专题5 数轴上的动点问题(5)————定值问题 题型一 合并后系数为0 【典例】数轴上点 A 和点C 表示的数分别为a 和c，且 ，我们把数轴上点A，B 两点之间的距离记为AB. (1)若数轴上有一点 D,满足CD=2AD,则点 D 表示的数为 ; (2)动点B 从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A，C的运动速度分别为每秒2个单位长度、每秒3个单位长度，设运动的时间为t秒.若点A 向左运动，点C 向右运动，式子2AB-mBC 的值不随时间的变化而变化，试求2AB-mBC 的值. 题型二注意分区间讨论 变式.已知数轴上有A，B，C，O四个点对应的数分别是a，b，c，0.且满足| 动点 P 从C 出发，以每秒1个单位的速度向终点A 移动，设移动时间为t秒. (1)则a= ,b= ,c= ; (2)若点 P 到C 点距离是到B 点距离的3倍，求点 P 对应的数； (3)当点 P 运动时，点Q 从A 点同时出发，以每秒2个单位的速度向终点C 点运动，若M 为PA 的中点,若 为定值且为正数，求出这个定值，并求出此时t 的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 专题6 数轴上的动点问题(6)————和差为定值 题型一 和、差为定值 【典例】已知式子 是关于x 的二次多项式，且二次项的系数为b，在数轴上有A，B，C三个点，且点A，B，C三点所表示的数分别为a，b，c，如图所示，已如AC=6AB. (1)a= ,c= ,b= ; (2)点P，Q分别自A，B同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点M 自点C出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t(秒)， 时，数轴上有一点N 与点M 的距离始终为2，且点 N 在点M 的左侧，点T 为线段MN上一点(点T 不与点M,N 重合),在运动的过程中,若满足MQ-NT=3PT(点T不与点 P 重合)，求出此时线段 PT 的长度. 题型二含多参问题 变式.如图，数轴上A，B两点表示的有理数分别为a，b，( 与 互为相反数.线段CD 在数轴上从A 点左侧沿数轴正方向匀速运动(点C 在点D 的左侧)，点M，N分别为AC,BD的中点. (1)AB 的长为 ,若CD=2,则MN 的长为 ; (2)在(1)条件下,当 时，求N 点所表示的有理数； (3)设CD=m，线段CD 运动的速度为v，则在运动过程中，线段CD 完全通过线段MN的时间为 (用含m，v的式子表示). 学科网（北京）股份有限公司 专题1 数轴上的动点问题(1)————双动点(1) 【典例】解：设运动时间为t， 则 P 点表示的数为:-3+3t, Q点表示的数为:9-2t, AP=3t,BQ=2t, PQ=|9-2t-(-3+3t)|=|12-5t|, ∴t=2|12-5t|, 秒或 秒. 变式1.解:(1)c=1; (2)①6-(-4+4t)+6-(1+t)=7, ②(-4+4t)-6+6-(1+t)=7,t=4; ③(-4+4t)-6+(1+t)-6=7, (舍去). 综上所述，经过 秒或4秒，点B与两只蚂蚁的距离和等于7. 变式2.解:P 点表示的数为:-24+t, Q点表示的数为:-24+3(t-14)=3t-66, PQ=|-24+t-(3t-66)|=|42-2t|=2,故t=20或22. 专题2 数轴上的动点问题(2)————双动点(2) 【典例】解:(1)∵|a+3|+(b+3a)²=0, ∴a+3=0,b+3a=0, 解得a=-3,b=9, ∴点C表示的数是3. (2)①相遇前, ∵AB=9+3=12,点 P 从A 点以3个单位/秒向右运动，点Q 同时从B 点以2个单位/秒向左运动， ∴AP=3t,BQ=2t, PQ=12-5t. ∵AP+BQ=2PQ, ∴3t+2t=24-10t,解得 ②相遇后， 综上所述， 或245. 变式.解：设时间为ts. (1) xp=-3+4t,xQ=9+2t, -3+4t=9+2t,∴t=6, ∴m=9+12=21; (2)AP=4t,BQ=2t, PQ=|9-2t-(-3+4t)|=|12-6t|, ∴4t+2t=2|12-6t|. ①当t≤2时, 此时 ②当t>2时,3t=6t-12,t=4,此时p=-3+4t=13. ∴P 点表示数p为 或13. 专题3 数轴上的动点问题(3)————三动点 【典例】解：(1)a=-1,b=5,c=-2; (2)设乙追上丙的时间为 t 秒,5-2t= ∴乙追上了甲. 变式.解:(1)∵|a+24|+|b+10|+(c-10)²=0,又∵|a+24|≥0,|b+10|≥0,(c-10)²≥0, ∴|a+24|=0,|b+10|=0,(c-10)²=0,∴a=-24,b=-10,c=10. (2)设 P 点对应的数为x,|x-(-24)|=2|x-(-10)|. x=4或 ∴P 点对应的数为4或 (3)设Q点运动时间为t， 时,P:-10+t,Q:-24+3t,|-24+3t-(-10+t)|=4,t=9或t=5. ② <t≤20,P:—10+t,Q:10—3(t— 或 ③t>20,舍去. 答：当点Q 开始运动后第5，9， 时，P，Q两点之间的距离为4. 专题4 数轴上的动点问题(4)————变速问题 【典例】解:(1)a=-10,b=10,AC=28; (2)①a=-10,b=10,c=18, ∴AO=10,BO=10,BC=18-10=8, ∴动点 M 从点 A 运动至点C 时,t=19; ②设M,N 两点在 P 点相遇,P 点在数轴上所对应的数为y，易知点 P 落在线段OB段, 依题意有:y-3=0.5(10-y),解得:y ∴M，N两点相遇时，相遇点 P 在数轴上所对应的数为 (3)t=2或 或11或17. 变式.解:(1)6 (2)设线段AB 的运动时间为t秒，出发后点B，C重合时， 出发后点A，D重合时,t=7. 综上： 时，线段CD 上所有的点都在线段AB 上； (3)设B 与D 初次相遇时运动时间为t₁，C与A 初次相遇的时间为 15,解得 当15<t≤17 时,如图2,AC=AB+CD-BD=6+2-(t-15)×(2+2)=68-4t, ∵AC=1,∴68-4t=1,1解得 当t>17时,如图3, 解得 综上： 或875. 专题5 数轴上的动点问题(5)——定值问题 【典例】解： 或-70 (2)2AB-mBC =2[(1+t)-(-20-2t)]-m[(30+ 3t)-(1+t)] =(6-2m)t+42-29m, 6-2m=0, ∴m=3, 2AB-mBC 为定值-45. 变式.解:(1)—18 8 20 (2)t 秒后P 对应的数为20-t, ∵PC=3PB, ∴20-(20-t)=3|(20-t)-8|, ∴t=9或18, ∴P 对应的数为11或2; (3)∵M对应的数为 Q对应的数为-18+2t, ①当0≤t<2时, 不合题意； ②当2≤t<9时, 不合题意； ③t≥9时, ∴t≥9时,定值为 专题6 数轴上的动点问题(6)————和差为定值 【典例】解:(1)16,20,-8; (2)设T点表示的数为x， MQ=28-8t, NT=x+10-6t,PT=|x+2t-16|, ∴28-8t-(x+10-6t)=3|x+2t-16|, 或 15,. 或1. 变式.解:(1)10 6 (2)设C 对应的数为x, 则D 对应的数为x+2， ∴M 对应的数为 N 对应的数为 解得x=-7或x=-13, ∴N 对应的数为 或 $$