第15讲 相似三角形的性质及其应用（知识清单+7必考题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（浙教版）

第15讲 相似三角形的性质及其应用 题型梳理 题型方法 题型一 相似三角形的对应角平分线、对应中线的比 题型二 三角形的重心及性质 题型三 相似三角形对应高线的比 题型四 相似三角形的周长的比 题型五 相似三角形的面积的比 题型六 运用相似三角形的性质进行测量 题型七 相似三角形性质的其他实际应用 知识清单 知识点1.三角形的重心（重点） 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 知识点2.相似三角形的性质（重点） （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 知识点3.相似三角形的实际应用（重点）（难点） （1）利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 题型方法 【题型一】相似三角形的对应角平分线、对应中线的比 【例1】两个相似三角形的相似比是，则其对应中线之比是(   ) A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】如果两个相似三角形的对应高线的长度之比为，对应的角平分线的长度之比为，那么（    ） A． B． C． D．的大小无法比较 【变式2】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如果两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为，那么大三角形对应角的角平分线的长为 ． 【变式3】已知，和分别是和边上的高，且，，是的中线，，求中对应中线的长． 【题型二】三角形的重心及性质 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，重心为G，和在边上高之比为（    ） A． B． C．2 D．3 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，，是的中线，G是的重心，且．若，，则 ．    【变式2】（2022九年级上·浙江·专题练习）已知，点G是的重心，，求的长度． 【变式3】（2022九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，点是的重心，过作的平行线，分别交于点作，交于点，若的面积为，求四边形的面积． 【题型三】相似三角形对应高线的比 【例3】若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是和，那么这两个三角形的相似比为（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知，，，的高为6，那么的高长为 ． 【题型四】相似三角形的周长的比 【例4】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）两个相似三角形一组对应边上的中线长分别是和，且其中较大三角形的周长是，则较小三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江·期末）已知两个相似三角形的面积比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22九年级上·浙江丽水·期末）已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是 ． 【变式3】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知，，，则与的周长之比为 . 【题型五】相似三角形的面积的比 【例5】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）若两个三角形的相似比为，则它们的面积比为（     ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，E是边上一点，连结并延长交的延长线于点F．若，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，，，是延长线上的一点，，已知，过点作的垂线，过点作的垂线，使两条垂线相交于点，且，连接，则与的面积比为 ． 【变式3】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且．    (1)求的值． (2)求与四边形的面积比． 【题型六】运用相似三角形的性质进行测量 【例6】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，身高为1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2 m，AB＝10 m，则旗杆的高度是（　　） A．6.4m B．7m C．8m D．9m 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为 米．    【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，小明用长为的竹竿作测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使O、C、A在同一直线上，此，． (1)证明：与相似． (2)求旗杆的高． 【题型七】相似三角形性质的其他实际应用 【例7】如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）中国高铁近年来以震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”． 修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道（在山的两侧），工程人员为了计算两点之间的直线距离，选择了在测量点进行测量，点分别在上，现测得米，米，米，米，米，求隧道的长． 好题必刷 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，两点分别在，边上，且，则与面积的比值是（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，的中线，交于点G，且的面积为12，则结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的两条中线、交于点，若，则长为 ． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米． 7．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，点为三角形纸片的重心，过点分别作，，的平行线，沿着平行线剪开得到与，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 三、解答题 8．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，分别是，上的点，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求与的面积之比． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高． 10．（21-22九年级上·浙江温州·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，AF平分∠BAC交DE于点G，交BC于点F． (1)求证：； (2)若点G是△ABC的重心，，求AB的长． 11．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，D为边上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F．    (1)求证：． (2)若，求与的面积比． (3)设，四边形的面积为y，求y关于x的函数表达式并求其最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 相似三角形的性质及其应用 题型梳理 题型方法 题型一 相似三角形的对应角平分线、对应中线的比 题型二 三角形的重心及性质 题型三 相似三角形对应高线的比 题型四 相似三角形的周长的比 题型五 相似三角形的面积的比 题型六 运用相似三角形的性质进行测量 题型七 相似三角形性质的其他实际应用 知识清单 知识点1.三角形的重心（重点） 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 知识点2.相似三角形的性质（重点） （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 知识点3.相似三角形的实际应用（重点）（难点） （1）利用影长测量物体的高度． ①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． ②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）． ①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形． ②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 题型方法 【题型一】相似三角形的对应角平分线、对应中线的比 【例1】两个相似三角形的相似比是，则其对应中线之比是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质．根据“相似三角形的面积的比等于相似比的平方”即可求得． 【详解】解：∵两相似三角形的相似比为， ∴其对应中线之比是， 故选：B． 【举一反三】【变式1】如果两个相似三角形的对应高线的长度之比为，对应的角平分线的长度之比为，那么（    ） A． B． C． D．的大小无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应高的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比，列式计算即可． 【详解】∵两个相似三角形的对应高线的长度之比为，对应的角平分线的长度之比为， 根据相似三角形的对应高的比等于相似比，对应角平分线的比等于相似比， ∴， , 而都只能是正数， ． 故选B． 【变式2】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如果两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为，那么大三角形对应角的角平分线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形中对应线段：三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应角的角平分线的比等于相似比，列式计算即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的面积之比是， 两个相似三角形的相似比为， 设大三角形对应角上的角平分线的长为， 由题意得， ， 故答案为：． 【变式3】已知，和分别是和边上的高，且，，是的中线，，求中对应中线的长． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形中对应线段成比例即可得到答案． 【详解】解：∵，和分别是和边上的高，且和是对应的中线， ∴， 即， ∴． 【题型二】三角形的重心及性质 【例2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，重心为G，和在边上高之比为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查三角形的重心，相似三角形的判定和性质，连接并延长交于点，根据重心的性质，得到，进而得到，证明，列出比例式即可得出结果． 【详解】解：连接并延长交于点， ∵重心为G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，，是的中线，G是的重心，且．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了重心的概念及性质，由重心的概念及性质得到，，根据勾股定理计算即可．理解重心的概念及性质：“三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．” 是解题的关键． 【详解】解：∵G是的重心， ， ， ， ， ∵为中线， ， 故答案为：． 【变式2】（2022九年级上·浙江·专题练习）已知，点G是的重心，，求的长度． 【答案】 【分析】延长交于点H；证明；证明，求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点H； ∵点G是的重心， ∴； ∵， ∴， ∴； 由勾股定理得： ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 【变式3】（2022九年级上·浙江·专题练习）已知：如图，点是的重心，过作的平行线，分别交于点作，交于点，若的面积为，求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接并延长交于．由重心的性质得，．由，根据平行线分线段成比例定理可得，于是．再由，得出，根据相似三角形的性质得出，进而求出四边形的面积． 【详解】解：连接并延长交于．由重心的性质得，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ECFD的面积=． 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键． 【题型三】相似三角形对应高线的比 【例3】若两个相似三角形的面积比是，则这两个三角形对应边上的高之比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、对应高（中线、角平分线）的比等于相似比是解题的关键．由相似三角形的面积比等于相似比的平方先求得相似比，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是 ∴这两个相似三角形的相似比是 ∴这两个相似三角形对应边上的高之比是． 故选：D． 【举一反三】【变式1】已知两个相似三角形，其中一组对应边上的高分别是和，那么这两个三角形的相似比为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，即可得出结论. 【详解】解：∵相似三角形对应高的比等于相似比 ∴ 相似比= 故选B 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形对应高的比等于相似比，熟记相关性质是解题的关键. 【变式2】已知，，，的高为6，那么的高长为 ． 【答案】4 【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应高的比进而得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴相似比为：， ∵的高为6， ∴的高长为：． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 【题型四】相似三角形的周长的比 【例4】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）两个相似三角形一组对应边上的中线长分别是和，且其中较大三角形的周长是，则较小三角形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：设较小三角形的周长为， 由题意得，， 解得， ∴较小三角形的周长为， 故选：． 【举一反三】【变式1】（23-24九年级上·浙江·期末）已知两个相似三角形的面积比为，则它们的周长比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：两个相似三角形的面积比为， 这两个相似三角形的相似比为， 它们的周长比为， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握“相似三角形周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方”是解题的关键． 【变式2】（21-22九年级上·浙江丽水·期末）已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是 ． 【答案】3:1/3 【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为3， ∴它们的周长比为3：1． 故答案为：3：1． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形周长的比等于相似比是解答此题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，已知，，，则与的周长之比为 . 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，根据题意证明，根据相似三角形的周长之比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴与的周长之比为， 故答案为：． 【题型五】相似三角形的面积的比 【例5】（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）若两个三角形的相似比为，则它们的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个三角形的相似比为， ∴它们的面积比为， 故选B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，E是边上一点，连结并延长交的延长线于点F．若，则与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的基本模型是解题的关键．根据平行四边形的性质得，，可知，由，得到，进而得到，再根据，得，即可求出与的面积之比为． 【详解】解：在中，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积之比为． 故选：D． 【变式2】（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）在中，，，是延长线上的一点，，已知，过点作的垂线，过点作的垂线，使两条垂线相交于点，且，连接，则与的面积比为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，由题意设，则，可得，进而可得，再证，利用其性质即可求解，掌握相似三角形的判定及性质是解决问题的关键． 【详解】解：∵，设，则， ∴， ∵，， ∴，则 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积比， 故答案为：． 【变式3】（23-24九年级上·浙江金华·期末）如图，在中，为边上一点，为边上一点，且．    (1)求的值． (2)求与四边形的面积比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，涉及相似三角形的判定与性质，先由题意，根据相似三角形的判定得到，再利用相似三角形的性质即可得到答案，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由题中条件，利用两个三角形相似的判定与性质即可得到答案； （2）由相似三角形的性质得到，从而即可得到答案． 【详解】（1）解：且， ， ； （2）解：由（1）中可得， ． 【题型六】运用相似三角形的性质进行测量 【例6】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，则建筑物的高是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意得，再利用解答即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【举一反三】【变式1】（21-22九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，身高为1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2 m，AB＝10 m，则旗杆的高度是（　　） A．6.4m B．7m C．8m D．9m 【答案】C 【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用比例求解即可； 【详解】设旗杆高度为h，由题意得： ，解得： h＝8． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，准确分析计算是解题的关键． 【变式2】（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图，某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度，已知人的站位点，镜子，树底三点在同一水平线上，眼睛与地面的高度为米，米，米，则树高为 米．    【答案】 【分析】点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，则，由相似三角形的判定定理可得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：点作镜面的法线，由入射角等于反射角可知，   ， ， ， 又， ， ， 米，米，米 ， 米． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 【变式3】（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，小明用长为的竹竿作测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使O、C、A在同一直线上，此，． (1)证明：与相似． (2)求旗杆的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用： （1）证明，即可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴， 即旗杆的高为． 【题型七】相似三角形性质的其他实际应用 【例7】如图，已知箱子沿着斜面向上运动，箱高．当时，点B到地面的距离，则点A到地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．利用相似三角形的判定与性质进而求出的长即可得出的长． 【详解】解：由题意可得：，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即，解得：， ∵， ∴，即，解得：， ∴． 故选C． 【举一反三】【变式1】如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 【变式2】（23-24九年级上·浙江·阶段练习）如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P， ∵水面离桌面的高度为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得：， 根据勾股定理可得：， ∴， 即此时点C离桌面的高度为． 故选：C． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）中国高铁近年来以震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”． 修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道（在山的两侧），工程人员为了计算两点之间的直线距离，选择了在测量点进行测量，点分别在上，现测得米，米，米，米，米，求隧道的长． 【答案】隧道的长为3000米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 先根据题中的数据可得，再结合可得，根据相似三角形的性质可得，最后将数据代入计算即可． 【详解】解：，， ． 又， ． ． 又米， 米． 答：隧道的长为3000米． 好题必刷 一、单选题 1．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）已知，和是它们的对应高线，若，，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质：对应高线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，和是它们的对应高线，，，， ∴两三角形的相似比为：， ∴． 故选：A． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，两点分别在，边上，且，则与面积的比值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据，即可证得，然后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 3．（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）如图，电线杆上有一盏路灯O，电线杆与三个等高的标杆整齐划一地排列在马路的一侧，是三个标杆，相邻的两个标杆之间的距离都是，已知在路灯光下的影长分别为．则标杆的影长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影．如物体在灯光的照射下形成的影子就是中心投影；中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大（即位似变换）的关系．解决本题的关键是灵活运用相似三角形的判定与性质． 如图，为路灯的高，设，先证明，得到①，再证明，得到②，则，可解得，所以，，然后证明，得到，再利用比例性质求出即可． 【详解】解：如图，为路灯的高，设， ∵， ∴， ∴，即①， ∵， ∴， ∴，即②，   由①②得即，解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 即：标杆的影长为． 故选C． 4．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，的中线，交于点G，且的面积为12，则结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】B 【分析】该题主要考查了三角形的中线，三角形的重心等知识点，解题的关键是掌握三角形的重心． 根据题意得出点G是的重心，即可得出，，再根据三角形中线平分三角形的面积即可判断D，A选项不能证明，C选项需证明，才能得出，即，即需要证明，但题目不能证明，C选项不能证明． 【详解】解：∵，是的中线，点G是的中线的交点， ∴点G是的重心， ∴，，故B正确； ∵，是的中线，的面积为12， ∴， ∵是的中线， ∴点D是的中点， ∴， ∵， ∴，故D错误； 选项A不能证明； C选项需证明，才能得出，即， 而这需要证明，但题目不能证明，故选项C不能证明； 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，的两条中线、交于点，若，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形重心的定义和性质，掌握三角形三边中线的交点为三角形的重心和重心的性质是解题关键．根据题意得出点F为的重心，即得出． 【详解】解：∵的两条中线、交于点， ∴点F即为的重心， ∴． 故答案为：2． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米． 【答案】/ 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据物理性质找到求得的长度．设米，则米，由物理性质可得入射角等于反射角、，证明，得出，代入数据求得，即可求解． 【详解】解：设米， 米， 米， 由物理性质可得入射角等于反射角，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， 解得，即米． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，点为三角形纸片的重心，过点分别作，，的平行线，沿着平行线剪开得到与，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据点为三角形纸片的重心，证明，，由三角形相似的性质求出与的面积即可． 【详解】解：连接并延长交于，如图： 点为三角形纸片的重心， ， ， ， ∴， ， ， ， ，即：， ， ，， ，四边形是平行四边形， ，， ∴ ，， ， ，即：， ， ， 故答案为：5． 三、解答题 8．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，，分别是，上的点，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，，求与的面积之比． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，证明，得出，等量代换得出结论； （2）证明，根据相似三角形的性质以及（1）的结论即可求解． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， （2）∵， ∴， ∵于点，于点， ∴， ∴， ∴与的面积之比． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高． 【答案】电视塔的高的长为米 【分析】本题考查相似三角形的应用，过点作，交于点，交于，易得，，，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于，由题意，得：四边形，四边形均为矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 答：电视塔的高的长为． 10．（21-22九年级上·浙江温州·期末）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，，AF平分∠BAC交DE于点G，交BC于点F． (1)求证：； (2)若点G是△ABC的重心，，求AB的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质，得，结合题意，根据相似三角形的性质，通过证明，即可得到答案； （2）根据三角形重心的性质，得，从而得；根据相似三角形的性质，通过证明，再利用相似比计算，即可得到答案． 【详解】（1）∵AF平分∠BAC交DE于点G ∴ ∵ ∴ ∴； （2）∵点G是△ABC的重心 ∴，即 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形、三角形重心的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解． 11．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，D为边上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F．    (1)求证：． (2)若，求与的面积比． (3)设，四边形的面积为y，求y关于x的函数表达式并求其最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方的性质解答即可． （3）过点作于点，利用勾股定理求得，则的面积可求；利用相似三角形的判定与性质求得的面积，则，再利用二次函数的性质求得面积的最大值． 【详解】（1）证明∶ ∵ ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴与的面积比 ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴与的面积比； （3）过点作于点，如图， ， ，    ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴关于的函数表达式为， ， ∴四边形的面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质定理与性质定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$