第三单元 分数除法（易错思维训练）数学人教版六年级上册

第三单元 分数除法（易错思维训练） 1．有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的放在一起12公顷，那么菜地是（ ）公顷。 【答案】18 【分析】根据题意，设菜地的面积是公顷；由菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，用13公顷减去菜地的一半，即是麦地的，再除以，即是麦地的面积，用（13－）÷表示； 根据“麦地的一半和菜地的放在一起12公顷”可得出等量关系：麦地的面积×＋菜地的面积×＝12，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设菜地的面积是公顷。 （13－）÷×＋＝12 （13－）×3×＋＝12 13×3×－×3×＋＝12 －＋＝12 －（－）＝12 －（－）＝12 －＝12 ＝－12 ＝ ＝÷ ＝× ＝18 菜地是18公顷。 【点评】本题考查列方程解决较复杂的实际问题，当有两个未知数时，要找出两个未知数之间的关系，并能用一个未知数表示出来，从题目中找出等量关系，根据等量关系列出方程。 2．如图所示，每个小正方形大小相同，若空白部分的面积是55cm2，则阴影部分面积为（ ）cm2。 【答案】25 【分析】假设每个小正方形的边长是1，根据长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2，分别计算出大长方形和空白部分的面积，将大长方形面积看作单位“1”，空白部分的面积÷大长方形面积＝空白部分占大长方形的几分之几，空白部分的实际面积÷对应分率＝大长方形面积，大长方形面积－空白部分的面积＝阴影部分面积。 【解答】（1×1÷2＋3×2÷2＋4×1÷2）÷（4×2） ＝（0.5＋3＋2）÷8 ＝5.5÷8 ＝ ＝ 55÷－55 ＝55×－55 ＝80－55 ＝25（cm2） 阴影部分面积为25cm2。 【点评】关键是确定单位“1”，先求出空白部分的对应分率。 3．、、、、这5个分数中有两个可以写成一个分数与其倒数之差的形式如：，那么这两个分数为（ ）。 【答案】、 【分析】根据题意可知，假设这种形式表示为：，然后根据异分母分数加减法的计算方法以及平方差公式，可得，据此将每个分数的分母拆分成合适的两个数相乘，再算这两个数的和与差，和乘差的结果是否符合分数的分子。 【解答】假设这种形式表示为： 95＝5×19 19－5＝14 19＋5＝24 14×24≠72 不符合； 35＝5×7 7－5＝2 7＋5＝12 2×12＝24 所以符合； 143＝11×13 13－11＝2 13＋11＝24 2×24＝48 所以符合； 85＝5×17 17－5＝12 5＋17＝22 12×22≠32 所以不符合； 55＝5×11 11－5＝6 11＋5＝16 6×16≠16 所以不符合； 这两个分数是、。 【点评】解答本题的关键是根据所求的形式去推算出符合分数的计算公式，然后再判断每个分数是是否符合题意。 4．甲每小时跑14.4千米，乙每小时跑10.8千米，乙比甲多跑2分钟，结果比甲少跑了120米，那么甲跑了（ ）米。 【答案】1920 【分析】根据1小时＝60分钟，1千米＝1000米，统一单位。设甲跑了x小时，则乙跑时间＝甲跑的时间＋乙比甲多跑的时间，根据甲的速度×甲的时间－乙的速度×乙的时间＝乙比甲少跑的路程，列出方程求出x的值是甲跑的时间，甲的速度×甲的时间＝甲跑的路程。 【解答】2分钟＝小时＝小时 120米＝0.12千米 解：设甲跑了x小时。 14.4x－（x＋）×10.8＝0.12 14.4x－10.8x－0.36＝0.12 3.6x－0.36＋0.36＝0.12＋0.36 3.6x＝0.48 3.6x÷3.6＝0.48÷3.6 x＝ x＝ 14.4×＝1.92（千米）＝1920（米） 甲跑了1920米。 【点评】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，用方程解决问题的关键是找到等量关系。 5．蓄水池有甲、乙两个进水管，单独开甲管需要12小时注满，单独开乙管需要18小时注满。现要求不超过10小时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开（ ）小时。 【答案】3 【分析】本题分三种情况，第一种：当甲管一直开，乙管开一段时间；第二种：乙管一直开，甲管开一段时间；第三种：甲、乙两管同时开；分别求出三种情况下的共同时间，取最短时间即可解答。 【解答】第一种情况，当甲管一直开，乙管开一段时间： （1－）÷ ＝×18 ＝3（小时） 第二种情况，乙管一直开，甲管开一段时间： （1－）÷ ＝×12 ＝（小时） 第三种情况，甲、乙两管同时开： 1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（小时） 10＞＞＞3 通过比较可知，当甲管一直开，乙管开一段时间，两管合开的时间最短，最短时间为3小时。 【点评】本题根据注入时间×每小时注水的效率＝单位“1”，分三种情况考虑是解决的关键。 6．一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18，则原来这个两位数个位与十位上数字的和是（ ）。 【答案】10 【分析】根据“十位上的数字是个位上的”，可以设原来数字个位上的数是，那么十位上数字是；把十位上数字与个位上数字调换后，则新数个位上数字是，十位上的数字是； 根据“新数比原数大18”可得出等量关系：新数－原数＝新数比原数大的数，据此列出方程，并求解； 求出原来个位数字与十位数字之后，再相和即可求出它们的和。 【解答】解：设原来两位数个位上的数字是，那么十位上的数字是。 （10＋）－（×10＋）＝18 －＝18 3＝18 ＝18÷3 ＝6 原来十位是：6×＝4 和是：6＋4＝10 则原来这个两位数个位与十位上数字的和是10。 【点评】明白两位数是“十位上的数字×10＋个位上的数字”组成，关键是得出原来两位数与新两位数的组成，再根据题意找出等量关系，按等量关系列出方程求解。 7．兴仁放马坪高山草原景区，地貌奇特，具有“高原塞外”之称。放马坪景区风光旖旎，分为天然草场和天然林，天然草场面积比景区总面积的少100公顷，天然林面积是天然草场面积的。放马坪景区总面积（ ）公顷。 【答案】1900 【分析】根据一个数乘分数的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。把马坪景区总面积为x公顷，所以，马坪景区总面积×－100公顷＝天然草场面积，天然林面积＝×天然草场面积，天然草场面积＋天然林面积＝景区总面积。根据等量关系，列出方程，再利用等式的基本性质解出未知数。 【解答】解：设放马坪景区总面积为x公顷。 x－100＋×（x－100）＝x （1＋）×（）＝x ×（－100）＝x ×（－100）×＝x× －100＝x x＝100 x＝100×19 x＝1900 放马坪景区总面积1900公顷。 【点评】本题考查分数乘法的应用，解答此题的关键是找到数量间的等量关系。 8．一条绳子第一次剪掉1米，第二次剪掉剩余部分的，第三次剪掉1米，第四次剪掉剩余部分的，第五次剪掉1米，第六次剪掉剩余部分的，这条绳子还剩下1米。这条绳子原来长（ ）米。 【答案】33 【分析】从最后一次剪，向前推，找准各个分数的单位“1”，用对应的数量除以对应的分率即可。 【解答】第六次剪之前的绳长： ＝ ＝ ＝4（米） 第四次剪前绳长： ＝ ＝ ＝15（米） 第二次剪前绳长： ＝ ＝ ＝32（米） 绳子原长： （米） 这条绳子原来长33米。 【点评】解决此类问题的关键是抓住最后得到的数量， 从后向前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答。 9．快入冬时，白兔和灰兔都储存了一些萝卜，灰兔先把自家萝卜的送给白兔。白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔。这时两只兔子的萝卜一样多，原来灰兔的萝卜数是白兔的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设灰兔有x棵萝卜，白兔有y棵萝卜。灰兔先把自家萝卜的送给白兔，灰兔给白兔x棵萝卜；灰兔还剩（1－）x棵萝卜；白兔有（y＋x）棵萝卜；白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔，白兔给灰兔（y＋x）×棵萝卜，还剩（1－）×（y＋x）棵萝卜，灰兔有（1－）x＋（y＋x）×棵萝卜；这时两只兔子的萝卜一样多，即（1－）x＋（y＋x）×＝（1－）×（y＋x），据此化简，求出x除以y的值，即可解答。 【解答】设灰兔有x棵萝卜，白兔有y棵萝卜。 （1－）x＋（y＋x）×＝（1－）×（y＋x） x＋y＋x＝y＋x x＋x－x＝y－y x＝y x÷y＝÷ x÷y＝× x÷y＝ 快入冬时，白兔和灰兔都储存了一些萝卜，灰兔先把自家萝卜的送给白兔。白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔。这时两只兔子的萝卜一样多，原来灰兔的萝卜数是白兔的。 故答案为：B 【点评】解答本题的关键求出灰兔是设出灰兔和白兔各有多少棵萝卜，再利用灰兔和白兔最后有萝卜数相等，进行解答。 10．一个长方形，如果它的长增加，宽增加，那么新的长方形的面积比原来增加（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设原来的长方形的长和宽分别为a和b，则变化后的长方形的长和宽分别为（1＋）a、（1＋）b，根据长方形的面积＝长×宽，分别求出变化前后长方形的面积，再把原来的长方形面积看作单位“1”，用变化后的长方形面积减去变化前的长方形的面积，求出差，再用它们的差除以原来的长方形面积，即可求出面积增加的分率。 【解答】设原来的长方形的长和宽分别为a和b，则变化后的长方形的长和宽分别为（1＋）a、（1＋）b， 原来的面积：ab 现在的面积：（1＋）a×（1＋）b ＝a×b ＝ab 面积增加：（－1）ab÷ab ＝ab÷ab ＝ 那么新的长方形的面积比原来增加。 故答案为：C 【点评】此题主要考查长方形的面积的计算方法的灵活应用。 11．这群顽皮的小猴一共有（    ）只。 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设桃子有x个，因为苹果的个数是桃子的3 倍，所以苹果有 3x 个，每只猴拿3个桃子，桃子被拿光，所以猴子的数量为（x÷3）只，每只猴拿8个苹果，剩下 10个苹果，根据等量关系：“苹果的这个数－猴子拿走的苹果的总个数＝10个”列方程解答求出桃子的个数，再除以3就是猴子的只数。 【解答】解：设桃子有x个。 3x－8×（x÷3）＝ 10 3x－8×＝10 3x－x＝10 x＝10 3×x＝10×3 x＝30 30÷3＝10（只） 所以这群顽皮的小猴一共有10只。 故答案为：A 【点评】先根据苹果和桃子数量的关系，以及猴子拿取的数量，找出猴子数量的计算方法。 12．星星、希希、望望三人过年期间一共收了1800元压岁钱，如果星星把自己钱数的给希希，然后希希把自己现有钱数的给望望，望望再把自己现有钱数的给星星，此时三个人手中的钱就一样多了。那么希希原来的钱数比望望原来的钱数多（    ）。 A．25元 B．35元 C．100元 D．125元 【答案】A 【分析】根据题意可知，三人之间一共进行了3步操作：①星星把自己钱数的给希希，②然后希希把自己现有钱数的给望望，③望望再把自己现有钱数的给星星，最后三人的钱数一样多，已知他们三人的和不变，用1800÷3即可求出现在每人钱数，也就是600元；把第②次完成后，望望的钱数看作单位“1”，第③次完成后，望望的钱数是第②次操作后望望的（1－），根据分数除法的意义，用600÷（1－）即可求出第②次操作后望望的钱数，然后根据分数乘法的意义，用第②次操作后望望的钱数×即可求出第③次望望给星星的钱数，然后用600减去第③次望望给星星的钱数，即可求出第①次操作后星星的钱数；把第①次操作后希希的钱数看作单位“1”，第②次操作后希希的钱数是第①次操作后希希的（1－），根据分数除法的意义，用600÷（1－）即可求出第①次操作后希希的钱数，然后根据分数乘法的意义，用第①次操作后希希的钱数×即可求出第②次希希给望望的钱数，再用第②次操作后望望的钱数减去第②次希希给望望的钱数，即可求出望望原来的钱数；把星星原来的钱数看作单位“1”，第①次操作后星星的钱数是星星原来的钱数的（1－），根据分数除法的意义，用第①次操作后星星的钱数÷（1－）即可求出星星原来的钱数，然后根据分数乘法的意义，用星星原来的钱数×即可求出第①次操作星星给希希的钱数，再用第①次操作后希希的钱数减去星星给希希的钱数，即可求出希希原来的钱数。最后用希希原来的钱数减去望望原来的钱数，即可求出希希原来的钱数比望望原来的钱数多多少元。 【解答】现在每人：1800÷3＝600（元） 第②次操作后望望的钱数： 600÷（1－） ＝600÷ ＝600× ＝750（元） 第③次望望给星星的钱数：750×＝150（元） 第①次操作后星星的钱数：600－150＝450（元） 第①次操作后希希的钱数： 600÷（1－） ＝600÷ ＝600× ＝800（元） 第②次希希给望望的钱数：800×＝200（元） 望望原来的钱数：750－200＝550（元） 星星原来的钱数： 450÷（1－） ＝450÷ ＝450× ＝675（元） 第①次操作星星给希希的钱数：675×＝225（元） 希希原来的钱数：800－225＝575（元） 575－550＝25（元） 希希原来的钱数比望望原来的钱数多25元。 故答案为：A 【点评】本题考查了较复杂的分数应用题，关键是从最后每人手中都有600元钱，开始逆推。 13．一个最简分数，如果分子减a，则等于；如果分母减a，则等于，则原来的分数是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设这个最简分数是，根据分数的意义，可知＝，所以y是（x－a）的8倍，y＝8（x－a）；＝，所以（y－a）是x的2倍，y＝2x＋a，据此可列方程为8（x－a）＝2x＋a，然后解出方程，然后把x的值代入y＝2x＋a求出y的值，进而用除法求出最简分数是。 【解答】假设这个最简分数是， 根据分析可知，y＝8（x－a） y＝2x＋a 列方程为： 8（x－a）＝2x＋a 解：8x－8a＝2x＋a 8x＝2x＋a＋8a 8x＝2x＋9a 8x－2x＝9a 6x＝9a x＝9a÷6 x＝a y：a×2＋a ＝3a＋a ＝4a a÷4a ＝（a÷a）÷（4a÷a） ＝÷4 ＝× ＝ 一个最简分数，如果分子减a，则等于；如果分母减a，则等于，则原来的分数是。 故答案为：A 【点评】此题考查了根据题意求原来的最简分数的方法，可设原来的最简分数为，然后根据题意解答即可。 14．某人在计算，，，这四个分数的平均值时，误将其中一个分数看成了它的倒数，他计算出的平均值与正确的结果最多相差（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两个相乘的乘积是1，这两数互为倒数。在分数中，分母比分子大1的分数比较大小，分母越小分数就越小。则。的倒数是，的倒数，的倒数是，的倒数是，这四个分数中最小，反而它的倒数最大，相差也就最大，相差，那么平均值也相差最大。四个分数的分母不一样，比较难计算，可以设四个分数的和为A，再进行化简计算。 【解答】设上面四个分数的和为A 没有看错的平均数为：A÷4＝ （A＋）÷4 ＝（A＋）× ＝ ＝ 故答案为：A 15．把0.3的倒数、、和这四个数按照从大到小的顺序排列，排在第二位的是（    ）。 A． B． C． D．0.3的倒数 【答案】A 【分析】0.3的倒数是，由此可知，这四个数中最大；用1－＝；1－＝；1－＝，根据同分子分数比较大小的方法：分子相同，分母越大，分数越小； 335＜890＜2235，即＞＞；再根据被减数相同，减数越大，差越小，由此可知，即＞＞，0.3的倒数最大，进而求出排在第二位的数。 【解答】根据分析可知，0.3的倒数＞＞＞。 把0.3的倒数、、和这四个数按照从大到小的顺序排列，排在第二位的是。 故答案为：A 【点评】利用倒数的意义，同分子分数比较大小的方法，同分数减法的计算，利用分数的分母减去分数得到的分数的分子相同是解答本题的关键。 16．学习《分数除法》时，欢欢想到“运用分数的基本性质先把两个分数的分数单位统一，再用两个分数的分数单位的个数相除来计算结果。”下面是四位同学计算“÷”的过程，运用了欢欢想法的是（    ）。 A．红红：÷＝×＝ B．华华：÷＝÷＝10÷7＝ C．明明：÷＝××12＝ D．亮亮：÷＝÷＝÷＝＝ 【答案】B 【分析】的分数单位是，的分数单位是，把两个分数的分数单位统一，即把根据分数的基本性质化为。再用两个分数的分数单位的个数相除，即两个分数的分子相除（10÷7）。据此进行选择。 【解答】A．红红：÷＝×＝，运用了一个数除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数的方法。 B．华华：÷＝÷＝10÷7＝，运用了先把被除数和除数统一分数单位，再把分子相除的方法。即运用了欢欢的想法。 C．明明：÷＝××12＝，把平均分成7份，1份是÷7＝×；表示把单位“1”平均分成12份，12个（×）是××12。 D．亮亮：÷＝÷＝÷＝＝，根据分数的基本性质先化成同分子的分数，然后根据商不变的性质被除数和除数同时除以35。 故答案为：B 【点评】在进行分数除法时，思路和依据不同可以有不同的计算方法。 17．计算。 （1）                  （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先把改写成，合起来是，这样算式变成；再根据商不变的规律，被除数和除数同时除以987，商不变；然后把“”转化成“×”，被除数、除数同时约分后再计算即可。 （2）先算除法，再算加法。 前部分，根据商不变的规律，被除数和除数同时除以286，商不变；然后把“÷286”转化成“×”，被除数、除数同时约分即可； 后部分，先把改写成，合起来是，这样算式变成，再根据商不变的规律，被除数和除数同时除以288，商不变；然后把“”转化成“×”，被除数、除数同时约分即可； 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 18．分数除法的简便计算——巧妙约分。              【答案】；1 【分析】（1）先把带分数换成假分数，再根据乘法分配律计算，最后把除法换成乘法计算即可。 （2）先把1987看成（1988－1），再根据乘法分配律计算即可。 【解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝1 19．一项工作，甲、乙、丙二人一起做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙一起做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙一起做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、丙一起做需几小时完成？ 【答案】6小时 【分析】把三人合作1小时完成的工作量（工作效率）看作。对于“甲做4小时，乙、丙做2小时，完成”，可拆成“三人先合作2小时（完成×2＝），甲再单独做2小时（完成－”；对于“甲、乙做2小时，丙做4小时，完成”，可拆成“三人先合作2小时（完成），丙再单独做2小时（完成－）”。用对应完成的工作量减去三人合作2小时的工作量，得到甲、丙单独做2小时的工作量，再除以2求出甲、丙工作效率，最后，把工作总量看作单位 “1” ，用工作总量“1”除以甲丙效率和，得到合作时间。 【解答】甲：（－×2）÷（4－2） ＝（－）÷2 ＝（－）÷2 ＝÷2 ＝ 丙：（－×2）÷（4－2） ＝（－）÷2 ＝（－）÷2 ＝÷2 ＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝6（小时） 答：这项工作如果由甲、丙一起做需6小时完成。 【点评】关键是对复杂工作过程进行合理拆分，转化为 “三人合作 ＋ 单人单独做”的形式，利用已知条件求出单人工作效率，再结合公式求出合作时间，核心是工程问题公式与工作量拆分思想的应用。 20．某学生步行速度15千米/时，骑自行车速度是步行的3倍。从家到学校上学一半路程步行，一半路程骑自行车，放学回家一半时间步行，一半时间骑自行车，结果放学回家比上学少用10分钟，求这个学生家到学校的路程。 【答案】15千米 【分析】根据题意，用15乘3得到骑自行车的速度，设这个学生家到学校的路程为S，则从家到学校的时间为：，根据放学回家比上学少用10分钟求出放学回家的时间，再根据放学回家一半路程骑自行车，放学回家一半时间步行，即可求出骑自行车和步行的用时，然后根据“路程＝速度×时间”列出等量关系即可求出S，即这个学生家到学校的路程。 【解答】解：设这个学生家到学校的路程为S，则从家到学校的时间为： ＝ ＝（小时） 10分钟＝小时 因为放学回家比上学少用10分钟，所以从学校回家的时间为：（－）小时 即放学回家步行和骑自行车的时间均为：（－）÷2＝（－）小时 所以： （－）×15＋（－）×（15×3）＝S －＋S－＝S ＋S－－＝S ＋S－S－＋－＋＝S－S＋＋ S＝15 答：这个学生家到学校的路程为15千米。 【点评】本题考查了列方程解决分数行程问题的应用，关键能灵活表示各个数量的关系。 21．一项工程，甲队单独做需60天完成，乙队单独做需20天完成。现在甲、乙两队合作，中途甲、乙两队各休息几天，从开工到完工一共经过20天，已知甲队实际工作的天数是乙队实际工作天数的，求甲、乙两队各休息了几天？ 【答案】甲队休息8天，乙队休息4天 【分析】把工作总量看作“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可知甲、乙的效率分别是、。 设乙队实际工作天数为天，那么甲队实际工作天数是天，根据“甲完成的工作量＋乙完成的工作量＝工作总量”列方程解答出甲、乙实际工作的天数，再用20天减去甲、乙各自工作的天数就是甲、乙各自休息的天数，据此解答。 【解答】解：设乙队实际工作天数为天，则甲队实际工作天数是天。 甲休息： （天） 乙休息： （天） 答：甲队休息了8天，乙队休息了4天。 22．果品公司运进一批橘子，第一天卖出全部的，第二天卖出剩下的，第三天比第一天少卖，这时还剩50千克，果品公司共运进了多少千克的橘子？ 【答案】1500千克 【分析】根据题意，把运进的一批橘子看作单位“1”，第一天卖出这批橘子的，还剩下这批橘子的（1－）；第二天把第一天卖出后剩下的橘子看作单位“1”，卖出剩下的，所以第二天相当于卖出这批橘子的（1－）×；第三天是把第一天卖出的橘子看作单位“1”，第三天比第一天少卖，第三天卖的橘子是第一天卖的（1－），所以第三天卖的相当于这批橘子的×（1－）；用1减去三天卖出这批橘子的几分之几等于三天后还剩下这批橘子的几分之几，也就50千克所对应的这批橘子的分率，根据已知一个数的几分之几，求这个数用除法，用50除以它所对应的这批橘子的几分之几即等于公司共运进橘子的千克数，据此即可解答。 【解答】（1－）× ＝× ＝ ×（1－） ＝× ＝ 50÷（1－－－） ＝50÷ ＝1500（千克） 答：果品公司共运进了1500千克的橘子。 【点评】分析清楚每天是把哪个量作为单位“1”是解答本题的关键。 23．小铭上学每天步行10分钟以后，跑步2分钟，恰好准时到校。有一天，他步行5分钟后就开始跑步，结果早到了3分24秒，问：他步行的速度是跑步速度的几分之几？ 【答案】 【分析】3分24秒＝3.4分。从题意可知：原来步行10分钟＋跑步2分钟＝12分钟可准时到校。现在到校用了12分钟－3.4分钟＝8.6分钟，其中8.6分钟－步行5分钟＝跑步3.6分钟。现在比原来跑步多用了3.6－2＝1.6分钟，现在比原来步行少用了10－5＝5分钟，那么跑步1.6分钟的路程＝步行5分钟的路程。设这段路程为单位“1”，分别用1÷5、1÷1.6求出步行和跑步的速度，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，用步行的速度÷跑步速度即可。据此解答。 【解答】3分24秒＝3.4分 10＋2－3.4＝8.6（分） 8.6－5－2＝1.6（分） 10－5＝5（分） （1÷5）÷（1÷1.6） ＝（1÷5）÷（1÷） ＝（1÷5）÷（1×） ＝÷ ＝× ＝ 答：他步行的速度是跑步速度的。 【点评】找出同一段路程，步行和跑步各需的时间，并据此求出各自速度，是解此题的关键。 24．甲乙两筐中共有85千克的苹果，从甲筐中拿出5千克放入乙筐后，甲筐中苹果的质量是乙筐的，乙筐中原来有多少千克苹果？ 【答案】46千克 【分析】根据“甲筐中苹果的质量是乙筐的”，我们可以设乙筐中现在的苹果质量为千克，则甲筐中现在苹果的质量为千克，最后根据等量关系“甲乙两筐中共有85千克的苹果”，列出方程求得乙筐中现在苹果的质量，最后用乙筐中现在苹果的质量减5就能得到乙筐中原来苹果的质量。 【解答】解：设乙筐中现在苹果的质量为千克，则甲筐中现在苹果的质量为千克。 ＋＝85 ＝85 ÷＝85÷ ＝85× ＝51（千克） 51－5＝46（千克） 答：乙筐中原来有46千克苹果。 【点评】从甲筐中拿出5千克放入乙筐后，甲乙两筐中的总质量不变，根据等量关系“甲乙两筐中共有85千克的苹果”列出方程，最后要注意求得的是乙筐中现在的苹果质量，要求乙筐中原来的苹果质量，用乙筐中现在苹果的质量减5。 25．A、B两市相距176千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路。甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的 （1）如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ （2）如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【答案】（1）甲队：50千米/小时，乙队：30千米/小时 （2）11小时 【分析】（1）设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了2.5小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和＝两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可。 （2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作0.5小时，完成了总量的，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用÷0.5求出甲的效率。设乙的效率为y，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：6－0.5＝5.5（小时），根据工作效率×工作时间＝工作总量，甲队工作量＋乙队工作量＝1，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间。 【解答】（1）解：设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。 9：00－7：00＝2（小时） 2小时＋0.5小时＝2.5小时 2×（x＋5）＋2.5x＝176－1 2×x＋2×5＋2.5x＝175 3x＋10＋2.5x＝175 5.5x＝175－10 5.5x＝165 x＝165÷5.5 x＝30 30×＋5 ＝45＋5 ＝50（千米/小时） 答：甲队的行进速度是50千米/小时，乙队的行进速度是30千米/小时。 （1）÷0.5＝÷＝×2＝ 解：设乙的工作效率为y。 ×6＋（6－0.5）y＝1 0.5＋5.5y＝1 5.5y＝1－0.5 5.5y＝0.5 y＝0.5÷5.5 y＝ 1÷＝11（小时） 答：乙队单独疏通这条公路的效率是11小时。 【点评】本题主要考查工程问题，关键是掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键。 26．甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为24千米。甲队步行速度为4千米/时，乙队步行速度为6千米/时。甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之间来回进行一次联络（不停顿），他跑步的速度为10千米/时。 （1）乙队追上甲队需要多长时间？ （2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？ （3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为1千米？ 【答案】（1）2小时；（2）千米；（3）甲队出发0.25小时、2.5小时或3.5小时，两队之间的间隔路程为1千米 【分析】（1）根据速度×时间＝路程，用4×1即可求出甲队出发1小时后距离起始位置的路程；根据路程差÷速度差＝追及时间，用4×1÷（6－4）即可求出乙队追上甲队需要的时间。 （2）根据路程差÷速度差＝追及时间，用4×1÷（10－4）即可求出联络员追上甲队的时间；根据时间×速度＝路程，用联络员追上甲队的时间×联络员的速度即可求出联络员追上甲队跑步的路程，用联络员追上甲队的时间×乙队的速度即可求出乙队此时行走的路程，再用联络员追上甲队跑步的路程减去乙队此时行走的路程，即可求出此时联络员和乙队相距的距离，再根据路程和÷速度和＝相遇时间，用联络员和乙队相距的距离除以他们的速度和，即可求出联络员从遇到甲队再到和乙队相遇需要的时间；然后用联络员的速度×联络员从遇到甲队再到和乙队相遇需要的时间即可求出联络员从甲队到遇到乙队需要跑步的路程；最后用联络员追上甲队跑步的路程＋联络员从甲队到遇到乙队需要跑步的路程，即可求出联络员跑步的总路程； （3）需要分情况讨论，第一种情况：乙队未出发时，甲队行走1千米，根据时间＝路程÷速度，用1÷4即可求出甲队出发多久和乙队第一次距离1千米；第二种情况：乙队出发相遇前，乙队出发时，两队相距4千米，要使两队的距离相差1千米，根据追及距离÷速度差＝追及时间，用（4－1）÷（6－4）即可求出乙队出发多久和甲队相距1千米，再加上1小时，即可求出甲队出发多久和乙队第二次距离1千米；第三种情况：乙队出发相遇后，从乙队出发到两人队相距1千米，追及距离是（4＋1）千米，用（4＋1）÷（6－4）乙队出发多久再次和甲队相距1千米，再加上1小时，即可求出甲队出发多久和乙队第三次距离1千米。 【解答】（1）4×1＝4（千米） 4÷（6－4） ＝4÷2 ＝2（小时） 答：乙队追上甲队需要2小时。 （2） 联络员追上甲队用时：4÷（10－4） ＝4÷6 ＝（小时） 联络员追上甲队跑步的路程：×10＝（千米） 乙队此时行走的路程：×6＝4（千米） 此时联络员和乙队相距的距离：－4＝（千米） 联络员从遇到甲队再到和乙队相遇需要的时间： ÷（10＋6） ＝÷16 ＝× ＝（小时） 联络员从甲队到遇到乙队需要跑步的路程：×10＝（千米） 总路程：＋＝（千米） 答：他跑步的总路程是千米。 （3）分情况讨论： ①乙队未出发时：1÷4＝0.25（小时） ②乙队出发相遇前：（4－1）÷（6－4）＋1 ＝3÷2＋1 ＝1.5＋1 ＝2.5（小时） ③乙队出发相遇后：（4＋1）÷（6－4）＋1 ＝5÷2＋1 ＝2.5＋1 ＝3.5（小时） 答：甲队出发0.25小时、2.5小时或3.5小时，两队之间的间隔路程为1千米。 【点评】本题考查的是行程问题，明确两者之间是追及还是相遇是解答本题的关键，注意两者之间的距离变化。 27．有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面。每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面。 （1）求每个房间需要粉刷的墙面面积。 （2）某老板现有40个这样的房间需要粉刷，若请3名师傅带3名徒弟去，需要几天完成？ （3）已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务。问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 【答案】（1）60平方米 （2）4天 （3）9名徒弟；1755元 【分析】（1）根据题意可得等量关系：每名师傅每天粉刷的面积－每名徒弟每天粉刷的面积＝每名师傅比徒弟一天多刷的面积，其中每名师傅每天粉刷的面积＝，每名徒弟每天粉刷墙面的面积＝，据此列出方程，并求解。 （2）由上一题分别求出每名师傅、每名徒弟每天粉刷的面积，然后用总面积除以3名师傅和3名徒弟每天粉刷的面积和，即可求出所需的天数。 （3）先求出3天完成粉刷40个这样的房间，每天需粉刷的面积，再根据师傅和徒弟每天粉刷的面积，考虑几种雇佣人员的情况，分别计算出每种情况的花费，比较后得出结论，并计算出最低花费。 【解答】（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是平方米。 －＝20 ×12－×12＝20×12 3（8－40）－18＝240 24－120－18＝240 6－120＝240 6－120＋120＝240＋120 6＝360 6÷6＝360÷6 ＝60 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是60平方米。 （2）每名师傅每天粉刷墙面的面积为： ＝ ＝110（平方米） 每名徒弟每天粉刷墙面的面积为：110－20＝90（平方米） 40个这样的房间粉刷墙面需用时： （40×60）÷（110×3＋90×3） ＝2400÷（330＋270） ＝2400÷600 ＝4（天） 答：需要4天完成。 （3）40个这样的房间3天完成粉刷，每天需粉刷的面积： 40×60÷3 ＝2400÷3 ＝800（平方米） 情况一：全部雇佣师傅粉刷，需要人数： 800÷110＝7（名）……30（平方米） 师傅需：7＋1＝8（人） 一天的费用：85×8＝680（元） 情况二：全部雇佣徒弟粉刷，需要人数： 800÷90＝8（名）……80（平方米） 徒弟需：8＋1＝9（人） 一天的费用：65×9＝585（元） 情况三：雇佣4名师傅，还需徒弟： （800－110×4）÷90 ＝（800－440） ÷90 ＝360÷90 ＝4（名） 一天的费用： 85×4＋65×4 ＝340＋260 ＝600（元） 585＜600＜680 雇佣9名徒弟粉刷3天的费用： 585×3＝1755（元） 答：雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元。 【点评】（1）考查列方程解决问题，从题目中找出等量关系，按等量关系列出方程。 （2）求出每名师傅和每名徒弟的工作效率是解题本题的关键。 （3）先求出每天规定的工作量，再安排方案，根据每天的花费找出最佳方案。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三单元 分数除法（易错思维训练） 1．有一块菜地和一块麦地，菜地的一半和麦地的放在一起是13公顷，麦地的一半和菜地的放在一起12公顷，那么菜地是（ ）公顷。 2．如图所示，每个小正方形大小相同，若空白部分的面积是55cm2，则阴影部分面积为（ ）cm2。 3．、、、、这5个分数中有两个可以写成一个分数与其倒数之差的形式如：，那么这两个分数为（ ）。 4．甲每小时跑14.4千米，乙每小时跑10.8千米，乙比甲多跑2分钟，结果比甲少跑了120米，那么甲跑了（ ）米。 5．蓄水池有甲、乙两个进水管，单独开甲管需要12小时注满，单独开乙管需要18小时注满。现要求不超过10小时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开（ ）小时。 6．一个两位数，十位上的数字是个位上数字的，把十位上的数字与个位上的数字调换后，新数比原数大18，则原来这个两位数个位与十位上数字的和是（ ）。 7．兴仁放马坪高山草原景区，地貌奇特，具有“高原塞外”之称。放马坪景区风光旖旎，分为天然草场和天然林，天然草场面积比景区总面积的少100公顷，天然林面积是天然草场面积的。放马坪景区总面积（ ）公顷。 8．一条绳子第一次剪掉1米，第二次剪掉剩余部分的，第三次剪掉1米，第四次剪掉剩余部分的，第五次剪掉1米，第六次剪掉剩余部分的，这条绳子还剩下1米。这条绳子原来长（ ）米。 9．快入冬时，白兔和灰兔都储存了一些萝卜，灰兔先把自家萝卜的送给白兔。白兔收到萝卜后，觉得自己吃不完，又将自己现有萝卜的送给灰兔。这时两只兔子的萝卜一样多，原来灰兔的萝卜数是白兔的（    ）。 A． B． C． D． 10．一个长方形，如果它的长增加，宽增加，那么新的长方形的面积比原来增加（    ）。 A． B． C． D． 11．这群顽皮的小猴一共有（    ）只。 A．10 B．9 C．8 D．7 12．星星、希希、望望三人过年期间一共收了1800元压岁钱，如果星星把自己钱数的给希希，然后希希把自己现有钱数的给望望，望望再把自己现有钱数的给星星，此时三个人手中的钱就一样多了。那么希希原来的钱数比望望原来的钱数多（    ）。 A．25元 B．35元 C．100元 D．125元 13．一个最简分数，如果分子减a，则等于；如果分母减a，则等于，则原来的分数是（    ）。 A． B． C． D． 14．某人在计算，，，这四个分数的平均值时，误将其中一个分数看成了它的倒数，他计算出的平均值与正确的结果最多相差（    ）。 A． B． C． D． 15．把0.3的倒数、、和这四个数按照从大到小的顺序排列，排在第二位的是（    ）。 A． B． C． D．0.3的倒数 16．学习《分数除法》时，欢欢想到“运用分数的基本性质先把两个分数的分数单位统一，再用两个分数的分数单位的个数相除来计算结果。”下面是四位同学计算“÷”的过程，运用了欢欢想法的是（    ）。 A．红红：÷＝×＝ B．华华：÷＝÷＝10÷7＝ C．明明：÷＝××12＝ D．亮亮：÷＝÷＝÷＝＝ 17．计算。 （1）                  （2） 18．分数除法的简便计算——巧妙约分。              19．一项工作，甲、乙、丙二人一起做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙一起做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙一起做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、丙一起做需几小时完成？ 20．某学生步行速度15千米/时，骑自行车速度是步行的3倍。从家到学校上学一半路程步行，一半路程骑自行车，放学回家一半时间步行，一半时间骑自行车，结果放学回家比上学少用10分钟，求这个学生家到学校的路程。 21．一项工程，甲队单独做需60天完成，乙队单独做需20天完成。现在甲、乙两队合作，中途甲、乙两队各休息几天，从开工到完工一共经过20天，已知甲队实际工作的天数是乙队实际工作天数的，求甲、乙两队各休息了几天？ 22．果品公司运进一批橘子，第一天卖出全部的，第二天卖出剩下的，第三天比第一天少卖，这时还剩50千克，果品公司共运进了多少千克的橘子？ 23．小铭上学每天步行10分钟以后，跑步2分钟，恰好准时到校。有一天，他步行5分钟后就开始跑步，结果早到了3分24秒，问：他步行的速度是跑步速度的几分之几？ 24．甲乙两筐中共有85千克的苹果，从甲筐中拿出5千克放入乙筐后，甲筐中苹果的质量是乙筐的，乙筐中原来有多少千克苹果？ 25．A、B两市相距176千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路。甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的 （1）如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ （2）如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 26．甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为24千米。甲队步行速度为4千米/时，乙队步行速度为6千米/时。甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之间来回进行一次联络（不停顿），他跑步的速度为10千米/时。 （1）乙队追上甲队需要多长时间？ （2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？ （3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为1千米？ 27．有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面。每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面。 （1）求每个房间需要粉刷的墙面面积。 （2）某老板现有40个这样的房间需要粉刷，若请3名师傅带3名徒弟去，需要几天完成？ （3）已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务。问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$