第2章 一元二次函数、方程和不等式（知识清单）数学湘教版2019高一必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 清单01．不等式的概念 用数学不等符号“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式，以表示它们之间的 关系．含有这些不等号的式子，叫做 ． 【答案】 ≠ > < ≥ ≤ 不等 不等式 清单02．常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于,高于,超过 小于,低于,少于 大于等于,至少,不低于 小于等于,至多,不超过 符号语言 __________ __________ __________ __________ 【答案】 ＞ ＜ ≥ ≤ 清单03．两个实数比较大小的方法 （1）作差法 （2）作商法 【答案】>；= ；< ；>；=；< 清单04．不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 2 传递性 3 可加性 推论1：； 推论2： 4 可乘性 ； 推论3：； 推论4： （，）； 推论5： 5 取倒数 【答案】 ＜ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ 清单05．重要不等式 一般地，、，有 ，当且仅当 时，等号成立． 【答案】 清单06 基本不等式 ① 如果，，有，当且仅当 时，等号成立．其中，叫做正数，的 ，叫做正数，的 ． 【答案】 算术平均数 几何平均数 ② 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 【答案】不小于 清单07 基本不等式的三种重要变形 （1），当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号． （3），当且仅当时取等号． 【答案】 清单08 基本不等式与最值 已知，都是正数，则 （1）如果积等于定值（积为定值），那么当 时，和有最小值 ； （2）如果和等于定值S（和为定值），那么当 时，积有最大值 ． 【答案】 清单09 基本不等式解决实际问题的步骤 【答案】审题 建模 求解 作答 清单10 一元二次方程（a、b、且）. （1）当时，方程 实根，为 ； （2）当时，方程 实根，为 ； （3）当时，方程 实根. 【答案】 有两个不相等的 有两个相等的 没有 清单11 零点 定义：一般地，我们把使得成立的 叫作二次函数的 . 例如，是二次函数的两个零点， 是二次函数的唯一零点，二次函数 零点. 注：零点是一个 ，不是一个 . 这样，一元二次方程的实数根就是二次函数的零点，也就是函数的图象与轴交点的横坐标. 一元二次函数与x轴交点的 ⇔一元二次方程的 (实数根)⇔二次函数的 【答案】 实数 零点 1 3 2 没有 实数 点 横坐标 解 零点 清单12 一元二次不等式的定义 定义 我们把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ， ， ，，其中，a，b，c均为常数 【答案】 未知数 2 清单13 三个“二次”间的关系 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实数根 的解集 __________ __________ __________ 的解集 __________ __________ __________ 【答案】 或 清单14 用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 通过配方总是可以变为 或 的形式，再由k的 ，可得原不等式的解集. 【答案】 正负 清单15 写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件． （1），恒成立的充要条件是 且 ． （2），恒成立的充要条件是 且 ． （3），恒成立的充要条件是 且 ． （4），恒成立的充要条件是 且 ． 【答案】 清单16 分式不等式及其解法 （1） ． （2） ． 【答案】 ； 且. 清单17 和型不等式的解法 ① ； ② ． 【答案】 或 易错点1 不等式性质应用不当导致出错 分析：①不等式具有同向相加性质，但两边不能分别相减； ②利用不等式同向相乘,忽略不等式两边为正的前提条件 例题1-1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由不等式的性质求出，3a的范围，两式相加即可得出答案． 【详解】因为，，所以，，所以． 故选：D. 例题1-2．（多选）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，则，所以，所以A正确； 对于B中，若，当时，； 当时，；当时，，所以B不正确； 对于C中，若，，根据不等式的基本性质，可得，所以C正确； 对于D中，若，可得，所以，所以D正确. 故选：ACD. 易错点2 忽略基本不等式的“一正”导致出错 分析：利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等，使用前确保均为“正数”. 例题2-1．6．若，则函数有（    ） A．最小值 B．最大值 C．最小值 D．最大值 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等． 故选：B． 例题2-2．（多选）下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．的最小值为2 D．的最小值为2 【答案】AB 【分析】根据题意，由基本不等式对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】当时，， 当且仅当时，即时，等号成立，故A正确； 当时，， 当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 当时，显然不成立，故C错误； 因为，当且仅当时，此时 无解，故取不到等号，故D错误； 故选：AB 易错点3 忽略基本不等式的“三相等”导致出错 分析：利用基本不等式求最值时要注意条件：一正二定三相等，求最值时一定要验证确保“”等号“”可以取得到. 例题3-1．下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于选项A、C、D中利用基本不等式即可判定，对于B中，可利用函数的单调性进行判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对于A中，因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立，所以函数的最大值为，不符合题意； 对于B中，函数在上单调递减，所以函数的最大值为，不符合题意； 对于C中，，当且仅当， 即时等号成立，所以最小值为，符合题意； 对于D中，， 当且仅当，即，即（显然不成立），所以最小值取不到2. 故选：C. 例题3-2．下列说法正确的为（    ） A． B．函数的最小值为4 C．若则最大值为1 D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8 【答案】C 【分析】利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可. 【详解】对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确； 对于选项,，令， 即在上单调递增，则最小值为, 则不正确； 对于选项,，则正确； 对于选项,当时，，当且仅当 时，即，等号成立，则不正确. 故选：. 易错点4 忽略二次项系数的符号导致出错 分析：最高项的系数直接影响方程的求解方式，一般需要分“二项式系数=0”、“二项式系数>0”、“二项式系数<0”三类讨论. 例题4-1．关于的不等式的解集为空集，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围. 【详解】当时，不等式化为，解集为空集，符合题意. 当时，不等式的解集不是空集，不符合题意. 当时，要使不等式的解集为空集， 则需，解得. 综上所述，的取值范围是. 故选：C 例题4-2．使得命题“”为真命题的k的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况分类讨论即可求解. 【详解】根据题意可知关于的不等式的解集为， 当时，恒成立； 当时，则满足，解得， 综上， 故选：B 易错点5 忽略分式不等式中的分母的正负导致出错 分析：去分母之前应该对分母的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论 例题5-1．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式求出集合A，B，根据集合的交集运算即可求得答案. 【详解】解不等式可得，即， 解不等式，即，即或， 即或， 故， 故选：C 例题5-2．“”是“”的（　　） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】解分式不等式求不等式的解，结合充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，则得：或， 所以 “”是“<2”的充分非必要条件. 故选：A 易错点6 解含参数不等式时分类讨论不当 分析：讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合 例题6-1．关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，求得一元二次不等式的解集，结合端点的大小列出不等式，即可求解. 【详解】由不等式，可得， 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，可得，即不等式的解集为， 若满足解集中恰好有2个整数，则，解得； 当时，即时，即不等式的解集为，显然不成立， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：C. 例题6-2．（多选）不等式的解集可能为（    ） A．R B． C． D． 【答案】ACD 【分析】讨论的大小关系，根据一元二次不等式的解法，即可求得答案. 【详解】不等式即， 当，即时，不等式解集为； 当，即时，不等式解集为R； 当，即时，不等式解集为， 故选：ACD 1．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由范围求得的范围，结合不等式的性质即可求得结果. 【详解】因为，则，所以， 又因为， 所以. 故选：B. 2．已知，则函数的最大值为 . 【答案】 【分析】由于 ，需要构造函数，才能运用基本不等式. 【详解】因为，所以，, 当且仅当，即时，等号成立.故当时， 取最大值，即. 故答案为：3. 3．代数式的最小值是（    ）． A．4 B．2 C．k D．不能确定 【答案】D 【分析】变形后利用基本不等式求解判断，同时结合函数单调性得结论． 【详解】由已知， 当且仅当即时等号成立， 若，则时，，最小值为2， 若，则，利用勾形函数的单调性得最小值为． 故选：D． 4．已知函数，若时，对任意的都成立，实数的取值范围为______________； 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次不等式恒成立，可得出关于的不等式组，综合可得出实数的取值范围； 【详解】因为对任意的都成立， 当时，则有，合乎题意； 当时，即对任意的都成立，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 5．函数的定义域为，不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的定义域为真数大于零，确定集合，再由分式不等式的解法，确定集合，然后根据集合交集的运算求解即可. 【详解】函数得定义域为：，则， 由不等式得：且，则， 则. 故选：A. 6．解下列关于的不等式：（）； 【答案】答案见解析 【分析】分别研究、、时不等式的解集即可. 【详解】， 当时，，无实数解， 当时，，的无实数解， 当时，，的解为， 综上，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 7．解下列关于的不等式：(). 【答案】答案见解析. 【分析】分类讨论求解一元二次不等式作答. 【详解】不等式化为：， 当，原不等式化为，解得， 当，原不等式化为，解得或， 当，原不等式化为， 当时，解得，当时，不等式无解，当时，解得， 所以当，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次函数、方程和不等式 清单01．不等式的概念 用数学不等符号“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”连接两个数或代数式，以表示它们之间的 关系．含有这些不等号的式子，叫做 ． 清单02．常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于,高于,超过 小于,低于,少于 大于等于,至少,不低于 小于等于,至多,不超过 符号语言 __________ __________ __________ __________ 清单03．两个实数比较大小的方法 （1）作差法 （2）作商法 清单04．不等式的性质 性质 别名 性质内容 1 对称性 2 传递性 3 可加性 推论1：； 推论2： 4 可乘性 ； 推论3：； 推论4： （，）； 推论5： 5 取倒数 清单05．重要不等式 一般地，、，有 ，当且仅当 时，等号成立． 清单06 基本不等式 ① 如果，，有，当且仅当 时，等号成立．其中，叫做正数，的 ，叫做正数，的 ． ② 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 清单07 基本不等式的三种重要变形 （1），当且仅当时取等号． （2），当且仅当时取等号． （3），当且仅当时取等号． 清单08 基本不等式与最值 已知，都是正数，则 （1）如果积等于定值（积为定值），那么当 时，和有最小值 ； （2）如果和等于定值S（和为定值），那么当 时，积有最大值 ． 清单09 基本不等式解决实际问题的步骤 清单10 一元二次方程（a、b、且）. （1）当时，方程 实根，为 ； （2）当时，方程 实根，为 ； （3）当时，方程 实根. 清单11 零点 定义：一般地，我们把使得成立的 叫作二次函数的 . 例如，是二次函数的两个零点， 是二次函数的唯一零点，二次函数 零点. 注：零点是一个 ，不是一个 . 这样，一元二次方程的实数根就是二次函数的零点，也就是函数的图象与轴交点的横坐标. 一元二次函数与x轴交点的 ⇔一元二次方程的 (实数根)⇔二次函数的 清单12 一元二次不等式的定义 定义 我们把只含有一个 ，并且未知数的最高次数是 的不等式，称为一元二次不等式 一般形式 ， ， ，，其中，a，b，c均为常数 清单13 三个“二次”间的关系 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实数根 的解集 __________ __________ __________ 的解集 __________ __________ __________ 清单14 用配方法解一元二次不等式 一元二次不等式 通过配方总是可以变为 或 的形式，再由k的 ，可得原不等式的解集. 清单15 写出下列一元二次不等式恒成立满足的条件． （1），恒成立的充要条件是 且 ． （2），恒成立的充要条件是 且 ． （3），恒成立的充要条件是 且 ． （4），恒成立的充要条件是 且 ． 清单16 分式不等式及其解法 （1） ． （2） ． 清单17 和型不等式的解法 ① ； ② ． 易错点1 不等式性质应用不当导致出错 分析：①不等式具有同向相加性质，但两边不能分别相减； ②利用不等式同向相乘,忽略不等式两边为正的前提条件 例题1-1．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题1-2．（多选）若，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 例题6-2．（多选）不等式的解集可能为（    ） A．R B． C． D． 1．若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则函数的最大值为 . 3．代数式的最小值是（    ）． A．4 B．2 C．k D．不能确定 4．已知函数，若时，对任意的都成立，实数的取值范围为______________； 5．函数的定义域为，不等式的解集为，则（    ） A． B． C． D． 6．解下列关于的不等式：（）； 7．解下列关于的不等式：(). 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$