第2章 一元二次函数、方程和不等式（11大题型）（专项训练）数学湘教版2019高一必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式（题型专练） 题型一：作差（商）法比较大小 1．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 2．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）（1）已知，证明 ； （2）已知，，其中且，比较的大小． 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题型二：不等式性质判断命题真假 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 2．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）（多选）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 题型三：求代数式取值范围 3．（23-24高一上·贵州·阶段练习）（多选）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 题型四：基本不等式求最值 角度1：积定求和最值 1．（25-26高一上·全国·单元测试）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知，则有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 3．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知，且，则的最小值是 . 角度2：和定求积最值 1．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 . 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则的最大值为 ． 3．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 题型五：解不含参一元二次不等式 1．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海青浦·期末）不等式的解集为 ． 3．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 题型六：解简单分式不等式 1．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 题型一：基本不等式求最值 角度1：配凑法 1．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 2．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 角度2：分子常数化 1．已知，则的最小值是 ． 2．函数的值域是 ． 3．已知，则函数的最小值是 ． 角度3：“1”的代换 1．已知，，则的最小值为 . 2．若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 3．若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 角度4：消元法 1．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 3．若正数x，y满足，则的最小值是 . 角度5：两次使用法 1．已知，则的最小值为 . 2．设为正数，且. 证明：. 3．设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 题型二：解含参一元二次不等式 角度1：可因式分解型 1．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 2．解关于变量的不等式：． 角度2：不可因式分解型 1．解关于x的不等式：（）； 2．解关于的不等式：． 题型三：二次有关恒成立问题 角度1：在R上恒成立 1．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知不等式，当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； 角度2：自变量在某区间上恒成立 1．若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 2．若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是 ． 角度3：参数在某区间上恒成立 1．设.对于，恒成立，求实数的取值范围； 2．已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：二次有关有解问题 1．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 2．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 3．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 不等式有关的实际应用问题 1．如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 2．某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 3．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次函数、方程和不等式（题型专练） 题型一：作差（商）法比较大小 1．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1)；(2) 【分析】作差法比较即可 【详解】（1）， 则. （2）， 则 2．（24-25高一下·广东汕头·阶段练习）（1）已知，证明 ； （2）已知，，其中且，比较的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）可通过作差法将与作差，然后判断差的正负来证明不等式； （2）使用作差法，将与作差，对差进行因式分解，再根据已知条件判断差的正负， 从而比较与的大小. 【详解】（1）法一： ． 由于， 所以当时，，，  即 法二：因为，所以 所以，则     即 法三：因为，要证 即证 即证 由于，   所以原不等式成立 （2）解：因为，， 所以 因为，且，所以，， 所以，即 3．（23-24高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①；②；③； 【分析】①利用有理根式可得， 再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【详解】① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 题型二：不等式性质判断命题真假 1．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 2．（24-25高一下·山西大同·阶段练习）（多选）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式性质逐一进行判断即可. 【详解】当时，，故A不成立； 当时，若，则，故B不成立； 若，，则，即，故C成立； 若，，则，即，故D不成立. 故选：ABD. 题型三：求代数式取值范围 3．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件，利用不等式的基本性质逐项判断即可. 【详解】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又， ∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 4．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的范围利用不等式的性质直接求解即可. 【详解】由已知，得， 由同向不等式相加得到． 故选：D． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ii）． 【分析】（1）应用不等式的性质及已知求目标式的范围； （2）（i）联立已知不等式即可求范围；（ii）法一：首先求得， 再由不等式性质求范围；法二：应用换元法及法一的过程求范围. 【详解】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. 题型四：基本不等式求最值 角度1：积定求和最值 1．（25-26高一上·全国·单元测试）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，由均值不等式得， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为2. 故选：B. 2．（24-25高二下·山东泰安·期末）已知，则有（   ） A．最大值0 B．最小值0 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】已知，则， 当且仅当，即时等号成立， 所以已知，则有最大值. 故选：C. 3．（24-25高一下·甘肃武威·期末）已知，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】由基本不等式直接进行求解即可. 【详解】，且，则， 当且仅当，即，即时，等号成立. 的最小值是8. 故答案为：8 角度2：和定求积最值 1．（24-25高一下·河南焦作·阶段练习）已知，，且，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】应用基本不等式求积的最大值即可. 【详解】因为，，且，所以，故， 当且仅当等号成立，所以的最大值为8. 故答案为：8 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则的最大值为 ． 【答案】16 【分析】法一：利用均值不等式的变形公式求解即可.法二：利用均值不等式求解即可. 【详解】法一：因为，所以，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为16. 法二：因为，所以，， 由均值不等式可得，从而， 当且仅当，即时取等号． 所以的最大值为16. 故答案为：16 3．（2025高三·北京·专题练习）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】由于，则， 故， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为. 故选：A. 题型五：解不含参一元二次不等式 1．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以方程无实数根， 所以二次函数的图象全都在轴的上方， 所以一元二次不等式的解集为. 故选：C 2．（24-25高一下·上海青浦·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式等价于，则解集为， 故答案为： 3．（2025高一上·全国·专题练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】把原不等式两边同时乘以，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得一元二次不等式的解集． 【详解】由得，即，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C 题型六：解简单分式不等式 1．（24-25高二下·内蒙古鄂尔多斯·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式不等式解法求解分式不等式即可得出结果. 【详解】不等式可化为，通分整理得， 解得. 故选：A. 2．（2025·上海杨浦·三模）不等式的解集为 ． 【答案】或. 【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得. 【详解】等价于，即， 解得或，即原不等式的解集为：或. 故答案为：或. 题型一：基本不等式求最值 角度1：配凑法 1．已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 2．已知实数，则函数的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】实数， ， 当且仅当，即时等号成立， 函数的最小值为6. 故选：B. 3．已知，，，则的最大值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】因为，，，则，， 可得，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值是. 故选：A. 角度2：分子常数化 1．已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 2．函数的值域是 ． 【答案】 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，， 当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 3．已知，则函数的最小值是 ． 【答案】 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值是 故答案为:. 角度3：“1”的代换 1．已知，，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故答案为： 2．若，则的最小值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，取得最小值， 故选：D． 3．若，则的最小值为（    ） A．9 B．18 C．24 D．27 【答案】A 【详解】根据题意可得； 当且仅当，即时，等号成立； 此时的最小值为9. 故选：A. 角度4：消元法 1．若正实数满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】由为正实数，且，得， 则， 当且仅当，即时，取最小值9. 故选：C. 2．已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 3．若正数x，y满足，则的最小值是 . 【答案】 【详解】正数x，y满足，故， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为： 角度5：两次使用法 1．已知，则的最小值为 . 【答案】12 【详解】根据题意，由可得，所以利用基本不等式可得： 当且仅当，时取“=”，即，时“=”成立， 所以的最小值为12. 故答案为：12. 2．设为正数，且. 证明：. 【答案】证明见解析 【详解】方法一：由已知条件，结合基本不等式即可得到 . 方法二：等价于， 根据题设有 ， 当且仅当时等号成立. 3．设正实数满足，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】 【详解】因为，，所以，， 令，，则，，，， 所以 ， 当且仅当且且且，即， 即，时，等号成立， 又不等式恒成立，所以，即的最大值为. 题型二：解含参一元二次不等式 角度1：可因式分解型 1．设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于，当时，变为， 此时解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，此时解集为空集， 当时，解得， 综上讨论，并未在任何情况出现， 故不可能是原不等式解集，故B正确. 故选：B 2．解关于变量的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】根据题意，， 分2种情况讨论： ①当时，不等式为：，解可得，此时不等式的解集为； ②若，的两个根为3和， 当时，不等式的解集为，，； 当时， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为， 若，不等式的解集为，． 综合可得：当时，不等式的解集为，，； 当时，不等式的解集为； 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当，不等式的解集为，． 角度2：不可因式分解型 1．解关于x的不等式：（）； 【答案】答案见解析 【详解】 ①当，即时，原不等式无解． ②当，即或时， 方程的两根为，， 则原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式无解； 当或时，原不等式的解集为； 2．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【详解】当时，，解得； 当时，则， ①时，则，解得； ②时，则有： 若，即时，则； 若，即时，则且； 若，即时，解得或； 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解得. 题型三：二次有关恒成立问题 角度1：在R上恒成立 1．若不等式对所有实数恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒成立，不符合题意； 时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒成立， 则二次函数的图象开口向下且与轴无交点， 从而，解得， 所以，的取值范围为， 故选：B. 2．已知不等式，当时不等式恒成立，求实数m的取值范围； 【答案】 【详解】①若，则原不等式可化为，显然恒成立， ②若，则不等式恒成立， 等价于 ，解得， 综上，实数m的取值范围是. 角度2：自变量在某区间上恒成立 1．若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 2．若对任意的都有成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得在时恒成立， 令，所以在时恒成立， 因为二次函数图象对称轴为， 所以当时有最小值为， 所以. 故答案为：. 角度3：参数在某区间上恒成立 1．设.对于，恒成立，求实数的取值范围； 【答案】 【分析】将转化为关于的一次函数，判断的单调性，得到，解不等式即可. 【详解】设 则是关于的一次函数，所以，解得， 故实数的取值范围为. 2．已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设有，且在上恒成立， 讨论、、求实数x的取值范围. 【详解】由题设， 由，即在上恒成立， 当时，恒成立，此时， 当时，不等式不成立， 当时，恒成立，此时， 综上，实数x的取值范围是. 故选：D 题型四：二次有关有解问题 1．若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 2．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后转化为求函数的最小值. 【详解】在时有解，分离参数得在区间上有解， 只需要不小于函数在区间上的最小值即可， 因为，函数图像对称轴，且， 所以当时，在区间上取最小值，， 所以若命题“”为真命题，则， 实数的取值范围是． 故答案为： 3．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】只需求函数在上的最大值，即可得答案. 【详解】由题意，在上有解， ∴在上有解， 即，其中， 在中，， 对称轴， ∵，二次函数开口向上， ∴函数在单调递减，在上单调递增， ∴函数在上取最大值，， ∴， 故答案为：. 不等式有关的实际应用问题 1．如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1)；(2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 2．某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1)；(2)单价定为元时利润最大，最大利润为元；(3) 【分析】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【详解】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 3．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$