第2章 一元二次函数、方程和不等式（复习讲义）数学湘教版2019高一必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式（复习讲义） 1、 掌握等式与不等式性质、基本不等式应用； 2、 理解一元二次函数图像性质，方程解法、判别式与韦达定理，不等式解法； 3、 明确 “三个二次” 联系，能解综合及实际问题，掌握数形结合等思想与建模能力. 4、 基本不等式最值问题的条件满足，含参数一元二次不等式的分类讨论 第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2章 一元二次函数、方程和不等式 1、不等关系与不等式 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2、实数大小比较的基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么a＞b a－b＞0⇔a＞b 如果a－b等于0，那么a＝b a－b＝0⇔a＝b 如果a－b是负数，那么a＜b a－b＜0⇔a＜b 3、不等式的性质： 性质1　如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. 性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c． 性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 推论1：如果a＋b>c，那么a>c－b，即a＋b>c⇒a>c－b． 推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d． 性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc． 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd． 推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2). 推论5：如果a>b>0，那么. 性质5　如果，且，那么. 如果，且，那么. 4、重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 5、基本不等式 如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 可表述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数. 6、基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)若和x＋y等于定值S，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若积xy等于定值P，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2． 记忆口诀：和定积最大，积定和最小． 7、基本不等式解决实际问题的步骤 8、一元二次方程的根与二次函数图象的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 9、零点 定义：一般地，我们把使得成立的实数叫作二次函数的零点. 例如，是二次函数的两个零点，是二次函数的唯一零点，二次函数没有零点. 注：零点是一个实数，不是一个点. 这样，一元二次方程的实数根就是二次函数的零点，也就是函数的图象与轴交点的横坐标. 一元二次函数与x轴交点的横坐标⇔一元二次方程的解(实数根)⇔二次函数的零点 10、一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 11、一元二次不等式的解集 1. 当时，先求出方程的两根和(不妨设)，二次函数的图象如图(1)所示，因此 不等式的解集为， 不等式的解集为. 2. 当时，二次函数的图象其顶点在轴上，其余部分都在轴的上方，如图(2)所示，因此， 不等式的解集为， 不等式的解集为. 3. 当时，二次函数的图象全部位于轴的上方， 如图(3)所示，因此， 不等式的解集为， 不等式的解集为. 12、解一元二次不等式的“三步曲” 第一步 确定对应一元二次方程的根； 第二步 画出对应二次函数的大致图象； 第三步 由图象得出不等式的解集. 注意：对于二次项系数是负数(即)的一元二次不等式，极力建议先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解. 13、三个“二次”的关系(a>0) Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 14、三个“二次”关系的实质 (1)ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标； (2)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应x的取值集合； (3)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应x的取值集合． 15、解含参一元二次不等式的步骤 16、简单分式不等式的解法 简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解 (1)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 17、一元二次不等式的恒成立问题 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立⇔ 18、解不等式应用题的步骤 题型一：作差法比较大小 【例1】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 【变式1-1】已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析，当且仅当时取等. 【分析】利用立方差公式和作差法即可证明. 利用作差法直接化简即可证明. 【详解】（1）证明： 因为 所以， 所以， 所以当时，. （2）证明： 当且仅当时取等. 【变式1-2】如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了. (1)用数学中的不等式解释这一现象； (2)证明（1）中的不等式. 【答案】(1) ；(2)证明见解析 【分析】 利用浓度的变大来解释变咸了；利用作差法来证明不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以盐水中含有氯化钠的浓度变大了，则盐水变得更咸了. （2）由， 因为，所以， 即. 题型二：不等式性质比较大小 【例2】若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质及作差法判断各项的正误. 【详解】A：，左右两端同乘以2，得，错； B：，左右两端同减去1，得，错； C：， 由于，所以，所以，对； D：取，满足，但无意义，错. 故选：C 【变式2-1】（多选）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作差，由不等式的性质判断ABD选项，举反例排除C选项. 【详解】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 【变式2-2】已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式的性质比较数（式）大小即可. 【详解】因为，所以． 由于，故在不等式上同时乘以a得， 即，因此，． 故选：C. 题型三：利用不等式性质求代数式取值范围 【例3】（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：由，，得，故，错； B：由，得，而，故，对； C：由，，得，错； D：由，得，而，则，对. 故选：BD 【变式3-1】已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 【变式3-2】（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】AB选项，利用不等式的性质直接进行求解；CD选项，先利用表达出和，结合求出答案. 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 题型四：基本不等式求和的最小值 【例4】函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先配凑再利用基本不等式即可求得. 【详解】因，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为3. 故选：C. 【变式4-1】的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 【答案】B 【分析】将变形为，再利用基本不等式求其最小值即可. 【详解】因为，当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值为， 故选：B. 【变式4-2】已知，且，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】由基本不等式直接进行求解即可. 【详解】，且，则， 当且仅当，即，即时，等号成立. 的最小值是8. 故答案为：8 题型五：基本不等式求积的最大值 【例5】已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由基本不等式即可求解； 【详解】， 可得：，当且仅当时，取等号， 所以的最大值为， 故答案为： 【变式5-1】已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式，可得答案. 【详解】当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以时，的最大值为， 故选：A. 【变式5-2】若长方形的周长为12，则该长方形面积的最大值为 ． 【答案】9 【分析】设长方形的长与宽分别为，可得，利用基本不等式求面积最大值. 【详解】设长方形的长与宽分别为，则，即， 可得该长方形的面积，当且仅当时，等号成立， 即长方形面积的最大值为9． 故答案为：9. 题型六：解不含参数的一元二次不等式 【例6】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次函数的因式分解和不等式的性质求解一元二次不等式的解即可. 【详解】因为，所以. 所以，所以或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 【变式6-1】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】将不等式化为不等式，结合三个二次的关系即可求得答案. 【详解】不等式即不等式， 故，即不等式的解集为， 故选：B 【变式6-2】若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由集合的并集运算即可求解. 【详解】由合，， 所以，故C正确. 故选：C. 题型七：解含参数的一元二次不等式 【例7】解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为： . 当时， . 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时， . 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 【变式7-1】关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将不等式分解因式可得答案. 【详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 【变式7-2】若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】∵， ∴，又， 所以不等式的解为或． 故选：C． 题型八：一元二次不等式解集与方程根的关系 【例8】（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 【答案】AD 【分析】根据给定的解集用表示，再逐项判断即可. 【详解】由不等式的解集为或，得是方程的二根，且， 则，即， 对于A，，A正确； 对于B，不等式为：，解得，B错误； 对于C，不等式为：，解得，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 【变式8-1】不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A 【变式8-2】已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元二次不等式的解法、一元二次方程的判别式以及根与系数的关系和不等式的性质运算即可得解. 【详解】因为，，所以， 所以，即，解得：或． 因为有两个不等根，所以， 解得：或，则的取值范围是． 故选：B 题型九：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【例9】已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分和两种情况分析求解即可. 【详解】当时，恒成立，所以符合题意， 当时，因为，使得恒成立， 所以，解得， 综上，， 即实数a的取值范围为. 故答案为： 【变式9-1】若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分类讨论和，结合二次函数的性质列出不等式即可求解． 【详解】， 因为不等式对于任意均成立， 所以当时，，符合题意； 当时，则，解得， 综上所述，， 故选：D． 【变式9-2】若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，确定，且，再由基本不等式即可求解． 【详解】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 故选：C 题型十：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【例10】恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【详解】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式10-1】当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为恒成立，再结合基本不等式求解即可； 【详解】当时，恒成立，等价于恒成立， 又，当且仅当即时取等号， 所以， 故选：C. 【变式10-2】若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，将问题转化为，分类讨论与两种情况讨论，得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】令，的对称轴为， 当，即时，， 所以，则，故； 当，即时，， 所以，则，故； 综上，，即实数的取值范围是. 故选：D. 基础巩固通关测 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由，解得，则不等式的解集为. 故选：A. 2．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可. 【详解】因为，显然有，故A正确； 而，所以，故B正确； 又，所以，故C正确； 不妨令则，故D错误. 故选：D. 3．不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法可得解集. 【详解】原不等式可以转化为 ，即 ， 因为 ，所以 ，因此不等式的解集为 . 故选：A. 4．已知是方程的两个根，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用韦达定理得到，结合，即可求解. 【详解】因为是方程的两个根，可得， 则. 故选：A. 5．下列各数中，不属于方程的解集的是（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】结合定义域解方程即可. 【详解】可得且或, , , 故选:B. 6．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解. 【详解】因为，所以， 所以, 当且仅当，即时，取得等号， 故选:C. 7．已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化不等式为，分，和三种情况讨论，求得不等式的解集，结合题意即可求解． 【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是． 故选：C． 8．已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质，结合作差法、基本不等式进行求解即可. 【详解】因为且，所以，， 对于A ，因为，，所以，故A错误； 对于B，，因为，，所以， 又因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又因为，所以，故D错误. 故选：C. 二、多选题 9．对于实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 【答案】BC 【分析】利用不等式的性质即可判断选项A、B、C，对D选项取特殊值验证即可. 【详解】对于A，因为，所以， 所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，， 所以，故C正确； 对于D，取，满足， 而，故D错误. 故选：BC. 10．下列命题正确的是（    ） A．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 B．“且”是“”的必要不充分条件 C．“”是“方程有一个实数根”的充要条件 D．“”是“集合或为空集”的充要条件 【答案】AC 【分析】根据同位角相等的判定定理及两直线平行的性质即可判断A；根据不一定推出且成立即可判断B；根据一元二次方程有一个实数根，即即可判断C；根据不一定推出集合或为空集，可以通过举反例来说明即可判断． 【详解】由两直线平行的判定及性质定理得，“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件，A正确； 充分性：当且时，必有，充分性成立； 必要性：当时，有，即且或且， 故不一定有且，必要性不成立， 故“且”是“”的充分不必要条件，B错误； 充分性：当时，方程的，有一个实数根，充分性成立； 必要性：当方程有一个实数根时，， 即，必要性成立， 所以“”是“方程有一个实数根”的充要条件，C正确； 充分性：当时，取均不为空集，充分性不成立； 必要性：当或为空集时，一定有，必要性成立， 故“”是“集合或为空集”的必要不充分条件，D错误， 故选：AC． 三、填空题 11．代数式的取值范围是 （用区间表示）． 【答案】 【分析】利用基本不等式或者结合函数图象，即可得的范围. 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号； 当时，，当且仅当，即时取等号； 故的范围是； 另解：令，由图象可知. 故答案为：. 12．若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】利用两次基本不等式，即可得出答案. 【详解】因为 所以 当且仅当即或时取“”. 故答案为：4. 四、解答题 13．设a、b、c是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么. 【答案】(1)真命题；(2)假命题；(3)真命题 【分析】（1）利用不等式的性质可判断原命题的真假； （2）取特殊值可判断原命题的真假； （3）利用不等式的基本性质可判断原命题的真假. 【详解】（1）因为，所以，由不等式的乘法性质得，故原命题为真命题； （2）取，，，满足，但是， 所以原命题为假命题； （3）因为，所以由不等式的开方法则得，故原命题为真命题； 14．解下列关于x的不等式： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中． 【答案】(1)；(2)； (3)当时，；当时， 【分析】由不等式性质，即可求解（1）（2）；分类讨论和，结合不等式的性质求解即可． 【详解】（1）， 由得，，故． （2）， 由得，，故． （3）， 由得，当时，； 当时，． 15．解关于x的不等式 【答案】答案见解析 【分析】原不等式可化为，分、、三种情况求解即可. 【详解】原不等式可化为. 当，即时，或； 当，即时，； 当，即时，或. 综上，当时，解集为或； 当时，解集为； 当 时，解集为或. 能力提升进阶练 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】作差法比较代数式的大小，作差后整理成平方式相加的形式. 【详解】，，则. 所以. 故选：A. 2．若为实数，且，则以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质可得B错误，采用特殊值法可判断AC错误，再由不等式性质可知D正确. 【详解】根据题意，不妨令，则，此时，即A错误； 若，可知同号，即或，所以B错误； 不妨令，此时满足，但，所以C错误； 由可得，两边同时乘以可得，即可得D正确； 故选：D 3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，均为实数，且满足，那么下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，逐项检验，可得答案. 【详解】对于A，当时，不成立，故A错误； 对于B，当时，不成立，故B错误； 对于C，当时，不成立，故C错误； 对于D，由，得，即，故D正确. 故选：D. 4．不等式的解集为（    ） A．{或} B． C．或 D． 【答案】A 【分析】原不等式可化为，直接求解即可． 【详解】原不等式可化为，即，解得{或}， 故原不等式的解集为{或}． 故选：A． 5．若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 【答案】C 【分析】利用基本不等式‘1’的代换求解即可. 【详解】因为， 所以， 由基本不等式可得，即， 当且仅当时取等，此时解得，， 则的最小值为32，故C正确. 故选：C 6．已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解二次不等式分别求出和的范围，根据必要不充分条件的概念列不等式求解即可. 【详解】因为，即， 则或，即， 又是的必要不充分条件，则或，即或. 则的取值范围为. 故选：B 7．关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出的取值范围. 【详解】原不等式可化为， 则方程的两个根为和， 当时，原不等式的解集为空集，不满足题意； 当时，原不等式的解集为：， 则a不能取到正数值； 当时，原不等式的解集为：， 要使不等式的解集中整数有且只有3个，则， 则正数a的取值范围为. 故选：A. 8．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中条件列出不等式，解出即可. 【详解】由题意，得， 即，∴， 解得.又每枚的最低售价为15元，∴. 故选：B. 二、多选题 9．下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得. C．任意非零实数，都有 D．函数的最小值为2 【答案】AB 【分析】对于选项A，作差比较可知A正确；对于选项B，当时，可知B正确；对于选项C，当异号时，可知C错误；对于选项D，根据基本不等式取等的条件不成立可知D错误. 【详解】对于A，，所以对，都有，故A正确； 对于B，当时，，故选项B正确； 对于C，若异号，则0，故选项C错误； 对于D，，当且仅当， 此时，此式无解，所以函数的最小值不为2，故选项D错误. 故选：AB 10．已知函数，若存在实数t，当时，有恒成立，则实数m可以等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】AB 【分析】把不等式等价转化，构造函数，再利用二次函数的图象、性质求出m的范围作答.. 【详解】不等式， 令， 依题意，存在实数t，在上恒成立， 由二次函数的图象与性质知，，即， 令，于是存在实数，使得成立，而， 当，即时，函数在上单调递增， ，解得， 当，即时， ，解得， 因此的取值范围是，选项AB符合题意，选项CD不符合题意. 故选：AB 三、填空题 11．已知，，则的最大值是 . 【答案】7 【分析】运用待定系数法，整体代入求解即可. 【详解】由题意，设， 则，解得， 所以，，则， 则的最大值是， 故填：. 12．已知集合，则 ． 【答案】 【分析】根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】解：原不等式等价于，化简得， 所以，又等价于，解得： 所以， 故答案为：． 四、解答题 13．用篱笆围成一个面积为49平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？ 【答案】长米，宽米，最短篱笆米 【分析】利用基本不不等式求最值即可. 【详解】设矩形的长为米，宽为米，篱笆长为米，则， ，当且仅当，即，时等号成立， 所以这个矩形长为米，宽为米时所用的篱笆最短，最短的篱笆是米. 14．已知函数， (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求和的值； (3)解关于的不等式. 【答案】(1)答案见解析；(2)，；(3)答案见解析 【分析】（1）解一元二次不等式即可； （2）将问题转化为：和是的两个根，由韦达定理列式求解即可； （3）将不等式进行变形，然后通过对进行分类，并对两个根的大小比较，进而分别求出解集 【详解】（1） 不等式可化为 又方程的解为或 不等式的解集为 不等式的解集为 （2）关于的不等式的解集为 关于的方程的解为或 解得， （3）不等式即不等式 ①当时，不等式可化为，解得 ②当时，不等式可化为 方程的解为或 若，即时，解得 若，即时，解得 若，即或时 时，解得 时，解得或 综上所述， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 15．如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. (1)求实数的取值范围； (2)问点在何处时，最小，并求出该最小值. 【答案】(1)；(2)当点满足时，最小，最小值为亿元. 【分析】（1）由直角三角形地块全部修建为面积至少和直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园湿地公园，列不等式求解即可得出答案. （2）由题意可得，由基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园， 所以，解得： 直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园， 所以，解得：, 故实数的取值范围为. （2）依题意可得： ， 当且仅当，即时取等. 所以当点满足时，最小，最小值为亿元. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 一元二次函数、方程和不等式（复习讲义） 1、 掌握等式与不等式性质、基本不等式应用； 2、 理解一元二次函数图像性质，方程解法、判别式与韦达定理，不等式解法； 3、 明确 “三个二次” 联系，能解综合及实际问题，掌握数形结合等思想与建模能力. 4、 基本不等式最值问题的条件满足，含参数一元二次不等式的分类讨论 第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2章 一元二次函数、方程和不等式 1、不等关系与不等式 用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 2、实数大小比较的基本事实 文字表示 符号表示 如果a－b是正数，那么a＞b a－b＞0⇔a＞b 如果a－b等于0，那么a＝b a－b＝0⇔a＝b 如果a－b是负数，那么a＜b a－b＜0⇔a＜b 3、不等式的性质： 性质1　如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. 性质2　如果a>b，b>c，那么a>c，即a>b，b>c⇒a>c． 性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c. 推论1：如果a＋b>c，那么a>c－b，即a＋b>c⇒a>c－b． 推论2：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d． 性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc． 推论3：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd． 推论4：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2). 推论5：如果a>b>0，那么. 性质5　如果，且，那么. 如果，且，那么. 4、重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 5、基本不等式 如果a>0，b>0，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 可表述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数. 6、基本不等式与最值 已知x＞0，y＞0，则 (1)若和x＋y等于定值S，则当x＝y时，积xy取得最大值． (2)若积xy等于定值P，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2． 记忆口诀：和定积最大，积定和最小． 7、基本不等式解决实际问题的步骤 8、一元二次方程的根与二次函数图象的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 9、零点 定义：一般地，我们把使得成立的实数叫作二次函数的零点. 例如，是二次函数的两个零点，是二次函数的唯一零点，二次函数没有零点. 注：零点是一个实数，不是一个点. 这样，一元二次方程的实数根就是二次函数的零点，也就是函数的图象与轴交点的横坐标. 一元二次函数与x轴交点的横坐标⇔一元二次方程的解(实数根)⇔二次函数的零点 10、一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式 11、一元二次不等式的解集 1. 当时，先求出方程的两根和(不妨设)，二次函数的图象如图(1)所示，因此 不等式的解集为， 不等式的解集为. 2. 当时，二次函数的图象其顶点在轴上，其余部分都在轴的上方，如图(2)所示，因此， 不等式的解集为， 不等式的解集为. 3. 当时，二次函数的图象全部位于轴的上方， 如图(3)所示，因此， 不等式的解集为， 不等式的解集为. 12、解一元二次不等式的“三步曲” 第一步 确定对应一元二次方程的根； 第二步 画出对应二次函数的大致图象； 第三步 由图象得出不等式的解集. 注意：对于二次项系数是负数(即)的一元二次不等式，极力建议先把二次项系数化为正数，再按上述步骤求解. 13、三个“二次”的关系(a>0) Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 14、三个“二次”关系的实质 (1)ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的解⇔y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标； (2)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴上方时，对应x的取值集合； (3)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集⇔y＝ax2＋bx＋c的图象上的点(x，y)在x轴下方时，对应x的取值集合． 15、解含参一元二次不等式的步骤 16、简单分式不等式的解法 简单的分式不等式可以转化为一元二次不等式求解 (1)＞0(＜0)⇔(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0). (2)≥0(≤0)⇔ 17、一元二次不等式的恒成立问题 ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c＜0(a≠0)恒成立⇔ 18、解不等式应用题的步骤 题型一：作差法比较大小 【例1】已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知实数用作差比较法证明： (1)若则 (2)并指出等号成立条件. 【变式1-2】如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了. (1)用数学中的不等式解释这一现象； (2)证明（1）中的不等式. 题型二：不等式性质比较大小 【例2】若，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知，则（ ） A． B． C． D． 题型三：利用不等式性质求代数式取值范围 【例3】（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知实数，满足，，则范围是 【变式3-2】（多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型四：基本不等式求和的最小值 【例4】函数的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-1】的最小值为（   ） A． B． C．6 D．24 【变式4-2】已知，且，则的最小值是 . 题型五：基本不等式求积的最大值 【例5】已知都是正实数，若，则的最大值为 . 【变式5-1】已知，则函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若长方形的周长为12，则该长方形面积的最大值为 ． 题型六：解不含参数的一元二次不等式 【例6】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【变式6-2】若集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型七：解含参数的一元二次不等式 【例7】解关于的不等式：． 【变式7-1】关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 【变式7-2】若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型八：一元二次不等式解集与方程根的关系 【例8】（多选）已知关于x的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是（   ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D． 【变式8-1】不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【变式8-2】已知二次不等式的解集为，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型九：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【例9】已知，使得恒成立，则实数a的取值范围为 . 【变式9-1】若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 题型十：一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【例10】恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】当时，恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 基础巩固通关测 一、单选题 1．不等式的解集为（    ） A． B．或 C． D．或 2．若，则下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 4．已知是方程的两个根，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．下列各数中，不属于方程的解集的是（    ） A．2 B． C．0 D． 6．已知，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．6 D．7 7．已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知实数．满足且，则下列不等式关系一定正确的是（    ）． A． B． C． D． 二、多选题 9．对于实数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若， 10．下列命题正确的是（    ） A．“同位角相等”是“两条直线平行”的充要条件 B．“且”是“”的必要不充分条件 C．“”是“方程有一个实数根”的充要条件 D．“”是“集合或为空集”的充要条件 三、填空题 11．代数式的取值范围是 （用区间表示）． 12．若实数，满足，则的最小值为 . 四、解答题 13．设a、b、c是实数，判断下列命题的真假，并说明理由. (1)如果，那么； (2)如果，那么； (3)如果，那么. 14．解下列关于x的不等式： (1)，其中； (2)，其中； (3)，其中． 15．解关于x的不等式 能力提升进阶练 一、单选题 1．已知，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 2．若为实数，且，则以下结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知，，均为实数，且满足，那么下列选项中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．不等式的解集为（    ） A．{或} B． C．或 D． 5．若，则的最小值为（   ） A．24 B．26 C．32 D．92 6．已知“”是：“”成立的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．关于x的不等式 的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（     ） A． B． C． D． 8．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列命题中，真命题的是（    ） A．，都有 B．，使得. C．任意非零实数，都有 D．函数的最小值为2 10．已知函数，若存在实数t，当时，有恒成立，则实数m可以等于（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 三、填空题 11．已知，，则的最大值是 . 12．已知集合，则 ． 四、解答题 13．用篱笆围成一个面积为49平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、 宽各为多少时，所用篱笆最短.最短的篱笆是多少？ 14．已知函数， (1)当时，解关于的不等式； (2)若关于的不等式的解集为，求和的值； (3)解关于的不等式. 15．如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设. 现规划了如下三项工程： 工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥； 工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元； 工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元. 记这三项工程的总造价为亿元. (1)求实数的取值范围； (2)问点在何处时，最小，并求出该最小值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$