3.1.1 函数的概念（第2课时）（教学课件）数学人教A版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦函数概念第2课时，核心涵盖区间含义及表示、函数定义域（具体与抽象）求解、函数相等判定，通过外卖配送范围、班级身高统计实例导入，搭建从实际问题到数学概念的学习支架。 其亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过逻辑推理训练数学思维，规范区间和集合语言强化数学语言表达。如外卖配送范围引出区间表示，班级身高统计辨析定义域对函数的影响，分层题型训练助学生巩固，教师可直接用于教学提升效率。

人教A版2019必修第一册 3.1.1 函数的概念(第2课时) 第 3 章 函数的概念与性质 学习目标 理解区间的含义，掌握区间的表示方法，能熟练用区间表示数集。 掌握函数定义域的求解规则，能准确求出简单函数及抽象函数的定义域。 理解函数相等的概念，能正确判定两个函数是否为同一个函数。 经历区间概念的形成、函数定义域求解和函数相等判定的过程，体会数学抽象和逻辑推理的思想方法。 目录 CATALOG 01.求函数的定义域 03.题型强化训练 02.判断函数相等 04.小结及随堂练习 函数的概念(第2课时) 01 求函数的定义域 外卖“配送范围”的区间表示 如何用数学符号表示？ “某外卖平台配送范围为距离门店3公里以内（含3公里），如何用数学符号表示？” → 生成区间(-∞,3]（距离为非负数，实际为[0,3]），引出区间表示的必要性。 → 引发讨论：定义域（男生/女生集合）不同，对应法则相同，结论“不是同一函数”。 班级“身高统计”的函数争议 “班主任说：‘男生身高函数h(x)与女生身高函数h(y)是同一个函数吗？’ ” 定义域（男生/女生集合）不同，对应法则相同，结论“不是同一函数”。 导入新知 ①满足不等式a≤x≤b的实数的集合叫做闭区间，表示为[a,b]. 在研究函数的时候经常会遇到区间的概念．设a，b是两个实数且a<b，我们规定： ②满足不等式a＜x＜b的实数的集合叫做开区间，表示为(a,b). ③满足不等式a＜x≤b的实数的集合叫做左开右闭区间，表示为(a,b]. ④满足不等式a≤x＜b的实数的集合叫做左闭右开区间，表示为[a,b). ③和④都可以称作半开半闭区间. 这些区间的几何表示如表所示．在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点． 学习新知 集合表示 区间表示 数轴表示 {x|a＜x＜b} {x|a≤x≤b} {x|a≤x＜b} {x|a＜x≤b} {x|x＜b} {x|x≤b} {x|x＞a} {x|x≥a} {x|x∈R} (a , b) 。 。 [a, b] a [a , b) 。 (a , b] . 。 (－∞, b) 。 (－∞, b] . (a , +∞) 。 [a , +∞) . (-∞,+∞) . b . . 数轴上所有的点 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 具体函数的定义域 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 具体函数的定义域 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 具体函数的定义域 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抽象函数的定义域 总结新知 知识点一：区间的概念 (1)设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： ①满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做________，表示为__________； ②满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做________，表示为__________； ③满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做______________，分别表示为______________． 闭区间 [a，b] 开区间 (a，b) 半开半闭区间 [a，b)，(a，b] 总结新知 知识点二：同一个函数的判定 知识点三：常见函数的值域 如果两个函数的___________相同，并且____________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数． (1)一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为______，值域是______． (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是______，当a>0时，值域为 __________________，当a<0时，值域为____________________． 定义域 对应关系 R R R 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求函数值 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 求函数值 学习新知 解： 学习新知 解： 学习新知 解： 学习新知 学习新知 学习新知 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 抽象函数的定义域、抽象函数的值域 学习新知 【规律方法】求函数的定义域的注意点 函数有意义的准则一般有： ①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0． 不对解析式化简变形，以免定义域变化． 当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成 时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不 能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 函数的概念(第2课时) 02 判断函数相等 应用新知 由函数的定义可知，构成函数的要素为：定义域，对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数． 如果两个函数仅仅是对应关系相同，但定义域不同，那么它们肯定不是同一个函数． 如S=350t，t∈{t|0≤t≤0.5}与W=350d，d∈{1，2，3，4，5，6}的对应关系都为y=350x，但它们的定义域不同，所以它们不是同一个函数，同时，因为它们的定义域都不为R，所以它们与正比例函数y=350x，(x∈R)也不是同一个函数． 应用新知 由函数的定义可知，构成函数的要素为：定义域，对应关系和值域.因为值域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，那么这两个函数是同一个函数．   【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断两个函数是否相等 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断两个函数是否相等 应用新知 解： 应用新知 解： 应用新知 应用新知 判断两个函数为同一函数应注意三点 (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一函数． (2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断两个函数是否相等 【详解】由已知可得，，所以有. 故选：B. 牛刀小试 判断两个函数是否相等 应用新知 03 题型强化训练 函数的概念(第2课时) 能力提升 题型一：区间的概念 小结 用区间表示数集的注意点 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号， 不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号． 能力提升 题型二：求函数的定义域与值 能力提升 反思感悟 能力提升 题型三：判断是否为同一个函数 【感悟提升】判断两个函数为同一个函数的条件： (1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数． (2)函数是两个实数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的． (3)在化简解析式时，必须是等价变形． 能力提升 题型四：求抽象函数的定义域 题后反思 反思感悟 求抽象函数的定义域的方法： (1)已知f (x)的定义域为[a，b]，求f (g(x))的定义域时，不等式a≤g(x)≤b的解集即为定义域． (2)已知f (g(x))的定义域为[c，d]，求f (x)的定义域时，求出g(x)在[c，d]的范围(值域)即为定义域． 04 小结及随堂练习 函数的概念(第2课时) 课堂总结 函数的 概念 (第2课时) 课堂总结2 1．知识清单： (1)区间的表示． (2)求简单函数的定义域和函数值． (3)判断是否为同一个函数． (4)求抽象函数的定义域． 2．方法归纳：整体代换． 3．常见误区：不会用整体代换的思想求抽象函数的定义域． 作业 (1)课本P67的练习； (2)课本P72的习题3.1的1, 2, 3题. 函数的概念(第2课时) 练习（第76页） 练习（第76页） 练习（第76页） 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【练习1】函数 的定义域是（ ） A． B． C． D． 【解析】对①: 与 的定义域、对应关系均相同，是同一函数； 对②:由 ，而 ,对应关系不同，不是同一函数； 对③： ， ，对应关系不同，不是同一函数.故选：B 根据题意可得 ，所以 . 故答案为：C. 【练习2】函数 的定义域为（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意可得 ，解得 且 ， 故函数 的定义域为 . 故选：B. 【练习3】使 有意义的实数 的取值范围是（    ） A． B．(-∞，-4)∪(3，+∞) C．(-4，3) D．[-4，3] 【解析】依题意 或 ， 所以 的取值范围是 .故选：A 【练习4】已知函数 的定义域是 ，则 的定义域是（    ） A． B． C． D． 【解析】因为函数 的定义域是 ，所以 ， 要使 有意义，只需 ，解得 。 所以 的定义域是 .故选：C eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞)) eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))) 【练习5】若函数 ，则 （    ） A． B．0 C． D．1 【解析】因为 ， 所以 . 故选：D 【练习6】若函数 满足关系式 ，则 的值为（    ） A． B． C． D． 【解析】令 ，则 ，令 ，则 ， 联立方程可解得 . 故选：D. 【变式1】(1)已知f(x)＝x－6，若f(a)＝1，则f(a2)＝________. (2)求下列函数的定义域： ①y＝3－eq \f(1,2)x；②y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))；③y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；④y＝eq \f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)). 【解析】（1）若f(a)＝a－6＝1，则a＝7，∴f(a2)＝f(49)＝49－6＝43. 【解析】（2）①函数y＝3－eq \f(1,2)x的定义域为R. ②由于0的零次幂无意义，故x＋1≠0，即x≠－1.又x＋2>0， 即x>－2，所以函数y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))的定义域为{x|x>－2且x≠－1}． 【变式1】(1)已知f(x)＝x－6，若f(a)＝1，则f(a2)＝________. (2)求下列函数的定义域： ①y＝3－eq \f(1,2)x；②y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))；③y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；④y＝eq \f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)). 【解析】（2）③要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(5－x≥0，,|x|－3≠0，)) 解得x≤5，且x≠±3， 所以函数y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)的定义域为{x|x≤5且x≠±3}． 【变式1】(1)已知f(x)＝x－6，若f(a)＝1，则f(a2)＝________. (2)求下列函数的定义域： ①y＝3－eq \f(1,2)x；②y＝eq \f(x＋10,\r(x＋2))；③y＝eq \f(\r(5－x),|x|－3)；④y＝eq \f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4)). 【解析】（2）④要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,－x2－3x＋4>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≥－1，,（x＋4）（x－1）<0，)) 解不等式组得－1≤x<1. 所以函数y＝eq \f(\r(x＋1),\r(－x2－3x＋4))的定义域为{x|－1≤x<1}． 【练习7】已知函数 的定义域和值域均为 ，则下列说法错误的是（    ） A．函数 的定义域为 B．函数 的定义域为 C．函数 的值域为 D．函数 的值域为 【解析】函数 中的x需满足 ，解得 ， 故函数 的定义域为 ，故A正确；函数 中的x需满足 ， 解得 ，故函数 的定义域为 ，故B正确； 函数 和 的值域都为 ，故C正确，D错误. 【练习8】(多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【解析】A中， ，定义域都为 ，故是同一函数； B中， 定义域为 ， 定义域为 ，故不是同一函数； C中， 定义域都为 ，故是同一函数； D中， 定义域为 ， 定义域为 ，故不是同一函数；故选：AC. 【练习9】下列各组函数为同一函数的是（　　） ① 与 ;② 与 ;③ 与 . A．①② B．① C．② D．③ 【解析】对①: 与 的定义域、对应关系均相同，是同一函数； 对②:由 ，而 ,对应关系不同，不是同一函数； 对③： ， ，对应关系不同，不是同一函数.故选：B 【变式3】 (多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝eq \f(x2,x) B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 C．f(x)＝eq \f(\r(x)2,x)，g(x)＝eq \f(x,\r(x)2) D．f(t)＝eq \f(t2－16,t－4)，g(t)＝t＋4(t≠4) 【答案】CD 【解析】对于A，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于C，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数为同一个函数； 对于D，这两个函数的定义域与对应关系均相同，所以这两个函数是同一个函数． 【变式3】 (多选)下列各组函数为同一个函数的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝eq \f(x2,x) B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0 C．f(x)＝eq \f(\r(x)2,x)，g(x)＝eq \f(x,\r(x)2) D．f(t)＝eq \f(t2－16,t－4)，g(t)＝t＋4(t≠4) 【练习10】下列各组函数中，是同一个函数的是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【解析】A中两函数定义域相同，对应关系相同，所以是同一函数； B中对应关系不同； C中 为R， 定义域为 ，定义域不同； D中 定义域为 ， 定义域为R，定义域不同.故选A. 【练习11】下列各组函数中，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝x－1， B．f(x)＝|x|， C．f(x)＝x， D．f(x)＝2x， 【解析】对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ，则 与 不表示同一函数；对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ，则 与 不表示同一函数；对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ，且 ，则 与 表示同一函数；对于 ， 的定义域为 ， 的定义域为 ， ，则 与 不表示同一函数.故选C 【练习1】把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－1}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1}； (4){x|0<x<1或2≤x≤4}． 【解析】 (1){x|x≥－1}＝[－1，＋∞)． (2){x|x<0}＝(－∞，0)． (3){x|－1<x<1}＝(－1,1)． (4){x|0<x<1或2≤x≤4}＝(0,1)∪[2,4]． 【练习2】(1)函数f(x)＝eq \r(xx－1)－eq \f(1,\r(x))的定义域为________． (2)已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，则f(2)＝______；当a≠－1时，f(a＋1)＝_________. 【答案】（1）[1，＋∞) 【解析】要使f(x)有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xx－1≥0，,x>0，))解得x≥1，所以f(x)的定义域为[1，＋∞)． 【答案】（2）eq \f(5,2)　a＋1＋eq \f(1,a＋1) 【解析】f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).当a≠－1时，a＋1≠0，所以f(a＋1)＝a＋1＋eq \f(1,a＋1). (1)求函数的定义域应关注三点 ①要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有： (ⅰ)分式的分母不为0；(ⅱ)偶次根式的被开方数非负；(ⅲ)y＝x0要求x≠0. ②不对解析式化简变形，以免定义域变化． ③当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定 义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合． (2)函数求值的方法 ①已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值． ②已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则． 【练习3】 下列各组函数中是同一个函数的是(　) A．y＝x＋1与y＝eq \f(x2－1,x－1) B．y＝x2＋1与s＝t2＋1 C．y＝2x与y＝2x(x≥0) D．y＝(x＋1)2与y＝x2 【练习4】已知函数f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}，则函数f(2x＋1)的 定义域为(　　) A.{x|－1≤x≤9} B.{x|－3≤x≤7} C.{x|－2≤x≤1} D. 【答案】D 【解析】∵函数y＝f(x－1)的定义域为{x|－2≤x≤3}， ∴－2≤x≤3，则－3≤x－1≤2，即函数f(x)的定义域为{x|－3≤x≤2}． ∴对函数f(2x＋1)，有－3≤2x＋1≤2，解得－2≤x≤eq \f(1,2). 即函数f(2x＋1)的定义域为 . $$