4.4探索三角形相似的条件同步练习2025—2026学年北师大版数学九年级上册

4.4探索三角形相似的条件 第1课时　相似三角形的定义与判定1 1.下列说法中，错误的是（　B　） A.两个全等的三角形一定相似 B.两个直角三角形一定相似 C.两个等边三角形一定相似 D.两个相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2.如图，在△OAB与△OCD中，已知∠A＝∠C，则△　OAB　∽△　OCD　；OA·OD＝　OB·OC　. 第2题图 3.如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝12，AD＝6，AB＝8，则BC＝　16　. 第3题图 4.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且∠AED＝∠B，若AB＝15，AC＝12，AE＝10，则AD＝　8　. 第4题图 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分线BD交AC于点E，则DE＝　　. 第5题图 6.如图，在△ABC中，DE∥BC，MN∥AB，则图中与△ABC相似的三角形有（　C　） 第6题图　　　　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么在下列三角形中，与△EBD相似的三角形是（　C　） A.△ABC B.△ADE C.△DBA D.△BDC 第7题图　　　　 8.如图，D是△ABC的边AC上一点，若AB＝AC，要使△CDB∽△CBA，只需添加条件　∠A＝∠CBD　（只添一个即可）. 第8题图 9.如图，AB，CD相交于点E，AC与BD不平行，当满足条件∠C＝　∠B　时，△AEC∽△DEB. 第9题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）图中还有哪些相似三角形？请直接写出来. 11.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE＝30°.求证：△ABD∽△DCE. 12.如图，将矩形纸片ABCD（AD＞DC）沿着过点D的直线折叠，使点A落在BC边上，落点为F，折痕交AB边于点E. （1）求证：△EFB∽△FDC； （2）若AD＝10，CD＝6，求BE的长. 13.如图，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝8，射线CD⊥BC于点C，E是线段BC上一点，F是射线CD上一点，且满足∠AEF＝90°. （1）若BE＝3，求CF的长； （2）当BE的长为何值时，CF的长最大？并求出这个最大值. 参考答案 1.B　2.OAB　OCD　OB·OC　3.16　4.8　5. 6.C　7.C　8.∠A＝∠CBD　9.∠B 10.（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°＝∠ACB. 又∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. （2）解：△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD. 11.证明：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠ABD＝∠ACB＝30°. ∵∠ADE＝30°， ∴∠ABD＝∠ADE＝30°. ∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB， ∴∠EDC＝∠DAB.∴△ABD∽△DCE. 12.（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝90°， 根据折叠性质知，∠A＝∠DFE＝90°， ∴∠BEF＋∠BFE＝∠BFE＋∠DFC＝90°， ∴∠BEF＝∠DFC， ∴△EFB∽△FDC. （2）解：由折叠性质知，AD＝DF＝10. ∵CD＝6， ∴CF＝＝＝8， ∴BF＝BC－CF＝10－8＝2. 在Rt△BEF中，BE2＋BF2＝EF2， 即BE2＋22＝（6－BE）2，解得BE＝. 13.解：（1）如图，∵∠ABC＝∠AEF＝90°， ∴∠1＋∠BAE＝∠2＋∠1＝90°.∴∠BAE＝∠2. ∵CD⊥BC， ∴∠ECF＝90°. ∴∠ABE＝∠ECF. ∴△ABE∽△ECF.∴＝. ∵AB＝2，BC＝8，BE＝3， ∴EC＝5. ∴＝.∴CF＝. （2）设BE的长为x，则EC＝8－x. 由（1）得＝， ∴＝. ∴CF＝－x2＋4x＝－（x－4）2＋8. ∴当BE＝4时，CF的长最大，且最大值为8. 4.4探索三角形相似的条件 第2课时　相似三角形的判定2 1.在△ABC和△A'B'C'中，若∠B＝∠B'，AB＝12，A'B'＝6，BC＝16，则当B'C'＝　8　时，△ABC∽△A'B'C'. 2.在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A＝34°，AC＝5 cm，AB＝4 cm，∠A'＝34°，A'C'＝2 cm，A'B'＝1.6 cm，那么这两个三角形是否相似？答：　相似　，理由是　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似　. 3.能判定△ABC与△A'B'C'相似的条件是（　C　） A.＝ B.＝，且∠A＝∠C' C.＝且∠B＝∠A' D.＝，且∠B＝∠B' 4.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（　D　） 第4题图　　　 A.∠2＝∠B B.∠1＝∠C C.＝ D.＝ 5.如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形.若OA∶OC＝OD∶OB，则下列结论中一定正确的是（　A　） A.只有①与③相似 B.只有②与④相似 C.①与③相似且②与④相似 D.没有相似三角形 第5题图　　　 6.如图，已知D是△ABC的边AC上一点，根据下列条件，不能判定△CAB∽△CBD的是（　C　） 第6题图　　　 A.∠A＝∠CBD B.∠CBA＝∠CDB C.AB·CD＝BD·BC D.BC2＝AC·CD 7.如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　C　） 第7题图 A.＝ B.∠B＝∠D C.＝ D.∠C＝∠AED 8.如图，已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，AB＝BC，AD＝DE，且∠ABC＝∠ADE.求证：△ABD∽△ACE. 9.已知：如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，求证：△ADE∽△ACB. 10.如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，AB＝4，CF＝1，点E是BC的中点.求证： （1）△ABE∽△ECF； （2）△ABE与△AEF相似吗？请说明理由. 11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝16 cm，BC＝12 cm.现有动点P从点A出发，沿线段AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动.如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是3 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t s. （1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S. （2）当t＝2时，P，Q两点之间的距离是多少？ （3）当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？ 答案： 1.8 2.相似　两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 3.C　4.D　5.A　6.C　7.C 8.解：∵AB＝BC，AD＝DE， ∴＝. 又∵∠ABC＝∠ADE， ∴△ABC∽△ADE， ∴＝，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∴△ABD∽△ACE. 9.证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6， ∴＝＝. 又∵∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE∽△ACB. 10.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AB＝4. ∵点E是BC的中点， ∴BE＝EC＝2. 在△ABE与△ECF中， ∴△ABE∽△ECF. （2）解：△ABE与△AEF相似.理由如下： 由勾股定理易得AE＝2，EF＝，AF＝5， ∵AE2＋EF2＝AF2， ∴∠AEF＝90°. ∵∠B＝90°，＝＝， ∴△ABE∽△AEF. 11.解：（1）由题意得AP＝4t cm，CQ＝3t cm，则CP＝（16－4t）cm，因此Rt△CPQ的面积S＝ CP·CQ＝（16－4t）×3t＝－6t2＋24t（0＜t＜4）. （2）当t＝2时，CP＝16－4t＝8（cm），CQ＝3t＝6（cm）， 在Rt△CPQ中，由勾股定理得PQ＝＝＝10（cm）. （3）①当Rt△CPQ∽Rt△CAB时，＝， 即＝，解得t＝2； ②当Rt△CPQ∽Rt△CBA时，＝， 即＝，解得t＝. 因此t＝2或t＝时，以点C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似. 4.4探索三角形相似的条件 第3课时　相似三角形的判定3 1.如图，在△ABC和△ADE中，＝＝ ，∠CAE＝25°，则∠BAD＝　25°　. 2.△ABC的三边长分别为1，，，△A1B1C1的两边长分别为2和，当△A1B1C1的第三边长为　　时，△ABC与△A1B1C1相似. 3.在△ABC和△A'B'C'中，AB＝9 cm，BC＝8 cm，AC＝5 cm，A'B'＝4.5 cm，B'C'＝2.5 cm，A'C'＝4 cm，则下列说法错误的是（　D　） A.△ABC与△A'B'C'相似 B.AB与A'B'是对应边 C.两个三角形的相似比是2∶1 D.BC与B'C'是对应边 4.在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似. 乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似. 对于两人的观点，下列说法正确的是（　A　） A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对 第4题图　　　　 5.如图所示，小正方形的边长为1，网格中相似的两个三角形是（　A　） 第5题图 A.①与③ B.②与③ C.①与④ D.③与④ 6.若△ABC的每条边长增加各自的30％得到△A'B'C'，则∠B'的度数与其对应角∠B的度数相比（　D　） A.增加了30％ B.减少了30％ C.增加了（1＋30％） D.没有改变 7.在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF.如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为　1　. 第7题图 8.在由6个大小相同的小正方形组成的方格中，连接三格和两格的对角线，则∠α＋∠β＝　45°　. 第8题图 9.如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.求证：△ABC∽△DEF. 10.如图，已知＝＝，那么△ABD与△CBE相似吗？为什么？ 11.如图，在△ABC中，过点C作CD∥AB，E是AC的中点，连接DE并延长，交AB于点F，交CB的延长线于点G.连接AD，CF. （1）求证：四边形AFCD是平行四边形； （2）若GB＝3，BC＝6，BF＝，求AB的长. 参考答案 1.25°　2.　3.D　4.A　5.A　6.D　7.1　8.45° 9.证明：由题图得AB＝2，BC＝＝2， AC＝＝2，DE＝＝，EF＝2，DF＝＝， ∴＝＝＝.∴△ABC∽△DEF. 10.解：相似.理由如下： ∵＝＝， ∴△ABC∽△DBE. ∴∠ABC＝∠DBE. ∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC， 即∠ABD＝∠CBE. ∵＝， ∴＝.∴△ABD∽△CBE. 11.（1）证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝CE. ∵AB∥CD， ∴∠AFE＝∠CDE. 在△AEF和△CED中， ∴△AEF≌△CED（AAS）.∴AF＝CD. ∵AB∥CD，即AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形. （2）解：∵AB∥CD， ∴∠GBF＝∠GCD. ∵∠G＝∠G， ∴△GBF∽△GCD. ∴＝，即＝，解得CD＝. ∵四边形AFCD是平行四边形， ∴AF＝CD＝. ∴AB＝AF＋BF＝＋＝6. 4.4探索三角形相似的条件 第4课时　黄金分割 1.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列等式中成立的是（　C　） A.AB2＝AC·CB B.CB2＝AC·AB C.AC2＝BC·AB D.AC2＝2BC·AB 2.已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB长为20，则AC为（　A　） A.10－10 B.10－10 C.30－10 D.20－10 3.悦悦同学在晨间音乐会中表演了小提琴演奏，同学们发现，小提琴的设计中，蕴含着数学知识.如图，点C是小提琴长AB的黄金分割点（BC＞AC），已知悦悦的琴长AB＝56 cm，则琴身BC的长为　（28－28）　cm. 第3题图 4.某品牌20寸的行李箱拉杆拉开后放置如图所示，经测量该行李箱从轮子底部到箱子上沿的高度AB与从轮子底部到拉杆顶部的高度CD之比是黄金比（约等于0.618）.已知CD＝80 cm，则AB约是（　B　） 第4题图　　　 A.30 cm B.49 cm C.55 cm D.129 cm 5.如图，已知舞台AB长10米，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＜BP，则报幕员应走　8　米报幕.（结果精确到0.1米） 第5题图 6.如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形.若△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形（底与腰的比为的等腰三角形是黄金三角形），且AB＝4，则DE＝　6－2　. 第6题图 7.已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB＝a，则AP长为　a　.（用含a的代数式表示，结果保留根号） 8.已知点P是线段MN的黄金分割点，且MP＜NP，若MN＝4，则MP＝　6－　. 9.若线段AB＝6 cm，点C是线段AB的一个黄金分割点（AC＞BC ），则BC的长为　9－3　cm（结果保留根号）. 10.如图，在矩形ABCD中，AB＝10，四边形EFCD是正方形，若矩形ABFE和矩形ABCD的宽与长的比都是黄金比，求BC的长. 11.如图，乐器上的一根弦AB＝80 cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点（即AC是AB与BC的比例中项），则AC＝　（40－40）　cm. 12.鹦鹉螺是一类古老的软体动物. 鹦鹉螺曲线的每个半径与后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工. 如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8 cm，则AP的长为　94　cm. （结果保留到0.01） 13.如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（AC＜BC）.已知AB＝160 cm，求抬起的脚尖点C到地面的距离（即求BC的长度）.（结果保留根号） 14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4.若D是BC边上的黄金分割点，求△ABD的面积. 答案： 1.C　2.A　3.（28－28）　4.B　5.3.8　6.6－2 7.a　8.6－2　9.9－3 10.解：∵矩形ABCD的宽与长的比是黄金比， ∴＝.又AB＝10， ∴BC＝5＋5. 11.（40－40） 12.4.94　解析：∵P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为8 cm， ∴＝， ∴AP＝×8＝4－4≈4.94（cm），故答案为4.94. 13.解：∵点C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），AB＝160 cm， ∴BC＝AB＝×160＝80（－1）cm. 14.解：如图所示，过A作AE⊥BC于点E， ∵AB＝AC， ∴BE＝CE＝BC＝2， ∴AE＝＝＝， ∴△ABC的面积＝BC·AE＝×4×＝2. ∵D是BC边上的黄金分割点， ∴当BD＞CD时，＝. ∵＝＝＝， ∴△ABD的面积＝×2＝5－； 当BD＜CD时，＝， ∴＝. ∵＝＝＝， ∴△ABD的面积＝×2＝3－5. 学科网（北京）股份有限公司 $$