9 第二十八章达标测试卷-【全程突破】2025-2026学年九年级数学全一册同步训练（人教版2012）
2025-10-05
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级第二十八章锐角三角函数，涵盖定义、计算及解直角三角形应用，通过基础概念题到综合实践题的梯度设计，搭建从知识理解到实际运用的学习支架，衔接前后知识脉络。
其亮点在于以“数学眼光”挖掘生活问题，如坡度计算、遮阳板设计等实例，结合“数学思维”培养推理与创新，如类比推导tan22.5°，并通过“数学语言”呈现测量旗杆方案。采用分层题目设计，助力学生提升应用意识，也为教师提供系统的教学评估资源。
内容正文：
九年级数学全一册（R）课件
第二十八章达标测试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A的值为( )
A. B.
C. D.
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2.计算：tan 30°＝( )
A.1 B.
C. D.
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3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都缩小到原来的，则sin A的值( )
A.缩小到原来的 B.放大为原来的3倍
C.不变 D.放大到原来的9倍
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4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AB＝10，则AC的长为( )
A.3 B.4
C.6 D.8
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5.某人沿坡度i＝1∶2的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为( )
A.5 米 B.2 米
C.4 米 D.10 米
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6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝1，CD⊥AB于点D，则cos ∠ACD＝( )
A.
B.
C.
D.2
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第6题图
C
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7.若在△ABC中，sin A＝cos B＝，则下列结论正确的是( )
A.△ABC是等边三角形 B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形
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8.如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sin∠BCD的值为( )
A.
B.
C.
D.
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第8题图
A
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9.如图，要测量小河两岸A，B两点的距离，可以在小河边取AB的垂线BC上的一点C，测得BC＝100米，∠ACB＝30°，则小河宽AB等于( )
A.50米
B.50 米
C.200米
D. 米
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第9题图
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10.如图，已知窗户高AB＝m米，窗户外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD＝n米，当太阳光线与水平线成α角时，光线刚好不能直接射入室内，则m，n的关系式是( )
A.n＝mtan α－0.2
B.n＝mtan α＋0.2
C.m＝ntan α－0.2
D.m＝ntan α＋0.2
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第10题图
C
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二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝，b＝3，则∠B＝ .
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60°
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12.如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东60°方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行___________海里.
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第12题图
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13.已知α，β都是锐角，且满足＋＝0，则α＋β＝ .
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75°
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14.如图，把一个长方形卡片ABCD放在每行宽度为1的横线纸中，恰好四个顶点都在横线上，已知α＝37°，则BC的长约为________
.
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第14题图
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15.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要应用，在计算tan 15°时，如图，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，延长CB至点D，使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，tan15°＝＝＝＝2－.类比这种方法得tan 22.5°＝ .
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第15题图
－1
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三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
16.计算：＋－2tan 45°·cos 30°.
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解：原式＝－1＋1－－2×1×＝－.
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17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝ ，BC＝2，求AB的长.
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解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝＝，
∵BC＝2，
又∵AB2＝AC2＋BC2，
∴AB＝2.
∴＝，即AC＝6，
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18.如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D.若AD＝4，求BC的长.
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解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝8，
∴BD＝＝＝4.
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∵tan C＝＝，
∴CD＝AD＝×4＝3，
∴BC＝BD＋CD＝4＋3.
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四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
19.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，tan A＝.求AC的长、sin A和tan B的值.
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解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，tan A＝，
∴tan A＝＝，解得AC＝40，
∴sin A＝＝，tan B＝＝.
∴AB＝＝＝41，
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20.一辆小汽车在某城市道路上自西向东行驶，某“玩转数学”活动小组在距路边20米的点C处放置了“检测仪器”，测得该车从北偏西60°方向的点A行驶到东北方向的点B，所用时间为6秒.
(1)求AB的长；
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解：由题意可知，CD⊥AB，CD＝20 m，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，
∵在Rt△ACD中，∠ACD＝60°，CD＝20 m，
∴AD＝tan 60°·CD＝20 m，
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，CD＝20 m，
∴BD＝CD＝20 m，
∴AB＝AD＋BD＝(20＋20)m，
答：AB的长度为(20＋20)m.
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(2)求该车的速度约为多少米/秒(结果精确到0.1，参考数据：≈1.414，≈1.732).
解：(20＋20)÷6≈9.1(米/秒).
答：该车的速度约为9.1米/秒.
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21.如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30°，背水坡AD的坡度为1∶1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米.求：
(1)坝底AB的长(结果保留根号)；
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解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
根据题意有DC∥AB，CF⊥AB，∠B＝30°，
∵DE⊥AB，
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∴四边形CDEF是矩形.
∴CF＝DE＝4.5米，EF＝CD＝2.5米.
∵∠B＝30°，背水坡AD的坡度为1∶1.2，
∴BF＝＝(米)，AE＝1.2DE＝5.4(米)，
∴AB＝BF＋EF＋AE＝＋2.5＋5.4＝＋7.9(米)，
故坝底AB的长为米.
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(2)迎水坡BC的坡度.
解：∵CF＝4.5米，BF＝米，
∴迎水坡BC的坡度为＝＝1∶.
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五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)
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正北方200米处，育才中学本部点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点C的正东方，奥体公交站点E在点D的正北方，点E在点C的北偏东60°方向(参考数据： ≈1.414，≈1.732).
(1)求BD的长度(结果精确到1米)；
22.为了缓解学习压力，就读于育才成功学校的小育和就读于育才中学本部的哥哥每周都会从各自学校出发前往奥体中心公交站汇合一同前往奥体中心打羽毛球. 经勘测，大公馆公交站点C在育才成功学校点A的
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解：由题意知四边形ABFC为矩形，AC＝200 m，AB＝600 m，
∴BF＝AC＝200 m，∠BFD＝∠BFC＝90°.
∵∠FBD＝45°，
∴△BFD是等腰直角三角形，
∴FD＝BF＝200 m，
∴BD＝BF＝200×1.414≈283(m).
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(2)周五放学，小育和哥哥分别从各自学校同时出发，前往点E汇合. 小育的路线为A—C—E，他从点A步行至点C再乘坐公交车前往点E，假设小育匀速步行且步行速度为每分钟80米，公交车匀速行驶且速度为每分钟250米，公交车行驶途中停靠了一站，上下客合计耗时2分
钟(小育上、下车和等车的时间忽略不计).哥哥的路线为B—D—E，全程步行，他从点B经过点D买水(买水时间忽略不计)再前往点E，假设哥哥匀速步行且速度为每分钟100米. 请问小育和哥哥谁先到达点E呢？说明理由.
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解：哥哥先到达点E，理由如下：
易知CF＝AB＝600 m，
∴CD＝CF＋FD＝600＋200＝800 m，
∵点E在点C的北偏东60°方向，点E在点D的正北方，
∴∠ECD＝90°－60°＝30°，∠EDC＝90°，
∴ED＝CD· tan 30°＝≈462(m)，
CE＝CD÷cos 30°＝800÷≈924(m)，
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小育到达点E所花总时间为200÷80＋924÷250＋2≈8.2(分钟)，
哥哥到达点E所花总时间为(283＋462)÷100≈7.5(分钟)，
∵7.5＜8.2，
∴哥哥先到达点E.
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23.综合实践
【问题情境】某校把“测量民族广场旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间进行实地测量，可选用工具：测量角度(单位：度)的仪器、测量距离(单位：m)的皮尺、标杆、平面镜等.(注：以下数据为多次测量的平均值)
【实践探究】某数学实践小组测量方案及数据如表：
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项目 测量民族广场旗杆的高度
工具 标杆、测量距离(单位：m)的皮尺
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测量示意
图及说明 说明：用标杆测量旗杆的高度.
线段AD表示观测者的眼睛到地面的距离，线段EF表示标杆，线段BC表示旗杆，D，F，C三点共线，DG∥AB，AD⊥AB，EF⊥AB，BC⊥AB，点A，E，B在同一平面内.
测量数据 AD AE BE EF
平均值 1.6 m 0.5 m 20.5 m 2 m
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解：如图，记DG与FE交于点H，
∵DG∥AB，AB⊥BC，AD⊥AB，EF⊥AB，
∴DG⊥BC，
∴四边形AEHD和四边形EBGH都是矩形.
∴AE＝DH＝0.5 m，HG＝BE＝20.5 m，BG＝EH＝AD＝1.6 m，
∴FH＝EF－EH＝0.4 m，DG＝DH＋HG＝21 m，
【问题解决】
(1)请运用所学知识，根据上表中的测量数据，帮助该数学实践小组求出旗杆的长度；
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∵FE∥CB，
∴△DCG∽△DFH，
∴CG＝16.8 m，
∴BC＝BG＋CG＝1.6＋16.8＝18.4 m，
∴旗杆的长度为18.4 m.
∴＝，即＝，
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项目 测量民族广场旗杆的高度
工具 测量角度(单位：度)的仪器、测量距离(单位：m)的皮尺
测量
示意
图及
说明 说明：用测角仪测量旗杆的高度.
线段AD表示观测者的眼睛到地面的距离，线段BC表示旗杆，α为观测者看到旗杆顶端时的仰角，点D，C共线，DG∥AB，AD⊥AB，BC⊥AB，点A，B在同一平面内
测量数据 AD AB α
计算过程 CG＝AB·tan α，BC＝AD＋AB·tan α
(2)请运用所学知识，再设计一种方案，画出示意图，并写出需要测量的量.
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(答案不唯一)
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