8 第二十七章达标测试卷-【全程突破】2025-2026学年九年级数学全一册同步训练（人教版2012）
2025-10-05
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教辅
摘要：
该初中数学课件聚焦九年级第二十七章相似三角形内容，涵盖判定与性质、比例线段、图形相似变换等核心知识点，通过测量楼高、蝴蝶身长与翅长比等实例导入，衔接比例线段与全等三角形知识，搭建从具体到抽象的学习支架。
其亮点在于融合生活情境培养数学眼光，如用蝴蝶身长与翅长比体现黄金分割，借测量楼高问题发展数学思维，通过分类讨论相似三角形对应关系训练数学语言。学生能提升知识应用能力，教师可借助分层试题优化教学效果。
内容正文：
九年级数学全一册（R）课件
第二十七章达标测试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.已知＝，则的值为( )
A.－ B.－
C. D.
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A
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2.下列四组线段中，是成比例线段的是( )
A.4 cm，3 cm，4 cm，5 cm
B.10 cm，16 cm，5 cm，8 cm
C.2 cm，4 cm，6 cm，8 cm
D.9 cm，8 cm，15 cm，10 cm
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B
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3.已知△ABC∽△DEF，若∠A＝40°，∠E＝60°，则∠F的度数为( )
A.55° B.60°
C.65° D.80°
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4.如果三角形各边边长都扩大4倍，那么下列结论正确的是( )
A.周长扩大4倍，面积扩大2倍
B.周长扩大2倍，面积扩大4倍
C.周长扩大4倍，面积扩大4倍
D.周长扩大4倍，面积扩大16倍
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5.如图，两条直线被三条平行线所截，若AC＝4，CE＝6，BD＝2，则DF＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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第5题图
C
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6.如图，△ADC∽△BAC，下列结论错误的是( )
A.∠ADC＝∠BAC
B.＝
C.CA平分∠BCD
D.AC2＝BC·CD
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第6题图
B
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7.如图，为测量楼高AB，在适当的位置竖立一根高2 m的标杆MN，并在同一时刻分别测得其落在地面上的影长AC＝20 m，MP＝2.5 m，则楼高AB为 ( )
A.15 m
B.16 m
C.18 m
D.20 m
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第7题图
B
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8.如图，在△ABC中，∠A＝75°，AB＝8，AC＝6，将△ABC沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
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A B C D
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9.神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家发现蝴蝶身长与双翅张开后的长度之比约为0.618.这个数据体现了数学中的( )
A.平移 B.轴对称
C.旋转 D.黄金分割
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10.如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5.将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为( )
A.3－
B.
C.3＋
D.2
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A
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二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11.在比例尺为1∶50 000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是25 cm，则甲、乙两地的实际距离是 km.
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12.5
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12.如图，若＝＝m，请再添加一个条件，使得△ABC∽△CBD，你添加的条件是 (写出一个即可).
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第12题图
∠ABC＝∠CBD(答案不唯一)
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13.如图所示，一条河流的两岸互相平行，沿南岸有一排大树，每隔4米一棵，沿北岸有一排电线杆，每两根电线杆之间的距离为80米，一同学站在距南岸9米的点P处，正好北岸相邻的两根电线杆被南岸的5棵树遮挡住，那么这条河流的宽度是 米.
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第13题图
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14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AD＝1，BD＝4，则CD＝ .
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第14题图
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15.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，E是BC的中点，AE与BD交于点F，连接CF.若AE⊥BD，则CF的长为 .
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第15题图
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三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题7分，共21分)
16.如图，四边形ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于点F.求证：△DAF∽△AEB.
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证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAF＋∠BAE＝90°，∠B＝90°.
∵DF⊥AE于点F，
∴∠DAF＋∠ADF＝90°，∠DFA＝90°，
∴∠ADF＝∠BAE.
又∵∠DFA＝∠B＝90°，∴△DAF∽△AEB.
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17.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点.
(1)画出以点O为旋转中心，将△OBC顺时针旋转90°后的三角形；
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解：如图所示，△OB'C'就是所求三角形.
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(2)在y轴的左侧将△OBC的各边放大到原来的两倍(即新图与原图的相似比为2∶1)，画出新图形△OB2C2，并写出B2，C2的坐标.
解：如图所示，△OB2C2就是所求三角形；
点B2，C2的坐标为B2(－6，2)，C2(－4，－2).
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解：∵AD＝7，DB＝3，
∴AB＝10.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
18.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝7，DB＝3，BC＝8，求DE的长.
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∴＝，即＝，
∴DE＝.
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四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)
19.如图，△ABC与△DEF在6×6的正方形网格中，它们的顶点都在边长为1的小正方形的顶点位置，试判断△ABC与△DEF是否相似，并说明理由.
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证明：相似.理由如下：
根据题意，得AB＝2，DE＝1，
AC＝＝2，DF＝＝，
BC＝＝4，EF＝＝2，
∵＝2，＝2，＝2，∴＝＝，
∴△ABC∽△DEF.
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证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADC＝90°，
∴△BDE∽△CAD.
20.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
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解：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，
在Rt△ADB中，AD＝＝＝12.
∵AD·BD＝AB·DE，
∴DE＝.
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长.
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21.我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳.如图是小亮站在距离墙壁1.60米处观察装饰画时的示意图，此时小亮的眼睛与装饰画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E处，且与AD垂直，已知装饰画的高度AD为0.66米.
(1)求证：△ACD∽△BEA；
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证明：由题意，得∠DCA＝∠BEA＝∠CAB＝90°.
∵∠CAD＋∠BAE＝∠EBA＋∠BAE，
∴∠CAD＝∠ABE，
∴△ACD∽△BEA.
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(2)求装饰画顶部到墙壁的距离DC(精确到0.01米).
解：由(1)可得△ACD∽△BEA，
∴＝，
∴AE＝AD＝0.33 米，
则DC＝·AD＝×0.66≈0.14 米.
∵E为AD的中点，AD＝0.66米，
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五、解答题(三)(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分)
22.如图，在矩形ABCD中，AB＝12 cm，BC＝6 cm.点P沿AB边从点A开始向点B以2 cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6).
(1)点Q运动多少秒时，△APQ的面积为5 cm2？
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解：当Q运动t s时，AP＝2t cm，AQ＝(6－t)cm，
依题意，得×2t(6－t)＝5，解得t1＝1，t2＝5.
答：当点Q运动1 s或5 s时，△APQ的面积等于5 cm2.
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(2)当t为何值时，△QAP与△ABC相似？
解：由题意，得AP＝2t cm，DQ＝t cm，AB＝12 cm，AD＝BC＝6 cm，AQ＝(6－t)cm，
∵∠QAP＝∠CBA，
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∴①当＝时，△AQP∽△BCA，
∴＝，解得t＝3；
②当＝时，△AQP∽△BAC，
∴＝，解得t＝1.2.
∴当t＝3或1.2时，△APQ与△ABC相似.
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23.(综合探究)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝kBC，CD是AB边上的高，点E是DB上一点，连接CE，过点A作AF⊥CE于点F，交CD于
点G.
(1)如图1，当k＝1时，求证：DG＝DE；
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证明：当k＝1时，AC＝BC.
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝CD＝BD，
∴∠DCE＋∠AEF＝90°.
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∵AF⊥CE，
∴∠DAG＋∠AEF＝90°，
∴∠DAG＝∠DCE，
∴△ADG≌△CDE(ASA)，
∴DG＝DE.
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(2)如图2，当k≠1时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时DG与DE的数量关系，并说明理由；
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解：当k≠1时，(1)中的结论不成立，此时DG＝kDE(或＝k)，理由如下：
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∠ACD＋∠BAC＝∠B＋∠BAC＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
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∴＝，
∴＝＝k.
由(1)得∠DAG＝∠DCE，
∴△ADG∽△CDE，
∴＝＝k，
∴DG＝kDE.
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∵AF⊥CE，AC＝AE，
∴FC＝FE，
∴AF为CE的垂直平分线，
∴GC＝GE.
∵∠CDE＝90°，
(3)如图3，连接DF，若k＝，AC＝AE，DG＝3，求DF的长.
解：如图3，连接GE，
图3
∴DF＝CE.
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又∵DG＝3，
∴DE＝4，
∵k＝，由(2)得DG＝kDE，
∴DG＝DE.
图3
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∴在Rt△GDE中，GE＝＝5，
∴CG＝5，
∴CD＝CG＋DG＝8，
∴在Rt△CDE中，CE＝＝4，
∴DF＝2.
图3
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