专题06 一次函数与反比例函数（云南专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题06 一次函数与反比例函数 一、考点01求自变量的取值范围 1．（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2023·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ． 二、考点02 求自变量的值或函数的值 3．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 三、考点03一次函数的实际应用 4．（2025·云南·中考真题）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 5．（2024·云南·中考真题）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） 型号 35 a 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 6．（2023·云南·中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 7．（2022·云南·中考真题）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元． (1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用， 8．（2021·云南·中考真题）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系． （1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）； （2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？ 四、考点04 反比例函数 9．（2025·云南·中考真题）若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2023·云南·中考真题）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（    ） A．3 B． C． D． 11．（2022·云南·中考真题）反比例函数y=的图象分别位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 12．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 13．（2021·云南·中考真题）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ． 14．（2025·云南昆明·三模）下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·云南临沧·一模）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 16．（2025·云南昆明·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 17．（2025·云南昆明·三模）已知函数，则在实数范围内自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 19．（2025·云南昆明·三模）若反比例函数的图象经过点，那么k的值为（   ） A．12 B．4 C． D． 20．（2025·云南文山·模拟预测）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 21．（2025·云南楚雄·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 22．（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 23．（2025·云南楚雄·三模）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（   ） A． B． C．7 D．5 24．（2025·云南曲靖·二模）已知反比例函数（为常数，且），则下列各点可能在该函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 25．（2025·云南·模拟预测）当时，反比例函数的图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 26．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）若反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·云南玉溪·二模）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 28．（2025·云南·模拟预测）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 29．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 30．（2025·云南红河·三模）函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（2025·云南文山·模拟预测）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 32．（2025·云南文山·模拟预测）将函数的图象向下平移2个单位长度后，其对应的函数关系式为 ． 33．（2025·云南红河·三模）若点与点都在反比例函数的图象上，则 ． 34．（2025·云南昆明·三模）为进一步加强“书香校园”的建设，我市某中学分三次购进甲、乙两种书柜放置新购买的图书（每次都同时购进两种书柜），具体购买情况如下表所示： 同种规格的书柜，每次购买时，每个书柜的价格都相同． 购买批次 甲数量（个） 乙数量（个） 购买总费用（元） 第一次 2 4 1440 第二次 4 3 1830 第三次 甲、乙共50个，且甲的数量不低于乙数量的4倍 根据上表，解答下列问题： (1)甲、乙两种书柜每个的价格各是多少元？ (2)该学校第三次应怎样购买甲、乙两种书柜才能使该次购买书柜的总费用最低？最低费用是多少元？ 35．（2025·云南昆明·三模）云南某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院初二班的同学们准备制作、两款挂件来进行销售已知制作个款挂件、个款挂件所需成本为元，制作个款挂件、个款挂件所需成本为元已知、两款挂件的售价如下表： 手工制品 款挂件 款挂件 售价元个 (1)求制作一个款挂件、一个款挂件所需的成本分别为多少元？ (2)若该班级共有名学生计划每位同学制作个款挂件或个款挂件，制作的总成本不超过元，且制作款挂件的数量不少于款挂件的倍设安排人制作款挂件，销售的总利润为元请写出元与人之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？ 36．（2025·云南昆明·三模）云南某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二（5）班的同学们准备制作A、B两款挂件来进行销售，已知制作2个A款挂件、5个B款挂件所需成本为39元，制作6个A款挂件、9个B款挂件所需成本为87元．已知A、B两款挂件的售价如下表： 手工制品 A款挂件 B款挂件 售价（元/个） 15 10 (1)求制作一个A款挂件、一个B款挂件所需的成本分别为多少元？ (2)若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A款挂件或3个B款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍．设安排m人制作A款挂件，销售的总利润为w元．请写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？ 37．（2025·云南玉溪·一模）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 38．（2025·云南昆明·三模）曾有言“一剪之趣夺神功，美在民间永不朽”．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，也是中华民族优秀传统文化的重要载体．某校为了让学生感受非遗传承的时代魅力，激发学生的劳动实践能力，计划开展“指尖方寸，非遗传情”的剪纸活动．学校决定一次性购进A、B两种型号的彩纸共200件．其中，A型号彩纸的单价为23元，B型号彩纸的单价为18元，且购进B型号彩纸的数量不超过A型号彩纸的4倍．设购进A型号彩纸m件，A、B两种型号彩纸的总费用为W元． (1)求W与m的函数关系式； (2)在（1）的条件下，请你设计最省钱的购买方案，并求出最少费用． 39．（2025·云南昆明·三模）已知二次函数的顶点坐标为，且其图象经过点．直线与二次函数图象交于点P和Q（点P在点Q的左边），与二次函数的对称轴交于点H． (1)求该二次函数的解析式； (2)若线段被二次函数的对称轴分成的两条线段的长度比为，求直线l的解析式． 40．（2025·云南昆明·模拟预测）每年五月的第二个星期天是母亲节，为弘扬孝亲美德，厚植感恩情怀，昆明某学校准备采购康乃馨和萱草花，用于举办“浓情五月·致敬母爱”主题教育活动，经调查，购进康乃馨的总费用y元与购进康乃馨数量x之间的函数关系如图所示． (1)当和时，求y与x之间的函数关系式． (2)现学校准备购进康乃馨和萱草花两种鲜花共150束，已知萱草花每束22元，若购进康乃馨的数量不少于80束，且不超过萱草花数量的4倍，购进两种鲜花的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并说明怎样购买康乃馨和萱草花两种鲜花才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 41．（2025·云南昆明·二模）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元，购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求y与x的函数解析式； (2)该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰花的数量，求购买这两种鲜花的总费用W的最小值． 42．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某学校为提升学生核心素养，培养学生的阅读能力，激发学生的学习兴趣，准备为学生购买A、B两种与数学文化有关的图书．经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种图书共200本，其中购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的3倍，若B种图书每本50元，设购进两种图书的总费用为w元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 43．（2025·云南楚雄·三模）研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发2小时后追上大巴．此时两车与学校相距180千米，如图，，分别表示大巴、轿车离开学校的路程(单位：千米)与大巴行驶的时间(单位：时)的函数图象． (1)大巴车的速度为 千米/时． (2)求所在直线的函数解析式． (3)求轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距10千米． 44．（2025·云南临沧·三模）五一假期期间，小南和家人们去爬山锻炼身体，刚开始小南精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（单位：米）与登山时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小南减速前的速度为_____米/分钟． (2)求小南减速后s与t之间的函数表达式． (3)当小南爬了1小时时，他距离山脚出发地有多少路程？ 45．（2025·云南红河·三模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如图所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，最低热量为多少，应如何选用这两种食品？ 试卷第10页，共11页 试卷第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一次函数与反比例函数 一、考点01求自变量的取值范围 1．（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解 ． 根据分母不等于0得到，求解即可． 【详解】解：∵函数的分母为． ∴当分母时，分式无意义， ∴． 解得， 故自变量的取值范围是， 故选：D． 2．（2023·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】要使有意义，则分母不为0，得出结果． 【详解】解：要使有意义得到，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围，分式有意义的条件，理解分母不为零是解决问题的关键． 二、考点02 求自变量的值或函数的值 3．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【答案】(1)的值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 三、考点03一次函数的实际应用 4．（2025·云南·中考真题）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 5．（2024·云南·中考真题）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） 型号 35 a 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）根据“且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．”建立不等式求解，得到，再根据总利润种型号吉祥物利润种型号吉祥物利润建立关系式，最后根据一次函数的性质即可得到的最大值． 【详解】（1）解：由题知，， 解得； （2）解：购买种型号吉祥物的数量个， 则购买种型号吉祥物的数量个， 且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的， ， 解得， 种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍． ， 解得， 即， 由题知，， 整理得， 随的增大而减小， 当时，的最大值为． 6．（2023·云南·中考真题）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为响应文化和旅游部《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》精神，需要购买两种型号的帐篷．若购买种型号帐篷2顶和种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买种型号帐篷3顶和种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶种型号帐篷和每顶种型号帐篷的价格； (2)若该景区需要购买两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买种型号帐篷和种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】(1)每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元 (2)当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元． 【分析】（1）根据题意中的等量关系列出二元一次方程组，解出方程组后得到答案； （2）根据购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，列出一元一次不等式，得出种型号帐篷数量范围，再根据一次函数的性质，取种型号帐篷数量的最大值时总费用最少，从而得出答案． 【详解】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为：， 解得， 答：每顶种型号帐篷的价格为600元，每顶种型号帐篷的价格为1000元． （2）解：设种型号帐篷购买顶，总费用为元，则种型号帐篷为顶， 由题意得， 其中，得， 故当种型号帐篷为5顶时，总费用最低，总费用为， 答：当种型号帐篷为5顶时，种型号帐篷为15顶时，总费用最低，为18000元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式应用及一次函数的应用，找出准确的等量关系及不等关系是解题的关键． 7．（2022·云南·中考真题）某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病霉．若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元：若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元． (1)每桶甲消毒液、每桶乙消毒液的价格分别是多少元？ (2)若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，其中购买甲消毒液a桶，且甲消毒液的数量至少比乙消毒液的数量多5桶，又不超过乙消毒液的数量的2倍．怎样购买．才能使总费用W最少？并求出最少费用， 【答案】(1)每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元； (2)当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元． 【分析】（1）设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元，根据题意列二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意可得出关于a的一元一次不等式组 ，解之即可得出a的取值范围，再根据所需资金总额=甲种消毒液的价格×购进数量+乙种消毒液的价格×购进数量，即可得出W关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设每桶甲消毒液的价格是x元、每桶乙消毒液的价格是y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每桶甲消毒液的价格是45元、每桶乙消毒液的价格是35元； （2）解：购买甲消毒液a桶，则购买乙消毒液(30-a)桶， 依题意，得：(30-a)+5≤a≤2(30-a)， 解得17.5≤a≤20， ∵a为正整数， ∴a取18、19、20， 而W=45a+35(30-a)=10a+1050， ∵10＞0， ∴W随a的增大而增大， ∴当a=18时，W取得最小值，最小值为10×18+1050=1230， 此时30－18＝12， 答：当甲消毒液购买18桶，乙消毒液购买12桶时，所需资金总额最少，最少总金额是1230元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于a的函数关系式． 8．（2021·云南·中考真题）某鲜花销售公司每月付给销售人员的工资有两种方案． 方案一：没有底薪，只付销售提成； 方案二：底薪加销售提成． 如图中的射线，射线分别表示该鲜花销售公司每月按方案一，方案二付给销售人员的工资（单位：元）和（单位：元）与其当月鲜花销售量x（单位：千克）（）的函数关系． （1）分别求﹑与x的函数解析式（解析式也称表达式）； （2）若该公司某销售人员今年3月份的鲜花销售量没有超过70千克，但其3月份的工资超过2000元．这个公司采用了哪种方案给这名销售人员付3月份的工资？ 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据图像中l1和l2经过的点，利用待定系数法求解即可； （2）分别根据方案一和方案二列出不等式组，根据解集情况判断即可． 【详解】解：（1）根据图像，l1经过点（0，0）和点（40，1200）， 设的解析式为，则， 解得：， ∴l1的解析式为， 设的解析式为， 由l2经过点（0，800），（40，1200）， 则，解得：， ∴l2的解析式为； （2）方案一：，即， 解得：； 方案二：，即，即，无解， ∴公司没有采用方案二， ∴公司采用了方案一付给这名销售人员3月份的工资． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是结合图像，求出两种方案对应的解析式． 四、考点04 反比例函数 9．（2025·云南·中考真题）若点在反比例函数（为常数，且）的图象上，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 将已知点的坐标代入反比例函数解析式，直接计算即可求出k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上， ∴将，代入，得： 解得：， 故选：B． 10．（2023·云南·中考真题）若点是反比例函数图象上一点，则常数的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】将点代入反比例函数，即可求解． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 11．（2022·云南·中考真题）反比例函数y=的图象分别位于（    ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】A 【分析】根据反比函数的图象和性质，即可求解． 【详解】解：∵6＞0， ∴反比例函数y=的图象分别位于第一、第三象限． 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数，当时，图象位于第一、三象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而增大是解题的关键． 12．（2024·云南·中考真题）已知点在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入求值，即可解题． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 故答案为：． 13．（2021·云南·中考真题）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的解析式（解析式也称表达式）为 ． 【答案】 【分析】先设，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式． 【详解】解：设反比例函数的解析式为（k≠0）， ∵函数经过点（1，-2）， ∴，得k=-2， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 【点睛】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 14．（2025·云南昆明·三模）下列各点，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标一定满足其解析式，则在反比例函数的图象上的点的横纵坐标的乘积为，据此可得答案． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴， ∴在反比例函数的图象上的点的横纵坐标的乘积为， ∵四个选项中，只有D选项中的点的横纵坐标的乘积为， ∴只有点在反比例函数的图象上， 故选：D． 15．（2025·云南临沧·一模）下列函数不是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，根据反比例函数的定义逐一分析各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，为一次函数，形如（），不符合反比例函数的形式； B：，可变形为，符合反比例函数的形式，其中； C：，直接符合的形式，其中； D：，可改写为，符合反比例函数的形式，其中； 故选：A． 16．（2025·云南昆明·三模）反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，若点在反比例函数的图象上，则，验证各选项中点的横纵坐标乘积是否等于2即可． 【详解】解：对于反比例函数，其图象上的点满足． A：，计算，不符合条件； B：，计算，符合条件； C：，计算，不符合条件； D：，计算，不符合条件； 故选：B． 17．（2025·云南昆明·三模）已知函数，则在实数范围内自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件． 根据二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：已知函数， ∴， ∴， 故选：C． 18．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量取值范围，二次根式有意义条件，根据被开方数大于等于零得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意：， 解得， 则自变量x的取值范围是． 故选：A． 19．（2025·云南昆明·三模）若反比例函数的图象经过点，那么k的值为（   ） A．12 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，比例系数等于该点的横坐标与纵坐标的乘积．将点代入函数解析式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． 故选：D． 20．（2025·云南文山·模拟预测）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义确定图象，理解函数的定义是解题关键．由函数的定义可知，对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； B、有两个函数值与自变量对应，不符合函数的定义，不能表示是的函数，选项正确； C、、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； D、、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； 故选：B． 21．（2025·云南楚雄·模拟预测）反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质，以及反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数的性质（1）当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（2）当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质：当，双曲线的两支分别位于第二、四象限． 【详解】解：反比例函数中，，根据反比例函数的性质，该函数的图象位于第二、四象限． 故选：D． 22．（2025九年级下·云南·学业考试）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的解析式、图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设反比例函数的解析式，利用待定系数法求出解析式，再根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图象经过点， ， 该反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， 故选：D． 23．（2025·云南楚雄·三模）若点在反比例函数的图象上，则代数式的值为（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上的点，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，得到，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴； 故选：B 24．（2025·云南曲靖·二模）已知反比例函数（为常数，且），则下列各点可能在该函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，根据反比例函数图象上点的坐标特点逐一分析即可，掌握反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：、由可得：，不符合题意； 、由可得：，不符合题意； 、由可得：，不符合题意； 、由可得：，符合题意； 故选：． 25．（2025·云南·模拟预测）当时，反比例函数的图象位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．据此求解即可． 【详解】解：∵中， ∴反比例函数图象位于第一三象限． ∵， ∴反比例函数图象位于第一象限 故选A． 26．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）若反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线，当时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解答此题的关键． 根据反比例函数的性质得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：∵反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故选：D 27．（2025·云南玉溪·二模）若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的解析式，反比例函数的性质，设反比例函数，根据反比例函数的图象经过点可得出，进而可得出该反比例函数的图象分别位于第一、第三象限． 【详解】解：设反比例函数， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴该反比例函数的图象分别位于第一、第三象限， 故选：A 28．（2025·云南·模拟预测）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ∵点P是反比例函数图象上的一点， ∴矩形． 故选：A． 29．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义条件，求函数的自变量的取值范围．根据二次根式有意义的条件可得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴． 故选：D 30．（2025·云南红河·三模）函数中自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数自变量的求值范围，二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得到，求出结果即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 31．（2025·云南文山·模拟预测）反比例函数的图象位于（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】A 【分析】此题主要考查了反比例函数的性质．根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴函数图象位于第一、三象限． 故选：A 32．（2025·云南文山·模拟预测）将函数的图象向下平移2个单位长度后，其对应的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移法则上加下减可得出解析式． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度后， 其对应的函数关系式为：， 故答案为：． 33．（2025·云南红河·三模）若点与点都在反比例函数的图象上，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键． 将点与代入反比例函数可得一个关于k的一元一次方程求解即可． 【详解】解；将点与代入反比例函数可得： ，解得：． 故答案为：4． 34．（2025·云南昆明·三模）为进一步加强“书香校园”的建设，我市某中学分三次购进甲、乙两种书柜放置新购买的图书（每次都同时购进两种书柜），具体购买情况如下表所示： 同种规格的书柜，每次购买时，每个书柜的价格都相同． 购买批次 甲数量（个） 乙数量（个） 购买总费用（元） 第一次 2 4 1440 第二次 4 3 1830 第三次 甲、乙共50个，且甲的数量不低于乙数量的4倍 根据上表，解答下列问题： (1)甲、乙两种书柜每个的价格各是多少元？ (2)该学校第三次应怎样购买甲、乙两种书柜才能使该次购买书柜的总费用最低？最低费用是多少元？ 【答案】(1)每个甲种书柜的价格为300元，每个乙种书柜的价格为210元 (2)该学校第三次购买40个甲种书柜，10个乙种书柜总费用最低，为14100元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）分别设甲、乙两种书柜每个的价格为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设第三次购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜个，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，设第三次购买总费用为w元，写出w关于m的函数关系式，根据一次函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时w值最小，求出其最小值及此时的值即可． 【详解】（1）解：设每个甲种书柜的价格为元，每个乙种书柜的价格为元． 由题意得，，解得． 每个甲种书柜的价格为300元，每个乙种书柜的价格为210元． （2）解：设第三次购买个甲种书柜，购买个乙种书柜． 由题意得，，解得，， ． 设该学校第三次购买书柜的总费用为元． 由题意得， ， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，为， 此时． 该学校第三次购买40个甲种书柜，10个乙种书柜总费用最低，为14100元． 35．（2025·云南昆明·三模）云南某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院初二班的同学们准备制作、两款挂件来进行销售已知制作个款挂件、个款挂件所需成本为元，制作个款挂件、个款挂件所需成本为元已知、两款挂件的售价如下表： 手工制品 款挂件 款挂件 售价元个 (1)求制作一个款挂件、一个款挂件所需的成本分别为多少元？ (2)若该班级共有名学生计划每位同学制作个款挂件或个款挂件，制作的总成本不超过元，且制作款挂件的数量不少于款挂件的倍设安排人制作款挂件，销售的总利润为元请写出元与人之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)， (2)且为整数，安排人制作款挂件、人制作款挂件总利润最大，为元 【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）分别设制作一个款挂件、一个款挂件所需的成本为未知数，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据题意，列关于的一元一次不等式组并求其解集，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时值最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设制作一个款挂件所需的成本为元，制作一个款挂件所需的成本为元． 根据题意，得， 解得． 答：制作一个款挂件所需的成本为元，制作一个款挂件所需的成本为元． （2）解：安排人制作款挂件， 根据题意，得， 解得， 为非负整数， 且为整数， ， 与之间的函数表达式及自变量的取值范围为且为整数， ， 随的增大而增大， 且为整数， 当时值最大，，人， 安排人制作款挂件、人制作款挂件使得总利润最大，最大利润是元． 36．（2025·云南昆明·三模）云南某校开展爱心义卖活动，同学们决定将销售获得的利润捐献给福利院．初二（5）班的同学们准备制作A、B两款挂件来进行销售，已知制作2个A款挂件、5个B款挂件所需成本为39元，制作6个A款挂件、9个B款挂件所需成本为87元．已知A、B两款挂件的售价如下表： 手工制品 A款挂件 B款挂件 售价（元/个） 15 10 (1)求制作一个A款挂件、一个B款挂件所需的成本分别为多少元？ (2)若该班级共有40名学生．计划每位同学制作2个A款挂件或3个B款挂件，制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍．设安排m人制作A款挂件，销售的总利润为w元．请写出w（元）与m（人）之间的函数表达式，求出自变量的取值范围，并说明如何安排，使得总利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)制作一个A款挂件的成本为7元，制作一个B款挂件的成本为5元 (2)w（元）与m（人）之间的函数表达式是（且m为正整数），当安排17人制作A款挂件，23人制作B款挂件时，总利润最大，最大利润为617元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，找准（不）等量关系是解答的关键． （1）根据题意列方程组求解即可； （2）设安排m人制作A款挂件，则安排人制作B款挂件，根据总利润等于单件利润乘以销售量得到，再根据题意列出不等式组求得m的取值范围，再然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）（1）设制作一个A款挂件的成本为x元，制作一个B款挂件的成本为y元， 由题意可得：，解得， 答：制作一个A款挂件的成本为7元，制作一个B款挂件的成本为5元； （2）解：设安排m人制作A款挂件，则安排人制作B款挂件， 由题意可得：， ， 随m的增大而增大， 制作的总成本不超过590元，且制作B款挂件的数量不少于A款挂件的2倍， ∴ 解得， 为整数， 且m为正整数， 当时，w取得最大值，此时， 答：w（元）与m（人）之间的函数表达式是（且m为正整数），当安排17人制作A款挂件，23人制作B款挂件时，总利润最大，最大利润为617元． 37．（2025·云南玉溪·一模）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)7.5 (3)见解析 【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键． （1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解； （3）推出，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得反比例函数解析式为, 点代入得 解得， ∴, 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得， ∴， 令得， ∴， ∴, ∴． （3）证明：∵轴， ∴， ∵, ∴ ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 38．（2025·云南昆明·三模）曾有言“一剪之趣夺神功，美在民间永不朽”．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，也是中华民族优秀传统文化的重要载体．某校为了让学生感受非遗传承的时代魅力，激发学生的劳动实践能力，计划开展“指尖方寸，非遗传情”的剪纸活动．学校决定一次性购进A、B两种型号的彩纸共200件．其中，A型号彩纸的单价为23元，B型号彩纸的单价为18元，且购进B型号彩纸的数量不超过A型号彩纸的4倍．设购进A型号彩纸m件，A、B两种型号彩纸的总费用为W元． (1)求W与m的函数关系式； (2)在（1）的条件下，请你设计最省钱的购买方案，并求出最少费用． 【答案】(1)（，且m为整数）； (2)当A型号彩纸购进40件，B型号购进160件时最省钱，最少费用为3800元． 【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键． （1）设购进A型号彩纸m件，则购进B型彩纸件，由题意得出即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设购进A型号彩纸m件，则购进B型彩纸件，由题意得：， 购进B型号彩纸的数量不超过A型号彩纸的4倍， ， 解得：， ∴W与m的函数关系式为：（，且m为整数）， 答：W与m的函数关系式为：（，且m为整数）． （2）解：由（1）知：， ， W随m的增大而增大， 当时，W有最小值，且最小值为：（元）， 综上所述，当A型号彩纸购进40件，B型号购进160件时最省钱，最少费用为3800元， 答：当A型号彩纸购进40件，B型号购进160件时最省钱，最少费用为3800元． 39．（2025·云南昆明·三模）已知二次函数的顶点坐标为，且其图象经过点．直线与二次函数图象交于点P和Q（点P在点Q的左边），与二次函数的对称轴交于点H． (1)求该二次函数的解析式； (2)若线段被二次函数的对称轴分成的两条线段的长度比为，求直线l的解析式． 【答案】(1) (2)当时，直线l解析式为；当时，直线l解析式为 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数的结合，二次函数的图形和性质，待定系数法，通过交点坐标求一次函数的解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数性质． （1）通过顶点坐标，假设出来顶点解析式，利用待定系数法进行求解即可； （2）联立解析式，表示出根与系数之间的关系，通过线段之间的数量关系，分两种情况，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数图象顶点为， 设二次函数解析式为 把代入得， ， ． 二次函数解析式为，即； （2）解：设，，由题可知 联立方程组 且 ， 线段被直线分成的两条线段长度比为2∶1， ，或， 即，或， 当时， ， 解得 代入，得 ． 当时， 解得 代入，得 ． 当时，直线l解析式为； 当时，直线l解析式为． 40．（2025·云南昆明·模拟预测）每年五月的第二个星期天是母亲节，为弘扬孝亲美德，厚植感恩情怀，昆明某学校准备采购康乃馨和萱草花，用于举办“浓情五月·致敬母爱”主题教育活动，经调查，购进康乃馨的总费用y元与购进康乃馨数量x之间的函数关系如图所示． (1)当和时，求y与x之间的函数关系式． (2)现学校准备购进康乃馨和萱草花两种鲜花共150束，已知萱草花每束22元，若购进康乃馨的数量不少于80束，且不超过萱草花数量的4倍，购进两种鲜花的总费用为w元，请求出w与x之间的函数表达式，并说明怎样购买康乃馨和萱草花两种鲜花才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1) (2)当购进康乃馨的数量为120束，购进萱草花的数量为30束时，总费用最少为3310元 【分析】（1）分两种情况：当时，当时，分别用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先根据购进康乃馨的数量不少于80束，且不超过萱草花数量的4倍，求出，然后求出购进两种图书的总费用，再根据一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，设， 将代入解析式，得， 解得， ； 当时，设， 将、分别代入解析式， 得， 解得， ， 综上，； （2）解：购进康乃馨的数量为束，则购进萱草花的数量为束， 根据题意得， 解得：， 购进两种图书的总费用， ， 随的增大而减小， 当时， 有最小值，元， （束）， 当购进康乃馨的数量为120束，购进萱草花的数量为30束时，总费用最少为3310元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，不等式组的应用，求一次函数解析式，解题的关键是关键是根据题意列出函数解析式． 41．（2025·云南昆明·二模）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元，购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示． (1)求y与x的函数解析式； (2)该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰花的数量，求购买这两种鲜花的总费用W的最小值． 【答案】(1) (2)8600元 【分析】此题考查了一次函数的应用，根据图象求出函数关系式是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到一元一次不等式组，求出x的取值范围，再得出W关于x的函数解析式，根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】（1）解：当时，设函数解析式为 ∵图象过点 ∴   ∴ ∴    当时，设函数解析式为 ∵图象过，两点， ∴ 解得 ∴    综上所述，； （2）解：由题意，得   ∴    ∴ 即    ∵   ∴W随x增大而增大． 又∵ ∴当时，W取得最小值8600． 答：购买康乃馨和玫瑰花各100束时，花费最少，最少费用为8600元． 42．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某学校为提升学生核心素养，培养学生的阅读能力，激发学生的学习兴趣，准备为学生购买A、B两种与数学文化有关的图书．经调查，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)现学校准备购进A、B两种图书共200本，其中购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的3倍，若B种图书每本50元，设购进两种图书的总费用为w元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1) (2)购买种图书150本，种图书50本，费用最少，最少费用为5000元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是解决本题的关键． （1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可； （2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可． 【详解】（1）当时，设与之间的函数关系式是， 把代入得， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 当时，设与之间的函数关系式是， 则， 解得， 当时，与之间的函数关系式是． ； （2）购进种图书不少于60本，且不超过种图书本数的3倍， ， 解得， ， ， 随的增大而减小． 当时，最小，最小值为（元）， 种图书：（本）． 答：购买种图书150本，种图书50本，费用最少，最少费用为5000元． 43．（2025·云南楚雄·三模）研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发2小时后追上大巴．此时两车与学校相距180千米，如图，，分别表示大巴、轿车离开学校的路程(单位：千米)与大巴行驶的时间(单位：时)的函数图象． (1)大巴车的速度为 千米/时． (2)求所在直线的函数解析式． (3)求轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距10千米． 【答案】(1)60 (2) (3)轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距10千米 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． （1）运用路程除以时间，得出速度，即可作答． （2）由题意可得，再利用待定系数法解答即可求解； （3）分别求出大巴和轿车的速度，再根据题意列出方程解答即可求解； 【详解】（1）解：由题意可得，大巴的速度为：(千米/时)， 故答案为：60； （2）由题意得，设所在直线的函数解析式为，把，代入，得 ， 解得， ∴所在直线的函数解析式为． （3）由（1）得大巴的速度为60千米/时， 轿车的速度为(千米/时)， 设轿车出发t小时后，轿车与大巴首次相距10千米， 由题意得， 解得． 答：轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距10千米． 44．（2025·云南临沧·三模）五一假期期间，小南和家人们去爬山锻炼身体，刚开始小南精力充沛，爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（单位：米）与登山时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小南减速前的速度为_____米/分钟． (2)求小南减速后s与t之间的函数表达式． (3)当小南爬了1小时时，他距离山脚出发地有多少路程？ 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）由图象得分钟爬了米，即可求解； （2）当时，，当时，，由待定系数法即可求解， （3）当时，即可求解； 理解、的实际意义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 （米/分钟）， 故答案为：； （2）解：设小南减速后s与t之间的函数表达式为，由图象得 ， 解得：， 故小南减速后s与t之间的函数表达式为； （3）解：当时， （米）， 答：当小南爬了1小时时，他距离山脚出发地有米． 45．（2025·云南红河·三模）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如图所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用，两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午餐选用这两种食品共8包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，最低热量为多少，应如何选用这两种食品？ 【答案】(1)选用A种食品5包，B种食品2包 (2)选A种食品5包，B种食品3包时热量最低，最低热量为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及一次函数的应用， （1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据这两种食品中摄入热量和蛋白质列方程组解决； （2）设选用A种食品包，则选用B种食品包，总热量为，先求出，并得出，根据一次函数性质求出最值即可． 【详解】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意，得 解方程组，得 答：选用A种食品5包，B种食品2包． （2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包， 根据题意，得． ∴ 设总热量为，则 ∵， ∴w随a的增大而减小． ∴当时，． ∴ 答：选A种食品5包，B种食品3包时热量最低，最低热量为． 试卷第4页，共36页 试卷第2页，共35页 学科网（北京）股份有限公司 $$