6.3.3 余角和补角-【学海风暴】2025-2026学年新教材七年级上册数学同步备课（人教版2024）

6.3.3余角和补角 已知识要点扫描 3.如果∠1与∠2互余，∠2与∠3互补，那么 余角和补角 ∠1与∠3的关系是 () (1)如果两个角的和等于90°（直角），就说这 A.∠1=∠3 B.∠1=∠3-90 两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余 C.∠1=∠3+90° D.以上都不对 角，如图①所示，∠a十∠3-90°，∠a与∠3互余. 4.(教材变式)如图，∠AOC= 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两 ∠COE=∠BOD=90. 个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角， (1)图中所有互余的角有 第4题图 如图②所示，∠a十∠B=180°，∠a与∠3互补 (2)图中所有互补的角有 围① (2)性质：同角（等角）的余角相等，同角 (等角)的补角相等. 5.一个角的补角比它的余角的号多60，求这个 经典例题剖析 【倒】-个角的余角比它的补角的大15， 角的度数 求这个角的度数 【解】设这个角的度数为x,则它的余角的 度数为90°-x,补角的度数为180°-x 依题意，得90°-x-180°-x）=15, 解得x=40°.故这个角的度数为40° 【点拨】设这个角的度数为x,从而得到它6.如下图，OD平分∠BOC,OE平分∠AOC 的余角和补角的度数，再根据题中给出的等量 若∠B0C=70°，∠AOC=50° 关系列方程求解即可 (1)求出∠AOB及其补角的度数. 已基础对点训练 (2)判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明 知识点① 余角和补角的定义 理由 1.将一副三角尺按下列方式摆放，使∠a和∠3 互余的摆放方式是 多办奥4 2.(教材变式)已知∠A=115,∠B是∠A的补 角，则∠B的余角的度数是 A.65°B.115°C.15 D.25 上册第六章 91△ (3)若∠BOC=a,∠AOC=A,则∠DOE与9.如图，在三角形ABC和三角形AB,C中， ∠AOB是否互补？请说明理由. ∠ACB=∠ACB=90°.若∠1=∠3，则∠2 ∠4，理由是 10.如右图，O为直线AB上 的一点，OC平分∠AOB, ∠DOE=90. (1)∠AOD和∠COE相等吗？为什么？ (2)除(1)中的一对角和90°的角外，还有哪 些相等的角？请说明理由 7.(2025南昌期末)如右图，已 知∠AOC与∠BOC互为补 角，∠BOC与∠BOD互为余 角，且∠BOC=4∠BOD. (1)求∠BOC的度数. (2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度数. 11.如图①，将两块直角三角板的直角顶点C 叠放在一起。 (1)试判断∠ACE与∠BCD的数量关系， 并说明理由。 (2)若∠DCE=30°，求∠ACB的度数. (3)①猜想∠ACB与∠DCE的数量关系， 并说明理由； ②若改变其中一个三角板的位置，如图②，则 ①中的结论还成立吗（不需要说明理由）？ 知识点②余角和补角的性质 8.如图所示的是某交叉路口的示意图.若∠1 阀 +∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2=∠3， 图② 理由是 A.同角的余角相等B.同角的补角相等 C.等角的余角相等 D.等角的补角相等 第8题图 第9题图 492 七年级数学RJ版6.3.3余角和补角 1.A2.D3.B 4.(1)∠AOB与∠BOC,∠BOC与∠COD,∠COD与.∠DOE ∠AOB与∠DOE (2),∠AOC与∠COE,∠COE与∠BOD,∠AOC与，∠BOD ∠AOB与∠EOE,∠COD与∠BOE,∠DOE与∠AOD, ∠BOC与.∠AOD 5.解：设这个角的度数为x,则它的余角的度数为90一x,补角 的度数为180”一x, 依瑟意，得1802-=子（90-2十0 解得x=30 故这个角的度数为30° 6.解：(1)∠A0B=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°，其补角 的度数为180°-∠A0B=180°-120°=60 (2)∠DOE与∠AOB互补.理由如下： 因为OD平分∠BOC,OE平分∠AOC, 所以∠D0C-∠B0C=×0=35,∠00E-7∠A0c =2×50-25 所以∠DOE=∠DOC+∠COE=35°+25=60°， 所以∠D0E+∠A0B=60°+120=180°， 所以∠DOE与∠AOB互补 (3),∠DOE与∠AOB不一定互补.理由如下： 因为OD平分∠BOC,OE平分∠AOC, 所以∠D0C-∠B0c=，∠00E-是∠A0C-A,所 以∠DOB=∠D0C+∠c0E=2a+7B=a+m,所以 ∠D0E+∠A0B=子a+段+a+到=子a+n. 因为a十B的大小不确定， 所以∠DOE与∠AOB不一定互补 7.解：(1)因为∠BOC与∠BOD互为余角， 所以∠BOC+∠BOD=90" 因为∠BOC=4∠BOD, 所以4∠BOD+∠BOD=90°， 解得∠BOD=18°， 所以∠BOC=4∠BOD=72, (2)因为∠AOC与∠BOC互为补角， 所以，∠AOC十∠BOC=180', 所以∠A0C=180°-∠B0C=180°-72°=108 因为OE平分∠AOC, 所以∠C0E=号∠A0C=号×108=5， 所以∠B0E=∠COE+∠BOC=54°+72°=126. 8.B9.等角的余角相等 10.解：(1)∠AOD和∠C0E相等，理由如下： 由题意可知，OC平分∠AOB,∠AOB=180°， 所以∠AOC=∠BOC=90°，所以，∠AOD十∠COD=90 又因为∠DOE=90°， 所以∠COE+∠COD=90°， 所以∠AOD=,∠COE. 444444 210 七年级数学RJ版 (2)∠BOE和∠COD相等.理由如下 由题意，得∠COD+∠COE=90',∠COE+∠BOE=90°，所 以∠BOE=∠COD 11.解：(1)∠ACE=∠BCD.理由如下： 因为∠ACD=∠ACE+∠DCE=90',∠BCE=∠DCE+ ∠BCD=90°， 所以∠ACE=∠BCD. (2)因为∠DCE=30°，∠ACD=∠BCE=90', 所以∠ACB=∠ACD-∠DCE+∠BCE=90°-30°+90 =150 (3)①∠ACB+∠DCE=180°，理由如下 因为∠ACB=∠ACD-∠DCE十∠BCE=180°-∠DCE, 所以∠ACB+∠DCE=180, ②成立 思想方法专练角的计算中的 核心素养 1.B2.C 3.(1)72°(2)60 4.解：(1)因为OA平分∠E0C, 质以∠A0E=子∠B0C=合×70=35 因为∠EOC=70°， 所以∠EOD=180°-∠E0C=110 所以∠BOD=180°-∠AOE-∠EOD=35 (2)设∠EOC=2x,则∠E0D=3z 根据题意，得2x+3x=180°， 解得x=36°， 所以∠EOC=2x=72,∠E0D=3x=108°， 所以∠A0E=之∠E0C=之×72°=36%， 所以∠BOD=180°-∠AOE-∠EOD=36, 5.C 6.解：(1)因为OD平分∠BOC,∠AOC与∠BOD互为余角， 所以∠BOD=∠COD=B,∠AOC+B=90'. 因为∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD,所以90°+B =128°， 所以B=38°，所以∠A0C=90°-B=52”, (2)因为OP,OQ分别是∠AOC和∠BOD的平分线， 所以∠COP-∠A0C.∠DOQ-7∠B0D, 所以∠COP+∠D0Q-号（∠A0C+∠BOD)=子（∠A0B -∠C0D)=2(a-m 所以∠PoQ=∠C0P+∠DoQ+∠C0D=号(a-+B= (a十9=80 1 7.(1)6(2)10 8解：(1)如图所示 L A B 因为D是线段AC的中点，所以DC=子AC