第3章 分式（单元测试·提升卷）数学青岛版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第3章 分式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．若分式无意义，则x的取值是（    ） A． B． C． D． 2．分式从左至右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 6．若分式“”，可以进行约分化简，则“□“不可以是（   ） A．1 B．2 C．4 D．x 7．甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 8．已知，其中，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．若分式的值为0，则x的值为 ． 11．若，则 ． 12．若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 13．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 14．甲、乙两人加工某种零件，甲每小时加工x个，乙每小时比甲多加工5个，且甲加工4个所用时间与乙加工5个所用时间相等．根据题意，可列方程 ． 15．如果记，并且表示当时y的值，即；表示，当时y的值，即；那么 ． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）解方程： (1) (2) 17．（本题6分）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（本题5分）先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 19．（本题6分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 20．（本题8分）已知甲、乙两港口之间的距离为200千米，水流速度为5千米/时． (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时，记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 21．（本题8分）已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 22．（本题8分）按要求完成以下问题： (1)计算图中阴影所示绿地的面积； (2)若关于的方程无解，求的值． 23．（本题8分）全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比型机器人每小时多分拣快递件，且A型机器人分拣件快递所用时间与型机器人分拣件所用时间相等． (1)A，型机器人每小时各分拣快递多少件？ (2)“”期间，快递公司的业务量猛增，每天有件快递要分拣，A，型机器人一起工作小时后，型机器人有其他业务要处理，剩下的快递由A机器人分拣，请问A型机器人还要工作多少个小时才能完成任务？ 24．（本题10分）用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 25．（本题10分）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第3章 分式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．若分式无意义，则x的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：由题意得：， 所以， 故选：D． 2．分式从左至右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、；故A选项符合题意； B、等式不总是成立，如：当，时，，，即；故B选项不符合题意； C、，故C选项不符合题意； D、根据分式的基本性质，乘以分式分子和分母的整式不能为零，当时，，此时满足此条件，故D选项不符合题意； 故选：A． 3．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：A、是最简分式，则此项符合题意； B、，则此项不是最简分式，不符合题意； C、，则此项不是最简分式，不符合题意； D、，则此项不是最简分式，不符合题意； 故选：A． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算错误，不符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算正确，符合题意； 故选D． 5．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：， 故选：A． 6．若分式“”，可以进行约分化简，则“□“不可以是（   ） A．1 B．2 C．4 D．x 【答案】B 【解析】解：A、分母为，分子有，可约分，结果为，故A不符合题意； B、分母为，无法在整数范围内分解，无法与分子约分，故B符合题意； C、分母为，分子有，可约分，结果为，故C不符合题意； D、分母为，分子有，可约分，结果为，故D不符合题意． 故选：B． 7．甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：甲完成次运算用时秒，故速度为次/秒， 乙完成倍于甲的次数，即次，用时秒，故速度为次/秒， ， 因此，甲平台的运算速度是乙平台的倍， 故选：B． 8．已知，其中，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：， 已知：， ． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的通分，掌握分解因式和通分方法是解题关键． 9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【解析】解：将关于的分式方程的两边都乘以得， ， 解得， 由于分式方程的解为正数， 所以， 解得， 又因为分式方程的增根是， 所以， 解得， 综上所述，且． 故选：C． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】7 【解析】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故答案为：7． 11．若，则 ． 【答案】 【解析】解：∵， 把代入， 得． 故答案为：． 12．若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 【答案】16 【解析】解：将分式中，都扩大为原来2倍后，所得式子为： ， 若分式的值为8，则所得分式的值是． 故答案为：16． 13．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】解： 去分母得：， 解得：， ∵原方程的解是非负数， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 14．甲、乙两人加工某种零件，甲每小时加工x个，乙每小时比甲多加工5个，且甲加工4个所用时间与乙加工5个所用时间相等．根据题意，可列方程 ． 【答案】 【解析】解：根据题意，甲每小时加工x个，乙每小时加工个， 可列方程， 故答案为：． 15．如果记，并且表示当时y的值，即；表示，当时y的值，即；那么 ． 【答案】 【解析】解：， ； 故答案为：． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解； （2）解： 去分母得，， 解得，． 经检验：是原分式方程的解． 17．（本题6分）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)2 (2) (3) 【解析】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 18．（本题5分）先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】解： ， 要使原分式有意义，则 ， ∴且， ∴当时，原式． 19．（本题6分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)，，，． 【解析】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 20．（本题8分）已知甲、乙两港口之间的距离为200千米，水流速度为5千米/时． (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时，记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时 (2)，理由见解析 【解析】（1）解：设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时； （2）解：，理由如下： 设轮船在静水中的航行速度为千米/时， 根据题意得：， ， ， 即． 21．（本题8分）已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【解析】（1）解： ． （2）， ， ， ， ， ． （3） ， 是正整数，，都是正数， 或或． 或或， 或或． 22．（本题8分）按要求完成以下问题： (1)计算图中阴影所示绿地的面积； (2)若关于的方程无解，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【解析】（1）解：， ， ； （2）解：， 去分母得， ， 整理为：， 当时，， 当时，整式方程无解， 当时，， ， ， ， ， ， 经检验是原方程的解， 分式方程无解时，或． 23．（本题8分）全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比型机器人每小时多分拣快递件，且A型机器人分拣件快递所用时间与型机器人分拣件所用时间相等． (1)A，型机器人每小时各分拣快递多少件？ (2)“”期间，快递公司的业务量猛增，每天有件快递要分拣，A，型机器人一起工作小时后，型机器人有其他业务要处理，剩下的快递由A机器人分拣，请问A型机器人还要工作多少个小时才能完成任务？ 【答案】(1)A型机器人每小时分拣快递件．型机器人每小时分拣快递件 (2)A型机器人还要工作个小时才能完成任务 【解析】（1）解：设型机器人每小时分拣快递件，则A型机器人每小时分拣快递件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型机器人每小时分拣快递件，型机器人每小时分拣快递件． （2）解：设A型机器人还要工作个小时才能完成任务， 由题意得：， 解得：， 答：A型机器人还要工作个小时才能完成任务． 24．（本题10分）用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【解析】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴． 25．（本题10分）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】(1)； (2) (3)证明见解析 (4) 【解析】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；； （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； （4）解： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第3章 分式·能力提升 建议用时：60分钟，满分：120分 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1．若分式无意义，则x的取值是（    ） A． B． C． D． 2．分式从左至右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 6．若分式“”，可以进行约分化简，则“□“不可以是（   ） A．1 B．2 C．4 D．x 7．甲技术平台完成次运算需要秒，乙技术平台完成运算的次数为甲平台的倍，需要的时间为秒，则甲平台的运算速度为乙平台的（    ） A． B． C． D． 8．已知，其中，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10．若分式的值为0，则x的值为 ． 11．若，则 ． 12．若分式的值为8，当，都扩大为原来2倍后，所得分式的值是 ． 13．若关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 14．甲、乙两人加工某种零件，甲每小时加工x个，乙每小时比甲多加工5个，且甲加工4个所用时间与乙加工5个所用时间相等．根据题意，可列方程 ． 15．如果记，并且表示当时y的值，即；表示，当时y的值，即；那么 ． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分）解方程： (1) (2) 17．（本题6分）计算： (1)； (2)； (3)． 18．（本题5分）先化简，再求值：，从，1，3这三个数中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值． 19．（本题6分）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分 母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如： 再如： 解决下列问题 (1)分式是 分式（填“真分式”或“假分式”）； (2)把假分式化为带分式的形式； (3)如果分式的值为整数，求整数x的值． 20．（本题8分）已知甲、乙两港口之间的距离为200千米，水流速度为5千米/时． (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时，记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 21．（本题8分）已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 22．（本题8分）按要求完成以下问题： (1)计算图中阴影所示绿地的面积； (2)若关于的方程无解，求的值． 23．（本题8分）全球人工智能终端展暨第六届深圳国际人工智能展览会月在深圳会展中心启幕，人工智能的迅速发展为物流运输和配送带来了巨大便利．某快递公司的仓库主要使用A，两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人比型机器人每小时多分拣快递件，且A型机器人分拣件快递所用时间与型机器人分拣件所用时间相等． (1)A，型机器人每小时各分拣快递多少件？ (2)“”期间，快递公司的业务量猛增，每天有件快递要分拣，A，型机器人一起工作小时后，型机器人有其他业务要处理，剩下的快递由A机器人分拣，请问A型机器人还要工作多少个小时才能完成任务？ 24．（本题10分）用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： (1)填空：______； (2)若，求的值； (3)已知，求的值． 25．（本题10分）下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ (1)根据上面等式的规律补全等式：； (2)用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； (3)请证明（2）中等式的正确性； (4)根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第3章 分式·能力提升（参考答案） 一、选择题：（本大题共9小题，每小题3分，共27分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D A A D A A B B C 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分.） 10. 7 11． 12．16 13．且 14． 15． 三、解答题：（本大题共10个小题，共75分.） 16．（本题6分） 【答案】（1）解：， 去分母得：， 解得：， 经检验：是分式方程的解；（3分） （2）解： 去分母得，， 解得，． 经检验：是原分式方程的解．（6分） 17．（本题6分）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】（1）解：原式．（2分） （2）解：原式 ．（4分） （3）解：原式 ．（6分） 18．（本题5分） 【答案】解： ，（3分） 要使原分式有意义，则 ， ∴且， ∴当时，原式．（5分） 19．（本题6分） 【答案】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真．（1分） （2）解：∵， 故答案为：．（3分） （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，．（6分） 20．（本题8分） 【答案】（1）解：设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时；（4分） （2）解：，理由如下： 设轮船在静水中的航行速度为千米/时， 根据题意得：， ， ， 即．（8分） 21．（本题8分） 【答案】（1）解： ．（2分） （2）， ， ， ， ， ．（4分） （3） ，（6分） 是正整数，，都是正数， 或或． 或或， 或或．（8分） 22．（本题8分） 【答案】（1）解：， ， ；（3分） （2）解：， 去分母得， ， 整理为：，（5分） 当时，， 当时，整式方程无解，（6分） 当时，， ， ， ， ， ， 经检验是原方程的解， 分式方程无解时，或．（8分） 23．（本题8分） 【答案】（1）解：设型机器人每小时分拣快递件，则A型机器人每小时分拣快递件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型机器人每小时分拣快递件，型机器人每小时分拣快递件．（5分） （2）解：设A型机器人还要工作个小时才能完成任务， 由题意得：， 解得：， 答：A型机器人还要工作个小时才能完成任务．（8分） 24．（本题10分） 【答案】（1）解： ， 故答案为：；（1分） （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴；（5分） （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴．（10分） 25．（本题10分） 【答案】（1）解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式为：， 故答案为：；；（2分） （2）根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：；（4分） （3）证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立；（7分） （4）解： ．（10分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$