第15讲 函数的零点与方程的解 讲义-2026届高三数学一轮复习

第15讲 函数零点与方程的解 知识点一：函数的零点的概念 ①函数零点的定义 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. ②零点存在性定理: 一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根. 注意：连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. ③方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴　有交点⇔函数y＝f(x)有 零点　. 知识点二：二分法的概念 （1）对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④. 知识点三：有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号． (5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点． 解题策略 1. 函数的零点与方程的解 (1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 注： ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. ⑤周期函数如果存在零点，则必有无穷多个零点. ⑥对于零点存在性定理，须知满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点. 2. 理解函数零点存在定理要注意三点： ①“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可. 如图1仅满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点. 图1 　 　图2 ②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，但是一个函数有零点，不一定需要具备这两个条件. 如图3中f(a)f(b)＞0，但函数有零点. 图3 　图4 ③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足了①中的两个条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点，如图4，但若该函数是单调函数，则有唯一零点. 3. 确定函数的零点（方程的根）所在的区间 确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定． 4. 函数零点个数的判断方法 （1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． （3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5. 已知函数零点所在区间求参数的取值范围 根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性； ②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 6. 已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 7. 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围 已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果． 8. 与函数零点有关的比较大小问题 与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定. 9. 嵌套函数的零点 （1）在复合函数中,我们把一个函数自身对自身复合所得到的函数叫做嵌套函数,也叫迭代函数.其中函数的零点问题是命题的热点求解时通常先“换元解套”将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解。 （2）四个命题 命题1函数在上有个零点方程在上有个解方程组在上有组解函数的图像与轴在上有个交点(其中). 命题2函数在上有个零点方程在上有个解方程组中在上有个解(其中). 命题3若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个 证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根;所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个 命题4若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个 证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根,所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个 上述命题充分体现了四大数学思想,通过分类讨论和数形转换,不仅为图像法在解决函数零点问题中的运用提供理论保障,同时还为处理嵌套函数零点问题提供了求解方向,即研究内外层函数零点的情况。 （3）对于一般的“”的函数的零点问题,解答步骤是:(1)换元解套,令,则,从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数和的零点问题,(2)依次解方程,令解出的值,然后代入方程中解出的值.而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题,在上述解题要诀的基础上,让含参的值动起来,动静结合、数形结合、抓住临界位置进行求解。 （4）常见类型题如下： ①求嵌套函数的零点个数 关于嵌套函数方程的零点个数问题,可先换元解套,则,从而先由确定的解(或取值范围),再由通过数形结合确定的解的个数 ②求分段函数中参数的取值范围 ③求嵌套函数(或方程)中参数的取值范围 10. 用二分法求方程的近似解 (1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④. 11. 数形结合思想的应用 数形结合思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数学问题的一种数学思想方法. 数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 题型01：求函数零点 1．函数的零点是_________． 【答案】1和3 【分析】直接利用对数函数的性质与零点的定义，令即可求解 【详解】依题意，令，解得：或， 故答案为：1和3. 2．函数的零点是（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】分和分别解方程，由零点定义可得出答案. 【详解】当时，，解得 当时，，解得 所以函数的零点为： 故选：B 3．已知函数则方程的根___________. 【答案】或2/2或-1 【分析】利用导数判断函数在上的单调性，结合零点存在性定理确定在上的解，再求方程的正根即可. 【详解】当时，，所以， 令，得， 当时，， 当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 故当时，有唯一根， 当时，， 令，解得（舍去）或2， 故当时，的根为2， 综上，根为或2. 故答案为：或2. 4． e是自然对数的底数，的零点为______. 【答案】/ 【分析】只用求方程的零点，讨论左右两个函数的最值即可求解. 【详解】由得， 因为，所以， 当且仅当，即，取等号， 令，， 令解得；令解得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以要使，只能，， 所以零点为， 故答案为:. 5.已知函数，则函数的零点为（ ） A． B．，0 C． D．0 【答案】 D 【解析】函数 当时，令，解得 当时，令，解得（舍去）综上函数的零点为0.故选：D. （1）二次型零点：根的分布 1.若且，：二次函数有两个零点，且一个零点大于零，另一个零点小于零；则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据互逆命题的性质，结合一元二次方程根的判别式和根与系数关系、充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】设的一个根大于零，另一根小于零，则，解得， 因为命题：若，则的逆否命题为：若，则， 由是的真子集，因此是的必要不充分条件．故选：B． 2.若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类讨论和两种情况，再利用零点存在性定理和二次函数的图象性质列不等式求解即可. 【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求； 当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得.故选：D. 3.函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】根据零点存在性定理结合二次函数的性质求解即可. 【详解】令， 因为， 所以函数图象与轴有两个交点， 因为函数在上存在零点，且函数图象连续， 所以，或，所以，或，解得或故选：B 4.已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式，讨论、结合二次函数性质研究函数的零点情况，判断符合条件的m范围. 【详解】①当时，由，得，符合题意． ②当时， 由，得，此时，解得，符合题意； 由，得，此时设的两根分别为，，且， 若，则，，即，，符合题意， 若，则，，即，，符合题意． 综上，，即实数的取值范围为．故选：B （2）二次函数技巧：切线型 1.已知函数有4个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将函数零点问题转化为曲线与直线的交点问题，如图分析临界直线，可得的取值范围. 【详解】,即，函数表示恒过点的直线，如图画出函数，以及的图象， 如图，有两个临界值，一个是直线过点，此时直线的斜率，另一个临界值是直线与相切时，联立方程得，，解得：，或， 当时，切点是如图，满足条件，当时，切点是不成立，所以， 如图，曲线与直线有4个交点时，的取值范围是.故选：B 2.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题转化为函数的图象与直线有三个交点，作出函数图象和直线，求出图象中直线在位置时值，由图象得参数范围． 【详解】恰有三个零点，则有三个不同的实解， 即函数的图象与直线有三个交点， 如图，作出函数的图象，作直线， 平移直线到的位置，它与相切，此时，由，，（舍去）， 又时，，即切点为，　由得， 平移直线到的位置，它与（）相切，此时，由得，，即切点为，由得，平移直线到的位置，它过原点，，， 由图象可知当或时的图象与直线有三个不同的交点．故选：A 3.设是定义域为的偶函数，且，当时， ，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得函数的对称轴为，当时，所以，当时，所以， 令，得，将问题转化为与有3个交点，作出图象如下图所示，利用一次函数与二次函数的位置关系，联立，运用根的判别式等于0，求解可得答案. 【详解】解：因为函数满足，所以函数的对称轴为， 又是定义域为的偶函数，当时， ， 所以当时，，且， 所以当时，所以， 当时，所以， 令，得， 则将函数有3个不同的零点，转化为与有3个交点，作出图象如下图所示， 联立，整理得，则，解得（舍去）， 联立，整理得，则，解得（舍去）， 所以要使与有3个交点，所以， 故选：A. 4.已知函数的两个零点分别为，，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的零点和图象的平移即可求解. 【详解】设，， 则a，b是的两个零点； 函数的图象可以看成图象向下平移2个单位得到，且，， 如图所示： 故选：B. （3）利用中心对称求零点 1.已知函数图象的对称中心为，则的零点个数为（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 【答案】D 【分析】先证明为奇函数，结合条件求，，再利用导数判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定函数的零点个数. 【详解】因为，所以，即，所以，即，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以图象的对称中心为，则， ，故，则，则在上单调递减，因为，，所以在上存在1个零点.因为，，所以在上存在1个零点，因为，，所以在上存在1个零点，当时，，，，所以恒成立，所以函数在上没有零点，故的零点个数为3， 故选：D. 2.定义在上的函数满足在上单调递增，，且图像关于点对称，则下列选项正确的是（    ） A．周期 B． C．在上单调 D．函数在上可能有2023个零点 【答案】C 【分析】由，且图像关于点对称，得到的周期为4，结合满足在上单调递增，结合周期性与对称性得到在单调递减，分别判定选项即可. 【详解】所以的对称轴为，且，又图像关于点对称，则，所以，，所以，所以，所以的周期为4，故A错误. 根据周期性，且,又对称轴为，所以，且函数满足在上单调递增，所以，所以，所以B错误； 函数满足在上单调递增，且周期为4，所以函数满足在上单调递增，又图像关于点对称，所以在单调递增，又对称轴为，所以在单调递减，且在单调递减，且，所以在单调递减，所以C正确； 对于D，在上有且仅有2个零点，且周期为4，在上有且仅有1010个零点，在上有且仅有2个零点，函数在上可能有1012个零点，所以D错误. 故选：C. 3.定义域在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数与直线的图像，利用数形结合即可求得所有零点之和. 【详解】由题意可知：函数的零点，等价于函数与直线的交点的横坐标， 作函数与直线的图象如下： 结合图象，设函数的零点分别为， 则由对称性可知：，又有：，解得：， 故，故选：D 4.函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】结合函数的对称性求得正确答案. 【详解】令，得，图象关于对称，在上递减. ，令，所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称，，在上递增， 所以与有两个交点，两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为. 故选：B （4）利用轴对称求零点 1.已知函数有唯一零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数变形，换元后得到，研究得到为偶函数，由有唯一零点，得到函数的图象与有唯一交点，结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，代入后求出. 【详解】有零点，则， 令，则上式可化为，因为恒成立，所以， 令，则，故为偶函数， 因为有唯一零点，所以函数的图象与有唯一交点， 结合为偶函数，可得此交点的横坐标为0，故.故选：D 2.已知函数，现有如下说法：①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递减；③函数有两个零点．则其中正确说法的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题可得，又为偶函数，且在上单调递增，再结合零点存在定理即可判断. 【详解】由题意得，， 令，定义域为R，可知，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，则函数的图象关于直线对称，故①正确； ∵，函数在上单调递增，函数在定义域上单调递增， ∴在上单调递增， ∴函数在上单调递增，故②错误； 由①②可知，函数在上单调递减，在上单调递增，∴， 又，， 函数有两个零点，故③正确． 综上，正确说法的个数为2. 故选：C． 3.已知函数有唯一零点，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，由函数奇偶性定义得到为偶函数，所以函数的图象关于直线对称，由零点唯一性得到，求出的值. 【详解】设，定义域为R, ∴， 故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，故函数的图象关于直线对称， ∵有唯一零点，∴，即．故选：D． 4.已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】首先利用方程组法求函数的解析式，由解析式判断的对称性，利用导数分析的单调性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值，即可求正实数值. 【详解】由题设，，可得：， 由，易知：关于对称. 当时，，则， 所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大， 所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得. 故选：C （5）利用周期求零点 1.定义在R上的函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 【答案】B 【分析】根据分析得到是周期为4的周期函数，且关于点对称，函数的所有零点之和即为函数与的图像的交点的横坐标之和，画出函数图象，数形结合求出答案. 【详解】依题意，是奇函数.又由知，的图像关于对称. ， 所以是周期为4的周期函数. ， 所以关于点对称. 由于 从而函数的所有零点之和即为函数与的图像的交点的横坐标之和. 而函数的图像也关于点对称. 画出，的图象如图所示.由图可知，共有7个交点，所以函数所有零点和为. 故选：B 2.定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得函数的周期为2，函数与的图象在区间上有4个交点，利用数形结合即得. 【详解】因为定义在R上的函数满足， 所以，即是周期为2的函数， 由，可得， 因为在区间上函数恰有4个不同的零点， 所以函数与的图象在区间上有4个交点， 作出函数与的大致图象， 由图象可知，解得，即实数m的取值范围为.故选：D. 3.设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可． 【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，， 当时，，所以， 即当时， 又对任意，都有，则关于对称，且， ，即函数的周期为， 又由函数且在上恰有个不同的零点， 得函数与的图像在上有个不同的交点，又， 当时，由图可得，解得； 当时，由图可得，解得． 综上可得.故选：C． 4.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数，将函数零点转化为求两个函数图象交点的个数即可，作出图象观察得出结论. 【详解】由题意知，f(x)是周期为2的偶函数． 在同一坐标系内作出函数y＝f(x)及y＝log3|x|的图象，如下： 观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－log3|x|有4个零点．故选：D. 5.已知函数满足，当时，，则在上的零点个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由题意可得函数的周期为，令可知当时，有两个零点，又因为，即可得出在上的零点个数. 【详解】因为函数满足，所以， 所以函数的周期为，当时，， 令，解得：或或（舍去）， 所以当时，有两个零点， 所以在上的零点个数为， 又因为，所以在上的零点个数为个. 故选：D. （6）水平线法求零点 1.设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求导得出的单调性，进而画出的图象，将题设转化为函数与有两个交点，结合图象求出实数的取值范围即可. 【详解】当时，函数单调递增；当时，，则时，， 所以当时，，时，，故当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取极小值，极小值为，作出函数的图象如图： 因为函数有两个零点，所以函数与有两个交点，所以当时 函数与有两个交点，所以实数的取值范围为. 故选：D. 2..已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的性质画出函数图像，将问题化为与有2个交点，数形结合求的范围. 【详解】由题意，与有2个交点，当时，递增且值域为； 当时，在上递减，上递增且值域为； 所以的图像如下： 由图知：时，有2个零点.故选：A 3.已知函数，若函数恰有两个零点则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令g(x)=0得，作出h(x)图象，数形结合判断y=h(x)与y=a图象有两个交点时a的范围即可． 【详解】， 令， 则， 作出h(x)的图象： 如图y=h(x)与y=a的图象有两个交点时，，故选：A． 4.已知函数，则“”是“函数有两个零点”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】作出f(x)的图像，函数有两个零点，即y＝f(x)图像与y＝1图像有两个交点，数形结合即可求出k的范围，根据充分条件和必要条件的概念即可判断正确选项． 【详解】f(x)的图像如图所示， 函数有两个零点，即y＝f(x)j图像与y＝1图像有两个交点， 由图可知，，即0<k≤3﹒ ∴“”是“函数有两个零点”的必要不充分条件． 故选：B． （7）分参法：对数函数与水平线法 1.已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将问题转化为函数与的图像有4个不同的交点，进而作出函数与图像，结合函数的对称性数形结合求解即可. 【详解】解：因为函数恰好有4个不同的零点， 所以函数与的图像有4个不同的交点，交点横坐标为， 所以，根据题意，作出函数与图像如图所示， 因为， 所以，，，因为， 所以，所以， 所以，因为， 所以所以，的取值范围是.故选：B 2.已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在同一坐标系中作出的图象，根据有4个零点求解. 【详解】解：令，得， 在同一坐标系中作出的图象，如图所示： 由图象知：若有4个零点， 则实数a的取值范围是，故选：A 3.已知有两个不同零点a，b，则下列结论成立的是（    ） A．最小值为2 B．最小值为2 C．最小值为4 D．最小值为1 【答案】C 【分析】结合的单调性可得，且，进而利用基本不等式的性质对选项逐一分析，即可得到答案. 【详解】有两个不同的零点， 当时，单调递减；当时，单调递增； ，即， 不妨设，则， 解得， ，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号不成立，故A错误； ，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号不成立，故B错误； ，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号成立，故C正确； ，当且仅当，即时，等号成立，显然由可知等号不成立，故D错误； 故选：C. 4.已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出图象，利用函数有四个不同的交点求出，A错误； 根据二次函数的对称轴求出可判断D； 数形结合结合对数运算得到可判断B； 数形结合求出，解得，可判断C. 【详解】如图，作出图象，若y＝－b与有四个交点，需，则，故A错误； 这四个交点的横坐标依次为，因为抛物线的对称轴为，所以，故D正确； 因为，即，所以，故B正确； ，即，所以，故C正确. 故选：A. （8）内外复合型函数零点 1.已知函数和的定义域及值域均为，它们的图像如图所示，则函数的零点的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据函数的零点，再结合图形即可求解. 【详解】由题意，知函数的零点，即方程根. 令，，则. 当时，满足方程的有2个，此时有4个不同的实数根； 当时，满足方程的有1个，此时有2个不同的实数根. 综上可知方程共有6个实数根，即函数共有6个零点. 故选：D 2.已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，则函数的零点为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先根据单调，结合已知条件求出的解析式，然后再进一步研究函数的零点． 【详解】解：因为是定义域为的单调函数，且对任意的，都有， 故可设存在唯一的实数，使得， 则设，所以，所以，则， 由于函数在上单调递增，函数在上单调递减，又，所以，故再令，，得：，解得（负值舍去）．则函数的零点为.故选：A． 3.已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解决复合函数零点个数问题的时候，常用数形结合分析，分析各种情况后，往往会用到零点的存在性定理或根的分布情况来确定参数的取值范围.作出函数图象，进行分析，最多有两个零点，根据最多4个零点，用数形结合讨论各种情况，根据一元二次方程根的分布即可得出结果. 【详解】 根据图像可得，当或时，有两个解；当时，有4个解；当时，有3个解；当时，有1个解.因为，最多有两个解. 因此，要使有6个零点，则有两个解，设为，. 则存在下列几种情况： ①有2个解，有4个解，即或，，显然，则此时应满足    解得 ②有3个解，有3个解，设即，， 则应满足    解得.综上所述，的取值范围为或.故选：D. 4.已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式研究、的函数性质，由零点个数知与的交点横坐标一个在上，另一个在上，数形结合可得，且，，进而可得代入目标式，再构造函数研究最值即可得解. 【详解】由解析式，在上单调递增且值域为，在上单调递增且值域为， 函数图象如下： 所以，的值域在上任意函数值都有两个x值与之对应，值域在上任意函数值都有一个x值与之对应， 要使恰有三个不同的零点，则与的交点横坐标一个在上，另一个在上， 由开口向下且对称轴为， 由上图知：，此时且，， 结合图象及有，，则， 所以，且， 令且，则， 当时，递增；当时，递减； 所以，故最大值为.故选：A （9）复合“一元二次型”零点 1.已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合零点的意义求出的零点，数形结合求出方程有三个根的a的取值范围作答. 【详解】由得：或，因函数，由解得， 因此函数有四个不同的零点，当且仅当方程有三个不同的根， 函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 方程有3个不同的根，当且仅当直线与函数的图象有3个公共点， 观察图象知，当或，即或时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是.故选：A 2.已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为方程有四个不等实根，令，可知有两个不等实根，结合与和有四个不同交点可得，由二次函数根的分布可构造不等式组求得结果. 【详解】有四个零点等价于方程有四个不等实根； 作出图象如下图所示， 令，则需有两个不等实根， 即，解得：； 要使有四个零点，则需与和有四个不同交点， 在图象中平移直线和，要使与和有四个不同交点，则需，， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为.故选：A. 3.已知函数，若函数有6个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出的图像，结合函数有个零点，结合图像列不等式来求得的取值范围. 【详解】当时，是开口向下的二次函数，对称轴为，. 由解得或. 由此画出的图像如下图所示， 依题意，函数有个零点，令，则， 根据图像可知，函数在区间上有两个不相等的实数根， 则，解得，所以的取值范围是.故选：D 4.已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则这6个零点之和为（    ） A．7 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象变换，画出图像，找到对称轴，根据对称性求和. 【详解】由函数的图象，经过翻折变换，可得函数的图象， 再经过向右平移1个单位，可得的图象， 最终经过翻折变换，可得的图象，如下图： 则函数的图象关于直线对称， 求函数的零点，等价于解， 由题意可得，方程存在两个不等的实数根，则或，， 根据函数的对称性，可得六个零点，分为三组关于直线对称， 所以这6个零点之和为，故选：B. （10）“镜像”函数求零点 1.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．8 B．32 C．0 D． 【答案】A 【分析】由已知可分析出函数是偶函数,则其零点必然关于原点对称,故在上所有的零点的和为0,则函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和,求出上所有零点,可得答案. 【详解】函数是定义在上的奇函数,.又函数, 函数是偶函数, 函数的零点都是以相反数的形式成对出现的.函数在上所有的零点的和为, 函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和. 由时,,故有函数在上的值域为,当且仅当时,.又当时,,函数在上的值域为, 函数在上的值域为,函数在上的值域为,当且仅当时,, 函数在上的值域为,当且仅当时,, 故在上恒成立,在上无零点,同理在上无零点, 依此类推,函数在无零点.综上函数在上的所有零点之和为8, 故选: 2.已知若，则在内的零点个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】画出以及的图像，直接由图像即可求得交点个数. 【详解】作出的图像，则在内的零点个数为曲线 与直线在内的交点个数9. 故选：B. 3.已知函数则函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】函数零点个数可转化为函数与的图象交点的个数，根据函数解析式作出函数图象，数形结合求解即可. 【详解】由可得， 故函数的零点个数即函数与的图象交点的个数， ， 可将函数的定义域分段为，并且在上的图象是将在上图象所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的后得到， 作出与的图象，如图所示， 由图象可知，共有5个交点，故函数函数在上零点个数为5个， 故选：B 4.已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知曲线与曲线有三个交点，分、两种情况讨论，数形结合可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】令，可得， 所以，曲线与曲线有三个交点， 当时，曲线与曲线只有一个交点，不合乎题意； 当时，若使得曲线与曲线有三个交点， 则，解得.故选：B. 题型02：函数的零点区间 1.函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】因为是连续的减函数， ， ，，， 有，所以的零点所在的区间为．故选：C 2.已知a是函数的零点，则函数的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】 B 【解析】由题意，a是函数的零点，即，解得， 所以函数， 又由在上是增函数，且，， 可得， 根据零点存在性定理，可得函数的零点所在的区间为. 故选：B. 3.函数的零点所在的大致区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于函数在上是连续增函数， 由于，，所以 4.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为和在上是增函数， 所以在上是增函数， 所以只需即可，即，解得.故选：D． 5.若则函数的两个零点分别位于区间 和内 和内 和内 和内 【答案】A 【解析】因为，， 所以，故选：A． 6.函数的零点所在的大致区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知在上是连续增函数，因为，，所以的零点所在的大致区间是. 故选：B 7.已知函数，则下列区间中含零点的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出、、、的值，即可判断其正负号，利用零点存在定理则可选出答案. 【详解】由题意知：，， ，. 由零点存在定理可知在区间一定有零点. 故选：C. 8.函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案. 【详解】在上单调递增， ， 所以的零点在区间. 故选：B 9.函数的零点所在的区间为（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理，在为单调递减函数，结合，即可求解. 【详解】依题意，函数的定义域为， 而在为单调递减函数， 在为单调递减函数， 因为，所以，即 所以， ， 所以， 所以由零点存在性定理可知， 函数在区间有零点. 故选：C. 10.函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数在上单调递增， 因为，，，， 所以， 根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是， 故选：C． 11.已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于在上是增函数，在上是减函数， 因此在上是增函数， 又，，因此函数有唯一零点且在区间上， 故选：B． 12.函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数单调性，再根据零点存在定理将端点值代入，即可判断零点所在区间. 【详解】由于均为增函数， 所以为定义域上的增函数， , 根据零点存在定理, 零点在区间内. 故选：C 13.函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在上单调递增，且，. 则由零点存在定理得所求零点在区间. 故选：B. 14.方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由零点存在定理判断． 【详解】设，易知在定义域内是增函数， 又，， 所以的零点在上，即题中方程的根属于． 故选：B． 15.设函数与的图象交点为，则所在区间是（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 【答案】B 【分析】令，利用零点存在性定理即可求解. 【详解】令，则f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝3>0， ∴f (x)的零点在区间(1，2)内， 即函数与的图象交点的横坐标． 故选：B 16.已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（    ） x -1 0 1 2 3 -0.670 3.011 5.432 5.980 7.651 -0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先构造函数，然后根据图表利用函数的零点判定定理即可 【详解】令 可得：， 由题意得连续，根据函数的零点判定定理可知：在上有零点 故在上有解 故选：B 17.二次函数的部分对应值如下表： -3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 -4 -6 -6 -4 6 可以判断方程的两根所在的区间是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】结合表格与零点存在性定理判断出二次函数的零点所在区间，进而可以求出结果. 【详解】由表格可知：， 所以， 结合零点存在性定理可知：二次函数的零点所在区间为和，所以方程的两根所在的区间是和， 故选：A. 18.函数在区间上的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简函数，再令y=0求解判断. 【详解】解：， ， ， 令，得，， ，， 在上的零点为 故选：B 19.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数在上连续单调递增， 且,所以函数的零点在区间内. 20.已知曲线与轴交于点，设经过原点的切线为，设上一点横坐标为，若直线，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出直线方程，再利用零点存在性定理判断横坐标所在范围. 【详解】由，求导得，设直线与曲线相切的切点坐标为，则直线的斜率为， 直线的方程为，由直线过原点，即，解得， 依题意，直线的斜率为，而点，则直线的方程为， 由消去得，显然是方程的不为零的根， 令，求导得，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增，， 显然，即在上有唯一零点0，而， 则在上有唯一零点，即，又， 所以所在的区间为. 故选：D 21.设函数,则函数(　). A.在区间内均有零点 B.在区间内均无零点 C.在区间内有零点,在区间内无零点 D.在区间内无零点,在区间内有零点 【答案】D 【解析】令得.作出函数和的图象, 如图所示, 由与的图象在内无交点,在内有交点, 得在内无零点,在内有零点. 22.函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的单调性，结合零点存在性定理判断选项即可. 【详解】因为在上为增函数，且， ，因为，所以， 所以的零点所在区间为. 故选：C. 23.方程的实数根所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，探讨当时，函数取值情况，再借助零点存在性定理判断即得. 【详解】令函数， 当时，， 因此函数在上不存在零点，而， 由零点存在性定理，得函数在上有零点， 当时，，函数在上递减， 于是，则当时，，即函数在上无零点， 从而函数的零点只能在上，所以方程的实数根所在的区间是. 故选：D 24．设,,则函数存在的零点所在的区间一定为(　　).　　　 　　　　　　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的零点等价于方程的根, 即函数与图象的交点的横坐标. 作出与的大致图象,如图所示, 从图象可知它们仅有一个交点,其横坐标的范围为. 25.对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数存在“折点”的条件，对每一选项逐一判断即可. 【详解】对于A选项，，所以 没有零点， 从而没有“折点”，故A不符合题意； 对于B选项，当时，， 因为 单调递增，所以在上有零点， 又因为是偶函数，所以在上有零点， 从而 存在“折点”，故B符合题意； 对于C选项， 因为，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值， 在处取得极小值， 而，所以在上只有一个零点，所以C不符合题意； 对于D选项，因为，令解得，只有一个零点，故D选项不符合题意； 故选：B 26.已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，所以， 因为是方程的一个解， 所以是方程的解，令， 则，当时，恒成立， 所以单调递增， 又， 所以. 故选：C. 题型03：判断零点个数 （1）解方程法 1.已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】，解得或， 当时，，解得，，解得（舍）； 当时，，解得或（舍），，解得或（舍）； 综上，方程的实根为或或， 即方程的实根个数为3个， 故选：A. 2.函数在区间内的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】利用辅助角公式可得，令，从而解得在的零点个数. 【详解】由， 得，又，所以， 所以或 解得或. 所以函数在的零点个数是2. 故选：A. 3.关于函数有下述四个结论： ①是偶函数；         ②在区间上单调递增； ③在上有4个零点；     ④的值域是. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义即可判断①，根据正弦函数以及二次函数的单调性，结合复合函数单调性的判断即可求解②，根据二次方程以及正弦函数的性质即可求解③，结合函数的单调性以及奇偶性即可判断④. 【详解】对于①，，故是偶函数，故①正确， 对于②，当时，， 令，，则，因为在上单调递增，而函数在单调递增，由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，故②正确； 对于③, 当时，由，即或，得，或，或，由①知是偶函数，故当时，得，或，或，，所以在有6个零点，③错误； 对于④，当时， ， 因为，所以当时，，当时，，此时 ，又是偶函数，故值域为，④错误； 故选：A （2）零点存在性定理法 1.已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义域为R可得，由和奇函数的性质可得、，利用零点的存在性定理即可得出结果. 【详解】奇函数的定义域为R，其图象为一条连续不断的曲线， 得，由得， 所以，故函数在之间至少存在一个零点， 由奇函数的性质可知函数在之间至少存在一个零点， 所以函数在之间至少存在3个零点. 故选：C 2.已知函数的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表： 1 2 3 4 5 0.37 2.72 0 则函数在区间上的零点至少有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】函数的图象在上是连续不断的，且，函数在上至少有一个零点，根据表格函数值判断即可. 【详解】根据表格中的数据，结合零点存在性定理， 可以发现， 所以函数在区间和区间上至少有一个零点，以及4是函数的一个零点， 所以函数在区间上的零点至少有3个， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关函数零点的个数问题，涉及到的知识点有函数零点存在性定理，属于简单题目. 3.已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表： x 1 2 3 4 136.136 15.552 10.88 x 5 6 7 11.238 由表可知，函数存在零点的区间至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】根据零点存在定理直接得到答案 【详解】∵，，， 存在零点的区间至少有4个. 故选： 【点睛】本题考查了零点存在定理，属于简单题. 4.已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（    ） 1 2 3 4 5 6 A．在区间上不一定单调 B．在区间内可能存在零点 C．在区间内一定不存在零点 D．至少有个零点 【答案】ABD 【详解】由所给表格可知，，，， 所以，，， 又函数的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间、、存在零点， 即至少有个零点，故D正确； 对于A，由于只知道，的函数值，故无法判断在区间上的单调性，故A正确； 对于B、C，虽然，，由于不知道函数在内的取值情况， 所以函数在内可能存在零点，故B正确，C错误； 故选：ABD （3）数形结合法 1.函数的零点个数是（    ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【详解】 分别做出函数和函数的图像，如上图所示， 由图像可知，两个函数的交点个数是， 所以函数的零点个数是. 故选:C 2.函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，分析可知函数的零点个数即为函数与的图象的交点个数，数形结合可得出结果. 【详解】由可得，作出函数与的图象如下图所示： 由图可知，函数与的图象的交点个数为， 故函数的零点个数为. 故选：C. 3.函数的零点个数为__________. 【答案】1 【分析】在同一坐标系中作出与的图象，由图即可得出答案. 【详解】解：注意到，在同一坐标系中作出与的图象， 易知零点个数为1. 故答案为：1. 4.已知函数，则在上的零点个数为________． 【答案】2 【分析】根据题意分析可得原题意等价于求与在上的交点个数，结合余弦函数分析运算. 【详解】令，可得， 原题意等价于求与在上的交点个数， ∵，则， 且， 有余弦函数可知与在上有2个交点 所以与在上有2个交点. 故答案为：2. 5.已知函数，则函数的零点个数为___________. 【答案】 【详解】解：当时，，解得； 当时，得， 易得， 作出函数，的图象，如图， 所以，结合指数函数与幂函数性质，函数，在有两个交点， 所以当时，有两个实数根， 所以，函数的零点个数为 故答案为： 6.已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】令得，根据分段函数性质可在同一直角坐标系中作出，的大致图象，由图象可知，函数与的图象有3个交点，即可得出答案． 【详解】解：令得， 在同一直角坐标系中作出（图中细实线所示），（图中粗实线所示）的大致图象如下： 由图象可知，函数与的图象有3个交点， 即函数有3个零点， 故选：C. 7.已知函数的零点个数为___________. 【答案】 【详解】当时，由，得， 当时，由，得， 则时，函数零点的个数， 即为函数图象交点的个数， 如图，作出函数的图象， 由图可知，两函数的图象有个交点， 即当时，函数有个零点， 综上所述，函数有个零点. 故答案为：. 8.若函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】由， 则可作出函数的图象如下： 由方程，得或， 所以方程的实根个数为3． 故选：A． 9.已知函数则解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】时，，解得 时，，，，无解. 由，则有， 时，，通过函数图像可知，方程有两个根，如图所示， 时，，无解. 故选：. 10.已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______． 【答案】6 【分析】利用函数的周期性和函数图像，结合函数的零点定义，根据数形结合即可求解. 【详解】，的周期， 如图所示即为函数的图像，，做出的图像，观察与图像有6个交点，则方程的实根个数是6. 故答案为：6. 11.已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先将问题的零点问题转化为函数与的交点，分析出的值域，由此判断出零点个数． 【详解】函数的零点个数为函数与的图象的交点的个数， 因为函数的定义域为， 所以当时，函数与的图象没有交点， 当时，， 所以当时，． 又函数的周期为2，所以． 当时，， 所以当时，函数与的图象没有交点， 作函数和函数在区间上的图象， 观察图象可得两函数图象有5个交点, 所以函数的零点个数为5. 故选：C. 12.已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】当时，单调递增，且，且为定义在上的奇函数, 所以,可得且在上单调递增, 由，得． 又因为，,可得, 为定义在上的奇函数,又可得, 根据题意作出满足要求的的大致图像, 由图知，直线与的图像有4个公共点， 所以有4个零点． 故选：A. （4）巩固练习 1.已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令求解即可. 【详解】时，由得， 时，由得或， 所以四个零点和为． 故选：D． 2.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（   ）（参考数据：.） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用给定的定义分别求出的值，即可得解. 【详解】设函数在区间上的“中值点”为，由，得， 则由拉格朗日中值定理得，，即，而， 则，即函数在区间上的“中值点”的个数为1，因此， 设函数在区间上的“中值点”为，由，求导得， 由拉格朗日中值定理得，，即， 令函数，函数在上单调递增，， 则函数在上有唯一零点，即方程在区间上有1个解， 因此函数在区间上的“中值点”的个数为1，即， 所以. 故选：B 3.设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】作出当时函数与的图象，数形结合确定此时函数的零点，再根据奇函数的性质确定以及时的零点，即可得答案. 【详解】依题意，作出函数与的图象，如图， 可知两个函数的图象有两个不同交点，即此时有两个零点； 又函数是定义域为的奇函数，故当时，也有两个零点， 函数是定义域为的奇函数，所以，即也是函数的1个零点， 综上所述，共有5个零点． 故选：D． 4.若函数()满足，且时，，函数则函数在区间内零点的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】将问题转化为与在内交点的个数，利用函数的周期性以及分段函数的解析式，判断，，，，，，上的最值及单调性，确定各区间是否有交点，进而可知在区间内零点的个数. 【详解】由题意，，即为周期为2的函数，要求在区间内零点的个数，即为求与在内交点的个数， ∴根据的区间解析式及其周期性，分段函数的解析式， ，而，故，，上各有一个交点， 同理，而，故，，，上各有一个交点， ∴共有7个交点，即在区间内零点的个数为7个，在函数图象如下， 故选：B. 5.已知，则的零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由二倍角的余弦公式和辅助角公式化简可得，则或，结合，即可得出答案. 【详解】由， 则，所以， 即， 所以或， 解得：或， 因为，所以，或， 所以的零点之和为， 故选：C. 6.函数的零点个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】转化为，的交点个数问题，画出两函数图象，数形结合得到答案. 【详解】，即， 令，， 故的零点个数为与的交点个数， 在同一坐标系内画出与的图象，如下： 显然与的交点个数为1，故的零点个数为1. 故选：D 7.已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，设函数，则函数的零点个数为（    ） A．6 B．8 C．12 D．14 【答案】A 【分析】求函数的零点，即方程根的个数，转化为函数与图像交点个数. 【详解】函数为偶函数，周期为2，函数的零点，即方程根的个数， 转化为函数与图像交点个数，作出图像可得共有6个交点. 故选：A. 8.函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】令，结合题意得到的两根为，，然后根据函数的单调性和最值进而求解. 【详解】令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，， 则或，因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，若，易知方程无解， 若，当时，由，得或（舍去）， 此时方程有唯一的解； 当时，由，得，此时方程有唯一的解， 综上所述可知函数的零点个数为个， 故选：A. 9.方程根的个数为（ ） A．无穷多 B．3 C．1 D．0 【答案】 C 【解析】方程可化为，设函数和， 在坐标系中分别作出两个函数的图象如图： ∴由图象可知两个函数的交点个数为1个．故方程根的个数为1．故选：C． 10.函数的零点个数为(　　) A．0　　 　B．1　　 　C．2　　 　D．3 【答案】 B 【解析】令可得，即， 在坐标系中分别作出两个函数的图象如图： ∴由图象可知两个函数的交点个数为1个．故零点个数为1．故选：B． 11.函数的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】函数，由，可得，作出和的图象， 由图象可得它们有2个交点，则的零点个数为2，故选：C. 12.若函数，函数的零点个数是___________. 【答案】 C 【解析】设可得，即，当时，，所以 在坐标系中作出函数的图象如图： 由图可知有两个根 当时，，所以，由图可知有两个根，所以函数的零点个数为4 13.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 C 【解析】当时，令，可得，即 在坐标系中作出函数的图象如图： 由图可知有1个交点 又因为奇函数，所以当时，有一个零点，又因，所以一共有三个零点 14.已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有 A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 【答案】A 【解析】画出和的图像，如图所示 由图可知有10个交点 15.奇函数f(x)、偶函数g(x)图象分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0、g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b等于(　　) A 14 B. 10 C. 7 D. 3 【答案】 B 【解析】对于方程，设，则，由图一知，当时，由图二知可取，当时，由图二知可取，当时，由图二知可取，一共有7个实根，所以 对于方程，设，则，由图二知，其中，，当时，由图一知无解，当时，由图一知可取，当时，由图一知无解，一共有3个实根，所以 综上可知 16.函数零点的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，所以函数零点的个数为方程 的根的个数，也即为两个函数，的图象交点的个数， 在坐标系中画出两个函数，的图象， 由图知：函数，的图象有个交点，所以函数零点的个数为，故选：D. 17.函数的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 D 【解析】当时，令可得，即， 在坐标系中分别作出两个函数的图象如图： ∴由图象可知两个函数的交点个数为2个．故当时，零点个数为2个 当时，令可得，解得，符合题意 18.函数的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 【答案】 B 【解析】令可得，即， 在坐标系中分别作出两个函数的图象如图： ∴由图象可知两个函数的交点个数为2个，零点个数为2个，故选：B 18.设函数,则函数的零点的个数为 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 C 【解析】令可得，即， 在坐标系中分别作出两个函数的图象如图： ∴由图象可知两个函数的交点个数为6个，零点个数为6个，故选：C 19.定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（       ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 【答案】AD 【分析】由函数图象和复合函数的性质依次判断即可. 【详解】由可得， 对于A，，结合图象可得，或， 结合的图象可得，，，各有一个解，即方程有且仅有三个解，A正确； 对于B，，结合图象可得，结合的图象可得， 有一个解，即方程有且仅有一个解，B错误； 对于C，，结合图象可得，或，又有3个解，，各有一个解， 即方程有且仅有五个解，C错误； 对于D，，结合图象可得，又有一个解，即方程有且仅有一个解，D正确. 故选：AD. 20.函数有_______个零点． 【答案】2 【分析】将问题转化为方程的根的个数，即函数和的图象交点个数，画出两函数的图象，即可求得结果． 【详解】函数的零点个数，就是方程的根的个数， 即函数和的图象交点个数， 函数和的图象如下图所示， 由图象可知，两函数图象有2个交点， 所以函数有2个零点，故答案为：2 21.设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数a可能的取值有（ ）． A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】BC 【分析】根据题意分析函数的性质，将零点问题转化为与的交点问题，数形结合，列式运算即可． 【详解】∵，则函数关于直线对称， 又∵函数是定义在R上的奇函数，则， 即，则， 故函数是以4为周期周期函数， 又∵，即， 故函数关于点对称， 令，则， 原题等价于与有3个交点，且的定义域为， 如图所示，则可得，解得， 故B、C正确，A、D错误．故选：BC． 22．函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性,再由确定范围,即可确定实数的取值范围． 【详解】已知,, 函数的零点为，函数的零点为，则，，，，又因,这两函数均单调递增， 当时，,解得．故选:D 23.设，函数. （1）讨论函数的零点个数； （2）若函数有两个零点，求证：. 【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数的零点个数； （2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明. 【详解】（1）， 令，即， 时，即， 或即时，无解； 即时，仅有一解，此时仅有一解； 即时，有两解， 各有一解，此时有两个零点； 综上，时，无零点， 时，有一个零点，时，有两个零点； （2）有两个零点时，令，则为两解， 则，则，则， 由可得，则，则， 则，由可得， 则，由在递减，可得，则. 题型04：已知函数零点求值 1.已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用奇函数、函数零点的定义，列式求解作答. 【详解】因为是函数的一个零点，则，于是，即， 而函数是奇函数，则有， 所以. 故选：D 2.已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，然后根据二倍角公式结合齐次式即得. 【详解】因为是函数的一个零点， 所以，即，故， 则． 故选：D． 3.若函数的零点为，则（    ）． A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由已知有，根据零点得到，利用指对数的关系及运算性质得到关于t的表达式，进而由指数函数的单调性确定t值即可. 【详解】由题设，由得：， 若，可得， 若，可得， 综上，，故. 故选：B 4.已知函数（）有两个零点-1和m，若存在实数，使得，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由题意可得，则，，依题意可得：，然后结合根的对称性分析得答案． 【详解】是函数的一个零点， ， ，则，， ，． 由，，得①，由，得，即②， 由①②得：． 函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为，则． 零点到对称轴的距离，， 另一零点为，，， 因为，所以， 故， ， 综合四个选项，实数的值可能是和． 故选：BC． 题型05：根据零点所在区间求参数的取值范围 1.已知函数的零点，，则______． 【答案】2 【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案. 【详解】因为函数为R上单调减函数， 故函数为R上单调减函数， 又，， 故在上有唯一零点， 结合题意可知， 故答案为：2 2.已知方程的解在内，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点， ∵， ∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内， 故. 故选：B. 3.若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【详解】方程在上有解， 等价于函数与在有交点， 因为，所以， 所以，解得. 故答案为： 4.已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵是奇函数，∴，，，易知在上是增函数， ∴有唯一零点0， 函数的零点在区间内，∴在上有解，，∴． 故选：A． 5.已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】设，则， 此时，则， 令， 当时，， 记，则， 所以在上递增，在上递减， 故,所以， 所以的最大值为. 故答案为：. 6.已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（    ） A．－1 B．2 C．3 D．4 【答案】ABC 【分析】由题意设，则在上， 与有相同的零点，即讨论在区间内没有零点，求出其导函数，分析其单调性，得出其最值情况，从而结合其大致的图形可得出答案. 【详解】，设 则在上， 与有相同的零点. 故函数在区间内没有零点,即在区间内没有零点 当时，在区间上恒成立,则在区间上单调递增. 所以，显然在区间内没有零点. 当时, 令，得，令，得 所以在区间上单调递减增.在区间上单调递增. 所以 设，则 所以在上单调递减,且 所以存在，使得 要使得在区间内没有零点，则 所以 综上所述，满足条件的的范围是 由选项可知：选项ABC可使得在区间内没有零点，即满足题意. 故选：ABC 7.设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】由零点的存在性定理求解即可 【详解】因为在单调递增，且有零点， 所以，解得， 故答案为： 8.设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在上递增， 则函数在上存在零点， 需， 解得. 故选：B. 9.函数在内有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答. 【详解】由得，， 因函数在内有极值，则时，有解， 即在时，函数与直线y=a有公共点， 而，即在上单调递减，，则，显然在零点左右两侧异号， 所以实数的取值范围是. 故选：C 【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． 10.设函数，.若在有零点，则实数的取值范围为（    ） A．[-1，+ ∞) B．[ ，+ ∞) C．[，+ ∞) D．[0，+ ∞) 【答案】C 【分析】令，函数换元为，在有零点可以转化为在上有解，即，该问题又转化为函数图象交点的问题，利用函数单调性求出最小值即可解决. 【详解】由已知得 ，，则， 则， 设，当时，函数为增函数，则， 若在有零点，即在上有解，即，即， 由于函数在上单调递增， 则，即，故， 则实数的取值范围是. 故选： . 11.已知函数在区间上有零点，则的最小值为___________. 【答案】 【分析】根据函数零点性质，结合点到直线距离公式，通过构造新函数，利用导数求出最值即可. 【详解】设为在上的一个零点，则， 所以在直线上， 又为坐标原点， 易知. 令，则， 所以在上单调递增，所以. 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式，再构造函数求最值是解题的关键. 12.已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据奇函数定义求出，确定函数的单调性，然后由的零点是0得出结论． 【详解】∵是奇函数，∴，，，易知在上是增函数， ∴有唯一零点0， 函数的零点在区间内，∴在上有解，，∴． 故选：A． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数的零点，解题关键是等价转化，把函数零点转化为方程在某个区间上有解，从而再转化为求函数值域． 13.已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数判断的单调性，求出其零点的值，根据求出的范围.令g(x)=0，参变分离，将问题转化为方程有解问题即可求解． 【详解】， ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 为方程的根，即﹒ 故，即为，解得﹒ 是函数的零点， 方程在上有解﹒ 即在上有解﹒ ， 在上有解﹒ 令， 则， 设， 则，易知h(t)在上单调递增，在上单调递减﹒ 又， ﹒ ﹒故实数a的最小值是﹒ 故选：A﹒ 14.若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，此时只有一个零点，零点为-1，不符合要求； 当时，函数为二次函数，，利用零点存在性定理和二次函数的图象性质得，解得. 故选：D. 15.函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【分析】根据初等函数的单调性判断函数的单调性，根据零点存在定理可得，从而可得结果. 【详解】因为函数在定义域上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数的一个零点在区间内， 得， 解得, 故选：BC 16.设函数，，若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则 令，即，故 ，作出函数的图象如图所示： 函数的零点个数即为函数的图象与直线的交点个数，直线过定点 当直线过点时，， 当直线与曲线相切时， 设切点坐标为，由，故切线的斜率为 所以，解得，则，解得 结合图象可知，当或时，函数的图象与直线只有一个交点，即函数在区间上有且仅有一个零点，所以实数m的取值范围是， 故选：C 题型06：求由零点组成代数式的值或者取值范围 1.设满足，满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求得与的关系式，从而求得正确选项. 【详解】依题意满足，即是方程的根. 在上递增，在上递减，所以是方程唯一的根. 由得， 令，则，则， 依题意满足， 所以. 故选：A 2.若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．1 B．2023 C． D．4046 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于对称，结合反比例函数的图象也关于对称，从而数形结合即可得解. 【详解】因为是函数的一个零点，是函数的一个零点， 所以，，即，， 设函数与的交点为，则，， 设函数与的交点为，则，， 因为函数与函数互为反函数， 所以它们的图象关于对称， 而的图象也关于对称， 所以点关于对称，即， 所以由得，即. 故选：B. 3.函数在区间上的所有零点之和为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】根据题意整理可得，将函数的零点问题转化为与的交点问题，利用图象结合对称性分析运算. 【详解】由题意可得：， 令，且，可得， ∵与均关于点对称， 由图可设与的交点横坐标依次为， 根据对称性可得， 故函数在上所有零点之和为. 故选：B. 4.已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出函数的图象，根据题意，得到，且关于对称，求得，且，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】作出函数的图象， 存在，满足，且， 可得，即，解得， 且关于对称，可得，即，其中， 则， 因为函数在上单调递增，所以， 即. 故选：A. 5.函数所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简，转化为与的交点横坐标之和，数形结合即得解 【详解】函数所有零点 函数与的交点的横坐标． ，，可得函数，的图象，关于点对称． 函数，的图象如下： 结合图象可得在区间，函数，的图象有4个交点，关于点对称，所有零点之和为 故选：B 6.设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数解析式研究的性质，并画出函数图象草图，应用数形结合及题设条件可得、、，进而将目标式转化并令，构造，则只需研究在上的范围即可. 【详解】由分段函数知：时且递减；时且递增； 时，且递减；时，且递增； ∴的图象如下：有四个实数根，，，且， 由图知：时有四个实数根，且，又， 由对数函数的性质：，可得， ∴令，且， 由在上单增，可知，所以. 7.已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的性质，画出图象，即可图象以及函数的对称性即可求解临界位置， 即可求解. 【详解】画出的图象如下图： 由题意可知，，由图象可知关于直线对称，所以，因此， 当时，，此时， 当时，，此时， 当存在，，，使得时，此时， 故选：C 题型07：根据函数零点的个数求参数的取值范围 1.已知函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为与有交点，再根据值域求解即可. 【详解】， ， 函数有零点， 与有交点， ， 即， 故选：C 2.已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据函数的最值即可求解. 【详解】依题意， 因为函数有且只有1个零点， 所以有且仅有一个解， 即有且仅有一个解， 转化为与有且仅有一个交点， 当时，与没有交点，所以； 当时，因为，所以， 当时，有最小值1，有最小值， 此时与没有交点， 由于与都是偶函数， 若在除去之外有交点，则交点必为偶数个，不符合题意， 所以不符合题意； 当时，因为，所以， 又因为， 所以当且仅当时，此时有唯一的交点. 故选：B. 3．已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______． 【答案】． 【分析】使用参数分离的方法，将原方程转变为直线 与曲线相交，并且只有唯一交点. 【详解】由 ，x=0不是方程的解，∴ ， 将原方程唯一零点转变为直线与曲线 有唯一交点， 下面讨论曲线的图像： 的定义域为 ， ， 当 时， ，当 时， ， 当 时，  ， 因此y在处，取得极小值，其极小值为 ， 当 时，，即y是单调递减的， 当x从小于0的方向趋向0的时候，y趋向于 ， 故图像如下图： ； 故答案为：. 4.已知函数有唯一零点，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】设，定义域为R, ∴， 故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称， 故函数的图象关于直线对称， ∵有唯一零点， ∴，即． 故选：D． 5.已知关于的函数有唯一零点，则（    ） A． B．3 C．或3 D．4 【答案】B 【分析】令，可得是偶函数，利用偶函数的性质可得，从而可得，再由零点个数求出即可求解. 【详解】，令， 则有是偶函数， 若只有唯一零点，则必过原点，即，从而. 当时，有3个零点，舍去. 故，此时，则，故. 故选：B 6.已知函数有唯一零点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则， 记，则，令则，所以是偶函数，图象关于轴对称，因为只有唯一的零点，所以零点只能是于是 故选：C 7.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】通过对进行分类讨论，利用导数来判断函数的单调性，再利用函数零点的存在性定理，判断出函数在定义上的零点，进而得出结果． 【详解】因为，所以 当时，有，解得，所以当时，有两个零点，不符合题意； 当时，由，解得或，且有，， 当，，在区间上单调递增； 当，，在区间上单调递减； 当，，在区间上单调递增； 又因为，， 所以，存在一个正数零点，所以不符合题意； 当时，令，解得或，且有， 当，，在区间上单调递减； 当，，在区间上单调递增； 当，，在区间上单调递减； 又因为，， 所以，存在一个负数零点，要使存在唯一的零点， 则满足，解得或，又因为，所以， 综上，的取值范围是． 故答案为：. 8.已知，则“”是“有两个不同的零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据函数有2个零点，求参数的取值范围，再判断充分，必要条件. 【详解】若有两个不同的零点，则，解得或，所以“”是“有两个不同的零点”的充分不必要条件. 故选：A 9.若方程，且有两个不同实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，方程有两个不同实数根， 等价于函数与的图象有两个不同的交点， 当时，如图所示， 由图可知，当时，函数与的图象有两个不同的交点，满足题意 当时，如图所示 由图可知，当时，函数与的图象有且仅有一个交点， 不满足题意, 综上所示，实数的取值范围为． 故选：D． 10.已知函数.若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对求导，求出的单调性和最值，函数存在零点，即与的图象有交点，即可求出的取值范围. 【详解】， 令，解得：；令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， ，，， 所以的最大值为，最小值为，故， 函数存在零点，即， 即与的图象有交点，所以 故选：C, 11.若函数有唯一零点，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】A 【分析】由函数解析式推导出函数的对称性，然后结合只有唯一的零点求出参数的值. 【详解】由 ， 得，即函数的图象关于对称， 要使函数有唯一的零点， 则，即，得． 故选：A． 12.若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所解方程既是高次方程又是分式方程，所以对其进行是降次，同时注意到对任意的，必是原方程的一个根，所以只考虑时有三个实数解即可. 【详解】因为有四个实数解，显然，是方程的一个解， 下面只考虑时有三个实数解即可. 若，原方程等价于，显然，则. 要使该方程有解，必须，则，此时，方程有且必有一解； 所以当时必须有两解，当时，原方程等价于， 即(且)，要使该方程有两解，必须，所以. 所以实数k的取值范围为. 故选：C. 13.已知函数，若函数恰有三个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据时，得零点为,故将问题转化为在有2个零点，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】当时，，解得或（舍去）， 由于有3个零点，故在有2个零点， 所以,解得或， 则当时，， 要使在有2个零点，则，故， 故选：C 14.已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的实根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造新函数，根据根的情况分类讨论可求a的取值范围. 【详解】设，因为时，不合题意，故. ，即； 若，即时，在区间上单调递减，至多有一个零点，不符合题意，舍. 若，即时，在区间上单调递增，至多有一个零点，不符合题意，舍. 若，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 从而只需，即，解得，即. 故选：A 15.已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数、导数研究的性质并画出草图，将问题化为与的图象有3个交点，数形结合确定参数范围. 【详解】当时，， 当时，单调递减；当时，单调递增. 当时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 当时，. 画出函数的图象如图所示： 因为函数有3个零点， 所以与的图象有3个交点，由图知：. 所以的取值范围为. 故选：B 16.设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得，则问题转化为与在上恰有3个交点，数形结合即可得解. 【详解】由可得，依题意与在上恰有3个交点， 如图所示，点和点为临界点， 所以实数的取值范围是， 故选：C 17.已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将函数的零点问题转化为函数图像交点问题，分，以及讨论，结合图像，即可得到结果. 【详解】 令，所以要使恰有3个零点， 只需方程恰有3个实根即可， 即与的图像有3个不同交点． 当时，此时，如图1，与有1个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有3个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以． 综上，的取值范围为． 故选：D 18.设函数 ①当时， _________； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围. 【详解】当时，， 所以， 所以， 令，可得 当时，， 所以或， 当或时，方程在上有唯一解， 当或时，方程在上的解为或， 当时，， 所以当时，， 当时，方程在上无解， 综上，当时，函数有两个零点， 当时，函数有两个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点， 因为恰有2个零点，所以或， 所以a的取值范围是. 故答案为：；. 19.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，再数形结合得解. 【详解】函数有两个不同的零点，即方程有两个不同的根，从而函数的图象和函数的图象有两个不同的交点， 由可知，当时，函数是周期为1的函数， 如图，在同一直角坐标系中作出函数的图象和函数的图象， 数形结合可得，当即时，两函数图象有两个不同的交点， 故函数有两个不同的零点. 故选：A. 20.已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可转化为有且仅有两个不同的零点，，对求导，结合的单调性可知，由此可知另一根为，由的范围可求出的范围，即可求出的取值范围. 【详解】函数有且仅有两个不同的零点，， 因为，令，即有且仅有两个不同的零点，， 得或， 若，令，可得或；令，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 同理若，在上单调递增，在上单调递减， 因为，， 要使有且仅有两个不同的零点，，则， 而，则，因为， 则，则， 则有一根是确定的为，又因为， 所以的另一根为， 所以，因为，， . 故选：B. 21.已知函数 ①函数的零点个数为__________． ②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 1 【分析】第一空，分类讨论，无论，函数都一个零点； 第二空，由第一空讨论，，值的情况，从而可得满足题意的的范围. 【详解】第一空：当时，可知有一个零点； 当时，有一个零点； 当时，可知有一个零点； 综上函数的零点个数为1个. 第二空： 如图所示，当时，若要满足题意需，得； 当时，不符题意； 如图所示，当时，若要满足题意需，得； 综上m的取值范围是： 故答案为：1； 22.已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是 _______． 【答案】 【分析】由题意得，，找到的必过点，作出和的图像，根据数形结合，计算求解即可. 【详解】 ，，画出的图像， 化简，，故的必过点， 恰有三个不同的零点，即为有三个不同的实根，作出和的图像， 直线与曲线相切时，有，由，可得，解得或，又由，得，故（舍去）， 当与曲线相切时，两图像恰有三个交点，令，此时，解得， 结合图像可得，或 故答案为： 23.已知，，若方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（    ） A． B． C． D．1 【答案】BC 【分析】通过分类讨论去绝对值，得出，，与，再根据根的数量确定的取值范围，即可对选项一一验证. 【详解】当时，即，解得， 当时，即，解得， 则当时，， 此时方程， 即， 即， 此时若则， 此时若则， 当时，， 此时方程， 即， 即， 其中方程①与②最多各有一个实数根，方程③最多有两个不同的实数根， 原方程有四个不同的实数根， 方程①与②各有一个实数根，方程③有两个不同的实数根， 对于方程有两个不同的实数根，可以等价为： 解得， 对于选项A：取不到， 故选项A错误； 对于选项B：当时，方程①的根为，方程②的根为，符合题意， 故选项B正确； 对于选项C：当时，方程①的根为，方程②的根为，符合题意， 故选项C正确； 对于选项D：取不到1， 故选项D错误； 综上所述，选项BC正确， 故选：BC. 24.已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A．（1，3） B．（2，4） C． D． 【答案】C 【分析】x∈，数形结合确定的范围使得图像和恰好有四个交点. 【详解】， 在区间上恰有4个零点，等价与图象恰好有4个交点，因为x∈，所以， 如图所示， 则应该满足，解得. 故选：C. 25.已知函数，若关于x的方程有四个实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象， 关于x的方程有四个实数根，则函数与有四个交点，则，故选：C. 26.已知函数，若方程有四个不同实数解，则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】，画出的图像，如图所示 由图可知当时有一个根，所以只需有三个根即可，所以 27.函数，若函数有6个不同零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】令，得，设，则，画出的图像，如图所示 只需有三个零点且，所以 28.已知函数，，若存在唯一的整数，满足，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】画出和的图像，如图所示 若存在唯一的整数，满足，需或，即 ，解得 29.设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由得，设，则，画出的图像，如图所示 若关于的方程恰好有六个不同的实数解，即在内有两个不同得实数根，所以，解得 30.已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】作函数和的图象，如图所示，可知的取值范围是， 故选D． 31.已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ） A． B． C．（0，1） D． 【答案】 C 【解析】因为函数有3个零点，所以有三个实根，即直线与函数的图象有三个交点．作出函数图象，由图可知，实数的取值范围是．故选：C． 32.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0<m≤1 【答案】 B 【解析】令可得，即，画出，如图所示 由图可知，解得 33.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个不同的零点，则实数的取值范围是_______ 【答案】 【解析】令可得，即，画出的图像，如图所示 由图可知， 34．设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】由零点的存在性定理求解即可 【详解】因为在单调递增，且有零点，所以，解得，故答案为： 35．已知函数的零点为，满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析二次函数的图象，根据根的分布，结合根的判别式和对称轴，列出不等式组，求出答案． 【详解】开口向上，对称轴为，要想满足，则要，解得：．故选：B 36．已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出、和的图象，结合图象以及函数有两个零点求得的取值范围． 【详解】函数有两个零点，即有两个不相等的实数根， 即与的图象有两个交点．画出、和的图象如下图所示，由解得，设． 由解得，设．对于函数， 要使与的图象有两个交点，结合图象可知，．故选：D 37．已知函数，则f(6)=________；若方程在区间有三个不等实根，实数a的取值范围为________. 【答案】 ①. 8 ②. 【分析】（1）利用函数的递推关系式，代入即可求解． （2）画出函数的图象，利用函数的零点的个数推出的取值范围． 【详解】解：因为 ，作出函数在区间上的图象如图： 设直线，要使在区间上有3个不等实根， 即函数与在区间上有3个交点，由图象可知或 所以实数的取值范围是，故答案为：8；． 38.已知方程的解在内，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理分析运算. 【详解】构建，则在定义域内单调递增，故在定义域内至多有一个零点，∵， ∴仅在内存在零点，即方程的解仅在内， 故.故选：B. 39．已知函数，若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【分析】由已知写出函数g（x）的解析式，分段求出方程g（x）=0的实根，由实根都在相应的区间内求得m的范围． 【详解】∵f（x）=，∴g（x）=f（x）﹣2x=， 由4﹣2x=0，得x=2；由x2+2x﹣3=0，得x=﹣3，x=1．又函数g（x）恰有三个不同的零点， ∴方程g（x）=0的实根2，﹣3和1都在相应范围上， 即1＜m≤2．∴实数m的取值范围是（1，2]．故答案为 【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数学转化思想方法，正确理解题意是关键，是中档题． 40．在下列区间中，函数的零点所在的区间可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由零点存在定理判断可得结果． 【详解】因为，所以，，，，， 所以函数的零点所在的区间可能为，故选：D． 41．（多选）已知有两个零点，且，则下列说法正确的有（ ） A． ， B． C． 若，则的最小值为 D． 且，都有 【答案】BD 【分析】根据函数零点的定义，结合一元二次方程根的判别式、作差法逐一判断即可． 【详解】因为有两个零点，且， 所以是方程的两个不等实根， 于是有：，故B正确； 若，显然满足，此时，故A错误； 当时，由，此时，所以C错误； ，因为，所以，所以D正确， 故选：BD 42．若函数满足，当时，，若在区间上，方程有两个实数解，则实数的取值范围为是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件求出函数在上的解析式，结合图象研究方程的解的个数，由此确定的取值范围. 【详解】因为，当时，，所以当时，，作函数在上的图象，作函数的图象如下； 设直线斜率为， 由图象可得若在区间上，方程有两个实数解，则， 因为直线过点，，所以， 所以， 故选：C. 43．已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点定义和三角函数图象性质可知方程在上有4个不相等的实根，利用整体代换即可求得实数a的取值范围. 【详解】由题可知，若在区间上恰有4个零点， 等价于方程在上有4个不相等的实根，又，所以时，，由正弦函数图像性质可知需满足，解得.故选：C 44.已知函数，若关于的方程恰有三个实数解，则实数的取值集合为______． 【答案】 【分析】当时，易知无解；当时，设，采用数形结合的方式可知，可知无解；当时，设，采用数形结合的方式可知，通过讨论的范围可确定或的取值，由此可构造方程求得的值． 【详解】； 当时，，此时无解，不合题意； 当时，设，则与的大致图象如下图所示， 则对应的两根为， 此时与无解，即方程无解，不合题意； 当时，设，则与的大致图象如下图所示， 则对应两根为， 若恰有三个实数解，则和与共有个不同的交点， ①当时，与有两个不同交点，如图所示， 与有且仅有一个交点，则，，解得：； ②当时，与有两个不同交点， 与有且仅有一个交点，则，与矛盾，不合题意； ③当时，与有两个不同交点，如图所示， 与有且仅有一个交点，则，，解得：； 综上所述：实数的取值集合为． 故答案为：． 方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 45．已知函数． （1）若函数的零点在区间上，求正整数k的值； （2）记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由零点存在性定理以及函数单调性的定义得出结果； （2）根据对数运算、对数函数的定义域以及参变分离结合基本不等式求得结果． 【详解】（1）由， 得， 令，定义域为． 任取， ∵，∴，， ∴，在上单调递增． ，，由零点存在定理知． （2）由已知得恒成立，即， 显然，首先对任意成立，即， 由，得，所以． 其次，，设，，则有，，令，， ，由基本不等式知，，当且仅当时， 有最大值1，∴ 综上，实数a的取值范围为． 题型08：与零点相关的比较大小问题 1.设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用零点存在定理计算出、的取值范围，利用对数函数的单调性可得出，即可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知； 构造函数，因为函数、在上均为增函数， 所以，函数为上的增函数，且，， 因为，由零点存在定理可知. 因为，则，因此，. 故选：B. 2.已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由f（x）＝ex+x﹣2＝0得ex＝2﹣x， 由g（x）＝lnx+x﹣2＝0得lnx＝2﹣x， 作出函数y＝ex，y＝lnx，y＝2﹣x的图象如图： ∵函数f（x）＝ex+x﹣2的零点为a，函数g（x）＝lnx+x﹣2的零点为b， ∴y＝ex与y＝2﹣x的交点的横坐标为a，y＝lnx与y＝2﹣x交点的横坐标为b， 由图象知a＜1＜b， 故选A． 考点：函数的零点 3.已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解. 【详解】由已知条件得 的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标， 在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示, 可知， 故选：. 4.已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：函数，，的零点， 即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标， 如图所示： 由图可得. 故选：B 5.已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化函数，，的零点为与，，的交点，数形结合，即得解. 【详解】函数，，的零点，即为与，，的交点， 作出与，，的图象， 如图所示，可知 故选：C 6.已知，且是方程的两实数根，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵，为方程的两实数根，∴，为函数的图像与x轴交点的横坐标， 令，∴m，n为函数的图像与x轴交点的横坐标， 易知函数的图像可由的图像向上平移2022个单位长度得到， 所以. 故选：C. 7.已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（    ） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n 【答案】B 【详解】因为函数， 令， a、b为的零点， 函数的图象是由的图象向上平移一个单位得到的， 又m，n是方程的两个根（m＜n）， 如图所示： 由图知：a＜m＜n＜b， 故选：B. 8.已知函数的零点分别为a，b，c，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断各函数的单调性再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】因为函数都是增函数， 所以函数都是连续增函数， 因为，，即， 所以在在存在唯一零点，即， 因为，，即， 所以在在存在唯一零点，即， 令，即，即，解得，即， 综上：. 故选：D. 9.已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数，对数函数，一次函数图像数形结合可得. 【详解】依题意得， 在同一坐标系中分别画出函数的图象，观察它们与直线的交点，可得. 故选：B 10．已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出的值，利用零点存在定理求出、所在区间，由此可得出、、的大小关系. 【详解】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数， 因为，，所以，， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为，，所以，， 由可得，因此，. 11.已知函数，，的零点依次为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析函数单调性，根据零点存在性定理，依次判断所在区间即可. 【详解】由题意，对于函数，可知是增函数，也是增函数， 则为上增函数，又， 对函数，可知增函数，也是增函数，故函数为上增函数， 又，，故； 对于，又，故； ； 故选：C. 12．若，则下列不等关系一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将条件转化为，结合对应函数的性质画出函数图象，判断它们与有交点时各交点横坐标的大小情况. 【详解】由，得． 由，得，， 作函数，，的图象，再作直线． 变换的值发现：，，均能够成立， D不可能成立. 13.已知函数的两个零点分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用已知条件把问题转化为与有两个交点，画出图像，观察图像即可得出结论. 【详解】有两个零点， 即与有两个交点，交点的横坐标就是， 在同一坐标系画出与的图象如图， 可知， ， ， 故选：A. 14.已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数与对数函数、的对称性知与关于直线对称，利用指数幂、对数运算的性质计算依次判断选项即可. 【详解】因为函数与的图象关于直线对称，图象也关于直线对称， 设与图象的交点为A， 与图象的交点为， 则与关于直线对称，则，． 因为，所以，则，即， 因为的图象与直线的交点为， 所以，，，则． 故选：ABD. 15.已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】作出作出和的图像，利用数形结合法判断： 对于AD：利用对称性即可判断；对于B:直接利用图像判断；对于C：由，利用二次函数求解. 【详解】如图示，作出和的图像. 当时，. 因为存在使得，所以. 由图示可知关于对称，所以，所以.故A正确； 令，即，解得： 或. 所以由图示可知：.故B正确. 因为当时，，所以，，所以时，有，即的图像关于对称，所以关于对称，所以，所以，即，所以. 因为，所以.故C错误； 因为关于对称，所以，所以. 又因为，所以.故D正确. 故选：ABD 16.如图，函数的图象称为牛顿三叉戟曲线，函数满足有3个零点，，，且，则（    ） A． B． C．D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A：根据导数得出其单调性，则根据零点的定义结合图像得出时，才有三个零点； 对于选项B：根据解析式得出当时，，即可结合已知得出根据单调性得出答案； 对于选项C：令，，根据导数得出其单调性与最值，即可得出，即可结合已知得出，即可根据单调性得出答案； 对于选项D：根据已知得出，代入解析式转化得出，令，，，即可根据导数求出其最值，即可得出答案. 【详解】， 令，则；令，则且； 的增区间为：，减区间为：与， 对于A选项：且有三个零点，，即A选项正确； 对于B选项：当时，，即， ， ， 在上单调递减， ，即，即B选项错误； 对于C选项：令，. ， 在上递减，即. ， ， . ， ， 又在上单调递增， ，即，即C选项正确； 对于D选项：， ，即， ， ， ， 令，，则， 令，则， 令，解得，令，解得， 即在上单调递减，在上单调递增， 则在上的最小值为， 故，故D选项正确. 故选：ACD. 题型09：求零点的和 1.已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令求解即可. 【详解】时，由得， 时，由得或， 所以四个零点和为． 故选：D． 2.函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】令，得， 图象关于对称，在上递减. ，令， 所以是奇函数，图象关于原点对称，所以图象关于对称， ，在上递增， 所以与有两个交点， 两个交点关于对称，所以函数的所有零点之和为. 故选：B 3.函数的所有零点之和为______． 【答案】6 【分析】令，两个解即为零点，将零点问题转换成，两个函数的交点问题，作图即可求出零点，且和的函数图象关于对称，零点也关于，即可求出所有零点之和. 【详解】解：令，得，解得或，即为零点， 令，， 可知的周期，对称轴， 且的对称轴， 做出和的图象如图所示： 显然，在和上各存在一个零点， 在处的切线为x轴，在上存在零点， 同理在上存在零点，所以在上存在6个零点， 因为和的函数图象关于对称，则零点关于对称， 所以的所有零点之和为. 故答案为：6. 4.已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________. 【答案】4044 【分析】根据函数的性质可求出周期及对称轴，再由时函数的解析式可作出函数的图象，原问题可转化为与交点横坐标问题，由对称性求和即可. 【详解】由是定义在R上的奇函数，所以，又， 所以，则的周期是2， 且得是其中一条对称轴， 又时，于是图象如图所示， 又函数零点，即为与的交点的横坐标， 由图知：交点关于对称，每个周期都有2个交点， 所以、各有个周期，故各有个交点，它们两两关于对称， 所以零点之和为. 故答案为： 5.定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______. 【答案】18 【分析】判断出的对称性、周期性，画出与的图象，结合图象求得的所有零点之和. 【详解】∵满足，则关于直线对称， 又∵是定义在上的奇函数，则， 即，则， ∴是以4为周期的周期函数， 对，可得，则， ∴关于点对称， 令，则， 可知：与均关于点对称，如图所示： 设与的交点横坐标依次为， 则， 故函数的所有零点之和为. 故答案为：18. 6.函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 【答案】D 【分析】由已知可分析出函数是偶函数,则其零点必然关于原点对称,故在上所有的零点的和为0,则函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和,求出上所有零点,可得答案. 【详解】函数是定义在R上的奇函数, . 又函数, 函数是偶函数, 函数的零点都是以相反数的形式成对出现的. 函数在上所有的零点的和为, 函数在上所有的零点的和,即函数在上所有的零点之和. 即方程在上的所有实数解之和. 由时,,故有 函数在上的值域为,当且仅当时,. 又当时,,如图： 函数在上的值域为； 函数在上的值域为； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 即方程在上的又一个实数解.即有一个零点； 函数在上的值域为,当且仅当时,, 故在上恒成立,在上无零点, 同理在上无零点, 依此类推,函数在无零点. 综上函数在上的所有零点之和为8, 故选：D. 【点睛】分段函数的零点方法点睛： 可以分段考查函数的零点情况，利用直观想象，借助数形结合，通过图象的变化规律来分析与处理，合理归纳. 7.已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，（），则函数所有零点的和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】因为零点，等价于与函数图像交点的横坐标， 因为，故可得是周期为的函数； 又因为，当时，， 解得. 不妨在同一直角坐标系中画出两者的图象如下所示： 数形结合可知，有6个交点， 则有6个零点，且每两个零点关于对称， 则每组零点之和为，共有3组， 故可得所有零点之和为. 故选：D. 8.定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______. 【答案】18 【详解】∵满足，则关于直线对称， 又∵是定义在上的奇函数，则， 即，则， ∴是以4为周期的周期函数， 对，可得，则， ∴关于点对称， 令，则， 可知：与均关于点对称，如图所示： 设与的交点横坐标依次为， 则， 故函数的所有零点之和为. 故答案为：18. 9.已知函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________；若三个不相等的实数根分别为，则的取值范围是__________. 【答案】          【详解】作出函数的图象及直线，如图， 观察图象知，曲线与直线有3个公共点时，， 而曲线与直线交点的横坐标即为方程的解， 所以方程恰有3个不等实根，实数的取值范围是； 如图，三个交点的横坐标分别为，且， 由对称性可知，， 对于函数，当时，， 所以，即的取值范围是. 故答案为：； 10．已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用辅助角公式化简得到分段函数形式，根据对数函数、正弦型函数性质画出图象，数形结合确定的范围或对称性，进而求的范围. 【详解】， 所以如下图示，要使恰有四个不同的实数解，则， 不妨设，由图知：，且，即， 令，可得或，令，可得或， 所以，而在上递减，故， 综上，. 故选：A 11．已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________ 【答案】2 【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得. 【详解】因为函数的两个零点为，， 则，即， 又， 则，即， 所以. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构函数可得，可得，结合条件即得. 12.已知为奇函数，函数与的图像关于对称，若，则（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】C 【解析】因为奇函数，所以关于对称，，所以关于点对称；又函数与的图像关于对称，所以的图像关于成中心对称，当时，，所以选C 13.已知定义在R上的函数满足，若函数与的图象有m个交点，则( ) （注） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因，所以关于对称，而也关于对称，所以两个函数的交点也关于对称，所以每一组关于对称的点的横坐标之和为，纵坐标之和为，所以，故选D 14.已知函数，函数满足，若函数有10个零点，则所有零点之和为___________． 【答案】10 【解析】因为奇函数，所以关于对称，，所以关于点对称；又函数函数满足，所以的图像关于成中心对称，所以函数有10个零点，就是有10个交点，并且关于对称，所以所有零点之和为10 15.已知函数满足，若方程有个不同的实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因，所以关于对称，而也关于对称，所以函数的零点也关于对称，所以每一组关于对称的两根之和为，所以，故选B 题型10：嵌套函数的零点问题 1．函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】令，结合题意得到的两根为，，然后根据函数的单调性和最值进而求解. 【详解】令，则，当时，由可得或（舍去）；当时，由可得，所以的两根为，， 则或，因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，若，易知方程无解， 若，当时，由，得或（舍去）， 此时方程有唯一的解； 当时，由，得，此时方程有唯一的解， 综上所述可知函数的零点个数为个， 故选：A. 2.已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可先做出函数的大致图象，利用数形结合和分类讨论，即可确定m的取值范围. 【详解】当时，．由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增，故的大致图象如图所示． 设，则，由图可知当时，有且只有1个实根， 则最多有3个不同的实根，不符合题意． 当时，的解是，．有2个不同的实根，有2个不同的实根， 则有4个不同的实根，不符合题意． 当时，有3个不同的实根，，，且，，． 有2个不同的实根，有2个不同的实根，有3个不同的实根， 则有7个不同的实根，不符合题意． 当时，有2个不同的实根，，且，． 有2个不同的实根，有3个不同的实根， 则有5个不同的实根，符合题意． 当时，有2个不同的实根，，且，， 有2个不同的实根，，有2个不同的实根，则有4个不同的实根，不符合题意． 当时，有且只有1个实根，则最多有3个不同的实根，不符合题意， 综上，m的取值范围是． 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于函数零点问题，若能够画图时可作出函数图像，利用数形结合与分类讨论思想，即可求解.本题中，由图看出，m的讨论应有，，，，这几种情况,也是解题关键. 3.已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可设，可得，判断与交点个数，进而将的零点个数问题转化为函数的图象交点个数问题，数形结合，可得答案. 【详解】设，令可得：, 对于，，故在处切线的斜率值为， 设与相切于点， 切线斜率，则切线方程为：， 即，解得：； 由于，故作出与图象如下图所示， 与有四个不同交点， 即与有四个不同交点， 设三个交点为，由图象可知：， 作出函数的图象如图， 由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点， 的零点个数为7个， 故选：C 【点睛】方法点睛：解决此类复合函数的零点问题，常常采用换元的方法，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决. 4.已知则函数的零点个数是______． 【答案】7 【分析】作出函数的图像，然后分解因式得到或，数形结合分析零点个数 【详解】函数的零点即为方程的根，解方程得或． 作出函数的图像，如图所示． 由图像知直线与的图像有4个交点，直线与的图像有3个交点． 因此函数的零点有7个． 故答案为：7 5.已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定函数的大致图象，令，则关于的方程即可写成，结合图象分析二次方程的根的取值范围使其满足方程有6个不同的根，即可得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，函数的图象如图所示： 根据函数图像，函数在，上单调递增，在，上单调递减；且时取最大值2，在时取最小值0，是该图像的渐近线. 令，则关于的方程即可写成， 此时关于的方程应该有两个不相等的实数根 设，为方程的两个实数根，显然，有以下两种情况符合题意： ①当，时，此时，则； ②当，时，此时，则； 综上可知，实数的取值范围是. 故选：C. 6.已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】令，作出函数的图象如下图所示： 由于方程至多两个实根，设为和， 由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4， 由于关于x的方程有7个不同实数解， 则关于u的二次方程的一根为，则， 则方程的另一根为， 直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得. 所以且. 故选：C. 7.定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为 A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或6 【答案】B 【解析】∵函数关于点对称，∴是奇函数，时，在上递减，在上递增， 作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是1，2，3. 或时，有一个解，时，有两个解，时，有三个解， 方程中设，则方程化为，其判别式为恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设， 若，则，，和都有两个根，原方程有4个根； 若，则，，∴，，有三个根，有一个根，原方程共有4个根； 若，则，，∴，，有一个根，有三个根，原方程共有4个根． 综上原方程有4个根． 故选：B. 8.若函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由题意画出函数的图象，由方程，得或，再数形结合即可求解． 【详解】由， 则可作出函数的图象如下： 由方程，得或， 所以方程的实根个数为3． 故选：A． 9.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图像，然后对于不等式，分和以及和进行分析说明得实数的最小值. 【详解】函数的图像如下：    不等式恰有两个整数解， ①当时，，即， 当时，， 由于恰有两个整数解，又， 则整数解为和，又， 因为求最小值，此时就不用考虑了，的最小值为， ②当时，对于， 则， 只考虑， 则 又时有两个整数解，则不等式的解集中含有多于个整数解，故舍去， 综上，实数的最小值是. 故选：A. 10.已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由解得或2，再画出，，的图象数交点个数即可. 【详解】因为，解之得或2， 当时，； 当时，，当且仅当时等号成立， 所以，，的图象如图： 由图可知使得或的点有4个. 故选：A. 11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】将原方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合函数性质求解答案即可. 【详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以讨论情况如下： 作图像如下图所示，    关于的方程， 解得或， 由于与图像有一个公共点， 则图像与图像有三个公共点，如图所示，， 同理，时，，所以实数的值是. 故选：D 12.已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由的性质求出对应区间的值域及单调性，令并将问题转化为与交点横坐标对应值的个数，结合数形结合法求零点个数即可. 【详解】令， 当时，且递增，此时， 当时，且递减，此时， 当时，且递增，此时， 当时，且递增，此时， 所以，的零点等价于与交点横坐标对应的值，如下图示： 由图知：与有两个交点，横坐标、： 当，即时，在、、上各有一个解；当，即时，在有一个解. 综上，的零点共有4个. 故选：B 13.已知函数则函数的所有零点之和为（    ） A．2 B．3 C．0 D．1 【答案】D 【分析】令，得到，令，可得，列出方程求得，得到，在结合函数的解析式，列出方程，即可得到答案. 【详解】由函数，令，则， 令，可得， 当时，由，可得，即，解得； 当时，由，可得，即，解得或（舍去）， 所以，即， 当时，令或（舍去），解得或； 当时，令，解得或， 所以函数的零点之和为. 故选：D. 14.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先判断在和上的单调性和最值，再作出函数的大致图象，将函数的零点问题转化为方程根的问题，从而数形结合得结果. 【详解】当时，，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，当时，． 当时，当时，， 当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且． 作出函数的大致图象，如图所示， 由图象可知，是函数的零点，要使函数有两个不同的零点，则方程有两个不相等的实数根，等价于有1个非零实数根. 由图可知或或，即. 故选：C． 15.已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零点的定义可得方程和共有5个解；结合导数分析函数的性质，作函数的图象，观察图象求的取值范围. 【详解】因为函数恰有5个零点， 所以方程有个根， 所以有个根， 所以方程和共有5个根； 当时，， ， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 因为，所以， ，当且时，， 时，， 当时，，， 故函数在上的图象为对称轴为，顶点为的抛物线的一段， 根据以上信息，作函数的图象如下： 观察图象可得函数的图象与函数的图象有2个交点， 所以方程有两个根， 所以方程有3个异于方程的根， 观察图象可得， 所以的取值范围为.. 故选：D. 16.已知函数，设函数，则下列说法正确的是（    ） A．若有4个零点，则 B．存在实数t，使得有5个零点 C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则 D．对任意恒有2个零点 【答案】BC 【分析】由可得或，作函数的图象，观察图象判断A，B，D，由条件观察图象确定的关系，由此判断C， 【详解】的大致图像如图所示，令，即，即或．若有4个零点，则实数t的取值范围为或或，故A项错误；由图可知，当时，有5个零点，故B项正确；当有6个零点时，则，所以，即有，故C项正确；当时，有4个零点，故D项错误， 故选：BC． （一）：构造二次函数与对数函数关系 1.已知函数有三个不同的零点，且．则实数的值为（    ） A． B． C．－1 D．1 【答案】D 【解析】令，则，当时，是增函数，当时，是减函数； 又趋向于0时趋向负无穷，趋向于正无穷时趋向0，且， 令，则，要使有3个不同零点， 则必有2个零点，若，则或， 所以有两个不同的根，则， 所以或，且，， ①若，，与的范围相矛盾，故不成立； ②若，则方程的两个根一正一负，即，； 又，则，且，， 故. 故选：D 2.已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（    ） A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9 【答案】A 【解析】把f（x）的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则. ∴ ∴ 令，，则， ∴ 令，解得 ∴时，，单调递减；时，，单调递增； ∴，， ∴a﹣3 ∴. 设关于t的一元二次方程有两实根，， ∴，可得或. ∵，故 ∴舍去 ∴6，. 又∵，当且仅当时等号成立， 由于，∴，（不妨设）. ∵，可得，，. 则可知，. ∴. 故选：A. 3.已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，得，整理得， 令，原方程化为， 设， 则， 令，解得，且， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 则在时，有最大值为， 则当时，有一个解， 当时，有两个解， 当时，有一个解， 当时，无解， 因为原方程为， 由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根、，设， 则有，， 若，则，故舍去， 若，则，， 有，即有，，代入得，矛盾，故舍去， 若则，， ， 设，则，得到， 所以. 故选：D. 4.若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由方程，可得， 令，则， 令，其中， 则，令，得， 列表如下： ， 0 单调递增 极大值 单调递减 函数的图象如下图所示： 由于方程有三个不同的解，而关于的二次方程至多有两个根． 当关于的二次方程有两根时，设这两根分别为，，不妨设， 则，①，或，②，或，，③， 由①得，解得， 在②中，将代入，可得， 所以，与矛盾，故无解； 在③中，，代入，可得， 所以，与矛盾，故无解． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B． （二）：构造二次函数与指数函数关系 1.已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．36 【答案】D 【解析】因为，所以，因为，所以有三个不同的零点，令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，令，则必有两个根、，不妨令、，且，，即必有一解，有两解、，且，故 故选：D 2.已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．16 【答案】C 【解析】， ，有三个不同的零点. 令，在递增，在上递减， .时，. 令， 必有两个根， ，且， 有一解，有两解，且， 故 . 故选：C 3.设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且 则的值是（    ） A．81 B．-81 C．9 D．-9 【答案】A 【解析】由有三个不同的零点知：有三个不同的实根，即有三个不同实根， 若，则，整理得，若方程的两根为， ∴，而， ∴当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增；即当时有极小值为，又，有，即. ∵方程最多只有两个不同根， ∴，即，， ∴. 故选：A 4.已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 故当时，，是增函数， 当时，，是减函数， 可得处取得最小值， ，，画出的图象， 由可化为， 故结合题意可知，有两个不同的根， 故，故或， 不妨设方程的两个根分别为，， ①若，， 与相矛盾，故不成立； ②若，则方程的两个根，一正一负； 不妨设，结合的性质可得，，，， 故 又，， ． 故选：A． （三）构造二次函数与三角函数关系 1.已知函数，且关于的方程有三个不相等的实数解，，.若，则的值为 . 【答案】1 【解析】，设 所以 当时恒成立， 所以在单调递增， 如图所示： 令，又因为 即，即在有两个根 即 根据韦达定理得： 所以 故答案为：1 2.已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【解析】由得， 即， 记，且设， 一方面由得（*）， 当时方程（*）有两个不相等的实数根，，且，； 另一方面，由知在上单调递减，在上单调递增， ，， 当时，，当时，， 如图：   ， 且，， 因此. 故选：D 3．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，构造，求导得，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且， 若，即，则，则，且， 故， 若，即，由于，故，故不符合题意，舍去. 故选A. 4．若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由关于的方程， 令，则有， 令函数，则， 当时，当时， 在上单调递增，在上单调递减， 其图象如下： 要使关于的方程有3个不相等的实数解，，， 且， 结合图象可得关于的方程一定有两个实根，， 且，，由韦达定理知，，， ， 又， 可得， 故选：B． 5．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由方程，可得． 令，则有，即． 函数，则． 在上单调递增，在上单调递减． 作出图象如下： 要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且， 结合图象可得关于的方程一定有两个实根，． 且，，，， 所以，，解得． 故． 故选：A. 6．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由方程，可得. 令，则有，即. 令函数，则， 由，解得，，解得 所以在上单调递增，在上单调递减，且 作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且， 结合图象可得关于的方程一定有两个实根，， 且，，，. 所以，解得或 若，则,解得，则 此时只有1个实数根，此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意. 若，则，可得，显然此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意. 要使原方程有3个不等实数根，则 所以，，解得. 所以， 故. 故选：A 7．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】设即所以,令,求出导数，讨论其单调性，画出图像，结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根，且，且则即可求解.由方程，有 设即 所以 令 ，则 所以在上单调递增，在上单调递减, 且，，当时，其大致图像如下. 要使关于的方程有三个不相等的实数解，，， 且. 结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根 且, 则. 所以 故选：D 8．已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为 ． 【答案】4 【解析】，又， 则有三个不同的零点，，，且， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增 则在时取得最大值，时， 令，则 则必有二根，且 则 则有一解，有二解且 故 故答案为：4 9．已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为 ． 【答案】1 【解析】设，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，；时，， ∴，作出的图象，如图 要使有三个不同的零点，，其中 令，则需要有两个不同的实数根（其中） 则，即或，且 若，则，∵，∴，则 ∴，则，且 ∴= 若，则，因为，且， ∴，故不符合题意，舍去 综上 故答案为：1 10．已知函数有四个不同的零点，且四个零点全部大于1，则的值为 ． 【答案】 【解析】根据函数的零点与方程根的关系，令，则可得，结合所求令，则函数有四个不同的零点，等价于关于 的方程有两个不同的实根，且此时直线与的图象应有四个交点，交点的横坐标分别为，由数形结合的知识，即可求解.由题意令， ， 令，则 所以函数有四个不同的零点， 等价于关于 的方程， 即方程有两个不同的实根， 且此时直线与的图象应有四个交点， 交点的横坐标分别为， 由上，；上，， ， 且当时，；当时，， 所以由数形结合可知： ， 故答案为： 11．已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是 ；的值为 . 【答案】 1 【解析】由， 令，∴， 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，. 作出大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点， （*）式关于t的一元二次方程有两个不等的实根，，其中，， 令，∴， 且，，， ∴， 故答案为：；1. 12．已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是 ；的值为 ． 【答案】 16 【解析】因为， 所以，令， 所以（*），令， ，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，， 作出大致图象， 要使原方程有三个不同的零点， （*）式关于的一元二次方程有两个不等的实根，， 其中，， 令，所以， 所以， 且， 所以. 故答案为：；. 13．已知函数（），，若方程有三个实根、、，且，则的值为 . 【答案】16 【解析】因为，， 所以，令得， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 又， 故可画出函数的大致图象，如图所示： 因为方程有三个实根， 故有两个不等实根，不妨设两根为，，且，则， 所以， 则，， 所以. 故答案为：16. 14．已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为，由可得， 令，可得，即， 构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，当时，，且， 作出函数的图象如下图所示： 若使得方程由三个不等的实根、、，且满足， 则关于的方程有两个不等的实根、，设， 由韦达定理可得，则， 由图可知，， 因此，. 故答案为：. 题型11：函数零点的综合应用 1.已知实数，满足，，则________. 【答案】4 【分析】根据指数式与对数式的互化公式，结合函数单调性和零点存在原理进行求解即可. 【详解】由，即， 即， 令，则， 即，即. 由，得， 设函数，显然该函数增函数， 又， 所以函数在上有唯一的零点， 因此，即， 所以. 故答案为：4. 2.若曲线有两条过的切线，则a的范围是______. 【答案】 【解析】设切线切点为，因，则切线方程为：. 因过，则，由题函数图象 与直线有两个交点.， 得在上单调递增，在上单调递减. 又，，. 据此可得大致图象如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线. 故答案为： 3.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为，所以 当时，有，解得，所以当时，有两个零点，不符合题意； 当时，由，解得或，且有，， 当，，在区间上单调递增； 当，，在区间上单调递减； 当，，在区间上单调递增； 又因为，， 所以，存在一个正数零点，所以不符合题意； 当时，令，解得或，且有， 当，，在区间上单调递减； 当，，在区间上单调递增； 当，，在区间上单调递减； 又因为，， 所以，存在一个负数零点，要使存在唯一的零点， 则满足，解得或，又因为，所以， 综上，的取值范围是． 故答案为：. 4.已知函数恰有两个零点，和一个极大值点，且，，成等比数列，则__________；若的解集为，则的极大值为__________． 【答案】 4 4 【分析】根据已知，结合三次函数的图象特征可得是的极小值点，借助导数及函数零点可得的关系即可求出；由不等式的解集求出，再验证即可求出极大值作答. 【详解】因三次函数有一个极大值点，则该函数必有一个极小值点，且极小值点大于， 又恰有两个零点，，且，因此也是的极小值点， 求导得：，即，是方程的二根，有，即， 显然，则， 整理得，两边平方得：，因成等比数列，即， 于是得，即，而，有，所以； 显然有，，， 因的解集为，则5是方程的根， 即有，整理得：，解得或， 当时，，，不等式， 解得，符合题意，函数的极大值为， 当时，，，不等式， 解得，不符合题意，舍去，所以函数的极大值为. 故答案为：4；4 【点睛】方法点睛：可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同． 5.设随机变量，函数没有零点的概率是，则_____________附：若，则，． 【答案】 【分析】根据函数的无零点可得，结合题意易知，再应用正态分布的三段区间概率及对称性求. 【详解】函数没有零点， 二次方程无实根，即，可得， 又没有零点的概率是， ，由正态曲线的对称性知：， ，即， ， ，， ， 故答案为:． 题型12：用二分法求方程的近似解 1.下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点； 对于B，有唯一零点，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点； 对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，则可用二分法求零点； 对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，则可用二分法求零点. 故选：B. 2.下列函数中，能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】选项A：由，可得在上存在零点； 选项B：由，可得在上存在零点； 选项C：，则其零点为， 但不存在实数满足，因而不能用二分法求此函数零点； 选项D：由，可得在上存在零点. 故选：ABD 3.用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，判断函数单调性，求出区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得出答案. 【详解】令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， ， 所以函数在区间上有唯一零点， 所以用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是. 故选：B. 4.用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，显然函数图象是连续的， 则有，，，，， 所以，，，， 故区间可以作为初始区间，故A，C，D错误. 故选：B. 5.在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设， 由二分法知当零点在时，取区间的中点1.6625，计算得 由知，下一步应当确定零点位于区间， 故选：A 6.已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件分析得到的单调性，然后根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，则的零点可知. 【详解】因为对任意，都有，且， 所以在上单调递增，且； 因为恒成立，所以，解得， 所以的零点为，故选：B. 7.已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】假设对区间二等分次，则第次二等分后区间长度为，由精确度可构造不等式求得结果. 【详解】设对区间二等分次，开始时区间长为 第次二等分后区间长为    ，即         ，解得： 当时，    最多需要次故选： 8.函数，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，，则方程的根落在区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据零点存在性定理求得正确答案. 【详解】，函数在上单调递增， 由，所以零点在区间内， 由，所以零点在区间内. 故选：C 9.函数 的零点与的零点之差的绝对值不超过，则的解析式可能是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据二分法，估算的零点，结合选项函数的零点进行判断. 【详解】因为，是单调增函数，又， 故的零点所在区间为，若使得的零点与的零点之差的绝对值不超过， 只需的零点在区间即可.显然A选项中，的零点为满足题意， 而选项B中的零点1，C选项中的零点0，D选项中零点均不满足题意.故选：A. 10.已知图像连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（    ） A．4 B．6 C．7 D．10 【答案】D 【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足精确度确定． 【详解】设需计算次，则满足，即． 由于，故计算10次就可满足要求， 所以将区间等分的次数至少是10次．故选：D． 11.用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数零点的存在性定理可知零点，结合对二分法的理解即可得出结果. 【详解】因为， 由零点存在性知：零点， 根据二分法，第二次应计算，即， 故选：D. 12.若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 【答案】C 【分析】根据二分法，结合表中数据，由于，方程的一个近似根所在区间为内，进而得到结果. 【详解】根据二分法，结合表中数据， 由于 所以方程的一个近似根所在区间为 所以符合条件的解为1.4 故选:C. 13.根据已给数据： x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.75 的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839 在精确度为0.1的要求下，方程的一个近似解可以为（ ） A． B．1.5 C．1.562 D．1.7 【答案】C 【解析】，即，令， 则， ， ， ， ， 根据零点存在性定理可知：，使， 又，故的一个近似解可以为：1.562.故选：C. 14.若函数的一个零点附近的函数值如下表： 则用二分法可求得方程的一个近似解（精确度为0.04）为（ ） A．1.5 B．1.375 C．1.4375 D．1.25 【答案】C 【解析】由表格中的数据，可知，， 且，所以方程的一个近似解可取1.4375.故选：C． 15.关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（       ） A．用二分法求方程的近似解一定可以得到在内的所有根 B．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的重根 C．用二分法求方程的近似解有可能得出在内没有根 D．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的精确解 【答案】D 【分析】根据二分法求近似解的定义，可得答案. 【详解】利用二分法求方程在内的近似解，即在区间内肯定有根存在，而对于重根无法求解出来，且所得的近似解可能是内的精确解． 故选：D. 16.用二分法求函数在区间上的零点，需求精确度为0．01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 【答案】D 【分析】原来区间的长度等于2，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，利用这一特征进行计算判断． 【详解】区间的长度等于2，每经过一次二分区间的操作，区间长度变为原来的一半，经过此操作后，区间长度变为 ，∵用二分法求函数在区间上的零点，需求精确度为0．01， 由，解得．故选：D． 17．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）． A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5 【答案】B 【分析】根据二分法求零点的步骤以及精确度可求得结果. 【详解】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度； 因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度； 所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知选B .故选：B 18．（多选）已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（ ） 1 2 3 4 5 6 A．在区间上不一定单调 B．在区间内可能存在零点 C．在区间内一定不存在零点 D．至少有个零点 【答案】ABD 【分析】根据零点存在性定理判断即可． 【详解】由所给表格可知，，，， 所以，，， 又函数的图象是一条不间断的曲线，所以函数在区间、、存在零点， 即至少有个零点，故D正确； 对于A，由于只知道，的函数值，故无法判断在区间上的单调性，故A正确； 对于B、C，虽然，，由于不知道函数在内的取值情况，所以函数在内可能存在零点，故B正确，C错误； 故选：ABD 19． 已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示： 0 1 0．5 0．75 0．625 0．5625 0．6875 0．65625 0．671875 -1 1 -0．375 0．1718 -0．1308 -0．2595 0．01245 -0．06113 -0．02483 要使零点的近似值精确到0．1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ） A． 6次0．7 B． 6次0．6 C． 5次0．7 D． 5次0．6 【答案】C 【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果． 【详解】由题意可知，对区间内，需要求解 的值，然后达到零点的近似值精确到，所以零点的近似解为， 共计算次．故选：C 题型13：函数等高问题 1.已知函数若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】画出的图像，如图所示 不妨设，则，所以（舍去）或者，所以 ，又因，所以 2.已知函数,若方程有四个不同解,且,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】画出的图像，如图所示 则，所以，所以 ，又因，所以， 因为，所以 3.已知函数，函数有四个不同的零点且满足： ，则的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】画出的图像，如图所示 则，，所以，因为，所以 所以 4.已知函数, 若， 互不相等，则的取值范围是          . 【答案】 【解析】画出的图像，如图所示 不妨设，则，又因，所以 5.已知函数若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点. 画出的大致图象，如图所示. 由图可知.不妨设，则，且. 所以，所以，则， 因为，所以，所以，所以， 所以.故选：A 6.设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】画出的图像，如图所示 不妨设，则关于对称，所以，且，所以 。 7.已知，若互不相等，且，则的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】画出的图像，如图所示 不妨设，则，所以（舍去）或者，所以 ，且，又，可得，所以 ，又因，可得，故选B 8.已知函数，实数且，满足，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】画出的图像，如图所示 因关于对称，所以，因关于对称，所以，且， 所以，设，则在上单调递增，所以 9已知函数的零点位于区间内，则整数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】因为函数与在上均为增函数， 所以函数在上为增函数，因为，，， 所以函数的零点位于区间内，故.故选：B. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 函数零点与方程的解 知识点一：函数的零点的概念 ①函数零点的定义 对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点. ②零点存在性定理: 一般地，如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根. 注意：连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. ③方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴　有交点⇔函数y＝f(x)有 零点　. 知识点二：二分法的概念 （1）对于在区间上连续不断且的函数，通过不断把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. （2）给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④. 知识点三：有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． (4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号． (5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点． 解题策略 1. 函数的零点与方程的解 (1)零点的定义：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. (2)方程的解、函数的零点、函数的图象之间的关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点. (3)函数零点存在定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解. 注： ①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点. ②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号. ③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号. ④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出. ⑤周期函数如果存在零点，则必有无穷多个零点. ⑥对于零点存在性定理，须知满足条件的零点可能不唯一；不满足条件时，也可能有零点. 2. 理解函数零点存在定理要注意三点： ①“函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线”和“f(a)f(b)<0”这两个条件缺一不可. 如图1仅满足前者，图2仅满足后者，两函数均无零点. 图1 　 　图2 ②定理不可逆，就是说满足了①中的两个条件的函数一定有零点，但是一个函数有零点，不一定需要具备这两个条件. 如图3中f(a)f(b)＞0，但函数有零点. 图3 　图4 ③该定理只能判断出零点的存在性，而不能判断出零点的个数. 至少存在一个零点，就是说满足了①中的两个条件的函数一定至少有一个零点，但不一定只有一个零点，可能有其它更多的零点，如图4，但若该函数是单调函数，则有唯一零点. 3. 确定函数的零点（方程的根）所在的区间 确定函数的零点（方程的根）所在的区间时，可以利用函数的零点存在性定理确定零点 所在的位置，是零点问题中最常见的一类题型，其要点是要保证函数在某个区间内是连续 的，且在这个区间两端点处的函数值为异号，也可以利用数形结合法，通过画函数图象与轴的交点来确定． 4. 函数零点个数的判断方法 （1）解方程法：令f（x）=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点． （2）零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性） 才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质． （3）数形结合法：一种是转化成函数图像与轴的交点个数，另一种是转化成两个函数的交点个数。如判断型函数的零点个数问题时，可采用数形结合的方法．转化为两个函数和的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 5. 已知函数零点所在区间求参数的取值范围 根据函数零点所在的区间求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步： ①判断函数的单调性； ②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式； ③解不等式，即得参数的取值范围．在求解时，注意函数图象的应用． 6. 已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法 （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 7. 已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围 已知零点个数求参数范围问题的主要解法：直接法、分离参数法、数形结合法.一般情况下，常利用数形结合法，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两函数图象的交点问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果． 8. 与函数零点有关的比较大小问题 与函数零点有关的函数值比较大小，可以通过函数性质结合零点存在性定理确定，也可考虑在同一平面直角坐标系中画出图象，根据交点及图象位置关系确定. 9. 嵌套函数的零点 （1）在复合函数中,我们把一个函数自身对自身复合所得到的函数叫做嵌套函数,也叫迭代函数.其中函数的零点问题是命题的热点求解时通常先“换元解套”将复合函数拆解为两个相对简单的函数,借助函数的图象、性质求解。 （2）四个命题 命题1函数在上有个零点方程在上有个解方程组在上有组解函数的图像与轴在上有个交点(其中). 命题2函数在上有个零点方程在上有个解方程组中在上有个解(其中). 命题3若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个 证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根;所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个 命题4若方程有个不同的实数根,且方程有个不同的实数根,则函数的零点共有个 证明因为是方程的根,所以,设为方程的不同的实数根,所以,所以也为方程不同的实数根,即为的零点.故函数的零点共有个 上述命题充分体现了四大数学思想,通过分类讨论和数形转换,不仅为图像法在解决函数零点问题中的运用提供理论保障,同时还为处理嵌套函数零点问题提供了求解方向,即研究内外层函数零点的情况。 （3）对于一般的“”的函数的零点问题,解答步骤是:(1)换元解套,令,则,从而将一个复合函数的零点问题拆解为两个相对简单的函数和的零点问题,(2)依次解方程,令解出的值,然后代入方程中解出的值.而由含参嵌套函数方程引起的参数范围问题,在上述解题要诀的基础上,让含参的值动起来,动静结合、数形结合、抓住临界位置进行求解。 （4）常见类型题如下： ①求嵌套函数的零点个数 关于嵌套函数方程的零点个数问题,可先换元解套,则,从而先由确定的解(或取值范围),再由通过数形结合确定的解的个数 ②求分段函数中参数的取值范围 ③求嵌套函数(或方程)中参数的取值范围 10. 用二分法求方程的近似解 (1)二分法：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： ①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)<0. ②求区间(a，b)的中点c. ③计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (i)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点； (ii)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c； (iii)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c. ④判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤②～④. 11. 数形结合思想的应用 数形结合思想是充分运用“数”的严谨和“形”的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过代数的论证、图形的描述来研究和解决数学问题的一种数学思想方法. 数形结合思想的应用包括以下两个方面：①“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；②“以数辅形”，把直观图形数量化，使形更加精确. 题型01：求函数零点 1．函数的零点是_________． 2．函数的零点是（    ） A． B． C． D．9 3．已知函数则方程的根___________. 4． e是自然对数的底数，的零点为______. 5.已知函数，则函数的零点为（ ） A． B．，0 C． D．0 （1）二次型零点：根的分布 1.若且，：二次函数有两个零点，且一个零点大于零，另一个零点小于零；则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.函数在上存在零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 4.已知函数的零点至少有一个大于0，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． （2）二次函数技巧：切线型 1.已知函数有4个零点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，若函数恰有三个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.设是定义域为的偶函数，且，当时， ，若函数有3个不同的零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4.已知函数的两个零点分别为，，其中，，则（    ） A． B． C． D． （3）利用中心对称求零点 1.已知函数图象的对称中心为，则的零点个数为（    ） A．2 B．1 C．4 D．3 2.定义在上的函数满足在上单调递增，，且图像关于点对称，则下列选项正确的是（    ） A．周期 B． C．在上单调 D．函数在上可能有2023个零点 3.定义域在上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点的和是（    ） A． B． C． D． 4.函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 （4）利用轴对称求零点 1.已知函数有唯一零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，现有如下说法：①函数的图象关于直线对称；②函数在上单调递减；③函数有两个零点．则其中正确说法的个数为（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 3.已知函数有唯一零点，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 4.已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 （5）利用周期求零点 1.定义在R上的函数满足，且当时，.则函数的所有零点之和为（    ） A．7 B．14 C．21 D．28 2.定义在R上的函数满足，且当时，，若在区间上函数恰有4个不同的零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 4.若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则函数y＝f(x)－log3|x|的零点个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 （6）水平线法求零点 1.设函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2..已知函数若函数有2个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，若函数恰有两个零点则实数的取值范围是(    ) A． B． C． D． 4.已知函数，则“”是“函数有两个零点”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 （7）分参法：对数函数与水平线法 1.已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，若有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知有两个不同零点a，b，则下列结论成立的是（    ） A．最小值为2 B．最小值为2 C．最小值为4 D．最小值为1 4.已知，函数有四个不同的零点，且满足：.则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． （8）内外复合型函数零点 1.已知函数和的定义域及值域均为，它们的图像如图所示，则函数的零点的个数为（    ） A．2 B．3 C．5 D．6 2.已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，则函数的零点为（    ） A． B． C．2 D．3 3.已知函数，，若有6个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4.已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （9）复合“一元二次型”零点 1.已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数，若函数有四个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，若函数有6个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则这6个零点之和为（    ） A．7 B．6 C． D． （10）“镜像”函数求零点 1.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．8 B．32 C．0 D． 2.已知若，则在内的零点个数为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3.已知函数则函数在上的零点个数为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 4.已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型02：函数的零点区间 1.函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 2.已知a是函数的零点，则函数的零点所在的区间为（　　） A． B． C． D． 3.函数的零点所在的大致区间是（ ） A． B． C． D． 4.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5.若则函数的两个零点分别位于区间 和内 和内 和内 和内 6.函数的零点所在的大致区间是（ ） A． B． C． D． 7.已知函数，则下列区间中含零点的是（       ） A． B． C． D． 8.函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 9.函数的零点所在的区间为（    ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） 10.函数零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 11.已知函数在下列区间中，包含零点的区间是（    ） A． B． C． D． 12.函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 13.函数的零点所在的一个区间是（    ） A． B． C． D． 14.方程的解所在的区间为（    ） A． B． C． D． 15.设函数与的图象交点为，则所在区间是（    ） A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 16.已知，均为上连续不断的曲线，根据下表能判断方程有实数解的区间是（    ） x -1 0 1 2 3 -0.670 3.011 5.432 5.980 7.651 -0.530 3.451 4.890 5.241 6.892 A． B． C． D． 17.二次函数的部分对应值如下表： -3 -2 -1 0 1 2 3 4 6 -4 -6 -6 -4 6 可以判断方程的两根所在的区间是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 18.函数在区间上的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 19.在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ） A． B． C． D． 20.已知曲线与轴交于点，设经过原点的切线为，设上一点横坐标为，若直线，则所在的区间为（    ） A． B． C． D． 21.设函数,则函数(　). A.在区间内均有零点 B.在区间内均无零点 C.在区间内有零点,在区间内无零点 D.在区间内无零点,在区间内有零点 22.函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 23.方程的实数根所在的区间是（    ） A． B． C． D． 24．设,,则函数存在的零点所在的区间一定为(　　).　　　 　　　　　　 A． B． C． D． 25.对于定义在R上的函数，若存在非零实数，使在和上均有零点，则称为的一个“折点”，下列四个函数存在“折点”的是（ ） A． B． C． D． 26.已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（    ） A． B． C． D． 题型03：判断零点个数 （1）解方程法 1.已知函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2.函数在区间内的零点个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.关于函数有下述四个结论： ①是偶函数；         ②在区间上单调递增； ③在上有4个零点；     ④的值域是. 其中所有正确结论的编号是（    ） A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ （2）零点存在性定理法 1.已知奇函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线．若，则函数在区间内的零点个数至少为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知函数的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表： 1 2 3 4 5 0.37 2.72 0 则函数在区间上的零点至少有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表： x 1 2 3 4 136.136 15.552 10.88 x 5 6 7 11.238 由表可知，函数存在零点的区间至少有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4.已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（    ） 1 2 3 4 5 6 A．在区间上不一定单调 B．在区间内可能存在零点 C．在区间内一定不存在零点 D．至少有个零点 （3）数形结合法 1.函数的零点个数是（    ）． A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2.函数的零点个数是（    ） A． B． C． D． 3.函数的零点个数为__________. 4.已知函数，则在上的零点个数为________． 5.已知函数，则函数的零点个数为___________. 6.已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.已知函数的零点个数为___________. 8.若函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9.已知函数则解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10.已知函数满足：当时，，且对任意都成立，则方程的实根个数是______． 11.已知函数的周期为2，当时，．如果，那么的零点个数是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 12.已知为定义在上的奇函数，当时，单调递增，且，，，则函数的零点个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 （4）巩固练习 1.已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 2.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（   ）（参考数据：.） A．1 B．2 C．0 D． 3.设是定义在上的奇函数，且当时，，则的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.若函数()满足，且时，，函数则函数在区间内零点的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5.已知，则的零点之和为（    ） A． B． C． D． 6.函数的零点个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7.已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，设函数，则函数的零点个数为（    ） A．6 B．8 C．12 D．14 8.函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 9.方程根的个数为（ ） A．无穷多 B．3 C．1 D．0 10.函数的零点个数为(　　) A．0　　 　B．1　　 　C．2　　 　D．3 11.函数的零点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 12.若函数，函数的零点个数是___________. 13.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的零点个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 14.已知函数的周期为2，当时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有 A．10个 B．9个 C．8个 D．1个 15.奇函数f(x)、偶函数g(x)图象分别如图1、2所示，方程f(g(x))＝0、g(f(x))＝0的实根个数分别为a、b，则a＋b等于(　　) A 14 B. 10 C. 7 D. 3 16.函数零点的个数为（ ） A． B． C． D． 17.函数的零点个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 18.设函数,则函数的零点的个数为 A．4 B．5 C．6 D．7 19.定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（       ） A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有三个解 C．方程有且仅有九个解 D．方程有且仅有一个解 20.函数有_______个零点． 21.设函数是定义在R上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（其中）恰有3个不同的零点，则实数a可能的取值有（ ）． A．5 B．6 C．7 D．9 22．函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 23.设，函数. （1）讨论函数的零点个数； （2）若函数有两个零点，求证：. 题型04：已知函数零点求值 1.已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 2.已知是函数的一个零点，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.若函数的零点为，则（    ）． A． B．1 C． D．2 4.已知函数（）有两个零点-1和m，若存在实数，使得，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 题型05：根据零点所在区间求参数的取值范围 1.已知函数的零点，，则______． 2.已知方程的解在内，则（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是______． 4.已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________. 6.已知函数在区间（1，＋∞）内没有零点，则实数a的取值可以为（    ） A．－1 B．2 C．3 D．4 7.设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________． 8.设函数，若函数在上存在零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.函数在内有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.设函数，.若在有零点，则实数的取值范围为（    ） A．[-1，+ ∞) B．[ ，+ ∞) C．[，+ ∞) D．[0，+ ∞) 11.已知函数在区间上有零点，则的最小值为___________. 12.已知函数是R上的奇函数，若函数的零点在区间内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13.已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是(    ) A． B． C． D． 14.若函数在区间内恰有一个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15.函数的一个零点在区间内，则实数a的可能取值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 16.设函数，，若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型06：求由零点组成代数式的值或者取值范围 1.设满足，满足，则（    ） A．1 B． C． D． 2.若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（    ） A．1 B．2023 C． D．4046 3.函数在区间上的所有零点之和为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 4.已知函数，若存在实数，满足，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.函数所有零点之和为（    ） A． B． C． D． 6.设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.已知函数 若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型07：根据函数零点的个数求参数的取值范围 1.已知函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2.已知函数有且只有1个零点，则实数的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．已知函数恰有一个零点，则实数a的取值范围为______． 4.已知函数有唯一零点，则实数（    ） A．1 B． C．2 D． 5.已知关于的函数有唯一零点，则（    ） A． B．3 C．或3 D．4 6.已知函数有唯一零点，则（     ） A． B． C． D． 7.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________． 8.已知，则“”是“有两个不同的零点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9.若方程，且有两个不同实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.已知函数.若函数存在零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 11.若函数有唯一零点，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．1 12.若关于x的方程有四个不同的实数解，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13.已知函数，若函数恰有三个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14.已知函数，若关于x的方程在区间上有两个不同的实根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15.已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16.设表示不超过的最大整数，如，已知函数，若方程有且仅有个实根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 17.已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18.设函数 ①当时， _________； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是_________． 19.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20.已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21.已知函数 ①函数的零点个数为__________． ②若存在实数b，使得关于x的方程有三个不同的根，则实数m的取值范围是__________． 22.已知函数，函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是 _______． 23.已知，，若方程有四个不同的实数根，则满足上述条件的a值可以为（    ） A． B． C． D．1 24.已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A．（1，3） B．（2，4） C． D． 25.已知函数，若关于x的方程有四个实数根，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 26.已知函数，若方程有四个不同实数解，则实数的取值范围为_________. 27.函数，若函数有6个不同零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 28.已知函数，，若存在唯一的整数，满足，则实数的取值范围是________. 29.设函数,若关于的方程恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 30.已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 31.已知函数，若函数有3个零点，则实数m的取值范围（ ） A． B． C．（0，1） D． 32.若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0<m≤1 33.已知是定义在上且周期为3的函数，当时，，若函数在区间上有10个不同的零点，则实数的取值范围是_______ 34．设为实数，函数在上有零点，则实数的取值范围为________． 35．已知函数的零点为，满足，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 36．已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 37．已知函数，则f(6)=________；若方程在区间有三个不等实根，实数a的取值范围为________. 38.已知方程的解在内，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 39．已知函数，若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是________． 40．在下列区间中，函数的零点所在的区间可能为（ ） A． B． C． D． 41．（多选）已知有两个零点，且，则下列说法正确的有（ ） A． ， B． C． 若，则的最小值为 D． 且，都有 42．若函数满足，当时，，若在区间上，方程有两个实数解，则实数的取值范围为是（ ） A． B． C． D． 43．已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 44.已知函数，若关于的方程恰有三个实数解，则实数的取值集合为______． 45．已知函数． （1）若函数的零点在区间上，求正整数k的值； （2）记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围． 题型08：与零点相关的比较大小问题 1.设，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2.已知是自然对数的底数，函数的零点为，函数的零点为，则下列不等式中成立的是 A． B． C． D． 3.已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（    ） A． B． C． D． 4.已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 5.已知函数，，的零点分别为，，，则（    ）． A． B． C． D． 6.已知，且是方程的两实数根，则，，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7.已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（    ） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n 8.已知函数的零点分别为a，b，c，则有（    ） A． B． C． D． 9.已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 11.已知函数，，的零点依次为，则（    ） A． B． C． D． 12．若，则下列不等关系一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 13.已知函数的两个零点分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 14.已知函数，的零点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 15.已知函数，若，且，则（    ） A． B． C． D． 有3个零点，，，且，则（    ） A． B． C．D． 题型09：求零点的和 1.已知函数，则的所有零点之和为（ ） A． B． C． D． 2.函数的所有零点之和为（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 3.函数的所有零点之和为______． 4.已知是定义在上的奇函数，满足，当时，，则在区间上所有零点之和为__________. 5.定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______. 6.函数是定义在R上的奇函数，当时，，则函数在上的所有零点之和为（    ） A．－32 B．32 C．16 D．8 7.已知函数是定义域为的偶函数，且满足，当时，，（），则函数所有零点的和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 8.定义在上的奇函数满足，且当时，，则函数的所有零点之和为______. 9.已知函数，若关于的方程恰有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________；若三个不相等的实数根分别为，则的取值范围是__________. 10．已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则________ 12.已知为奇函数，函数与的图像关于对称，若，则（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 13.已知定义在R上的函数满足，若函数与的图象有m个交点，则( ) （注） A. B. C. D. 14.已知函数，函数满足，若函数有10个零点，则所有零点之和为___________． 15.已知函数满足，若方程有个不同的实数根，则（ ） A. B. C. D. 题型10：嵌套函数的零点问题 1．函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2.已知函数，函数恰有5个零点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 4.已知则函数的零点个数是______． 5.已知定义在上的函数是偶函数，当时，，若关于的方程有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 7.定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为 A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或6 8.若函数，则方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 10.已知函数，则关于的方程实数解的个数为（    ） A．4 B．5 C．3 D．2 11.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值是（   ） A． B． C．0 D． 12.已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 13.已知函数则函数的所有零点之和为（    ） A．2 B．3 C．0 D．1 14.已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15.已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16.已知函数，设函数，则下列说法正确的是（    ） A．若有4个零点，则 B．存在实数t，使得有5个零点 C．当有6个零点时．记零点分别为，且，则 D．对任意恒有2个零点 （一）：构造二次函数与对数函数关系 1.已知函数有三个不同的零点，且．则实数的值为（    ） A． B． C．－1 D．1 2.已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（    ） A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9 3.已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． （二）：构造二次函数与指数函数关系 1.已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．36 2.已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．16 3.设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且 则的值是（    ） A．81 B．-81 C．9 D．-9 4.已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（    ） A．1 B． C． D． （三）构造二次函数与三角函数关系 1.已知函数，且关于的方程有三个不相等的实数解，，.若，则的值为 . 2.已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 3．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为 A． B． C． D． 4．若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D．1 8．已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为 ． 9．已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为 ． 10．已知函数有四个不同的零点，且四个零点全部大于1，则的值为 ． 11．已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是 ；的值为 . 12．已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是 ；的值为 ． 13．已知函数（），，若方程有三个实根、、，且，则的值为 . 14．已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为 . 题型11：函数零点的综合应用 1.已知实数，满足，，则________. 2.若曲线有两条过的切线，则a的范围是______. 3.已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是________． 4.已知函数恰有两个零点，和一个极大值点，且，，成等比数列，则__________；若的解集为，则的极大值为__________． 5.设随机变量，函数没有零点的概率是，则_____________附：若，则，． 题型12：用二分法求方程的近似解 1.下列函数中，不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2.下列函数中，能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 3.用二分法求方程近似解时，所取的第一个区间可以是（    ） A． B． C． D． 4.用二分法求方程的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（    ） A． B． C． D． 5.在用二分法求函数零点的近似值时，若某一步将零点所在区间确定为，则下一步应当确定零点位于区间（    ） A． B． C． D． 6.已知函数满足：对任意，都有，且.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，又，则函数的零点为（    ） A． B． C． D． 7.已知函数的一个零点，用二分法求精确度为0.01的的近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 8.函数，用二分法求方程在内近似解的过程中得，，，，，则方程的根落在区间（    ） A． B． C． D． 9.函数 的零点与的零点之差的绝对值不超过，则的解析式可能是 A． B． C． D． 10.已知图像连续不断的函数在区间上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间等分的次数至少是（    ） A．4 B．6 C．7 D．10 11.用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 12.若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表： 那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（    ） A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5 13.根据已给数据： x 1.5 1.53125 1.5625 1.625 1.75 的近似值 5.196 5.378 5.565 5.961 6.839 在精确度为0.1的要求下，方程的一个近似解可以为（ ） A． B．1.5 C．1.562 D．1.7 14.若函数的一个零点附近的函数值如下表： 则用二分法可求得方程的一个近似解（精确度为0.04）为（ ） A．1.5 B．1.375 C．1.4375 D．1.25 15.关于用二分法求方程的近似解，下列说法正确的是（       ） A．用二分法求方程的近似解一定可以得到在内的所有根 B．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的重根 C．用二分法求方程的近似解有可能得出在内没有根 D．用二分法求方程的近似解有可能得到在内的精确解 16.用二分法求函数在区间上的零点，需求精确度为0．01时，所需二分区间的次数最少为（ ） A． 5 B． 6 C． 7 D． 8 17．若函数的一个正零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度0.1）为（ ）． A．1.2 B．1.4 C．1.3 D．1.5 18．（多选）已知函数的图象是一条不间断的曲线，它的部分函数值如下表，则（ ） 1 2 3 4 5 6 A．在区间上不一定单调 B．在区间内可能存在零点 C．在区间内一定不存在零点 D．至少有个零点 19． 已知函数在内有一个零点，且求得的部分函数值数据如下表所示： 0 1 0．5 0．75 0．625 0．5625 0．6875 0．65625 0．671875 -1 1 -0．375 0．1718 -0．1308 -0．2595 0．01245 -0．06113 -0．02483 要使零点的近似值精确到0．1，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ） A． 6次0．7 B． 6次0．6 C． 5次0．7 D． 5次0．6 题型13：函数等高问题 1.已知函数若a，b，c互不相等，且，则abc的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 2.已知函数,若方程有四个不同解,且,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.已知函数，函数有四个不同的零点且满足： ，则的取值范围为 A. B. C. D. 4.已知函数, 若， 互不相等，则的取值范围是          . 5.已知函数若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________． 7.已知，若互不相等，且，则的范围是（ ） A． B． C． D． 8.已知函数，实数且，满足，则的取值范围是_________． 9已知函数的零点位于区间内，则整数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$