3.1.1函数的概念 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

本文围绕函数的概念展开教学设计，承接初中函数基础，为后续深入学习函数奠基。通过创设多个现实情境引导学生抽象概括函数概念，培养学生用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达现实世界的核心素养。 该设计亮点在于紧密联系生活实际，采用情境教学法。从学生层面看，提升其抽象概括等能力；从教师层面看，提供清晰授课路径；从课堂效果看，有效突破函数概念理解这一教学难点。

3.1.1 函数的概念 教学设计 教学目标 （1）能正确理解函数的概念，能用集合与对应的语言刻画函数, 体会对应关系在刻 画函数概念中的作用； （2）能正确理解的意义 （3）会判断相等函数； （4）通过实际的问题抽象概括函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般 ”的分析问题的 能力，培养学生的抽象、类比、归纳、概括能力。 教学重难点 教学重点：体会函数是描绘变量之间依赖关系的重要数学模式,能用集合与对应 的语言来刻画函数. 教学难点：函数的概念及符号 y = f(x) 的理解. 教学准备 PPT 课件 教学流程设计 一 问题引入 客观世界中有各种各样的运动变化现象。例如，天宫二号在发射过程种，离发射点的距离随时间 的变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低......所有这 些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把 握相应的运动变化规律. 问题 1：初中数学中函数的定义是什么？ 已经学过哪些函数？ 师生活动：回顾初中函数的定义. 教师活动:强调函数的概念是刻画变量之间对应关系的数学模型，初中已经有了函数的定义，为什么 高中还要定义函数的概念呢？ 二 创设情境，探究发现 （一）函数的概念 1 情境 1：问题 1 某“复兴号 ”高速列车到 350km/h 后保持匀速运行半小时。这段时间内，列车行 进的路程 S（单位：km）与运行时间 t（单位：h）的关系可以表示为 S=350t。 t 的变化范围是数集 A={t|0≤t≤0.5}， S 的变化范围是数集 B={S|0≤S≤175}。 对于 A 中的任一时刻 t，按照对应关系S=350t，在 B 中都有唯一确定的路程 S 和它对应。 情境 2：如图，是北京市 2016 年 11 月 23 日的空气质量指数变化图。你认为这里的空气质量指数 I 是时刻 t 的函数吗？ t 的变化范围是数集 A={t|0≤t≤24}， I 的变化范围是数集 B={I|0<I<150}。 对于 A 中的任一时刻 t，按照曲线所给的对应关系，在 B 中都有唯一确定的 I 和它对应。 情境 3：国际上常用恩格尔系数 r 反 映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。下表是我国某省城镇居民恩格尔 系数变化情况，你认为该表给出的对应关系，恩格尔系数 r 是年份 y 的函数吗？ y 的取值范围是数集 A={2006,2007,2008,2009,2010,2011,2012,2013,2014,2015}， r 的取值范围是数集 B={r|0<r≤1}。 对于 A 中的任一年份 y，按照表格中的对应关系，在 B 中都有唯一确定的r 和它对应。 教师活动：提出问题并让学生讨论 通过对上述情境 1 -情境4 的探讨，上述情境中的函数有哪些共同特征？ 由此你能概括出函数概念 的本质特征吗？ 学生活动：思考并发现规律. 2 交流形成概念： 在教师启发点拨下归纳得出 3 个情境的共同属性： （1）都包含两个非空数集, 用 A, B 来表示； （2）都有一个对应关系（解析式、图像、表格等）； （3）对于数集 A 中的任意一个数 x, 按照对应关系, 在数集 B 中都有唯一确定的数 y 和它对 应. 定义：设 A、B 是非空数集，如果对于集合 A 中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在集 合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，就称 f : A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作：y=f(x) , x∈A x 叫做自变量，x 的所有取值组成的集合 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，所有函数值组成的集合{y|y=f(x), x∈A}叫做函数的值域。 3 变式思考，解决问题 （1）下图中能表示函数关系的是 ( ) （2）如图可作为函数 y ＝f(x)的图象的是 ( ) （二）函数的三要素 包括：定义域、对应关系、值域 （三）常见函数的定义域值域 同一函数定义：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值 也相同，那么这两个函数是同一个函数。 （四）延伸 例.函数解析式是舍弃问题的实际背景抽象出来的。它所反应的两个变量之间的关系，可以广泛地刻 画一类事物中的变量关系和规律。例如，正如正比例函数 y=kx(k≠0)可以用来刻画匀速直线运动中 路程和时间的关系，一定密度的物体质量与体积的关系，圆的周长与半径的关系等。 试构建一 个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 y=x(10-x)来描述。 （五）小结及作业 本节课你有哪些收获？体会到了什么数学思想？ 学科网（北京）股份有限公司 $$