专题06 等式性质与不等式性质8种常见考法归类讲义-2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升人教A版必修第一册

2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题06 等式性质与不等式性质8种常见考法归类 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 用不等式(组)表示不等关系 考点二 数（式）大小的比较 （一）作差法比较大小 （二）作商法比较大小 考点三 不等式的实际应用 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 考点八 利用不等式的性质求范围 知识点1：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点2：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点3：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点4：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 考点一 用不等式(组)表示不等关系 策略方法 1、不等式a≤b的含义 a≤b的含义是a<b或a＝b.不是a<b与a＝b同时成立，该不等式才成立． 2、将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量． ②用适当的不等号连接． ③多个不等关系用不等式组表示． 3、利用不等式表示不等关系时的注意点 (1)比较大小的两个量必须具有相同的性质才可以用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．　 4、常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 题型训练 1．（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 考点二 数（式）大小的比较 策略方法 1、比较两个实数的大小 基本方法有作差法、作商法、平方法，如下表： 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 注：（1）作差法比较两个实数大小的基本步骤图示如下： （2）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 （3）介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 题型训练 （1） 作差法比较大小 5．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了. (1)用数学中的不等式解释这一现象； (2)证明（1）中的不等式. （2） 作商法比较大小 9．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 10．（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 11．（20-21高一上·上海·课后作业）设，． （1）证明：介于与之间； （2）判断，哪个更接近于，并说明理由． 12．（2025高一·上海·专题练习）已知，比较与的大小 考点三 不等式的实际应用 策略方法 不等式的实际应用 解决决策优化型应用题时，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个,然后再比较它们的大小即可．　 题型训练 13．（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 14．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若某户住宅的窗户面积与地板面积的总和为132，则这户住宅的地板面积最多为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由. 15．【多选】（25-26高三上·辽宁·阶段练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 策略方法 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 题型训练 16．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 18．【多选】（24-25高一上·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高二下·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）设，，则下列条件可断定的是（  ） A．且 B．或 C．且 D．或 23．【多选】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 策略方法 利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (3)注意正确的倒数法则，应该是a>b，ab>0⇒<，不能误认为是a>b⇒<，在应用时不能出错．　 题型训练 24．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 25．（24-25高二下·福建·期末）若R，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 26．【多选】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 27．【多选】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 策略方法 “利用不等式的性质比较大小” 与 “充分、必要条件” 的关联：前者是通过不等式性质（作差法、作商法等）确定两个量的大小关系，后者是判断这种大小关系与给定条件之间的逻辑推导关系。 题型训练 28．（24-25高二下·吉林长春·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 29．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知、，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 30．（24-25高二下·安徽合肥·期末）“”是“”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 31．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 32．（24-25高二下·浙江·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 策略方法 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 题型训练 33．（2024高一上·全国·专题练习）若，，证明：． 34．（2024高一上·全国·专题练习）已知，，求证． 35．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 36．（2025高三·全国·专题练习）若，求证：． 37．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 考点八 利用不等式的性质求范围 策略方法 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 题型训练 38．【多选】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 39．【多选】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 41．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A．B． C． D． 42．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知实数，满足，，则范围是 43．【多选】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 $$2025年《考点通关》新高一暑假数学素养提升讲义（人教A版2019必修第一册） 专题06 等式性质与不等式性质8种常见考法归类 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 用不等式(组)表示不等关系 考点二 数（式）大小的比较 （一）作差法比较大小 （二）作商法比较大小 考点三 不等式的实际应用 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 考点八 利用不等式的性质求范围 知识点1：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点2：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点3：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点4：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 考点一 用不等式(组)表示不等关系 策略方法 1、不等式a≤b的含义 a≤b的含义是a<b或a＝b.不是a<b与a＝b同时成立，该不等式才成立． 2、将不等关系表示成不等式(组)的思路 ①读懂题意，找准不等式所联系的量． ②用适当的不等号连接． ③多个不等关系用不等式组表示． 3、利用不等式表示不等关系时的注意点 (1)比较大小的两个量必须具有相同的性质才可以用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示． (2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．　 4、常见的文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多，不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 题型训练 1．（25-26高一上·全国·单元测试）中国国家铁路集团有限公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为（单位：），若体积不超过，用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据已知写出不等式即可. 【详解】由长、宽、高之和不超过，得， 由体积不超过，得． 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【分析】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和不小于总个数即得． 【详解】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件，则． 故不等关系表示为． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【分析】根据题意可得，以及菜园面积，即可得不等关系. 【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车，根据需要，A型汽车至少买5 辆，B型汽车至少买6 辆，设购买A型汽车和B型汽车分别为x辆，y辆，写出满足上述所有不等关系的不等式组 . 【答案】 【分析】根据题意列式即可. 【详解】由题意得，即. 故答案为：. 考点二 数（式）大小的比较 策略方法 1、比较两个实数的大小 基本方法有作差法、作商法、平方法，如下表： 作差法 作商法 平方法 依据 a－b>0⇔a>b； a－b＝0⇔a＝b； a－b<0⇔a<b a>0，b>0，则>1 ⇔a>b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a<b a<0，b<0，则>1 ⇔a<b； ＝1⇔a＝b；<1 ⇔a>b a2>b2，且a>0，b>0⇒a>b 注：（1）作差法比较两个实数大小的基本步骤图示如下： （2）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 （3）介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 题型训练 （1） 作差法比较大小 5．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差比较法求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法可得出的大小关系． 【详解】因为，所以． 故选：C. 7．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）比较下列各组中两式的大小： (1)设，，比较，大小； (2)当时，比较与的值的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】作差法比较即可 【详解】（1）， 则. （2）， 则 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）如图，图片中为初中化学实验试题. 已知不饱和的盐水中含有氯化钠，若再加入 氯化钠并能完全溶解，则盐水变得更咸了. (1)用数学中的不等式解释这一现象； (2)证明（1）中的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 利用浓度的变大来解释变咸了； 利用作差法来证明不等式即可. 【详解】（1）因为， 所以盐水中含有氯化钠的浓度变大了，则盐水变得更咸了. （2）由， 因为，所以， 即. （2） 作商法比较大小 9．（21-22高一上·上海徐汇·阶段练习）已知，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用两个数都大于0,直接利用作商比较其大小即可. 【详解】， ，. 两数作商 ， . 10．（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 11．（20-21高一上·上海·课后作业）设，． （1）证明：介于与之间； （2）判断，哪个更接近于，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）更接近于，理由见解析 【分析】 （1）只要证明即可； （2）用来刻画与的接近程度，然后比较与的大小即可． 【详解】（1）证：∵， ∴介于，之间； （2）解：∵， ， 更接近于． 【点睛】本题主要考查比较代数式大小的方法，常用作差法或作商法，属于基础题． 12．（2025高一·上海·专题练习）已知，比较与的大小 【答案】 【分析】利用作商法比大小. 【详解】, 同理，, 从而， 即>. 考点三 不等式的实际应用 策略方法 不等式的实际应用 解决决策优化型应用题时，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个,然后再比较它们的大小即可．　 题型训练 13．（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)答案见详解 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 14．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. (1)若某户住宅的窗户面积与地板面积的总和为132，则这户住宅的地板面积最多为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，住宅的采光效果是变好了还是变坏了？请说明理由. 【答案】(1) (2)变好了，理由见解析 【分析】（1）根据已知列出关系式，即可得出答案； （2）作差法比较，即可得出答案. 【详解】（1）设窗户面积与地板面积分别为， 由已知可得，， 所以有，. 所以，这户住宅的地板面积最多为120平方米. （2）假设同时增加的面积为， 则. 因为，， 所以， 所以，， 所以，. 所以，住宅的采光效果变好了. 15．【多选】（25-26高三上·辽宁·阶段练习）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积．但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．现欲在原设计方案的基础上，同时增加住宅的窗户面积和地板面积，则下列有关说法正确的是（   ） A．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好 B．若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变差 C．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 D．若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差 【答案】AD 【分析】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即，结合作差法逐项判断即可. 【详解】设窗户面积与地板面积分别为、，由题意可知，即， 按采光标准，窗户面积与地板面积的比值，且当越大时，住宅的采光条件越好． 对于AB选项，当时，， 故，所以若增加的窗户面积和地板面积相同，则住宅的采光条件一定变好，A对B错； 对于C选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 若，则，此时住宅的采光条件不变，C错； 对于D选项，若增加的窗户面积为，则增加的地面面积为， 故， 所以若增加的窗户面积和地板面积比值为，则住宅的采光条件一定变差，D对. 故选：AD. 考点四 由已知条件判断所给不等式是否正确 策略方法 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 题型训练 16．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知，下列不等式中一定成立是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举反例判断ABC即可，利用不等式性质判断； 【详解】对A：当时不成立，故A错误； 对B：当时不成立，故B错误； 对C：当时不成立，故C错误； 对D：因为，所以，则，即成立，故D正确. 故选：D. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式性质即可分析判断AC；举反例即可判断BD. 【详解】因为，所以，则，A错误； 当，，时满足，此时，B错误； 由，，得，C正确； 当时，，此时，D错误． 故选：C 18．【多选】（24-25高一上·福建泉州·期中）若，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作差，由不等式的性质判断ABD选项，举反例排除C选项. 【详解】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 19．（24-25高二下·江西·期末）已知，则下列式子一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 20．（24-25高二下·北京昌平·期末）已知 ，，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 综上，，因此选项A错误，选项B正确； 因为，所以， 因为，所以， 综上，和无法判断正负，故选项C错误，选项D错误. 故选：B. 21．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知正实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分和两种情况讨论，当时，，当时，；由此可以直接判断AB选项，取特殊值排除C选项，对D选项，由得，再分和两种情况证明. 【详解】A选项，当时，，此时即， 当时，，此时即，所以A错误； B选项，当时，，成立， 当时，，，所以B错误； C选项，当时，取，此时，不满足， 当时，取，此时，不满足，故C错误； D选项，等价于， 当时，，，此时， 当时，，，此时，D正确； 故选：D. 22．（24-25高二下·浙江杭州·阶段练习）设，，则下列条件可断定的是（  ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据不等式的性质化简即可得解. 【详解】由可知，则，等价于“且”. 故选：A. 23．【多选】（24-25高二下·江苏常州·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不等式的性质通过作差法，及幂函数的单调性逐个判断即可. 【详解】因为，则，A错误； 选项B： 因为，所以，，则，所以，故B正确. 因为，所以，故C正确. 因为，所以幂函数在单调递减， 所以，D错误， 故选：BC 考点五 利用不等式的性质判断命题的真假 策略方法 利用不等式性质判断命题真假的注意点 (1)运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质． (2)解有关不等式的选择题时，也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算． (3)注意正确的倒数法则，应该是a>b，ab>0⇒<，不能误认为是a>b⇒<，在应用时不能出错．　 题型训练 24．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若且，则 C．若且则； D．若， 则 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例来判断. 【详解】对于A；由，可知，所以，故A正确； 对于B；由可得：，因为，所以，故B正确； 对于C；由可得：，又因为所以，故C正确； 对于D；取，则故D错误； 故选：D. 25．（24-25高二下·福建·期末）若R，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】A.，不成立；B.作差法判断结论；C. ，可得到；D．时，不成立 【详解】对于A，当时，不成立，A错误 对于B，，， ， ，，即，B正确 对于C，，，，C错误 对于D，当时，，D错误 故选：B 26．【多选】（24-25高一下·贵州六盘水·期末）下列选项为真命题的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】对A，举反例说明；对B，利用作差比较法和不等式性质求解判断；对C，根据不等式性质判断；对D，根据不等式性质判断. 【详解】对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，若，则，所以， 即，又，故，故B正确； 对于C，因为，所以，故C正确； 对于D，因为，所以，又，则，故D正确. 故选：BCD. 27．【多选】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质判断A，利用作差法判断BCD. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B不正确； 对于C，因为，所以，，故C正确；对于D，因为，所以，故D不正确． 故选：AC 考点六 不等式的性质与充分、必要条件 策略方法 “利用不等式的性质比较大小” 与 “充分、必要条件” 的关联：前者是通过不等式性质（作差法、作商法等）确定两个量的大小关系，后者是判断这种大小关系与给定条件之间的逻辑推导关系。 题型训练 28．（24-25高二下·吉林长春·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】， 但满足，不满足， 因此应为充分不必要条件， 故选：A. 29．（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知、，则“”是“”的（　　）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】当时，满足，但， 所以由不能得到. 当时，由不等式的基本性质得， 所以由能推出. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 30．（24-25高二下·安徽合肥·期末）“”是“”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】由充分条件和必要条件的概念，结合不等式性质分别判断即可. 【详解】由，当时，则，故充分性不成立； 由，可知，所以，故必要性成立. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 31．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】若，，则，则， 反之，若，则， 又，所以，即，此时不一定成立， 比如，此时， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D 32．（24-25高二下·浙江·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】若，则，则，即； 若，则，则，即， 故“”是“”的充要条件. 故选：C 考点七 利用不等式的性质证明简单的不等式 策略方法 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 题型训练 33．（2024高一上·全国·专题练习）若，，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴，则有：， 又∵， ∴． 34．（2024高一上·全国·专题练习）已知，，求证． 【答案】证明见解析． 【分析】利用不等式的性质证明． 【详解】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 35．（24-25高一上·全国·课前预习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，即可得证. 【详解】证明：因为，所以，，， 所以， 所以，即， 所以． 36．（2025高三·全国·专题练习）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用不等式的基本性质和作差比较法即可证明. 【详解】因，则由 ， （当且仅当时等号成立）； 又因， 则；同理可证， 故可得（当且仅当时等号成立）. 故原不等式得证． 37．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 考点八 利用不等式的性质求范围 策略方法 利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围． 注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围． 题型训练 38．【多选】（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】应用不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：由，，得，故，错； B：由，得，而，故，对； C：由，，得，错； D：由，得，而，则，对. 故选：BD 39．【多选】（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】AB选项，利用不等式的性质直接进行求解；CD选项，先利用表达出和，结合求出答案. 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 40．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，． (1)求的取值范围． (2)若将条件变为“，”． （i）求的取值范围； （ii）求的取值范围． 【答案】(1)； (2)（ⅰ）；（ii）． 【分析】（1）应用不等式的性质及已知求目标式的范围； （2）（i）联立已知不等式即可求范围；（ii）法一：首先求得，再由不等式性质求范围；法二：应用换元法及法一的过程求范围. 【详解】（1）因为，所以，又，所以． 因为，所以． （2）（i），，两式相加得，解得， 所以的取值范围为． （ii）法一：令，所以， 所以则所以． 因为，，所以，， 所以． 法二：令则且 所以． 由得，， 所以，即. 41．（2025高三·全国·专题练习）（多选）已知实数a，b满足，，则（    ） A．B． C． D． 【答案】BC 【分析】由不等式的性质逐一验算各个选项即可求解. 【详解】记①，②，因为， 所以由①②得，A错误，B正确； 由①，②得，， 两式相加得，所以，C正确，D错误． 故选：BC. 42．（24-25高二下·河北邢台·阶段练习）已知实数，满足，，则范围是 【答案】. 【分析】变形,利用不等式的可加性结合题设条件即可求的范围. 【详解】由题意，实数，满足，， 令，即， 可得，解得，所以， 则，， 所以. 故答案为：. 43．【多选】（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【详解】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. $$