专题05 一元二次方程的概念（基础全掌握，30题）-【尖子生培优】2024-2025学年八年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题05 一元二次方程的概念（基础全掌握，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海闵行·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海金山·期中）若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（      ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A．； B．； C．； D．． 4．（23-24八年级上·上海·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（    ） A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0 C．x2＋﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0 6．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 8．（22-23八年级上·上海·阶段练习）下列方程中，一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 9．（22-23八年级上·上海松江·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，可用“降次法”求得的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 二、填空题 10．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）已知方程有一根为，那么 ． 11．（22-23八年级上·上海静安·期中）如果，则方程必有一解为 ． 12．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知一元二次方程的一根为0，则 ． 13．（23-24八年级上·上海静安·名校周测）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ． 14．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）关于x的方程，当m 时，此方程为一元二次方程． 15．（23-24八年级上·上海静安·阶段练习）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 16．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝ ，n＝ ． 17．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，则﹣＝ ． 18．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 19．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的一元二次方程的一个根为1，那么多项式 可分解为 ． 20．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为 ． 21．（23-24八年级下·上海·阶段练习）若，是方程的两根，则的值为 ． 22．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 三、解答题 23．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值． 24．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是和，那么，． 例如：方程的两根分别是和，则，． 请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题： (1)已知方程的两根分别是和，则______，______． (2)已知方程的两根分别是和，求的值． (3)已知和是方程的两根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和． 25．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知方程的一个根是，求代数式的值． 26．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，求实数m的值． 27．（22-23八年级上·上海浦东新·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x1，x2，存在如下关系：x1+x2＝，x1x2＝．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列式子的值：2x12+4x22+5x1． 28．（22-23八年级上·上海·名校周测）若是一元二次方程的根，，，试比较A、B的大小． 29．（22-23八年级上·上海·名校周测）已知是方程的根，化简． 30．（22-23八年级上·上海·名校周测）方程． （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m取何值时，方程是一元一次方程． 2 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 3 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题05 一元二次方程的概念（基础全掌握，30题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（23-24八年级上·上海闵行·期中）下列方程是关于x的一元二次方程的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可得． 【详解】A、方程中的不是整式，不满足一元二次方程的定义，此项不符题意； B、方程可整理为，是一元一次方程，此项不符题意； C、方程满足一元二次方程的定义，此项符合题意； D、当时，方程不是一元二次方程，此项不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程，熟记一元二次方程的概念是解题关键． 2．（23-24八年级上·上海金山·期中）若关于的方程满足，称此方程为“月亮”方程．已知方程是“月亮”方程，求的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“月亮”方程的定义得出，变形为，代入计算即可． 【详解】解：∵方程是“月亮”方程， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值是一元二次方程的解． 3．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）下列方程一定是一元二次方程的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程判断即可； 【详解】有两个未知数，不是一元二次方程，故A错误； 是一元二次方程，故B正确； 中a的取值不确定，故C错误； 化简后没有二次项，故D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，准确分析判断是解题的关键． 4．（23-24八年级上·上海·阶段练习）下列方程中，属于一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可． 【详解】A 、方程左边不是整式，故此选项错误； B、是一元二次方程，此选项正确； C、含有两个未知数，故此选项错误； D、方程左边不是整式，故此选项错误； 故选：B． 【点睛】此题考查一元二次方程的定义．掌握一元二次方程的定义，特别是一元二次方程属于整式方程是解决本题的关键． 5．（23-24八年级上·上海徐汇·期中）下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（    ） A．x2＋2x＝x2﹣1 B．m2x2﹣7＋x2＝0 C．x2＋﹣1＝0 D．ax2＋bx＋c＝0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【详解】解：A. x2＋2x＝x2﹣1，整理后是一元一次方程，故此选项不符合题意； B. m2x2﹣7＋x2＝0是一元二次方程，故此选项符合题意； C. x2＋﹣1＝0不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D. ax2＋bx＋c＝0，a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：（1）一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；（2）一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 6．（22-23八年级上·上海宝山·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，由这四个条件判断即可． 【详解】解：A、分母中有未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、是一元二次方程，故此选项符合题意； C、化简为：，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 7．（22-23八年级上·上海青浦·期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的概念判断即可． 【详解】解：A．是关于x的一元二次方程，故选项正确，符合题意； B．该方程是分式方程，故选项错误，不符合题意； C．不是一元二次方程，故选项错误，不符合题意； D．该方程整理可得，是一元一次方程，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 8．（22-23八年级上·上海·阶段练习）下列方程中，一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程的一般形式为．根据一元二次方程的定义分析判断即可． 【详解】解：A. 对于，可知，则该方程是一元二次方程，符合题意； B. ，若，则该方程不是一元二次方程，故不符合题意； C. ，不是整式方程，故该方程不是一元二次方程，不符合题意； D. 整理可得，该方程不是一元二次方程，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的判别，理解并掌握一元二次方程的定义是解题关键． 9．（22-23八年级上·上海松江·期中）将关于x的一元二次方程变形为，就可将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”． 已知，可用“降次法”求得的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】先根据例子求得x2=x+1，再代入x4-3x-1即可得出答案． 【详解】解：∵x2-x-1=0， ∴x2=x+1， ∴x4-3x-1=（x+1）2-3x-1 =x2+2x+1-3x-1 =x2-x =x+1-x =1， 故选B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解及整体代入思想，将四次先降为二次，再将二次降为一次． 二、填空题 10．（22-23八年级下·上海长宁·阶段练习）已知方程有一根为，那么 ． 【答案】3 【分析】将代入求得x的值即可． 【详解】解：将代入可得： 所以，解得或 由，则． 故答案为3． 【点睛】本题主要考查了方程的根，使方程两边相等的未知数的值叫做方程的根． 11．（22-23八年级上·上海静安·期中）如果，则方程必有一解为 ． 【答案】1 【分析】根据，若，则，可判断当时满足条件，于是判断出方程的根． 【详解】解：∵，若，则， ∴当时，， ∴此方程必有一个根为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解得知识点，解答本题的关键是利用好的条件，此题比较简单． 12．（23-24八年级上·上海松江·阶段练习）已知一元二次方程的一根为0，则 ． 【答案】1 【分析】将代入已知方程，求得c，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的一根为0， ∴， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的定义以及一元二次方程的解． 13．（23-24八年级上·上海静安·名校周测）一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ． 【答案】或5 【分析】将方程化为一元二次方程的一般形式即可得． 【详解】由题意，分以下两种情况： （1）一元二次方程化为， 由此可知，二次项系数为2、一次项系数为、常数为， 则它们之和为， （2）一元二次方程化为， 由此可知，二次项系数为、一次项系数为1、常数为6， 则它们之和为， 故答案为：或5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，依据题意，正确分两种情况是解题关键． 14．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）关于x的方程，当m 时，此方程为一元二次方程． 【答案】 【分析】 根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可． 【详解】 解：关于x的方程，当时，此方程为一元二次方程． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 15．（23-24八年级上·上海静安·阶段练习）若关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，称此方程为“天宫”方程．若方程a2x2﹣2021ax+1＝0（a≠0）是“天宫”方程，求a2+2022a+﹣的值是 ． 【答案】 【分析】利用新定义得到“天宫”方程的一个解为，则，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0， ∴“天宫”方程的一个解为， 方程是“天宫”方程， ， ，，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用整体代入的方法计算是解决本题的关键． 16．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）若m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m＝ ，n＝ ． 【答案】 0 7 【分析】首先把方程变为一元二次方程的一般形式，再根据题意可得，进而可得答案． 【详解】解：m2x3﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0， 整理得，， ∵为一元二次方程且不含x的一次项， ∴， 解得， 故答案为：0，7． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）． 17．（23-24八年级上·上海杨浦·期中）已知x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根，则﹣＝ ． 【答案】 【分析】把代入已知方程，得到，整体代入所求的代数式进行求值即可． 【详解】解：∵x＝a是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2＝0的根， ∴把代入已知方程，则 ， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 18．（23-24八年级上·上海浦东新·阶段练习）若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到由此可以求得a的值． 【详解】∵关于x的方程（a﹣1）xa2+1﹣7＝0是一元二次方程， ∴a2+1＝2，且a﹣1≠0， 解得，a＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）． 19．（23-24八年级上·上海奉贤·期中）如果关于的一元二次方程的一个根为1，那么多项式 可分解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将代入原方程，求出的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个根是1， ∴把代入，得， 解得：． 则 故答案为：． 20．（23-24八年级上·上海松江·期中）已知关于的方程的两个根为，，则方程的两根为 ． 【答案】或 【分析】观察给出的两个方程可知：2和3也是关于的方程的两根，由此即可求得答案． 【详解】解：根据题意可得：题目所给的两个方程的系数、结构都相同， ∴2和3也是关于的方程的两根， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，解决本题的关键是根据给出的方程特点，得到两个方程的解的关系． 21．（23-24八年级下·上海·阶段练习）若，是方程的两根，则的值为 ． 【答案】1 【分析】根据题意，，变形代入计算即可． 【详解】∵，是方程的两根， ∴， ∴ = =1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，利用定义变形代入计算是解题的关键． 22．（23-24八年级上·上海徐汇·阶段练习）已知a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，进而得到，再把所求式子转化为，据此整体代入求解即可． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 23．（23-24八年级上·上海浦东新·期中）如果方程与方程有且只有一个公共根，求a的值． 【答案】2 【分析】有且只有一个公共根，建立方程便可求解了． 【详解】解：∵有且只有一个公共根 ∴ ∴ ∵当a=-1时两个方程完全相同，故a≠-1， ∴ ∴ 当时，代入第一个方程可得 1-a+1=0 解得： 【点睛】本题考查根与系数的关系，关键在于有一个公共根的理解，从而建立方程，求得根． 24．（23-24八年级上·上海宝山·阶段练习）阅读理解：法国数学家韦达在研究一元二次方程时有一项重大发现：如果一元二次方程的两个根分别是和，那么，． 例如：方程的两根分别是和，则，． 请同学们阅读后利用上述结论完成下列问题： (1)已知方程的两根分别是和，则______，______． (2)已知方程的两根分别是和，求的值． (3)已知和是方程的两根，请构造一个一元二次方程，使它的两根分别是和． 【答案】(1)， (2)31 (3) 【分析】（1）根据题中所给条件，直接求和的值即可. （2）根据题中所给条件，先求和的值，再通过公式转化，求的值. （3）根据题意，可先得到，，进而得到，，即可得到结果 【详解】（1）（1）方程的两根分别是， 方程的两根分别是， ，， 故答案为：，； （2）（2）方程的两根分别是， ，， ， ， ； （3）（3）和是方程的两根， ，， ，， 构造一元二次方程，它的两根分别是和． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键 25．（22-23八年级上·上海·阶段练习）已知方程的一个根是，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入方程得到，从而变形得，代入代数式得，再由变形得到即可得到答案． 【详解】解：已知方程的一个根是， ，即， ， 由变形得， ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及方程根的定义，根据条件，恒等变形，整体代入代数式化简求值是解决问题的关键． 26．（23-24八年级上·上海·阶段练习）已知关于x的方程有实数根，求实数m的值． 【答案】 【分析】根据分类讨论即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：当时， 此时原方程为：，符合题意． 当， 此时， 且， 综上所述， ． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 27．（22-23八年级上·上海浦东新·阶段练习）阅读：对于所有的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，对于两根x1，x2，存在如下关系：x1+x2＝，x1x2＝．试着利用这个关系解决问题．设方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列式子的值：2x12+4x22+5x1． 【答案】34 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得关于x1与x2的等式，然后代入所求式子降次化简后可得关于x1+x2的式子，由阅读材料可得x1+x2的值，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵方程2x2﹣5x﹣3＝0的两个根为x1，x2， ∴2x12﹣5x1﹣3＝0，2x22﹣5x2﹣3＝0，即2x12＝5x1+3，2x22＝5x2+3， ∴原式＝5x1+3+2（5x2+3）+5x1＝10（x1+x2）+9， ∵x1+x2＝，∴原式＝10×+9＝34． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和整体的数学思想，读懂题意、灵活应用一元二次方程的解的定义是解答的关键． 28．（22-23八年级上·上海·名校周测）若是一元二次方程的根，，，试比较A、B的大小． 【答案】A=B 【分析】首先把（2ax0+b）2展开，然后把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=﹣c，再代入前面的展开式中即可得到A与B的关系． 【详解】把x0代入方程ax2+bx+c=0中得ax02+bx0=﹣c． ∵（2ax0+b）2=4a2x02+4abx0+b2，∴B=（2ax0+b）2=4a（ax02+bx0）+b2=﹣4ac+b2=A，∴A=B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义．既利用了方程的根的定义，也利用了完全平方公式，有一定的难度． 29．（22-23八年级上·上海·名校周测）已知是方程的根，化简． 【答案】0 【分析】将x=1代入到x2﹣mx+1=0中求得m的值，然后利用二次根式的性质化简所求代数式即可． 【详解】∵x=1是方程x2﹣mx+1=0的根，∴12﹣m+1=0，∴m=2，∴ =|m-3|-|m-1| =3﹣m﹣（m﹣1） =4﹣2m =4﹣2×2 =0． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和二次根式的性质与化简，根据一元二次方程解的定义求出m的值是解题的关键． 30．（22-23八年级上·上海·名校周测）方程． （1）m取何值时，方程是一元二次方程，并求此方程的解； （2）m取何值时，方程是一元一次方程． 【答案】（1）m=－4，x=±1；（2）m=2或m=1或m=－3 【分析】（1）根据一元二次方程的定义得到：m﹣2≠0且，解答即可； （2）根据一元一次方程的定义得到：m－2=0或且2m+2≠0． 【详解】（1）依题意得：m﹣2≠0且，解得：m=－4，此时方程为：，解得：x=±1．即当m=－4时，它是一元二次方程，方程的解为x=±1． （2）依题意得：m－2=0，或且2m+2≠0，解得：m=2或m=1或m=－3． 即当m=2或m=1或m=－3时，它是一元一次方程． 【点睛】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的定义，属于基础题，掌握定义即可正确解答该题． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$