2.2 整式的加减 预习学案2025-2026学年北师大版数学七年级上册

2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第三章 整式及其加减 2. 整式的加减 知识点预习 一、同类项与合并同类项 1. 同类项的定义 所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项。 示例：8n 与 5n（字母 n，指数均为1）； 与 （字母 ，指数相同） 2. 合并同类项法则 依据：乘法分配律 步骤：识别同类项；系数相加，字母部分不变。 示例：； 二、去括号法则 3. 规则 括号前符号 操作 示例 直接去掉括号，括号内各项符号不变 去掉括号后，括号内各项符号变号 4. 多层括号处理 由内向外逐层去括号： 三、整式的加减运算 5. 运算步骤 去括号（按符号规则处理）；合并同类项（系数相加，字母不变）。 四、实际应用与规律探究 6. 数字规律问题 7. 几何问题 五、总结： 同类项合并是整式加减的基础，核心是“字母相同，指数相同”；去括号需严格遵循符号规则：“正不变，负全变”；实际应用体现代数抽象能力（如数字交换、几何模型）。 学习建议： 每日练习2道合并同类项题巩固基本技能； 通过数字游戏（如24点、数字交换）培养规律探究能力！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列各组式子中，是同类项的是（　　） A．3x2y与2xy2 B．与2yx C．与 D．（x+y）与（x+y）2 2．若﹣7x2ya与4xby3是同类项，则a+b的值是（　　） A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7 3．下列计算正确的是（　　） A．2x+3y＝5xy B．7a2b﹣8ab2＝﹣a2b C．2a2+4a2＝6a4 D．xy﹣3xy＝﹣2xy 4．一个大长方形按如图方式分割成四个小长方形，且只有标号为③和④的两个小长方形完全相同，若要求出标号为①和②的长方形的周长差，只要知道下列哪条线段的长度？（　　） A．AB B．BC C．CD D．AD 5．若单项式3x4yn与﹣2x2m+3y3的和仍是单项式，则（4m﹣n）n等于（　　） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 6．若a﹣2b＝1，b﹣c＝﹣1，则（a+c）﹣（4b﹣c）的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．3 7．若M＝2x2+x，N＝x2﹣x﹣5，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定 8．要使多项式2x2﹣2（7﹣3x﹣x2）+mx2化简后不含有x的二次项，则m等于（　　） A．0 B．3 C．﹣4 D．2 9．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，11＝1+5+1×5，11是一个“可拆分”整数．下列说法：①最小的“可拆分”整数是3；②27是“可拆分”整数；③一个“可拆分”整数的拆分方式可以不止有一种；④最大的“不可拆分”的两位整数是96．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知M＝ax2﹣2x+3，N＝2x2﹣bx﹣1，则下列说法： ①若a＝2，b＝2，则M﹣N＝4； ②若2M+N的值与x的取值无关，则a＝﹣1，b＝﹣4； ③当a＝2，b为整数时，若关于x的方程M﹣N＝6的解为整数，则b＝0或1，2，3； ④当a＝﹣1，b＝1时，若|2M+N+4|+|2M+N﹣3|＝7，则x的取值范围是． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题预习（24分） 11．写出一个2n2m3的同类项：　 　 ． 12．已知5xm+2ny2与﹣x3y2是同类项，则8﹣2n﹣m＝　 　 ． 13．若﹣2xmy2+ax3yn＝﹣5x3y2，则m+n的值是　 　 ． 14．若2a﹣b+5＝0，则3（2a+b）﹣6b的值为 　 　 ． 15．如图，将一张正方形纸片分割成三个长方形①，②，④，以及一个正方形③．其中，长方形②，④的周长之和为10，则正方形纸片与正方形③的周长之和为 　 　 ． 16．将四张正方形纸片①，②，③，④，按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边即可，则这个正方形编号是 　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．化简：． 18．化简： （1）（4a2b﹣2b2a）+2（ab2﹣a2b）； （2）14m2﹣2[4m2+3（3m﹣m2）﹣m]． 19．先化简再求值：，其中x，y满足（x﹣2）2+|2y+1|＝0． 20．先化简，再求值：，其中，y＝﹣1． 21．已知多项式A与多项式B的和为4x2﹣6xy﹣5，其中A＝3x2﹣4xy﹣5． （1）求多项式B； （2）若3ax﹣1b2与﹣5a2by为同类项，求A﹣3B的值． 22．定义：多项式A，B，C，如果满足B2﹣A×C＝m，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式A＝x+1，B＝x+3，C＝x+5，因为B2﹣A×C＝（x+3）2﹣（x+1）（x+5）＝4，所以多项式x+1，x+3，x+5是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． （1）判断多项式A＝x+3，B＝x﹣6，C＝x﹣15是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； （2）多项式A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； （3）多项式A＝2x+1，B＝4x+5，C＝dx+e（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学七年级上册 知识点及基础题预习 第三章 整式及其加减 2. 整式的加减 知识点预习 一、同类项与合并同类项 1. 同类项的定义 所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项。 示例：8n 与 5n（字母 n，指数均为1）； 与 （字母 ，指数相同） 2. 合并同类项法则 依据：乘法分配律 步骤：识别同类项；系数相加，字母部分不变。 示例：； 二、去括号法则 3. 规则 括号前符号 操作 示例 直接去掉括号，括号内各项符号不变 去掉括号后，括号内各项符号变号 4. 多层括号处理 由内向外逐层去括号： 三、整式的加减运算 5. 运算步骤 去括号（按符号规则处理）；合并同类项（系数相加，字母不变）。 四、实际应用与规律探究 6. 数字规律问题 7. 几何问题 五、总结： 同类项合并是整式加减的基础，核心是“字母相同，指数相同”；去括号需严格遵循符号规则：“正不变，负全变”；实际应用体现代数抽象能力（如数字交换、几何模型）。 学习建议： 每日练习2道合并同类项题巩固基本技能； 通过数字游戏（如24点、数字交换）培养规律探究能力！ 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．下列各组式子中，是同类项的是（　　） A．3x2y与2xy2 B．与2yx C．与 D．（x+y）与（x+y）2 【解答】解：A、相同字母的指数不相同，不是同类项； B、符合同类项的定义，是同类项； C、相同字母的指数不相同，不是同类项； D、两个多项式不是同类项； 故选：B． 2．若﹣7x2ya与4xby3是同类项，则a+b的值是（　　） A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣7 【解答】解：由同类项的定义可知b＝2，a＝3， ∴a+b＝3+2＝5． 故选：B． 3．下列计算正确的是（　　） A．2x+3y＝5xy B．7a2b﹣8ab2＝﹣a2b C．2a2+4a2＝6a4 D．xy﹣3xy＝﹣2xy 【解答】解：A、2x+3y≠5xy，故A错误； B、7a2b﹣8ab2≠﹣a2b，故B错误； C、2a2+4a2＝6a2≠6a4，故C错误； D、xy﹣3xy＝﹣2xy，故D正确． 故选：D． 4．一个大长方形按如图方式分割成四个小长方形，且只有标号为③和④的两个小长方形完全相同，若要求出标号为①和②的长方形的周长差，只要知道下列哪条线段的长度？（　　） A．AB B．BC C．CD D．AD 【解答】解：设标号为③和④的两个长方形的长为x、宽为y， 根据题意标号为①和②的长方形的周长差为： 2（x﹣y+CD+x）﹣2（CD+y） ＝4x﹣2y+2CD﹣2CD﹣2y ＝4x﹣4y ＝4（x﹣y） ＝4BC． 故只要知道线段BC的长度． 故选：B． 5．若单项式3x4yn与﹣2x2m+3y3的和仍是单项式，则（4m﹣n）n等于（　　） A．0 B．±1 C．1 D．﹣1 【解答】解：由题意得：2m+3＝4，n＝3， 解得：m， （4m﹣n）n＝（2﹣3）3＝﹣1， 故选：D． 6．若a﹣2b＝1，b﹣c＝﹣1，则（a+c）﹣（4b﹣c）的值为（　　） A．﹣1 B．0 C．2 D．3 【解答】解：（a+c）﹣（4b﹣c） ＝a+c﹣4b+c ＝（a﹣2b）﹣2（b﹣c） ＝1﹣2×（﹣1） ＝3． 故选：D． 7．若M＝2x2+x，N＝x2﹣x﹣5，则M与N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定 【解答】解：因为M＝2x2+x，N＝x2﹣x﹣5， 所以M﹣N＝2x2+x﹣（x2﹣x﹣5） ＝2x2+x﹣x2+x+5 ＝x2+2x+5 ＝（x+!）2+4， 因为（x+!）2≥0， 所以（x+!）2+4＞0， 所以M﹣N＞0， 所以M＞N． 故选：A． 8．要使多项式2x2﹣2（7﹣3x﹣x2）+mx2化简后不含有x的二次项，则m等于（　　） A．0 B．3 C．﹣4 D．2 【解答】解：2x2﹣2（7﹣3x﹣x2）+mx2 ＝2x2﹣14+6x+2x2+mx2 ＝x2（2+2+m）+6x﹣14， ＝x2（4+m）+6x﹣14， 因为式子化简后不含有x的二次项， 所以4+m＝0， 得m＝﹣4． 故选：C． 9．一个正整数等于两个不相等的正整数的和与这两个不相等的正整数的积之和，称这个整数为“可拆分”整数，反之则称“不可拆分”整数．例如，11＝1+5+1×5，11是一个“可拆分”整数．下列说法：①最小的“可拆分”整数是3；②27是“可拆分”整数；③一个“可拆分”整数的拆分方式可以不止有一种；④最大的“不可拆分”的两位整数是96．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：①∵最小的正整数是1， ∴5＝1+2+1×2＝5， ∴最小的“可拆分”整数为5； 故①不符合题意； ②27＝3+6+3×6， ∴27是“可拆分”整数； 故②符合题意； ③11＝1+5+1×5＝2+3+2×3， ∴一个“可拆分”整数的拆分方式可以不止有一种； 故③符合题意； ④设“可拆分”整数为x，a、b为两个不相等的正整数， 则x＝a+b+ab＝（a+1）（b+1）﹣1， ∴x+1＝（a+1）（b+1）， ∵a+1、b+1都是正整数， ∴x+1是合数， 当x＝96时，x+1＝97是质数， ∴96是“不可拆分”的， ∵100、99、98都是合数， ∴最大的“不可拆分”的两位整数是96． 故④符合题意； 故选：C． 10．已知M＝ax2﹣2x+3，N＝2x2﹣bx﹣1，则下列说法： ①若a＝2，b＝2，则M﹣N＝4； ②若2M+N的值与x的取值无关，则a＝﹣1，b＝﹣4； ③当a＝2，b为整数时，若关于x的方程M﹣N＝6的解为整数，则b＝0或1，2，3； ④当a＝﹣1，b＝1时，若|2M+N+4|+|2M+N﹣3|＝7，则x的取值范围是． 其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①若a＝2，b＝2，M＝ax2﹣2x+3，N＝2x2﹣bx﹣1，则M﹣N＝2x2﹣2x+3﹣（2x2﹣2x﹣1）＝2x2﹣2x+3﹣2x2+2x+1＝4，计算正确，符合题意； ②M＝ax2﹣2x+3，N＝2x2﹣bx﹣1，2M+N＝2（ax2﹣2x+3）+2x2﹣bx﹣1＝2（a+1）x2﹣（4+b）x+5， ∵2M+N的值与x的取值无关， ∴a+1＝0，4+b＝0， 则a＝﹣1，b＝﹣4，计算正确，符合题意； ③当a＝2时，M＝ax2﹣2x+3， ∵M﹣N＝6，N＝2x2﹣bx﹣1， ∴M﹣N＝2x2﹣2x+3﹣（2x2﹣bx﹣1）＝6，解得：， ∵关于x的方程M﹣N＝6的解为整数， ∴b﹣2＝±1或b﹣2＝±2，解得b＝0或1，3，4，计算错误，不符合题意； ④当a＝﹣1，b＝1，M＝ax2﹣2x+3，N＝2x2﹣bx﹣1， 即：2M+N＝﹣2x2﹣4x+6+（2x2﹣x﹣1）＝﹣5x+5， ∴|﹣5x+5+4|+|﹣5x+5﹣3|＝7，即|﹣5x+9|+|﹣5x+2|＝7， 当时，|﹣5x+9|+|﹣5x+2|＝5x﹣9﹣（﹣5x+2）＞7； 当时，|﹣5x+9|+|﹣5x+2|＝﹣5x+9﹣（﹣5x+2）＝7； 当时，|﹣5x+9|+|﹣5x+2|＝﹣5x+9+（﹣5x+2）＞7； 即|2M+N+4|+|2M+N﹣3|＝7，此时，计算错误，不符合题意． 即正确的有2个． 故选：B． 二、填空题预习（24分） 11．写出一个2n2m3的同类项：　14n2m3（答案不唯一）　 ． 【解答】解：答案不唯一，如14n2m3． 故答案为：14n2m3（答案不唯一）． 12．已知5xm+2ny2与﹣x3y2是同类项，则8﹣2n﹣m＝　5　 ． 【解答】解：由同类项的定义可知m+2n＝3， 解得m＝3﹣2n， ∴8﹣2n﹣m＝8﹣2n﹣（3﹣2n）＝5． 故答案为：5． 13．若﹣2xmy2+ax3yn＝﹣5x3y2，则m+n的值是　5　 ． 【解答】解：根据题意可知，﹣2xmy2，ax3yn，﹣5x3y2是同类项， ∴m＝3，n＝2， 则m+n＝3+2＝5． 故答案为：5． 14．若2a﹣b+5＝0，则3（2a+b）﹣6b的值为 　﹣15　 ． 【解答】解：∵2a﹣b+5＝0， ∴2a﹣b＝﹣5， ∴3（2a+b）﹣6b ＝6a+3b﹣6b ＝6a﹣3b ＝3（2a﹣b） ＝3×（﹣5） ＝﹣15， 故答案为：﹣15． 15．如图，将一张正方形纸片分割成三个长方形①，②，④，以及一个正方形③．其中，长方形②，④的周长之和为10，则正方形纸片与正方形③的周长之和为 　20　 ． 【解答】解：设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b， （a﹣b）×2+4b＝10， 即a+b＝5， 4a+4b ＝4（a+b） ＝4×5 ＝20． 故答案为：20． 16．将四张正方形纸片①，②，③，④，按如图方式放入长方形内（相邻纸片之间互不重叠也无缝隙），未被四张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，要求出图中两块阴影部分的周长之差，只需知道其中一个正方形的边即可，则这个正方形编号是 　①　 ． 【解答】解：设①、②、③、④四个正方形的边长分别为a、b、c、d， 由题意得，左上角的阴影部分周长为（a+BC）+c+BC+AB+a+（c﹣AB）＝2a+2c+2BC， 右下角的阴影部分周长为b+c﹣（b﹣BC）+（b﹣d）+d+d+（c﹣d﹣b+BC）＝2c+2BC， 两块阴影周长之差为2a+2c+2BC﹣（2c+2BC）＝2a+2c+2BC﹣2c﹣2BC＝2a， 只需知道正方形①的边即可． 故答案为：①． 三、解答题预习（46分） 17．化简：． 【解答】解： x﹣2xy2y2 ＝﹣x+y2． 18．化简： （1）（4a2b﹣2b2a）+2（ab2﹣a2b）； （2）14m2﹣2[4m2+3（3m﹣m2）﹣m]． 【解答】解：（1）（4a2b﹣2b2a）+2（ab2﹣a2b） ＝4a2b﹣2ab2+2ab2﹣2a2b ＝2a2b； （2）原式＝14m2﹣2（4m2+9m﹣3m2﹣m） ＝14m2﹣2（m2+8m） ＝14m2﹣2m2﹣16m ＝12m2﹣16m． 19．先化简再求值：，其中x，y满足（x﹣2）2+|2y+1|＝0． 【解答】解： ＝2xy2﹣（3xy2﹣2x2y+xy2﹣2x2y） ＝2xy2﹣3xy2+2x2y﹣xy2+2x2y ＝﹣2xy2+4x2y． ∵（x﹣2）2+|2y+1|＝0且（x﹣2）2≥0，|2y+1|≥0 ∴（x﹣2）2＝0，|2y+1|＝0， ∴x＝2， ∴原式． 20．先化简，再求值：，其中，y＝﹣1． 【解答】解：原式 ； 当，y＝﹣1时， 原式 ． 21．已知多项式A与多项式B的和为4x2﹣6xy﹣5，其中A＝3x2﹣4xy﹣5． （1）求多项式B； （2）若3ax﹣1b2与﹣5a2by为同类项，求A﹣3B的值． 【解答】解：（1）B＝（4x2﹣6xy﹣5）﹣（3x2﹣4xy﹣5） ＝4x2﹣6xy﹣5﹣3x2+4xy+5 ＝x2﹣2xy． （2）由条件可知x﹣1＝2，y＝2， ∴x＝3； A﹣3B ＝3x2﹣4xy﹣5﹣3（x2﹣2xy） ＝3x2﹣4xy﹣5﹣3x2+6xy ＝2xy﹣5， 当x＝3，y＝2时，A﹣3B＝2×3×2﹣5＝7． 22．定义：多项式A，B，C，如果满足B2﹣A×C＝m，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式A＝x+1，B＝x+3，C＝x+5，因为B2﹣A×C＝（x+3）2﹣（x+1）（x+5）＝4，所以多项式x+1，x+3，x+5是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． （1）判断多项式A＝x+3，B＝x﹣6，C＝x﹣15是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； （2）多项式A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； （3）多项式A＝2x+1，B＝4x+5，C＝dx+e（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 【解答】解：（1）多项式 A＝x+3，B＝x﹣6，C＝x﹣15 是一组和谐多项式，和谐果为81，理由如下： ∵A＝x+3，B＝x﹣6，C＝x﹣15， ∴B2﹣A×C＝（x﹣6）2﹣（x+3）（x﹣15）＝（x2﹣12x+36）﹣（x2﹣12x﹣45）＝81， ∴多项式 A＝x+3，B＝x﹣6，C＝x﹣15 是一组和谐多项式，和谐果为81； （2）∵A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c， ∴B2﹣A×C＝（x+b）2﹣（x+a）（x+c） ＝（x2+2bx+b2）﹣（x2+ax+cx+ac） ＝（2b﹣a﹣c）x+b2﹣ac， ∵多项式 A＝x+a，B＝x+b，C＝x+c（a，b，c是常数）是一组和谐多项式， ∴2b﹣a﹣c＝0； （3）∵A＝2x+1，B＝4x+5，C＝dx+e， ∴B2﹣A×C＝（4x+5）2﹣（2x+1）（dx+e） ＝（16x2+40x+25）﹣（2dx2+2ex+dx+e） ＝（16﹣2d）x2+（40﹣2e﹣d）x+（25﹣e）， ∵多项式A＝2x+1，B＝4x+5，C＝dx+e（d，e是常数）是一组和谐多项式， ∴16﹣2d＝0，40﹣2e﹣d＝0， ∴d＝8，e＝16， ∴25﹣e＝9， ∴和谐果为9． 学科网（北京）股份有限公司 $$