【第二十一章 一元二次方程 01讲 一元二次方程】【三大知识点+六大题型+巩固练习】2025-2026学年九年级上册数学（人教版专用）

第二十一章 一元二次方程 01讲 一元二次方程 题型归纳 【题型1. 一元二次方程的定义】………………………………………………………… 2 【题型2. 一元二次方程的一般式】……………………………………………………… 4 【题型3. 一元二次方程的解】…………………………………………………………… 6 【题型4. 一元二次方程解的估算】……………………………………………………… 9 【题型5. 由一元二次方程的解求参数】………………………………………………… 11 【题型6. 由一元二次方程的定义求参数】……………………………………………… 14 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 18 知识清单 知识点1 一元二次方程 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫作一元二次方程. 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 未知数的最高次数是2. 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一般形式：. 其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 2.特殊形式：（1）当b=0时，得()； （2）当c=0时，得()； （3）当b=0且c=0时,得(). 【提示】 ① 是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； ② 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； ③ 一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 知识点3 一元二次方程的解 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【提示】 ① 一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根； ② 在一元二次方程中， 若，则是一元二次方程的一个根； 若，则是一元二次方程的一个根. ③ 判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法： 将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解. 题型专练 题型1. 一元二次方程的定义 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一判断选项． 【详解】解：选项A：方程为整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； 选项B：方程中含分式，分母含未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； 选项C：方程含两个未知数和，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； 选项D：方程化简后为，是一元一次方程，最高次数为1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程． 故选：A． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项即可． 【详解】解：A．方程中，若，则二次项消失，不一定是二次方程，排除； B．方程含有两个未知数和，属于二元方程，排除； C．方程含有分式，不是整式方程，排除； D．方程展开后为，满足整式、仅含且最高次数为2，符合定义； 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】①，时，不是一元二次方程； ②，整理得，是一元二次方程； ③，不是一元二次方程； ④，不是一元二次方程； ⑤，不是一元二次方程； ⑥，是一元二次方程； ⑦，整理得，不是一元二次方程； ∴一元二次方程有②⑥，共2个． 故选：A． 题型2. 一元二次方程的一般式 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 【例2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项是；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可） 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键． 由题意设这个一元二次方程为：，由一元二次方程的解可得，可得进而得出答案． 【详解】解：由题意设这个一元二次方程为：， 代入得，， 即， 可取， ∴这个一元二次方程可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【分析】本题主要考查了一元二次方程的相关概念，一元二次方程的一般形式是： （a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据一元二次方程二次项系数、一次项系数、常数项的定义，即可进行解答． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可． 【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3， ∴一次项的系数为， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 题型3. 一元二次方程的解 【例1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·浙江·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，根据一元二次方程解是使方程左右两边相等的未知数的值得到，即，再根据进行求解即可． 【详解】解；∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：把代入方程得， 所以， 所以． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是或， 故选：D． 【变式3】（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 【分析】本题考查了一元二次方程根，根据一元二次方程有一个正根和一个负根解答即可，掌握因式分解的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有一个正根和一个负根， ∴这个方程可以是， 即， 故答案为：． 题型4. 一元二次方程解的估算 【例1】（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似值．由表格数据可知当时，的值大于0，当时，的值小于0，因此的一个解的取值范围是． 【详解】解：由表格数据可知当时，的值大于0， 当时，的值小于0， 因此的一个解的取值范围是． 故选：A． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【分析】本题考查了估算一元二次方程的解的范围，正确理解题意、掌握求解的方法是关键． 通过观察代数式值在相邻x值之间的符号变化，确定方程解的区间． 【详解】解：对于方程，当代数式值由负变正时，方程在该区间内必有一个解， 根据表格数据：当时，（负数）； 当时，（正数）， 由于代数式值在到之间由负变正，因此方程的解位于区间， 故选：B． 【变式1】（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为． 【详解】解：当时，， 当时，， 所以方程的一个解的取值范围为：， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级下·全国·假期作业）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 题型5. 由一元二次方程的解求参数 【例1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如关于的方程的一个根是2，则的值是（   ） A．4 B． C． D．2 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解及求代数式的值，准确计算是解题的关键． 把代入方程求解即可． 【详解】解：∵2是方程的一个根， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【例2】（24-25八年级下·山东威海·期末）一元二次方程有一个实数根是，则的值为 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入方程求出m值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有一个实数根是， ∴， 解得， 故答案为：4． 【例3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，理解一元二次方程的解的定义是解题关键．把代入，得，再把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵a是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入， 得， ∴， ∵． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．2024 B． C．2025 D．4050 【分析】本题考查一元二次方程的解的概念，将方程的根代入方程，得到关于m的等式，从而求出代数式的值. 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根，将代入方程得： ， 移项可得： 因此，的值为2025， 故选：C 【变式2】（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将第二个方程变形，使其与原方程的结构一致，利用已知解代入求解． 【详解】解：原方程有一解，代入得． 将第二个方程整理为：， ， 令，则方程变为， 与原方程形式相同，则解相同． 则，即，解得． 因此，第二个方程必有一解为， 故选：A． 【变式3】（2025·四川南充·二模）设是方程的一个实数根，则的值为 ． 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，根据方程的解满足方程得到，进而代值求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴，则， ∴， 故答案为：4050． 【变式4】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长，如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． 【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义．把代入一元二次方程得到，即可判断三角形的形状． 【详解】解：是等腰三角形， 理由如下：把代入得到， ， 则， ∴是等腰三角形． 题型6. 由一元二次方程的定义求参数 【例1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，常数项为0且二次项系数不为0，解方程即可确定k的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 【例3】（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得．故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）一元二次方程的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 将写成一般式为，再根据一元二次方程的一般式的定义即可解答． 【详解】解：将写成一般式为， ∴该方程的一次项系数为． 故选C． 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，先把把代入，得，则，即可作答． 【详解】解：把代入， 得， 则， 则， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m. 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据一元二次方程的定义逐一判断各方程是否符合条件即可． 【详解】①方程中，未明确说明，因此不一定是二次方程，排除． ②方程含有分式，不是整式方程，排除． ③方程含有两个未知数和，是二元二次方程，排除． ④方程展开后化简为，是一元一次方程，排除． ⑤方程符合一元二次方程的定义，正确． ⑥方程展开后为，是一元二次方程，正确． 综上，符合条件的方程有⑤和⑥，共2个． 故选C． 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）若是关于x的方程的一个根，则m的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【分析】本题考查一元二次方程的根，将代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程，得：， 化简得：， 即：， 解得：， 因此m的值为， 故选：C． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式. 先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可． 【详解】解：转化为一般形式为：， ∴一元二次方程化为一般式后的二次项系数、一次项系数、常数项分别为5，3，， 故选：C． 4．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）定义：为函数（，、为实数）的“性质数”．若函数，的“性质数”为，函数的“性质数”为，当时，则（　　） A． B． C． D．无法比较 【分析】本题考查了新定义问题的理解与应用．理解“性质数”定义是解题的关键． 根据“性质数”定义，将函数表达式转化为对应形式，比较参数和的大小． 【详解】∵ 函数的“性质数”为， ∴对应函数形式为， ∴， ∵函数的“性质数”为， ∴对应函数形式为， ∴， ∴ ∵ ∴． ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∴当时，， 故选：B． 5．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是(　　) A． B．且 C．且 D．a为任意实数 【分析】本题考查的是一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零，直接求解即可． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（其中）， 若该方程为一元二次方程，则需满足二次项系数不为零，即： 解得： 故选：A． 6．（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个实根， ∴， ∴，， ∴ ， 故选：B． 7．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．把代入方程得，解出的值即可求解． 【详解】解：把代入方程得， 解得：， 故选：C． 8．（2025八年级下·浙江·专题练习）方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是：熟练掌握一元二次方程的一般式． 一元二次方程的一般式为（其中a、b、c是常数，），据此把原方程化为一般式即可得到答案． 【详解】解：方程化为一般形式为， ∴的值分别为3，，， 故选：B． 9．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．或1 B．1 C． D． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义得出且，即可求出m的值． 【详解】解：若方程是关于x的一元二次方程， 则， 解得或， ， ， ， 故选：B． 10．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的解． 利用表格中的数据得到时，，时，；于是可判断一元二次方程的一个解在与之间，更接近，故可得解． 【详解】解：∵时，，时，； ∴一元二次方程的一个解为，更接近， ∴方程的一个近似解是． 故选：C． 二、填空题 11．（24-25八年级下·山东济南·期末）若是一元二次方程的一个根，则 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 把代入已知方程，通过解关于a的新方程来求a的值． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故答案为：． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解∶对于一元二次方程，设， ∴， 而关于的一元二次方程有一根为， ∴有一个根为， 则， 解得， ∴一元二次方程有一根为． 故答案为∶ 13．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【分析】此题考查了一元二次方程的解，把代入方程即可求解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 故答案为：． 14．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 【分析】此题考查了方程解的定义，把方程变为，进而根据方程解的定义可得或，解之即可求解，理解方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：方程可变为， ∵方程的解是，， ∴或， ∴，， 故答案为：，． 15．（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ． 【分析】本题考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，一元二次方程的根，分情况讨论：当时，当时，分别讨论求解即可． 【详解】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长， 当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意； 当时， ∴， ， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，，，然后三个等式相加可得，然后进行确定，从而求解，解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解． 【详解】解：把代入，，得： ，，， 得：， ∴， ∵， ∴， 故答案是：． 17．（24-25九年级上·广东茂名·期中）一元二次方程化简成一般形式后，二次项系数为9，其一次项系数为 ． 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．将一元二次方程进行化简称为一般形式即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程化简成一般形式为：， 故一次项系数为， 故答案为：． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）已知是方程的根，化简： ． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，二次根式的性质与化简，先将代入方程，可得关于的方程，解方程求出的值，再根据二次根式的性质化简即可，解题关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， 由 ， ∵， ∴， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·山西太原·期中）关于的一元二次方程的常数项是，则的值为 ． 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及一般式，根据一元二次方程的常数为可得，可得的值，再根据二次项系数不等于即可求解，掌握一元二次方程的定义及一般式是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得或， ∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若，是方程的两根，则的值为 ． 【分析】利用一元二次方程根的定义即可解决问题． 本题主要考查了一元二次方程根的定义，求代数式的值，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：是方程的两个根， 则， ∴ ∴ ， 故答案为：． 三、解答题 21．（2025·重庆·模拟预测）先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程解的定义．先计算括号内的，再计算除法，然后根据一元二次方程解的定义可得，然后代入，即可求解． 【详解】解：                      ． ∵是方程的根， ∴， ∴原式． 22．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 23．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的解，理解新定义是解题的关键． （1）根据定义计算即可； （2）先根据定义化简，再将代入，即可求解． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 又因为方程的一个根为2， 所以， 解得． 24．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；只含有一个未知数，且未知数的项的最高次数为1的整式方程是一元一次方程． （1）根据题意得到，或，进而求解即可； （2）根据题意得到，，进而求解即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，或， ∴或； （2）解：根据题意得，， ∴， ∴． 25．（24-25八年级下·安徽六安·期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，二次根式的乘法，代数式求值，熟练掌握相关定义准确计算为解题关键． （1）先表示出，再展开，得到，即可得到结果； （2）先表示出，再展开，即可得到结果； （3）先表示出，再展开，带入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，即． ； （2）解：， ， ，即， ． （3）解：， ， ，即， ． 26．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 27．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，分式的求值： （1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可． 【详解】（1）解：， 两边同时除以x（），得 ， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵m是方程的根， ∴， 两边同时除以（），得 ， ∴， ∴， ∴ ∴． 28．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 【分析】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的相关概念；掌握一元二次方程中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．是解决本题的关键． （1）根据一元一次方程的定义得出，即可求出k的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，则，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义，即可解答． 【详解】（1）解：∵原方程为一元一次方程， ∴， 解得：． （2）解：∵原方程为一元二次方程， ∴， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 29．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 【分析】（1）根据定义，把方程变形为，得到，满足，判断即可． （2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可． 本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键． 【详解】（1）根据定义，方程变形为， 得到， 且， 故方程是否为“勾系一元二次方程”． （2）∵是“勾系一元二次方程”的一个根， ∴， ∴， ∵四边形的周长是12， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ 故的面积为2． 30．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，本题是一道材料题，解题时，要提取材料中的关键性信息． （1）利用题中的方法，设所求方程的根为，则，把代入已知方程得出，即可得解； （2）利用题中的方法，所求方程的根为，则，于是，把代入方程得，化为整式方程即可得出答案． 【详解】解：【类比探究】（1）设所求方程的根为，则， ， 把代入方程，得：， 故答案为：； 【拓展运用】（2）设所求方程的根为，则，于是， 把代入方程，得， 去分母，得， 若，有，于是，方程有一个根为，不合题意， ∴，故所求方程为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十一章 一元二次方程 01讲 一元二次方程 题型归纳 【题型1. 一元二次方程的定义】………………………………………………………… 2 【题型2. 一元二次方程的一般式】……………………………………………………… 3 【题型3. 一元二次方程的解】…………………………………………………………… 4 【题型4. 一元二次方程解的估算】……………………………………………………… 4 【题型5. 由一元二次方程的解求参数】………………………………………………… 5 【题型6. 由一元二次方程的定义求参数】……………………………………………… 7 【巩固练习】………………………………………………………………………………… 8 知识清单 知识点1 一元二次方程 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫作一元二次方程. 【提示】一元二次方程必须同时满足以下条件： ① 是整式方程； ② 只含有一个未知数； ③ 未知数的最高次数是2. 知识点2 一元二次方程的一般形式 1.一般形式：. 其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项. 2.特殊形式：（1）当b=0时，得()； （2）当c=0时，得()； （3）当b=0且c=0时,得(). 【提示】 ① 是一元二次方程一般形式的重要条件，但是b，c可以为0； ② 任何一个一元二次方程都可以化成一般形式； ③ 一元二次方程的各项都包含它前面的符号. 知识点3 一元二次方程的解 1.定义：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 【提示】 ① 一元二次方程可能没有实数根，可能有两个相等的实数根，也可能有两个不相等的实数根； ② 在一元二次方程中， 若，则是一元二次方程的一个根； 若，则是一元二次方程的一个根. ③ 判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法： 将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解. 题型专练 题型1. 一元二次方程的定义 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·山东济南·期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）下列方程①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中一定是一元二次方程的有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 题型2. 一元二次方程的一般式 【例1】（24-25八年级下·山东烟台·期末）把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【例2】（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项是；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可） 【变式1】（24-25九年级上·河南洛阳·期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（   ） A．3，，4 B．3，，6 C．3，， D．3，， 【变式2】（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ． 【变式3】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）一元二次方程化成一般形式后为 ． 题型3. 一元二次方程的解 【例1】（24-25八年级下·浙江·阶段练习）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【例2】（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25八年级下·浙江·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·云南昭通·期末）已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【变式2】（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）若关于的一元二次方程满足，则该一元二次方程的根是（　　） A．1，2 B．1，0 C．，0 D．1 【变式3】（24-25九年级上·广东佛山·期末）请写出一个关于的一元二次方程，使该方程有一个正根和一个负根，那么这个方程可以是 ． 题型4. 一元二次方程解的估算 【例1】（2025·贵州贵阳·一模）根据表格中的信息，估计一元二次方程的一个解的范围是（    ） x 0 1 2 5 A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【变式1】（23-24九年级上·四川达州·阶段练习）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 -0.59 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级下·全国·假期作业）根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是 ． 题型5. 由一元二次方程的解求参数 【例1】（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如关于的方程的一个根是2，则的值是（   ） A．4 B． C． D．2 【例2】（24-25八年级下·山东威海·期末）一元二次方程有一个实数根是，则的值为 ． 【例3】（24-25九年级上·北京海淀·期中）若a是关于x的一元二次方程的根，求代数式的值． 【变式1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若m是一元二次方程的一个根，则的值是（    ） A．2024 B． C．2025 D．4050 【变式2】（24-25八年级下·安徽池州·期末）若关于x的一元二次方程（a≠0）有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·四川南充·二模）设是方程的一个实数根，则的值为 ． 【变式4】（24-25九年级上·宁夏固原·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长，如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． 题型6. 由一元二次方程的定义求参数 【例1】（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【例2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【例3】（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【变式1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）一元二次方程的一次项系数为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【变式2】（24-25九年级上·江苏盐城·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 巩固练习 一、单选题 1．（24-25八年级下·云南昆明·期末）下列方程中，是一元二次方程的有（　　） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（24-25八年级下·山东济南·期末）若是关于x的方程的一个根，则m的值是（   ） A． B．1 C． D．3 3．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程化为一般式后二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．5，3，2 B．，3， C．5，3， D．，， 4．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）定义：为函数（，、为实数）的“性质数”．若函数，的“性质数”为，函数的“性质数”为，当时，则（　　） A． B． C． D．无法比较 5．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）关于x的方程是一元二次方程，则a的取值范围是(　　) A． B．且 C．且 D．a为任意实数 6．（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（   ） A．2025 B．2024 C．2023 D．2022 7．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025八年级下·浙江·专题练习）方程化为一般形式后的的值分别为（　　） A．3，1，4 B．3，， C．3，， D． 9．（24-25九年级上·重庆巴南·期末）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ） A．或1 B．1 C． D． 10．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）观察下列表格，可知一元二次方程的一个近似解是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 A． B． C． D． 二、填空题 11．（24-25八年级下·山东济南·期末）若是一元二次方程的一个根，则 ． 12．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ． 13．（2025·青海·中考真题）若是一元二次方程的一个根，则的值为 ． 14．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是 ． 15．（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ． 16．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为 ． 17．（24-25九年级上·广东茂名·期中）一元二次方程化简成一般形式后，二次项系数为9，其一次项系数为 ． 18．（2024九年级上·全国·专题练习）已知是方程的根，化简： ． 19．（24-25九年级上·山西太原·期中）关于的一元二次方程的常数项是，则的值为 ． 20．（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）若，是方程的两根，则的值为 ． 三、解答题 21．（2025·重庆·模拟预测）先化简，再求值： ．其中m是方程的根． 22．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 23．（24-25九年级上·湖南永州·期中）定义新运算：对于任意实数a，b，c，d有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算．如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程的一个根为2，求m的值． 24．（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）当为何值时，方程 (1)是关于的一元一次方程． (2)是关于的一元二次方程． 25．（24-25八年级下·安徽六安·期末）请阅读下列材料：已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． 晨晨同学根据二次根式的性质：，联想到了如下解法：由得，则，即，∴．故． 请运用上述方法解决下列问题： (1)已知一个关于x的方程，其中b、c均为整数，且有一个根为，求b、c的值． (2)已知，求代数式的值； (3)已知，求代数式的值． 26．（23-24八年级下·浙江·期中）定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 27．（24-25九年级上·山西长治·阶段练习）阅读与思考 阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以，得，即． 因为， 所以． 任务： (1)已知方程，则____________． (2)若是方程的根，求的值． 28．（23-24九年级上·全国·单元测试）已知关于的方程． (1)当取何值时，此方程为一元一次方程并求出此方程的根． (2)当取何值时，此方程为一元二次方程并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 29．（22-23九年级上·福建龙岩·期中）如图所示，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a、b、c是和的边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：      (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”． (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是12，求的面积． 30．（23-24九年级上·广西钦州·阶段练习）【阅读材料】 【问题】已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以，把，代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）： 【类比探究】 （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_______； 【拓展运用】 （2）已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$