1.3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定同步练习2025—2026学年北师大版数学九年级上册

1.3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定 1.已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，下列可以判定四边形是正方形的是（　D　） A.∠D＝90° B.AB＝CD C.AC＝BD D.BC＝CD 2.若四边形ABCD的对角线AC与BD相等且互相垂直，则顺次连接这个四边形四边中点得到的四边形是（　D　） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.如图，在平行四边形ABCD中，添加的下列条件中，能判定平行四边形ABCD是正方形的是（　A　） 第3题图 A.AC＝BD，AC⊥BD B.AC＝BD，∠ABC＝90° C.BD平分∠ABC，AB＝BC D.AB＝BC，AC⊥BD 4.如图，点E为正方形ABCD内一点，AD＝ED，∠AED＝70°，连接EC，那么∠AEC的度数是（　C　） 第4题图 A.105° B.130° C.135° D.140° 5.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，添加一个条件　AC＝BD（答案不唯一）　，使菱形ABCD是正方形. 第5题图 6.在平面直角坐标系中，一个四边形各顶点坐标分别为A（－1，－2），B（4，－2），C（4，3），D（－1，3），则四边形ABCD的形状是　　. 7.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4 cm，CE＝2 cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B'处，折痕与边BC交于点E，则BC的长为　　cm. 第7题图 8.如图，点E在正方形ABCD的边BA的延长线上，连接AC，AC＝AE，CE交AD于点F，则∠ACE的度数等于　22.5°　. 第8题图 9.已知正方形ABCD的一条对角线长为2，则它的面积是　6　. 10.如图，△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A＝∠C＝90°.求证：四边形ABCD是正方形. 11.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为　　°. 第11题图 12.如图，边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D'，则图中阴影部分的面积为　－1　. 第12题图 13.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF⊥DE，且AF＝DE，AF与DE相交于点G. 求证：矩形ABCD是正方形. 14.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AE∥BC，O是AC的中点，连接DO并延长，交AE于点E. （1）求证：四边形ADCE是矩形； （2）若∠AOE＝60°，AC＝4，求AE的长； （3）当△ABC满足条件　　　　　　时，四边形ADCE是正方形. 参考答案 1.D　2.D　3.A　4.C　5.AC＝BD（答案不唯一） 6. 正方形　7.6　8.22.5°　9.6 10.证明：∵△ABD和△BCD都是等腰直角三角形，∠A＝∠C＝90°， ∴AB＝AD，BC＝CD， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°， ∴∠ABC＝90°， ∴∠A＝∠C＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形. 11.135　解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB＝∠BAC＝45°， ∴∠2＋∠BCP＝45°. ∵∠1＝∠2， ∴∠1＋∠BCP＝45°. ∵∠BPC＝180°－∠1－∠BCP， ∴∠BPC＝135°. 12.－1　解析：如图，连接AC'. ∵边长为1的正方形ABCD，将正方形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°得到正方形AB'C'D'， ∴AD'＝D'C'＝AD＝AB＝1，∠ABC＝∠D'＝90°，∠D'C'A＝45°，∠D'AC'＝45°，∠D'AB＝45°， ∴A，B，C'三点共线.在Rt△AD'C'中，由勾股定理得AC'＝＝＝， ∴BC'＝AC'－AB＝－1. ∵在Rt△EBC'中，∠EBC'＝90°，∠EC'B＝45°， ∴∠BEC'＝∠EC'B＝45°， ∴EB＝BC'＝－1， ∴阴影部分的面积S＝△AD'C'的面积－△EBC'的面积＝AD'·D'C'－BE·BC'＝×1×1－×（－1）×（－1）＝－1. 13.证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠B＝90°. ∵DE⊥AF， ∴∠DAB＝∠AGD＝90°， ∴∠BAF＋∠DAF＝90°，∠ADE ＋∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠ADE. 在△ABF和△DAE中， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AB＝AD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形ABCD是正方形. 14.（1）证明：∵点O是AC的中点， ∴OA＝OC. ∵AE∥BC， ∴∠OAE＝∠OCD，∠OEA＝∠ODC， 在△OAE和△OCD中， ∴△OAE≌△OCD（AAS）， ∴AE＝CD， ∴四边形ADCE是平行四边形. ∵AB＝AC，AD是△ABC的中线， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形. （2）解：∵四边形ADCE是矩形， ∴AO＝OE＝AC＝2. ∵∠AOE＝60°， ∴△AOE是等边三角形， ∴AE＝OA＝2. （3）解：当∠BAC＝90°时，∵AB＝AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AD＝DC， 由（1）知四边形ADCE是矩形， ∴四边形ADCE是正方形. 故答案为∠BAC＝90°. 学科网（北京）股份有限公司 $$